2026年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專(zhuān)題練習(xí)：全等三角形

一、單選題

I.如圖，^ABC^/\ADE,AC的延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)點(diǎn)E,ZAED=105°,ZC4D=10°,4=50。,

則4>￡五=()

2.如圖，AD是中N7MC的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)E,S^ABC=8,DE=2,AB-5,

則AC的長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.5D.6

3.如圖，在ABC中，AB=AC,直線(xiàn)環(huán)是48的垂直平分線(xiàn)，D是8C的中點(diǎn)，M是EF

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ABC的面積為12,BC=4,則8M+OM的最小值為（）

4.如圖，AB=BC,BD=BE,添加下列條件，仍不能判定.。8。的是（）

DE

A.AE=CDB.ZABE=ZDBC

C.ZABD=/CBED.Z￡）=ZE

5.如圖，八。是VABC的角平分線(xiàn)，DEJ.AC,若DE=2,5A4SC=12,AC=7,則八8的

長(zhǎng)是（）

BDC

A.9B.8C.6D.5

6.如圖，8。平分/ABC,交邊AC于點(diǎn)Q,AE1BD,垂足為點(diǎn)E,AF//BCt

Z4ra=90°.若A8=5,BF=4,則.A版的面積為（）

A.4B.5C.6D.10

7.如圖，直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸，P是直線(xiàn)MN上的點(diǎn)，連接A8,AP,8P,下

列判斷卒肯誤的是（）

A.MN垂直平分線(xiàn)段A3B.AM=BM

C.ZMAP=ZMBPD.AP=BN

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

8.如圖，V48C中BC邊上的高為4,aDEF中DE邊上的高為兒,已知AC=￡F.下列結(jié)

論正確的是（）

A.h}>h2B.h]<h2C.〃=%D.無(wú)法確定

9.如圖，l\ABC94ADE,/04七=60。連接0若/8。。=135。，則NCDE的度數(shù)為（）

A.70°B.75°C.78°D.80°

二、填空題

10.如圖，AABC當(dāng)ADEF,Z4=53°,ZACB=30°,則NE=°.

11.如圖，AO是VA8c的角平分線(xiàn)，DEJ.AB,垂足為E,5AAfiC=36,DE=4,AB=W,

則AC長(zhǎng)為一.

12.如圖，AABCmADCB,ZDBC=25°,則NAO8='

AD

B

13.如圖，ZI=Z2,添加一個(gè)條件能證得ZM8cg△A8O,這個(gè)條件可以是(寫(xiě)出

一個(gè)即可).

C

14.如圖，在VA8C中，AB=AC=\2cm,AC的垂直平分線(xiàn)分別交48,AC十點(diǎn)D,E,

且的周長(zhǎng)為22cm,求底邊8C的長(zhǎng)度為cm.

三、解答題

15.如圖，NABC的外角4cBM、/BCN的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作。E_LAM,_L4V,

垂足分別為E、F.

(1)若NA=60。，Z4BC=50°,求/8DC的度數(shù);

(2)連接A。，證明：AO平分/ZMC.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

16.在VABC中，P、尸分別是邊43、8C邊上的點(diǎn)，作POJ.AC于點(diǎn)。，PE上BC于點(diǎn)E,

連接2產(chǎn)，若PD=PE,PF=FC.

(1)求證：CE=CD；

(2)若AC=8C,求證/為BC邊上中點(diǎn).

17.V4BC中，ZB=30°,ZC=70°,A。是VABC的侑平分線(xiàn)，?！辏篲/八4于點(diǎn)E.

⑴求N7?D4的度數(shù)；

⑵AB=12,AC=\O,DE=5,求V/1BC的面積.

18.已知：如圖，點(diǎn)P是等邊VA8C內(nèi)一點(diǎn)，NAP4=U2。，如果把線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)〃落在點(diǎn)￡＞處，分別連接CO、PD.

⑴求證：BP=CD；

(2)求/尸0c的度數(shù).

19.如圖，在VA4c中，CO平分/AC6,ZADC=3ZACD,點(diǎn)E在3c邊上，OE_LDC.

備用圖

(I)判斷VAKC的形狀并證明；

(2)若4)=/)￡,求Z/MC的度數(shù);

(3)若8力=入。+8,求EC-4C的值.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案

1.A

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.先根據(jù)△ABCgZXAQE,得NACB=105。，4=50°,則

ZGAB=180°-ZB-ZACB=25°,ZEAB=ZEAD+ZCAD+^CAB=(^P,則ZA￡8=70。，再把

數(shù)值優(yōu)入=進(jìn)行計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：*/△ABC^AADE,

/.ZACB=ZA￡D=105°,Z^=ZD=50°,

在VA5c中，ZACZ?=105°,4=50。，

???ZC4B=1800-ZB-ZACB=25°,

???AABC^AADE,

?EAD1CAB25?,

/.Z.EAB=ZEAD+ZCAD+ZC4B=60°,

在一AEB中，Z4EB=180°-ZEAB-=70°,

ZDEF=ZA￡D-=105°-70°=35°,

故選：A.

2.A

【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是正確的得到

DF=DE=2,從而進(jìn)行解題.作。尸」AC交AC于點(diǎn)凡根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出

DE=DF=2,根據(jù)SA〃=SW+S3,得出;x2x（4C+5）=8,求出結(jié)果即可.

【詳解】解：如圖，作/AC交AC于點(diǎn)F,

???從。平分一班。，DE1AB,DF1AC,

/.DE=DF=2,

???S樹(shù)=S八"+SADBC=14C/?+1ABDE=；。吹A(chǔ)C+AB)=8,

JLA

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

.,.-x2x（AC+5）=8,

???AC=3,

故選：A.

3.C

【分析】本題主要考查了他對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)——最短路線(xiàn)問(wèn)題，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形

三邊之間的關(guān)系，三線(xiàn)合一，三角形的面枳公式，線(xiàn)段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，連接AD,由三線(xiàn)

合一及線(xiàn)段中點(diǎn)的定義可得人AC,BD=；BC=2,由三角形的面積公式可得

S^ABC=^CAD=^X4XAD=12,由此即可求出AD的長(zhǎng)，由“直線(xiàn)E尸是A3的垂直平分

線(xiàn)”可得點(diǎn)5關(guān)于直線(xiàn)環(huán)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A,由“軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)——最短路線(xiàn)問(wèn)題”可知，AD

的長(zhǎng)即為8W+DW的最小值即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AQ,

.'.S

.AbRLC=-2BCAD=-2X4XAD=\2,

/.AD=6,

???直線(xiàn)E/是A8的垂直平分線(xiàn)，

???點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A,

AD的長(zhǎng)為BM+DM的最小值，

:.BM+DM的最小值為6；

故選：C.

4.D

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理逐一判斷即可,

熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、在AABE和△O3C中，

答案笫2頁(yè)，共15頁(yè)

AB=BC

BD=BE,

AE=CD

:.AB恒工DBC(SSS),不符合題意：

B、在一ABE和△OBC中，

AB=BC

</ABE=ZDBC,

BE=BD

???48岸AOBC(SAS),不符合題意；

C、VZABD=ZCBE,

???ZABD+ZDBE=ZCBE+/DBE,

/.ZABE=ZDBC,

在，ABE和△OBC中，

AB=BC

<NABE=NDBC,

AE=CD

??..48岸A。8c(SAS),不符合題意；

D、添加ND=NE1不能證明符合題意；

故選：D.

5.D

【分析】本題主要考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，三角形的高；根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理得到

DF=DE=2,再根據(jù)8c=12進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作OF_LA8于點(diǎn)凡

BDC

丁AO是VA8c的角平分線(xiàn)，DEJ.AC,DE=2

/.DF=DE=2,

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

ABC12,AC=7,

：=-XACDE+-KABDF=-X7X2+-XABX2=12,

,SzAs/Aio”c2222

/.AI3=5,

故選：D.

6.B

【分析】本題考查了平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).延長(zhǎng)AE交于點(diǎn)”，作

AGJ.BC于點(diǎn)G,證明四邊形人尸水?是矩形，得到AG=6尸=4,再利用ASA證明

△AE噲AHEB,得到3〃=A4=5,SVAEB=SVHEB,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)”，作4GJ.8C于點(diǎn)G,如圖，

VAF//BC,ZAFB=9(r,

JZFBG=90°,

*/AG_L4C,

AG=BF=4,

平分/ABC,

ZABE=/HBE,

?；AELBD,

JZAEB=/HEB=90。,

;BE=BE,

；..AEB竺HEB(ASA),

??BH=AB—5,SVAEB=S、HEB，

SAAH8=；XB〃XAG=10,

S^AEB=Sj/E8=2S△八〃B=5>

故選：B.

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

7.D

【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，根據(jù)直線(xiàn)MN是四邊形/W8N的對(duì)稱(chēng)軸，得到點(diǎn)A與

點(diǎn)3對(duì)應(yīng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：??,直線(xiàn)A/N是四邊形AM8N的對(duì)稱(chēng)軸，P是直線(xiàn)MN上的點(diǎn)，

???點(diǎn)4與點(diǎn)8對(duì)應(yīng)，

：.MA=MB,PA=PB、NA=NB,NMAB=NMBA,APAB=NPBA,

.??/M4尸=/MBP,MN垂直平分線(xiàn)段AB,

A,B,C正確，D錯(cuò)誤，

故選：D.

8.C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)垂足分別為“，G,根據(jù)三角形高定

義得NA〃C=NR7E=9O。，根據(jù)補(bǔ)角定義得N九EG=60。=NC,結(jié)合AC=莊，得

ACH^FEG(AAS),即得.

【詳解】解：如圖，設(shè)垂足分別為“，G,則44〃C=NAGE=90。，

ZFED=120°,

/.Z.FEG=180-ZFED=60°,

???ZC=60°,

，4C=/FEG,

,/AC=FE,

：.ACH^FEG(AAS),

???AH=FG,

/.fi}=h2,

故選：c

9.B

【分析】本題重點(diǎn)考查了三角形的外角的定義及性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外

角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，全等二角形對(duì)應(yīng)角相等，熟練掌握具性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

利用三角形外角的性質(zhì)可以得到N8C。是NAOE,ZEAD,ZCAD,NCQA四個(gè)角的和,

另外根據(jù)已知條件△ABC經(jīng)△△￡>￡,可以得到NC48=NE4O,NB=ZADE,進(jìn)行等量替

換，可以得到/8CO為NCOE、NC4E之和，代入已知數(shù)，即可得到答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)AC至F,如下圖所示，

由圖可知/8C戶(hù)為VA8C的外角，/FCD為ACD的外角，

ANBCF=NB+NCAB,

/.ZFCD=ZC4D+ZCDA,

J/BCD=ZBCF+ZFCD=NA+ZCAB+ZCAD+ZCDA,

又YAABC也△〃)￡,

AZCAB=ZEAD,ZB=ZADE,

JZBCD=ZADE+ZEAD+ZCAD+ZCDA,

AZBCD=ZADE+ZCDA+ZEAD+ZC4D=ZCDE+ZCAE,

又???NBCO=135。，ZC4E=60°,

???ZCDE=135。-60。=75°,

故選：B.

10.97

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是

解答的關(guān)鍵.

先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得N3=97。，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等求解即可.

【詳解】解：???NA=53。，Z4CT=30°,

???NB=180°-ZA-ZACB=97°,

V△ABC94DEF,

:?/E=/B=97。.

故答案為：97.

11.8

答案第6頁(yè),共15頁(yè)

【分析】本題考查了角平分線(xiàn)性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出O”長(zhǎng)和三

角形AOC的面積.根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)求出。尸，根據(jù)三角形面積公式求出的面積，

求出AM。。面積，即可求出答案.

【詳解】解：過(guò)。作。blAC于/，如圖：

AD是VA8C的角平分線(xiàn),DE1AB,

,.DE=DF=4,

57,nft=-^xDE=-xl0x4=20,

;A8C的面積為36,

.?.JQC的面積為36-20=16,

:.-ACxDF=\6,

2

/.1/1CX4=16,

2

AC=8,

故答案為：8

12.50

【分析】此題考查全等三米形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得NAC8=NO8C=25。，再利用三角形外角性質(zhì)求出ZAO8的度數(shù)

即可.

【詳解】解：???AABCdDCB,

???ZACB=NDBC=25。,

???ZAOB=NDBC+ZACB=50°,

故答案為：50.

13.AC=AD

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定.根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：*.*Zl=Z2,=添加AC=A￡),

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

Z.八33c八3￡)(SAS)；

*.*Z1=Z2,AB=AB,添加NC=N。，

???zMBC^AABD(AAS)：

*/Z1=Z2,AB=AB,添加NC7M=/OAA,

???△A8CdA8Q(ASA)；

故答案為：AC=AD(答案不唯一).

14.10

【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.由OE垂直平分AC,可得4D=OC,則可求出,87)。的周長(zhǎng)為8C+A8,把A8的值代

入即可求出BC.

【詳解】解：?.小垂直平分AC,

AD=DC,

.△BCD的周長(zhǎng)為BC+4D+DC=BC+BD+AD=BC+AB=22cm,

AB=AC=12cm,

:.BC+\2=22,

解得8c=10cm,

二底邊8c的長(zhǎng)為10cm.

故答案為：10.

15.(1)60°

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理.，角平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，掌握角平分線(xiàn)的判定和性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形的外角可以得到NC6M和/6CN的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到

/CBM,N8CN,然后計(jì)算解題；

(2)過(guò)D作DHJ.BC于H,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到。尸=。匠，再根據(jù)角平分線(xiàn)的判定即

可得到結(jié)論.

【詳解】G)解：在VA8C中，ZA=60°,ZABC=50°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ZACB=180°-Z4-Z4^C=180o-60o-50o=70°,

由二角形的外角性質(zhì)，

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

4CBM是NABC的外角，則/CBM=1800-ZABC=180°-50°=130°,

/BCN是VABC的外角，則/BCN=180。-ZACB=180°-70°=110°,

?:8。平分4cBM,CO平分Z.BCN,

1.ZCBD=L/CBM=-X130°=65°,/BCD=-￡BCN=1x1IO0=55°,

2222

在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有：

ABDC=180°-4CBD-乙BCD=180°-65°-55°=60°

故/8DC的度數(shù)為60。；

（2）過(guò)點(diǎn)。作?！╛1_次：于"，

QBD平分NCBM,DE1AM,DH工BC,

:.DE=DHi

、：CD平分/BCN,DF上AN,DH1BC

；.DF=DH,

:.DF=DE,

又DEI/AM,DF1AN,

根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上），

可得點(diǎn)。在Z84C的平分線(xiàn)上，即AD平分ZB\C.

16.（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）先證明△PCD四△PCE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；

（2）先利用三線(xiàn)合一得出再證明ZFP4=/mP,然后等角對(duì)等邊得出「尸=出"

從而可得BF=FC,再得出結(jié)論即可.

【詳解】（1）解：???PD_AC于點(diǎn)D,PE1BC于點(diǎn)、E,PD=PE,

，CP平分NABC,/PDC=/PEC=90°,

工ZDCP=/ECP,

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

?:CP=CP,

，△PCD92CE,

：.CD=CE；

(2)VAC=BC,CP平分NA3C,

：.CP±AB,

ANCPB=90°,NPCB+ZB=90°,

'：PF=FC,

???NFPC=NFCP,

，4FPB=/FBP,

/.PF=BF,

:?BF=FC,

即F為BC邊上中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合(ASA或者AAS),角平分線(xiàn)的判定

定理，等邊對(duì)等角，三線(xiàn)合一，根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)

點(diǎn)并能運(yùn)用求解.

17.(1)50°

(2)55

【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出』8AC,根據(jù)三角形角平分線(xiàn)的定義得

ZBAD=^ZBAC,最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得答案；

(2)如圖，過(guò)。作。/1AC于點(diǎn)/，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)得=￡>E=5,再根據(jù)三角形的

面積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：VVABC+,ZB=30°,ZC=70°,

???NBAC=180o-Zfi-ZC=180°-30°-70°=80°,

???A。是VABC的角平分線(xiàn)，

???ABAD=-ZBAC=-x80°=40°,

22

DE.LAB,

???ZDE4=90°,

???/EDA=90。-/BAD=90°-4()。=50°,

即/的的度數(shù)為50。：

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

(2)如圖，過(guò)。作。F1AC于點(diǎn)”,

rA。是VA4c的角平分線(xiàn)，DEJ.AB,DE=5,

/.DF=DE=5,

又???A8=12,AC=10,

,??」qABC-—"qAHI)丁aJq.ACD

=-xABxDE+-xACxDF

22

=-xl2x5+-xlOx5

22

=55,

???VAAC的面積55.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，三角形的

面積公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握侑平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

18.(1)詳見(jiàn)解析

⑵NPDC=52。

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握

相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得A8=AC,/BAC=60°，因?yàn)樾D(zhuǎn)，得ZE4D=60°,AP=AD,

則=證明即可作答；

(2)先證明AADP是等邊三角形，ZADP=60。,由(1)得ADAC^APAB,因?yàn)閆APB=112°,

故4￡>C=U2C,則NF￡>C=112C-60c=52°.

【詳解】(1)證明：???VA8C是等邊三角形，

AB=4C,NBAC=60。，

???把線(xiàn)段AP繞點(diǎn)八逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P落在點(diǎn)力處，

AZE4D=60°,AP=AD,

則ZPAD-ZPAC=NB4C-ZE4C,

二^DAC=^1JAB,

答案第II頁(yè)，共15頁(yè)

，△DACdPAB；

，BP=CD,

(2)解：???把線(xiàn)段”繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)尸落在點(diǎn)。處，

AZ^4D=60°,AP=AD,

???△"“，是等邊三角形，

，ZADP=60°,

由(1)得△D4C四△PAB,

VZAPB=112°,

ZADC=ZAPB=\i20,

則/加。=112。-60。=52。.

19.(1)VA3c是等腰三角形，證明見(jiàn)解析

⑵108。

(3)8

【分析】本題考查了角平分線(xiàn)定義、外角定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的

判定和性質(zhì).

(1)通過(guò)角平分線(xiàn)定義、外角定義，得出NABC=NAC8,可得是等腰三角形：

(2)在BC上取b=AC,連接OE,先證"C度JCD(SAS),則AD=FD,

ZADC=ZFDC.通過(guò)角度關(guān)系得出N/1⑦=18。，可求/8AC的度數(shù)；

(3)在8c上取C/=AC,連接。尸，在AB上取。"二。尸，連接由

△A尸CZ)(SAS),可證ADEHGADEF(SAS),EH=EF,由角得BH=EH,可得出

EC-AC的值.

【詳解】(1)解：VA8C是等腰三角形，

證明：?;?！?平分/AC3,

:.ZACD=ZBCD.

?/Z4DC=ZABC+ZBCD,ZADC=3ZACD,

/.ZABC=2/BCD=Z