第六章變量之間的關(guān)系

6.1現(xiàn)實(shí)中的變量

?1教學(xué)目標(biāo)

了解常品與變量的含義并能分清實(shí)例中的常景與變景，了解自變后和因變量的關(guān)系.

、■重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)

了解常量與變量的含義并能分清實(shí)例中的常量與變量.

難點(diǎn)

了解自變量和因變量的關(guān)系.

教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

汽車剎車時(shí)，其制動(dòng)裝置開(kāi)始發(fā)揮作用的瞬間車速稱為制動(dòng)初速度；汽車從開(kāi)始制動(dòng)到

完全停止所駛過(guò)的距離稱為制動(dòng)距離.

(1)這個(gè)情境中有哪些量？

(2)隨著車輛制動(dòng)初速度的變化，其他量會(huì)發(fā)生變化嗎？

(3)下表呈現(xiàn)了一輛汽車在某種路面情況下的部分剎車試驗(yàn)數(shù)據(jù)，你能描述制動(dòng)距離隨制

動(dòng)初速度的變化而變化的情況嗎？

制

動(dòng)

初

速2030405060708090100110120130140

度

v/(k

m/h)

制

動(dòng)

14.719.525.532.339.948.357.567.678.3

距1.403.606.429.967

99887756

離

5/m

二、探究新知

探究點(diǎn)：變量與常量

1.某海域海水的壓強(qiáng)〃(單位：Pa)與水深”(單位：m)之間的關(guān)系滿足：〃=9.8所(其中〃

為海水的密度,通常為1.03X/kg/n?)

(1)這個(gè)情境中有哪些量？

(2)隨著水深h的變化，其他都會(huì)發(fā)生變化嗎？

2.如圖反映了一個(gè)蔬菜大棚某日18：00到次日18：00棚內(nèi)溫度和棚外溫度的變化情況.

(1)這個(gè)情境中有哪些品？

（2）你能描述這個(gè)蔬菜大棚棚內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化而變化的情況嗎？棚外溫度呢？

（3）你還有哪些發(fā)現(xiàn)？與同伴進(jìn)行交流.

歸納：上面情境中有許多變化的量，如制動(dòng)距離、制動(dòng)初速度、海水的壓強(qiáng)、水深、棚

內(nèi)溫度、棚外溫度、時(shí)間等，它們都是變量.其中，制動(dòng)距解隨制動(dòng)初速度的變化而變化，

海水的壓強(qiáng)隨水深的變化而變化，棚內(nèi)溫度、棚外溫度隨時(shí)間的變化而變化，制動(dòng)初速度、

水深、時(shí)間稱為自變量，制動(dòng)距離、海水的壓強(qiáng)、棚內(nèi)溫度、棚外溫度稱為因變量.

一定海域內(nèi)，壓強(qiáng)隨水深變化而變化的過(guò)程中，海水的密度保持不變.像這種在變化過(guò)

程中數(shù)值始終不變的量稱為常量.

三、課堂練習(xí)

I.寫出下列各問(wèn)題中的關(guān)系式中的常量與變量：

（1）分針旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)，旋轉(zhuǎn)的角度〃（度）與旋轉(zhuǎn)所需要的時(shí)間4分）之間的關(guān)系式〃=夕：

（2）一輛汽車以40千米/時(shí)的速度向前勻速直線行駛時(shí)，汽車行駛的路程s（千米）與行駛時(shí)

間r（時(shí)）之間的關(guān)系式s=40r.

解析：根據(jù)在一個(gè)變化的過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為

常量，即可答題.

2.A,8兩地相距50千米，明明以每小時(shí)5千米的速度由A地到8地，若他距6地的

距離為y,到達(dá)時(shí)間為x.請(qǐng)你寫出在這個(gè)變化過(guò)程中的自變量和因變量.

解析?：因?yàn)檫@個(gè)變化過(guò)程中，他距8地的距離），隨時(shí)間的變化而變化，所以自變量是時(shí)

間x，因變量是他距8地的距離），.

四、課堂小結(jié)

1.常量與變量：

在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量稱之為常量.

2.區(qū)分自變量和因變量：

在判斷自變量和因變量時(shí)，要分清哪個(gè)量是主動(dòng)變化的，哪個(gè)量是被動(dòng)變化的，主動(dòng)變

化的量是自變量，被動(dòng)變化的量是因變量.

五、課后作業(yè)

完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí).

教學(xué)反思

自變量和因變量是用來(lái)描述我們所熟悉的變化的事物以及自然界中出現(xiàn)的一些變化現(xiàn)象

的兩個(gè)重:要的量，對(duì)于我們所熟悉的變化，在用了這兩個(gè)量的描述之后更加鮮明.本節(jié)是學(xué)

好本章的基礎(chǔ)，教學(xué)中立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，提升學(xué)生的認(rèn)知水平,

使學(xué)生在原有的知識(shí)基礎(chǔ)上迅速遷移到新知上來(lái).

6.2用表格表示變量之間的關(guān)系

?,教學(xué)目標(biāo)

能從表格中獲得變量間的關(guān)系信息，能用表格表示變量之間的關(guān)系，并根據(jù)表格中的數(shù)

據(jù)嘗試對(duì)變化趨勢(shì)進(jìn)行初步預(yù)測(cè).

Q1重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)

能從表格中發(fā)現(xiàn)變量之間的變化關(guān)系，并能用自己的語(yǔ)言描述出來(lái).

難點(diǎn)

理解兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

、.教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

你知道自己的反應(yīng)時(shí)間是多少嗎？測(cè)試者將一根較長(zhǎng)的直尺零刻度朝下，懸在被測(cè)試者

的大拇指和食指之間，被測(cè)試者兩個(gè)手指間距約3cm,與直尺的零刻度保持在同一水平面

I-測(cè)試者突然放開(kāi)直尺，被測(cè)試者迅速用手指夾住，手指所夾處的直尺刻度就是被測(cè)試者

的反應(yīng)距離，不同的反應(yīng)距離對(duì)應(yīng)不同的反應(yīng)時(shí)間，下表呈現(xiàn)了部分反應(yīng)距離及對(duì)應(yīng)的反應(yīng)

時(shí)間：

反應(yīng)

距

56789101112131415

離

/cm

反應(yīng)

時(shí)0.1010.1110.1200.1280.1360.1430.1500.1560.1630.1690.175

間/s

(1)當(dāng)反應(yīng)距離為10cm時(shí)，反應(yīng)時(shí)間是多少？

(2)反應(yīng)距離越大的人,其反應(yīng)時(shí)間有什么特點(diǎn)？

(3)反應(yīng)距離每增加1cm,反應(yīng)時(shí)間的變化情況相同嗎？

(4)小明和同桌試驗(yàn)測(cè)得的反應(yīng)距離分別為9.5cm,18cm,你能估計(jì)他們的反應(yīng)時(shí)間嗎？

你是怎樣估計(jì)的？

(5)請(qǐng)你和同桌一起做一做上面的游戲，估計(jì)自己的反應(yīng)時(shí)間.

二、合作探究

探究點(diǎn)：用表格表示數(shù)量間的關(guān)系

2016—2022年我國(guó)國(guó)內(nèi)生.產(chǎn)總值(GDP)的變化情況如下(精確到1萬(wàn)億元)：

時(shí)間/年2016201720182019202020212022

GDP/萬(wàn)億元75839299101115121

(1)如果用x表示時(shí)間，y表示我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，那么隨著工?的變化，y的變化趨勢(shì)

是什么？

(2)2016—2022年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是怎樣變化的？

(3)根據(jù)表格，預(yù)測(cè)2030年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.

借助表格，我們可以表示因變量隨自變量的變化而變化的情況.

歸納：通過(guò)兩個(gè)例子，理解變量、自變量、因變量、常量這些概念，同時(shí)體會(huì)表格對(duì)于

數(shù)據(jù)的整理和呈現(xiàn)起到的作用.對(duì)?于解決日常生活中變化的事物很有幫助.

三、課堂練習(xí)

I.彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，測(cè)得一彈簧的長(zhǎng)度.y(cm)與所掛的物體的質(zhì)量x(kg)間有下面

的關(guān)系：

x(kg)012345

,y(cm)1010.51111.51212.5

下列說(shuō)法不正確的是()

A.K與y都是變量，且x是自變量，1y是因變量

B.所掛物體質(zhì)量為4kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為12cm

C.彈簧不掛重物時(shí)的長(zhǎng)度為0cm

D.物體質(zhì)量每增加1kg,彈簧長(zhǎng)度)，增加0.5cm

2.某電動(dòng)車廠2024年各月份生產(chǎn)電動(dòng)車的數(shù)量情況如卜表:

時(shí)間

123456789101112

x/月

月產(chǎn)量

88.591()1112109.59101010.5

W萬(wàn)輛

(1)為什么稱電動(dòng)車的月產(chǎn)量1y為因變最？它是i隹的因變量？

(2)哪個(gè)月份電動(dòng)車的產(chǎn)量最高？哪個(gè)月份電動(dòng)年的產(chǎn)量最低？

(3)哪兩個(gè)月份之間產(chǎn)量相差最大？根據(jù)這兩個(gè)月的產(chǎn)量，電動(dòng)車廠的廠長(zhǎng)應(yīng)該怎么做？

3.完成教材第151頁(yè)第2題.

四、課堂小結(jié)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲，還有哪些困惑？

五、課后作業(yè)

完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí).

教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容主要是用表格表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系，學(xué)生在活動(dòng)中，可以從數(shù)值對(duì)應(yīng)的角

度初步感受到自變量、因變量之間的對(duì)應(yīng)思想，他們?cè)诤献鹘涣髦刑骄?，在探究中總結(jié)，獲

到了較好的教學(xué)效果.6.3用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系

?，教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生理解變量間的關(guān)系，并學(xué)會(huì)在具體的情境中列出表示變量關(guān)系的關(guān)系式；

2.培養(yǎng)學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)

能夠在具體的情境中列出表示變量關(guān)系的關(guān)系式.

難點(diǎn)

理解關(guān)系式的推導(dǎo)過(guò)程.

教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

指出下列實(shí)例中的自變量與因變量：

(1)氣溫隨高度變化的過(guò)程.

自變量是：因變量是：

(2)蠟燭在燃燒的過(guò)程中，剩余蠟燭的長(zhǎng)度隨燃燒時(shí)間的變化而變化.

自變量是：因變量是：

(3)在圓的周長(zhǎng)公式C=2nr中，隨著，?的變大，C也變大.

自變量是：因變量是：

二、探究新知

如圖，△A8C底邊BC上的高是6cm.當(dāng)三角形的頂點(diǎn)。沿底邊所在的直線向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)

時(shí)，三角形的面積發(fā)生了怎樣的變化？

(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量、因變量各是什么？當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)減小時(shí)，二角形的面積是如

何變化的？

(2)如果三角形的底邊長(zhǎng)為M單位cm),那么三角形的面積單位：cnf)如何表示？

(3)在這個(gè)變化過(guò)程中，取定一個(gè)底邊x的值，面積)，的值能確定嗎？和同伴進(jìn)行交流.

歸納：y=3x表示了圖中三角形底邊長(zhǎng)x和面積)，之間的關(guān)系，它是變量)，隨x變化的關(guān)

系式.關(guān)系式是我們表示變量之間關(guān)系的一種常用方法.如圖，利用關(guān)系式(如y=3x),我們

可以根據(jù)任何一個(gè)自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值.

出示問(wèn)題，組織學(xué)生分組討論

I.如圖所示，圓錐的高是4cm,當(dāng)圓錐的底面半徑由小到大變化時(shí)，圓錐體積也隨之

而發(fā)生了變化.

(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量是,因變量是.底面半徑增大時(shí)，圓錐

的體積是如何變化的？

(2)如果圓錐底面半徑為r(cm),那么圓錐的體積Men?)與「的關(guān)系式是.

(3)當(dāng)?shù)酌姘霃接?cm變化到10cmM，圓錐的體積由cn?變化到cm3.

在這個(gè)變化過(guò)程中，取定一個(gè)底面半徑r的值，體積V的值能確定嗎？

三、課堂練習(xí)

1.一個(gè)小球由靜止開(kāi)始沿一個(gè)斜坡向下滾動(dòng)，通過(guò)儀器觀察得到小球滾動(dòng)的距離s(m)

與時(shí)間《s）的數(shù)據(jù)如下表:

時(shí)間心）1234???

距離s（m）281832???

寫出用，表示s的關(guān)系式：.

2.圖中的圓點(diǎn)是有規(guī)律地從里到外逐層排列的.設(shè)y為第〃層（〃為正整數(shù)）圓點(diǎn)的個(gè)數(shù),

則下列函數(shù)關(guān)系中正確的是（）

A.y=4〃-4

B.y=4n

C.y=4〃+4

D.y=fr

3.你知道什么是“低碳生活”嗎？“低碳生活”是指人們盡量減少所耗能量從而降低碳

（特別是二氧化碳）的排放量的一種生活方式.

一些常見(jiàn)的二氧化碳排放量計(jì)算公式如下表所示

二氧化碳排放量/kg計(jì)算公式

家居用也用電量（單位:kW-h）X0.785

開(kāi)私家車（燃油車）耗油量（直位：L）X2.7

家用天然氣用氣量（單位：m3）X0.19

家用自來(lái)水用水量（單位：m3）X0.91

（1）你能用字母表示家居用電的二氧化碳排放量的公式嗎？其中的字母表示什么？

（2）隨著耗電量的增加，二氧化碳排放量是如何變化的？與同伴進(jìn)行交流.

（3）當(dāng)耗電量為100kW?h時(shí)，二氧化碳的排放量為多少？

（4）小明家本月大約用電110kW?h,耗油75L,天然氣20m3,自來(lái)水5m請(qǐng)你計(jì)算

小明家這幾項(xiàng)的二氧化碳排放量.

四、課堂小結(jié)

1.用關(guān)系式表示變量間關(guān)系.

2.表格和關(guān)系式的區(qū)別與聯(lián)系：

表格能直接得到某些具體的對(duì)應(yīng)值，但不能直接反映變量的整體變化情況；用關(guān)系式表

示變量之間的關(guān)系簡(jiǎn)單明了，便于計(jì)算分析，能方便求巴自變量為任意一個(gè)值時(shí)，相對(duì)應(yīng)的

因變量的值，但變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不太直觀。二者的聯(lián)系是：利用表格可以寫出關(guān)系式，利

用關(guān)系式可以列出表格.

五、課后作業(yè)

完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí).

教學(xué)反思

本節(jié)課的內(nèi)容是建立在學(xué)生已理解了變量、自變量、因變量的意義，并體會(huì)到因變最是

隨自變量變化而變化的基礎(chǔ)上安排的，課堂通過(guò)對(duì)三角形的底邊的變化引起三角形面積的變

化講行探究，得出運(yùn)用關(guān)系式可以描述自變后和因變最具體變化的情況,，為卜一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)

作好鋪墊.整個(gè)教學(xué)過(guò)程同學(xué)們積極參與，課堂氣氛活躍，達(dá)到了預(yù)期的目的.

6.4用圖象表示變量之間的關(guān)系

第1課時(shí)曲線型圖象

?，教學(xué)目標(biāo)

1.能從圖象中分析變量之間的關(guān)系，明確圖象上點(diǎn)所表示的意義；

2.能夠從曲線型圖象中獲取關(guān)于兩個(gè)變量的信息.

、■重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)

理解圖象上的點(diǎn)所表示的意義，并能從圖象中獲取變量之間的關(guān)系.

難點(diǎn)

能從圖象中獲取變量之間的關(guān)系，并能用語(yǔ)言進(jìn)行描述.

?'教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

觀察下圖，你能從中獲取怎樣的信息？

氣溫

溫度(C)太陽(yáng)短波輻射

33地面長(zhǎng)波輻射

024681012141618202224時(shí)間（時(shí)）

二、探究新知

探究點(diǎn)：用曲線型圖象表示變量間關(guān)系

氣溫的變化是人們經(jīng)常談?wù)摰脑掝}.請(qǐng)你根據(jù)下圖，與同伴討論某地某天氣溫變化的情

況.

(1)你能描述該地這一天氣溫的變化情況嗎？在什么時(shí)間范圍內(nèi)氣溫下降，什么時(shí)間范圍

內(nèi)氣溫上升？

(2)該地這一天的最低氣溫是多少，是在何時(shí)達(dá)到的？最高氣溫呢？這一天的溫差是多

少？

(3)圖中的4點(diǎn)表示什么？8點(diǎn)呢？

(4)你預(yù)測(cè)該地這一天次口凌晨1：()0的氣溫是多少？說(shuō)說(shuō)你的理由.

歸納總結(jié)

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸(稱為橫軸)上的點(diǎn)表示日變量,

用豎直方向的數(shù)軸(稱為縱軸)上的點(diǎn)表示因變量.

思考：下圖呈現(xiàn)了某年某地日出、日落的情況.觀察圖象，回答下列問(wèn)題

(1)你能描述這一年此地日出和日落的變化情況嗎？

(2)這一年日出時(shí)間最早大約是什么時(shí)候？最晚呢？日落時(shí)間呢？

三、課堂練習(xí)

1.水滴進(jìn)玻璃容器如圖所示(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水最相同)，那么水的高度是如何隨時(shí)間變

化的，請(qǐng)選擇分別與A,B,C,D匹配的圖象()

A.(3)⑵(4)⑴B.⑵⑶⑴⑷

C.⑵⑶(4)⑴D.⑶⑵⑴⑷

2.如圖所示是某市夏天的溫度隨時(shí)間變化的圖象，通過(guò)觀察可知，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

溫度/C

03690362124時(shí)間/時(shí)

A.這天15時(shí)溫度最高

B.這天3時(shí)溫度最低

C.這天最高溫度與最低溫度的差是13℃

D.這天0?3時(shí)，15?24時(shí)溫度在下降

四、課堂小結(jié)

1.用曲線型圖象表示變量間關(guān)系.

2.從曲線型圖象中獲取變量信息.

五、課后作業(yè)

完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí).

教學(xué)反思

圖象法能直觀形象地表示因變量隨自變量變化的變化趨勢(shì)，可通過(guò)圖象來(lái)研究變量的某

些性質(zhì)，這也是數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，但是它也存在觀察不夠準(zhǔn)確，畫面局限性大的缺點(diǎn).教學(xué)

中讓學(xué)生自己歸納總結(jié)，回顧反思，將知識(shí)點(diǎn)串連起來(lái)，完成對(duì)該部分內(nèi)容的完整認(rèn)識(shí)和意

義建構(gòu).這對(duì)學(xué)生在實(shí)際情境中根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎咀兞块g的關(guān)系，發(fā)展與深

化思維能力是大有裨益的.

第2課時(shí)折線型圖象

?，教學(xué)目標(biāo)

1.能從圖象中獲取變量之間的信息，并能用語(yǔ)言進(jìn)行描述;

2.能借助圖象表示實(shí)際情境中所蘊(yùn)含的變量之間的關(guān)系.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)

在所給出的圖象中發(fā)現(xiàn)變量之間存在的關(guān)系，并能獲取圖象中的信息.

難點(diǎn)

理解圖象中的變量關(guān)系，以及如何利用圖象進(jìn)行推理和預(yù)測(cè).

'.教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

小強(qiáng)和爺爺經(jīng)常一起進(jìn)行早鍛煉，主要活動(dòng)是爬山.有一天，小強(qiáng)讓爺爺先上，然后追

趕爺爺.圖中兩條線段分別表示小強(qiáng)和爺爺離開(kāi)山腳的距離y（米）與爬山所用時(shí)間M分鐘）的

關(guān)系（從小強(qiáng)開(kāi)始爬山時(shí)計(jì)時(shí)）.

300

240

180

120

60

01234567891011、（分鐘:

問(wèn)：圖中的橫軸（X軸）和縱軸軸）各表示什么？

答：橫軸。軸）表示兩人爬山所用時(shí)間，縱軸（），軸）表示兩人離開(kāi)山腳的距離.

問(wèn)：如圖，線段上有一點(diǎn)P,則P的坐標(biāo)是多少？表示的實(shí)際意義是什么？

答：P的坐標(biāo)是(3,90).表示小強(qiáng)爬山3分鐘時(shí)，離開(kāi)山腳的距離是9()米.

我們能否從圖象中看出其他信息呢？

二、探究新知

探究點(diǎn)：用折線型圖象表示變量間關(guān)系

每輛汽車上都有一個(gè)時(shí)速表用來(lái)指示汽車當(dāng)前的速度，你會(huì)看這個(gè)表嗎？

汽車在行駛的過(guò)程中，速度往往是變化的.下面的圖象表示一輛汽車的速度隨時(shí)間變化

而變化的情況.

(2)汽車在___________________時(shí)問(wèn)段保持勻速行駛，時(shí)速分別足和

(3)出發(fā)后8分到10分之間可能發(fā)生什么樣的情況？

(4)用自己的語(yǔ)言大致描述這輛汽車的行駛情況.

小結(jié)：

借助圖象可判斷因變量的變化趨勢(shì)：

圖象自左向右是上升的，則說(shuō)明因變量隨著自變量的增大而增大，圖象自左向右是下降

的，則說(shuō)明因變量隨著自變量的增大而減小，圖象自左向右是與橫軸平行的，則說(shuō)明因變量

在自變量的增大的過(guò)程中保持不變.

圖象的識(shí)圖技巧

(1)注意兩數(shù)軸上的名稱與單位.

(2)分布規(guī)律：橫軸上的點(diǎn)表示自變量，縱軸上的點(diǎn)表示因變量.

(3)識(shí)圖關(guān)鍵：弄清圖象上點(diǎn)的意義，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)：注意圖象的起點(diǎn)、終點(diǎn)、最高點(diǎn)、最

低點(diǎn)、拐點(diǎn)等特殊位置，并弄清這些點(diǎn)所表示的意義.