北京市十一學(xué)校2025-2026學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，在AABC中，線段跖表示VAAC的邊AC上的高的圖是（）

2.下列從左到右的變形中，是因式分解的是（）

A.x"+x'"=x"(l+]

B.4^-9/=(2x+3y)(2x-3y)

C.x2-xy+y2=(x-y)'+沖D.\2m2n=3m2-4n

3.下列計(jì)算正確的是()

A.x2+x3=X5B.(一3盯，=-9y3

C.(7ZM?-3)(/??/?3)=mn-9D.(-x-y)2=x2-2xy+y2

4.如圖，在VABC和「.DEC中，已知C8=CE,還需添加兩個條件才能使"BCROEC，

不能添加的一組條件是（）

A.AC=DC,AB^DEB.ZACD=4BCE、/B=4E

C.AB=DE,NB=NED.AC=DC,ZA=ZD

5.若/*=2,a"=3,則廣2"的值為()

?i

A.—B.-C.4D.-7

93

6.如圖，乙4。石=15。，點(diǎn)E在NA08的平分線上，ECLOB,垂足為點(diǎn)C,點(diǎn)尸在Q4上,

若ZA初=30。，EC=2,則。F的長為（)

A.2B.4C.6D.8

7.如圖，由4個全等的小長方形與1個小正方形密鋪成正方形圖案，該圖案的面積為64,

小正方形的面積為9,若分別用x,N（x>），）表示小長方形的長和寬，則下列關(guān)系式中不正

B.x-)，=3C.x2+yi=36D.4x)J+9=64

8.如圖，在VABC中，按下列步蛛作圖：（I）分別以點(diǎn)A,C為圓心，大于的長為半

徑畫弧，交AB于點(diǎn)兩弧相交于七尸兩點(diǎn)，EF和BC交干點(diǎn)、0；（2）以點(diǎn)A為圓心，AC長

為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)O；（3）分別以點(diǎn)。，。為圓心，大于gc/）的長為半徑畫弧，兩弧

相交于點(diǎn)M,連接4W,交BC于點(diǎn)、P,且AM和C。交于點(diǎn)N,連接NO并延長至點(diǎn)G,

使OG=NO,連接8G.給出下列結(jié)論，?AD=BDx②BG〃DNABG二DN；③AM垂

直平分6④噂=嵌其中正確結(jié)論的序號是（）

C.@@D.②③④

試卷第2頁，共10頁

二、填空題

9.若Y-（0l）x+16為完全平方式，則k的值為

10.已知式子（f-x+3）（2ar-l）的結(jié)果中不含/項(xiàng)，貝!。的值為.

II.如圖是AB兩片木片放在地面上的情形，若N2=140。，則N3-N1=

=則的度數(shù)為.（用含有。的代數(shù)式表示）

13.若多項(xiàng)式2/-3x4有一個因式是（2x7）,則k的值為.

14.己知川|〃"？|,?23,”3=0,貝。嚴(yán)的值為.

15.如圖，在VA8C中，NA=68。，Z4CB=44°,。為邊6C延長線上一點(diǎn)，所■平分NA8C,

￡為射線8產(chǎn)上一點(diǎn).若直線CE垂直于VA4c的一邊，則N8EC的度數(shù)為.

16.小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，Q4與地面垂直,

兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1m高的8處接住她后用力一推，爸爸在C處接住

她.若媽媽與爸爸到OA的水平距離80、CE分別為L8m和2.2m,NBOC=90。.爸爸在C

處接住小麗時(shí)，小麗距離地面的高度是m.

3

17.已知實(shí)數(shù)x、)'滿足-f+5x+y_3=O,則的最大值為

18.已知50個數(shù)勺，%。從-1，0，1中取值.若4+4+"%)=9,且

(4+1)2+3+1)2++@+1)2=105,則：

(1)4,生，…%)中0的個數(shù)是

(2)(q+1)+(?2+1)H---b(a50+l)的值為

三、解答題

19.計(jì)算:

(l)(x-3y-l)(x+3y+i)；

(2)(-24^/+8x3-4工2)：》(_2-)2.

20.因式分解

(1)4/+8xy+4y2；

(2)4x2(〃?-2)+V(2一，〃)；

⑶4-2/+3CL6

試卷第4頁，共10頁

(4)(X2-X)2+4(X2-A)-12.

21.如圖，在等腰VA4C中，AC=BC,?A2?C.

①請用尺規(guī)作圖作出“45C的角平分線，交AC于點(diǎn)。；

②作出線段的垂直平分線，交BC十點(diǎn)E,交十點(diǎn)產(chǎn)；

③連接EO.

求N8DE的度數(shù).

22.代數(shù)式求值

(I)先化簡，再求值：(2x+3)，丫-4(x+y)(x-y),其中二二'|,.y=T.

(2)已知F+x一1=o,求9+2/一一一24一2025的值.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/是第一、三象限的角平分線.

(I)由圖觀察易知A(O,2)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,0),在圖中分別標(biāo)明以4,3)、

C(-2,4)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)9、C的位置，并寫出它們的坐標(biāo)：B'、C'

歸納與發(fā)現(xiàn)：

(9)結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(4〃)關(guān)于第一、三

象限的角平分線/的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(不必證明)；

運(yùn)用與拓展：

(3)已知兩點(diǎn)。(1,-3)、E(-3,-6),試在直線/上確定一點(diǎn)Q,使點(diǎn)。到。、七兩點(diǎn)的距

離之和最小，并寫出最短電離為.

試卷第6頁，共10頁

24.閱讀與證明

“三等分任意角”是公元前5世紀(jì)古希臘學(xué)者提出并致力于研究的三大作圖難題之一，其核心

要求是僅用圓規(guī)和無刻度直尺，將任意給定的角精確分成三個相等的部分.兩千多年間，無

數(shù)數(shù)學(xué)家為攻克這一難題耗費(fèi)了大量心血，卻始終未能找到通用解法.直到1837年，數(shù)學(xué)

家凡齊爾運(yùn)用代數(shù)方法完成證明，明確了僅靠圓規(guī)和直尺無法三等分仟竟角，這一結(jié)論終于

讓人類走出了這座困擾已久的數(shù)學(xué)迷宮.不過研究過程中也發(fā)現(xiàn)了例外情況：部分特殊度數(shù)

的角（如直角）仍可用尺規(guī)實(shí)現(xiàn)三等分；而對于任意角，若借助專門的特殊工具，同樣能夠

完成三等分操作.以下是三種做法，請你認(rèn)真閱讀并完成證明：

（1）阿基米德創(chuàng)設(shè)的方法是：在圖（2）中，點(diǎn)。為直尺的端點(diǎn)，預(yù)先在直尺上作一個記號點(diǎn)

P，以B為圓心，0P為半徑作半圓，與邊明和分別交于點(diǎn)N和M；移動直尺，使直

尺上的點(diǎn)。在邊8c的反向延長線上移動，點(diǎn)，在圓周上，當(dāng)直尺恰好經(jīng)過點(diǎn)N時(shí)，過點(diǎn)3

畫ON的平行線請你依據(jù)圖（2）,完成證明：=

（2）用“有刻度的勾尺”（勾尺的兩邊互相垂直）的方法是：在圖（3）中，勾尺的直角頂點(diǎn)為

點(diǎn)P,MNLPR于點(diǎn)Q,PQ=QR.畫直線O￡〃4C,并且OE與3C之間的距離等于P。.移

動勾尺到合適位置，使頂點(diǎn)P落在OE上，使勾尺的邊MN經(jīng)過點(diǎn)8,同時(shí)讓點(diǎn)R落在邊8A

上，請你依據(jù)圖（3）,完成證明：=；乙48C.

（3）下面是方圓同學(xué)僅僅利用帶刻度尺將N84C三等分的過程，做法如下:

①將-MC放置在邊長為0.5cm的正方形網(wǎng)格中，邊43與水平方向的網(wǎng)格線平行，并AC經(jīng)

過格點(diǎn)仞，且4W=1.5cm：

②調(diào)整刻度尺的位置，使得刻度尺經(jīng)過點(diǎn)八，且線段瓦（點(diǎn)E、F均在網(wǎng)格線上）的長度

為女m；③畫射線AE,此時(shí)/84C=3/84E.

已知：如圖，EF=2AM/EMF=9O0,AB〃EM.

作線段ME的垂直平分線，交4E于點(diǎn)。，連接。M.請你根據(jù)提示，作出輔助線，并完成

證明.

25.如圖，在等邊：ABC中，點(diǎn)。，E分別在C3,AC的延長線上，且5O=CE,的延

長線交A。于點(diǎn)F.

試卷第8頁，共10頁

A

⑴求Z4莊的度數(shù)：

⑵延長所至點(diǎn)G,使/G=A/，連接CG交AO于點(diǎn)，，依題意補(bǔ)全圖形，猜想線段C"與

G”的數(shù)量關(guān)系，并證明.

26.在平面直角坐標(biāo)系.心)，中，已知正方形A8CO的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,3),8(10,3),

C(10,9),。(4,9),直線/為過M(肛0)且與x軸垂直的直線.

對于平面內(nèi)一點(diǎn)P，直線/，和正方形A4C。，給出如下定義：若點(diǎn)P關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)P

在正方形ABC力的內(nèi)部或邊上，則稱點(diǎn)P為正方形ABCD關(guān)于直線/的“鏡像點(diǎn)”.

⑴若〃?=2,如圖1,在點(diǎn)出0,3),2(1,4),/>(-1,2),?(一1,6)中，點(diǎn)___________是正

方形A8CD關(guān)于直線I的“餞像點(diǎn)”；

(2)若〃=71,點(diǎn)磯x⑼(x<l)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，以EF為邊,向x軸上方作等邊

EFG.若EFG的邊上存在正方形A8CO關(guān)于直線/的“鏡像點(diǎn)“，則的取值范圍為

;(提示：含30。的直角三角形的三邊之比為1：6：2)

⑶若〃?=/,已知邊長為2的正方形”〃K的對角線的交點(diǎn)為7(0,1),且正方形”A/K的邊與

坐標(biāo)軸平行.若正方形，〃K的邊上存在正方形A4CO關(guān)于直線/的“鏡像點(diǎn)”，則,的取值范

圍為;

試卷第10頁，共10頁

《北京市十一學(xué)校2025-2026學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678

答案DBBDABCD

I.D

【分析】本題主要考查了三角形高線的定義，熟練掌握從三角形的?個頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€

作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的線段叫做三角形的高是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形高線的定義，即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)〃作AC的垂線，且垂足在直線AC上，

所以正確畫出AC邊上的高的是D選項(xiàng)，

故選：D.

2.B

【分析】本題考查了因式分解的定義，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)因式分解的定

義，判斷各選項(xiàng)是否將多項(xiàng)式化為整式枳的形式即可.

【詳解】解：選項(xiàng)A：變形結(jié)果不是整式的積，不符合因式分解的定義：

選項(xiàng)B：左邊多項(xiàng)式4F—力，2化為（2x+3），）（2x-3），），是整式積的形式，符合因式分解

的定義；

選項(xiàng)C：右邊是（工-），）,冷，，是和的形式，不符合因式分解的定義；

選項(xiàng)D：左邊是單項(xiàng)式，不是多項(xiàng)式，不符合因式分解的定義.

故選：B.

3.B

【分析】本題考查合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，平方差公式，完全平方公式，

掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，平方差公式，完全平方公式，逐項(xiàng)分析判

斷即可.

【詳解】解：A：Vx2與X3不是同類項(xiàng)，，不能合并，A錯誤，不符合題意；

B：???（-3與，2）2=9/戶又???9的，、（75，）=_州，.?.B正確，符合題意；

C：?:+==-9,但右邊為-9,工C錯誤，不符合題意；

D：:（一工一=（x+y）2=x2+2x）^+y2，但右邊為X1-2xy+y2，,D錯誤，不符合題意；

答案第1頁，共22頁

故選：B.

4.D

【分析】本題考查三角形的全等判定，關(guān)鍵在熟練掌握各判定定理的條件和方法.依據(jù)三角

形全等判定的定理(SSS、SAS、ASA、AAS),即可.

【詳解】解：???C8=CE,AC=DC,AB=DE,

7DEC(SSS),故A不符合題意；

ZACD=ZBCEf

ZACD+ZACE=NBCE+ZACE,

:"DCE=ZACB,

?;NB=NE,CB=CE,

-DEC(ASA),故B不符合題意；

?:AB=DE/B=/E,CB=CE,

8cg二OEC(SAS),故C不符合題意；

根據(jù)AC=/)C,乙4=/。，CB=CE,不能使得△ABC9△阪，故D符合題意；

故選：D.

5.A

【分析】本題考查了同底數(shù)懵的除法逆運(yùn)算，易的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握其運(yùn)算規(guī)則是解

m

題的關(guān)鍵.利用指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，將a'f轉(zhuǎn)化為工,再代入已知值計(jì)算.

crn

【詳解】解：V。，=2,?！?3,

*,?a2"=)=32=9,

?2

??a=.

a2n9

故選：A.

6.B

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)，等角對等邊，三角形外角的

定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)E作￡D_LA。于點(diǎn)。，根據(jù)角平分

線的性質(zhì)定理，得到￡D=EC=2,然后根據(jù)30度所對直角邊等于斜邊的一半，得到

EF=2ED=4,接著由三角形外角的定義與性質(zhì)，得到NEEO=/FOE=15。，最后根據(jù)等

角對等邊即可求得。尸.

答案第2頁，共22頁

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)七作于點(diǎn)

平分EC10B,ED±AO,EC=2,

/.ED=EC=2,

VZAfE=30°,ZEDF=90°,

，EF=2ED=2x2=4,

又???ZA莊=NR)E+NFEO=30°,ZAOE=15°,

???ZFEO=Zro￡=15°,

：?OF=EF=4.

故選：B.

7.C

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景.根據(jù)拼圖可知大正方形的邊長為8,小正方

形的邊長為3,進(jìn)而得出＜+y=8,x-y=3,4^+9=64,即可得出答案.

【詳解】解：■大正方形的面積為64,小正方形的面積為9,

二1+y=&*-y=3,

x—5.5,y—2.5,

x2+y2=36.5,

?,?由4個全等的小長方形與1個小正方形密鋪成正方形圖案，

/.4孫+9=64,

故選：C.

8.D

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖一角平分線和線段的遠(yuǎn)直平分線，全等三角形的判定和性

質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì).

①根據(jù)條件無法得出該項(xiàng)結(jié)論；

②根據(jù)角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)得出條件，證明三角形全等，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等,

證明兩直線平行即可；

答案第3頁，共22頁

③由②中的全等三角形即可得出結(jié)論；

④利用角平分線的性質(zhì)，利用面積比即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可知，”平分Z8AC,EF垂直平分線線段8C,

①根據(jù)條件，無法得出A￡>=8O,

故①錯誤，不符合題意；

②:A尸平分N7MC,

/.4DAN=乙CAN,

又，:AD=AC,AN=AN,

?.?Wg.CW(SAS),

DN=CN；

???￡/垂直平分線線段8C,

；,OB=OC,

又???0G=ON,/BOG=ZCON,

...BOG4CON(SAS),

:,4OBG=4OCN,BG=CN,

:.BG〃DN,且BG=DN；

故②正確，符合題意；

③由②得，DAN9CAN,

：,DN=CN,ZAND=^ANC=90°,

/.AM垂直平分CO,

故③正確，符合題意；

④???AP平分/8AC,

，點(diǎn)〃到AB和AC的距離相等，

?S八8尸_A8_BP

S詆一就一而，

故④正確，符合題意；

綜上，正確選項(xiàng)為②③④，

故選：D.

9.-7或9

【分析】本題考杳完全平方式，利用完全平方式的定義，常數(shù)項(xiàng)為16,可得一次項(xiàng)系數(shù)為±8,

答案第4頁，共22頁

從而建立方程求解.

【詳解】解：因?yàn)閒-伏-1)工+16是完全平方式，且常數(shù)項(xiàng)16是4的平方，所以完全平方

式為(x±4『=X2±8X+16.

比較一次項(xiàng)系數(shù)，得-(A-l)=±8.

當(dāng)-(攵-1)=8時(shí),解得攵=-7：

當(dāng)一伙—1)=—8時(shí)，解得k=9.

故答案為：-7或9.

10.--

2

【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先將式子展開，再根據(jù)結(jié)果中不含Y項(xiàng)的條件，令/項(xiàng)的系數(shù)為零求解即可.

【詳解】解：(x2-x+3)(2fLV-1)=2ar3-x2-lax1+x+6av-3,

=2CLX3-(\+2a)x2+(\+6a)x-3,

?.?式子卜2-1+3乂2"-1)的結(jié)果中不含/項(xiàng)，

A-l-2tz=0,

解得〃=-：.

故答案為

11.40

【分析】本題考查了三角形外角的定義，平角的定義，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.先

求出N4,然后根據(jù)N3=/l+N4即可求解.

【詳解】解：:N2=140。，Z2+Z4=180°,

/.Z4=40°,

/.Z4=Z3-Z1=4O°,

故答案為：40.

答案第5頁，共22頁

12.180°-2a

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以

上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.連接48"過點(diǎn)人作AE_LC。于點(diǎn)E,可證

NBAC=NB'AC=3NB'AB,AB=AB：NACB=NACB'=a,那么人礦八小根據(jù)等腰三角形

三線合一，那么NOAE=NB'AE=gNDA",接著證明NEAC=g/OAB,接著利用三角形

內(nèi)角和表示出N"C即可.

【詳解，解：連接48、過點(diǎn)A作AE_LCO于點(diǎn)E,如圖所示：

點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'恰好落在CQ上，ZACB=a,

ABAC=NB'AC=-NB'AB,AB=AB',ZACB=N4C*=a

2

AB=AD，

:.AD=AB',

QAEA.CD,

4DAE=ZBfAE=-/DAB：

NB'AE+NB'AC=ZEAC=-ZDAB1+-NB'AB=-NDAB,

222

vZAEC=90°,

.?.NEAC+N96=90。，

ZE4C=90°-AB'CA=90°-?,

ZDAC=2EAC=2(90。-a)=180。-加，

故答案為：180。-2。.

13.-1

【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求整式中的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)另一個因式.

由于(21-1)是多項(xiàng)式的一個因式，根據(jù)因式定理，當(dāng)工=；時(shí)，多項(xiàng)式的值為零.

【詳解】解：將x=g代入多項(xiàng)式2.——3x—3得

答案第6頁，共22頁

計(jì)算得

-}-k=0,

解得QT.

故答案為：—1

14.-/0.5

2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，代數(shù)式求值，負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲，掌握一元二次

方程的判別式是解撅關(guān)鍵,將原方程視為關(guān)于機(jī)的一元二次方程，利用判別式非負(fù)的條件

求出〃，再代入方程求出加，最后計(jì)算小的值.

【詳解】解：原方程/一3〃+3=0可視為關(guān)于"的一元二次方程：

A=//2-4X1X(/?2-3/Z+3)=/?2-4/Z2+12/2-12=-3/I2+12A/-12,

T為實(shí)數(shù)，

/.△>0,即一3/『+12〃—1220,

.*.n2-4n+4<0,BP(n-2)2<0,

2=0,

解得〃=2,

將〃=2代入原方程，得〃/+2〃?+4-6+3=0,即m2+2m+1=0?

解得〃/=一1,

故答案為：y.

15.56?；?24?；?2。

【分析】本題考查了角平分線的定義，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì),

正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵.分三種情況討論：①當(dāng)CE_LBC時(shí)，②當(dāng)CE/ABfM時(shí),

答案第7頁，共22頁

③當(dāng)CEJ_AC時(shí)、根據(jù)垂直的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【詳解】解：①如圖1,當(dāng)CE_L8C時(shí)，

4=68。，Z4CB=44°,

圖1

...Z4BC=68°,

?.?BF平分NA8C,

/.ZCBE=-ZABC=34°,

2

ZBEC=90o-34°=56°；

②加圖2,當(dāng)CE/AB于“，交RF千點(diǎn)、E,

.?.ZfiEC=900+34°=124°;

8/平分/A4C,

圖3

/.ZCBE=-ZABC=34°t

2

?.ZACfi=44°,

/.NBEC=180°-34°-44°-90°=12°.

綜上所述，/8EC的度數(shù)為56?；?24?；?2。.

故答案為：56?；?24?；?2。.

答案第8頁，共22頁

16.1.4/-

5

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線之間的距離處處相等，三角形內(nèi)角和

定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)3作4"_L地面于點(diǎn)〃，過點(diǎn)C作CMJJ也

面于點(diǎn)M,可證BH=AD=Im,CM=E4,然后證明OBg.COE,得到BD=OE、OD=CE,

接著算得。石的長度，最后算得AE,即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)8作6〃JJ也面于點(diǎn)〃，過點(diǎn)。作0\4_1_地面于點(diǎn)如圖所示：

QBD〃AH、CE〃AM、4BHA=ZDAH=NCMA=90°,

/.BH=AD=\m.CM=EA,

QNBOC=ZBDO=Z.CEO=90°,

/.ZBOD+ZLOBD=ZBOD+ZCOE=90°,

:"OBD=NCOE,

OB=OC,

.NOBD^JCOE,

BD=OE,OD=CE,

QBD=l.8m,CE=2.2m,

OE=1.8m,OD=2.2m,

/.DE=OD-OE=2.2-1.8=0.4m,

AD=Im，

:.CM=EA=ED+AD=0A+\=\.4m,

故此時(shí)小麗距離地面的高度是1.4m；

故答案為：1.4.

17.-4

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，解題關(guān)鍵是通過方程變形將用工表示，代入

x-2y后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

由條件解出y關(guān)于X的表達(dá)式，代入目標(biāo)函數(shù)X-2），，得到關(guān)于X的二次函數(shù)，由于二次

項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，函數(shù)有最大值，通過求頂點(diǎn)坐標(biāo)得到最大值.

答案第9頁，共22頁

【詳解】解：由-/+聲+k3=。，整理得），=/一六+3.

2Z

代入x-2），，得

工一212一1，x+3=x-2x1+3x-6=-2x2+4x-6,

b4

這是一個二次函數(shù)，開口向下，最大值在頂點(diǎn)處.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)"”二-五=一訐1=1，

將3=1代入—2x2+4x-6得-2N1）~+4x（l）-6=-2+4-6=T.

故答案為T.

18.13197

【分析】本題考查了完全平方公式，有理數(shù)的乘方，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)完全平方公式，得到〃；+d+……+4+28+生+……+&。）+50=105,繼而推導(dǎo)出

/+W+……+4=105-50-2x9=37,得到4,生，%中1或一1的個數(shù)是37個，則

4嗎，〃中。的個數(shù)是50-37=13,即可解答;

（2）先求出1比一1多9個，得至U—1的個數(shù)為（37—9）+2=14（個），1的個數(shù)為37—14=23

（個）.則（4+1丫+（%+1丫+??+（%0+1）'=n13+03乂14+2123,即可解答.

【詳解】解：（1）V（?,+1）2+（^+1）2++（中+1）2

=〃；+d+......+4；）+2（4+生+....+^）+50=105

又?.?4+%++須=9,

,a；+a；+......+或=105-50-2x9=37；

???50個數(shù)4，4,須從一1，0，1中取值，

&中1或-1的人數(shù)是37個，

???01M2,…%中。的個數(shù)是50-的=13,

故答案為：13.

（2）???％+/+-+，=9，1或一1的個數(shù)是37個，。的個數(shù)是13個，

工1比一1多9個，

答案第10頁，共22頁

即—1的個數(shù)為：(37-9)+2=14(個)，1的個數(shù)為37-14=23(個).

，(4+1)+(%+1)++(%)+1)

=13X13+03X14+23X23

=197.

故答案為：197.

19.(l)x2-9/-6y-l

(2)-6x+2y_]

【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，積的乘方，掌握知

識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)先計(jì)算積的乘方，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：(x-3y-l)(x+3y+l)

=[x-(3>'+l)][x+(3y+li]

=x2-(3y+I)2

=x2_(9y2+6,V+1)

=x2-9v2-6y-l.

(2)(-24x3y2+8x2/-4x2/)^(-2xy)2

=(-24/y2+8/),3一4丫2,2)+4心,2

=-6x+2y-\.

20.(l)4(x+j)2

(2)(m-2)(2x+y)(2x-y)

(3)(a-2)(/+3)

(4)(X2-X+6)(X-2)(X+1)

【分析】本題考查了因式分解等知識，因式分解的一般步驟是“一提二套三檢查”，注意分解

要徹底.

答案第11頁，共22頁

(1)先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)先提公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可；

(3)先分組進(jìn)行提公因式，再進(jìn)行提公因式即可：

(4)根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：4x2+8.r)'+4>'2

=4(x2+2xy+y2)

=4(x+>')2;

(2)4xi(m-2)+y2(2-m)

4x1(w-2)-y2(tn-2)

=(/?-2)(4x2-y2)

=(m-2)(2x+y)(2x-y)-

(3)-2a2+3a-6

=a2(a-2)+3(a-2)

=(a-2)(a2+3)；

(4)(x2-x)2+4(x2-x)-l2

=(x2-x+6)(x2-.r-2)

=(f-x+6)(x-2)(x+l).

21.36°

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線、線段的垂直平分線及其性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知以點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

①以點(diǎn)3為圓心畫弧，分別交A5和/3c于點(diǎn)/、N,再分別以點(diǎn)加、N為圓心，大于;MN

畫弧，交于點(diǎn)K,連接8K交AC于點(diǎn)。，BD為所求;②分別以8、。為圓心畫弧交于G、

”兩點(diǎn)，連接GH交BC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,所為所求；

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知NA=NA3C,由三角形內(nèi)角和求得-C的度數(shù)，然后根據(jù)角平

分線和已知條件可推出ND8C=/C,接著由線段的垂直平分線的性質(zhì)可知所=￡D,利用

答案第12頁，共22頁

等邊對等角可推出=即可解答.

【詳解】解：如圖所示，BD、"'為所求,

/.ZA=ZABC=2ZC,

ZA+ZABC+NC=180。，

:.2ZC+2ZC+NC=180°,

???ZC=36°,

*/8。是一人的角平分線，

???ZABC=2ZDBC,

，/DBC=/C,

又丁所垂直平分8。，

，EB=ED,

力BC=/BDE,

：./BDE=/C=3&.

22.（1）12.^4-13/,5

（2）-2026

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算與化簡求值，完全平方公式，平方差公式，提公因式,

代數(shù)式求值，掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

<1）根據(jù)完全平方公式與平方差公式計(jì)算括號內(nèi)的，最后進(jìn)行整式的加減，即可求解：

（2）根據(jù)已知條件可得V+x=I,然后將代數(shù)式化簡，整體代入，即可求解.

【詳解】（I）解：（2x+3y『—4（x+），）（x—），）

=4x2+12xy+9y2-4（x2-y2）

=4,v2+12xy+9y2-4x2+4y2

答案第13頁，共22頁

=\2xy+\3y2,

22

當(dāng)X=Q,），=—1時(shí)，原式二12XQX（-1）+13X（-1）2=5.

（2）解：??*+%T=0,

?**x2+x=\?

?」+2/72-2*-2025

=/+F+F+x2-lx2-lx-2025

=x2（x2+A）+x（x2+x）-2（x2+A）-2025,

=X2+X-2-2025

=1-2027

=-2026.

23.（I）圖見解析，）（3.4）、C（4,2）；（2）（A。）；（3）7

【分析】本題考查了坐標(biāo)系中的軸對稱變換，點(diǎn)P（。力）關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的

點(diǎn)的坐標(biāo)，軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的定義，作出8、C兩點(diǎn)關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)8'、C,寫出坐標(biāo)

即可.

（2）通過觀察即可得出對稱結(jié)論.

（3）作點(diǎn)。關(guān)于/的對稱點(diǎn)。連接交/于點(diǎn)Q,此時(shí)QE+Q。的值最小，然后

結(jié)合坐標(biāo)寫出答案即可.

答案第14頁，共22頁

故答案為:*(3,4)、C(4,-2)；

(2)觀察可發(fā)現(xiàn)，坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(。力)關(guān)于第一、三象限的角平分線/的對稱點(diǎn)9的

坐標(biāo)為(力,。)；

故答案為：伍M);

(3)作點(diǎn)。關(guān)于/的對稱點(diǎn)力'(-3,1),連接。E交/于點(diǎn)。,

f

:.DQ+QE=iyQ+QE=DEt此時(shí)點(diǎn)。到。、E兩點(diǎn)的距離之和最小，最小值為。石,

7E(-3,-6),

//￡=1-(-6)=7,

???最短距離為：7.

故答案為：7.

24.(1)證明見解析

⑵證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)由題意可證，OP=BP=BN=BM,通過等邊對等角，可證

乙POB=NPBO、乙BPN=4BNP,然后根據(jù)平行，可證NNBE=/PNB,/EBC=NPOB,接

著利用三角形的外角，得到NBPN=2NPOB,從而得至iJZA8C=3NPO8,得證；

(2)先證明..BQRWBQP,得至然后證明族是/Q8”的角平分線，得

到=最后得證；

答案第15頁，共22頁

（3）作線段ME的垂直平分線，交AE于點(diǎn)。，連接。M,接著證明DM=DE=DF=；EF,

從而有AM=DM=DE,然后利用等邊對等角，以及外角的性質(zhì)，可得

/MAD=/MDA,NDME=NE,ZMDA=2ZE,最后利用平行線的性質(zhì)，即可得證.

【詳解】（1）證明：由題意可證，OP=BP=BN=BM：

...ZPOB=NPBO,4BPN=4BNP

BE//ON,

：.NNBE=NPNB、NEBC=4P0B,

Q/BPN=4POB+NPB()=2/POB,

NNBE=NPNB=NBPN=2NPOB,

ZABC=/NBE+ZEBC=3NPOB,

NEBC=L/ABC；

3

(2)證明：QBQLRP,

/BQR=NBQP=900,

?jRQ=PQ,BQ=BQ,

:NBQRmBQP,

,NRBQ=NPBQ,

圖（3）

.?.80是NQB"的角平分線,

/.NPBQ=NPBH,

/RBQ=4PBQ=/PBH,

NRBQ=；/ABC、

（3）證明：作ME的垂直平分線，交4石于點(diǎn)。，連接。M,如圖所示:

答案第16頁，共22頁

:.4E=4DME,

ZEWF=90°,

:"DME+4FMD=ZE+ZMFE=90°,

"FMD=ZMFE,

：.DM=DF,

:.DM=DE=DF=-EF

2

\-EF=2AM,

..AM=DM=DE,

:.ZMAE=ZMDA,

/MDA=4DME+ZE=2ZE,

.?.NMAD=2NE,

ABEM,

:.ZE=^EAB，

N8AC=ZM4D+ZEAB=2ZE+ZEAB=3N8AE.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半，三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握以

上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

25.(l)ZAFE=60°

Q)GH=HC,證明見解析

【分析】(1)由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到A8=BC,

ZACB=ZABC=O)°,利用等角的補(bǔ)角相等得到夾角相等，利用S4S得到三角形A8O與三

角形BCE全等,利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到NO=NE,利用外角性質(zhì)及等量代換即

可得證；

(2)在莊上取=連接AM.MC,證明...E4總...MAC,進(jìn)而證明切〃MC,根

據(jù)平行線分線段成比例即可得出結(jié)論.

答案第17頁，共22頁

【詳解】(1)證明：.3c為等邊三角形,

；.AB=BC,ZACB=ZABC=60°,

/.ZABD=/BCE=T20。,

在_48。和.8CE中，

AB=BC

<NABD=ZBCE,

BD=CE

ABD^LBCE(SAS),

ND=NE,

則ZAFE=ZD+/DBF=ZE+/CBE=ZACB=60°.

(2)證明：補(bǔ)全圖形，如圖所示，在FE上取=連接AM.MC,

AF=FM

Z^AFM是等邊三角形，

AZFAM=ZAMF=6O°tAF=AM,

，ZFAB=ZMAC,

又＜AB=AC,

8AWM4c(SAS),

???ZAMC=ZA66=6(r，

，ZMM=ZAMC=60°,

/.FH//MC,

.GHGF，

:?GH=HC.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與

答案第18頁，共22頁

判定，平行線分線段成比例，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

26.⑴6,P*

（2）-8-3X/3<X<-2-V3

（3）2</<y

【分析】本題考查了新定義，坐標(biāo)與圖形——軸對稱，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，等邊三角形的性

質(zhì)，