北師大實驗中學2026屆高三年級十月月考

高二數學

2025年10月

本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題，共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

“小人A=N*|lB={x\x>2\.4np-/

1.已知集合IIJ,11'，r則lA"一（）

A.{3}B.{2,3}C.（2,3]D.[2,+00）

【答案】A

【解析】

【分析】先用列舉法表示集合A,再求兩個集合的交集.

【詳解】因為4={xeN*|lvx43}={2,3},所以Ac8={3}.

故選:A

2.設復數z滿足（2—i）z=2+i,則z在復平面內所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數的乘除法運算法則化簡，根據幾何意義確定z在復平面內對應的點所在象限.

2+i_(2+i)(2+i)_3+4/_34.

【詳解】2^7-(2-Z)(2+Z)-5-551

（34）

則z在復平面內所對應的點的坐標為,位于第一象限.

故選：A.

3.命題“三￥￡1</一21一2>0”的否定是（）

A.3xeR,x2-2x-2<0B.BXGR,^-2X-2>0

C.VAGR.X2-2X-2<0D.Vx^R,x2-2x-2>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.

【詳解】根據全稱命題與存在性命題的關系，可得：命題，勺不￡l％2一2工-2>0”的否定是

“Vx￡R"2一2_￥-2<0”.

故選：C.

4.在平面直角坐標系中，己知兩點A(cos80。，sin80。)，B(cos20°,sin20°),則|我|的值是()

A.三B.—C.且D.1

222

【答案】D

【解析】

【分析】由坐標知A=(cos20"-cos80",sin20。-sin80，利用模長公式求得模長，結合三角函數兩

角差的余弦公式求得結果.

【詳解】由A,8坐標知，AB=(cos200-cos80°,sin20°-sin800)?

則AB=7(cos200-cos800)2+(sin20°-sin800)2

=Vcos220°+cos2800-2cos20°cos800+sin220°+sin280°-2sin200sin80°

=72-2COS(20°-80°)=1

故選：D

5.函數=1sin(/?乂)+cos(尸乙)的最大值為

536

62

A.-B.1D.

55

【答案】A

【解析】

71

【詳解】由誘導公式可得cosx+—

<6J3J

1.

則〃元)=-sin

53；I3)5I3)

函數的最大值為去

所以選A.

【名師點睛】三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數的性質相結合，通過變換把函數

化為)，二人4。(⑺+⑺+鳥的形式，再借助三角函數的圖像班究性質，解題時注意觀察角、函數名、

結構等特征.

6.已知向量〃=(3,4),b=(1,0),c，若a,c=b,c,則，=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析［根據夾角公式，數量積的坐標運算公式求解.

【詳解】由題知，c=a+tb=(3+/,4),

a-cb-c

根據夾角公式，Fha,d=〃,c可得

acb-c(3,4).(3+r,4)(1,0).(3+/,4)

約分可得,----------------

TTW'則

9+3/4-16

整理可得,=3+1,

解得1=5.

故選：C

7.已知直線如一y+2m+1=0與圓C：(x+l)2+()，—2『二4相交于M,N兩點，則"MMC的最小值

為()

A.y/2D.2V2

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出圓心坐標與半徑，再求出直線過定點即可求出設的中點為

D，則CO_LMN,根據數量積的幾何意義得到MN-MC=?MN1即可得解..

【詳解】圓。：。+1尸+()，-2)2=4的圓心為。(一1,2),半徑〃二2,

fx+2=()x=-2

直線/nr-y+2m+1=0,即y)=0,令,爐產0,解得

y=l

所以直線如一y+2m+1=0恒過點P（-Zl）,又|PC|=J（_2+1『+（1—2）2=>/2,

所以當CP/MN時，弦MN的長度取得最小值，即=2，2^/^『=2夜,

設.MN中點為。，則CDJ.MV,

(2=4

MN倒⑹

8.已知無窮等比數列｛4｝的前〃項和為S“，則“〃得$>4”是“S”既無最大值也無最小值”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】設出公比為鄉(xiāng)（。工。），利用等比數列基本量的運算得：/%>婚的充要條件為4>1或

q〈-l,分類討論得S〃既無最大值也無最小值時，q<-\,則有最后根據充分條件、必要條

件的概念判斷即可.

【詳解】設公比為夕（9。0），由的5得

因為《工0，9工0,所以>0,g2>0,所以所以“>1或4<一1，

即的充要條件為4>1或4<一1,

n｝

當〃i>0,“>]時，an=a｛q>0,此時見+]=a聞"一％夕"?=0聞〃?（4一1）>0,

故〃〃+1>4>0,所以｛〃“｝為單調遞增數列，此時S”有最小值無最大值，

H1

當《<0.夕>1時.a?=axq<0,此時4rH一4=qq"=aq"T（q-l）<0,

故q川<見<°，所以｛〃“｝為單調遞減數列，此時s“有最大值無最小值,

nx

當0〈一1時，an=axq-,｛q｝為擺動數列，

且鼠H。卜同時-M田=同“飛小1)>。，

故|禽」>|《」，所以隨著〃的增大‘趨向于正無窮或負無窮,

故｛為｝無最大值，也無最小值，此時S”無最大值，無最小值，

所以由''％例>4”推不出“S”既無最大值也無最小值”；

反之，當夕=1時，｛q｝為常數列，此時S“無最大值或無最小值：

當夕=—1時，｛%｝有最大值，也有最小值，此時｛S,J有最大值和最小值；

當“>1時，由上面分析若4>0,則S”有最小值無最大值，

若為<0,則S”有最大值無最小值：

當0<”1時，若4>(),則5”有最小值無最大值，

若％<0,則S”有最大值無最小值；

當一IvqvO時，若4>0,則S=4(j)>()，

〃"q

S同一S”=4.i=/qn,當〃為奇數時，S〃+|VS“，當〃為偶數時，S用>3,

且隨著〃的增大，s-)趨向于盧一,

"\-q"q

其中詈S2=-^-al(l+q)=^->Of

故<S］且魯一>S2,

\-ql-q

故S〃有最大值5,也有最小值S>

若qv。，則S)v0,

S^-Sn=an+l=c￥/\當〃為奇數時，S〃+I>S〃，當〃為偶數時，Se<S“,

且隨著〃的增大，s=)趨向于#

"\-q"q

_.4。闖、八q04(、\a.q2八

其中__$c=L>0,S2y__q(l+q)=-<(),

1—(71—(71—g［—q］一g

故>S］且善一<S2,

\-q\-q

故S”有最大值心,也有最小值￡；

當，7〈-1時，結合前述分析可知S“無最大值，無最小值，

由此可知“S”既無最大值也無最小值”當且僅當4<-1,此時卬出>城成立.

綜上，”是“S”既無最大值也無最小值”的必要不充分條件.

故選：B

9.已知各項都不相等的數列也｝(〃=1,2,3,…,2025),圓C:f+y=4x-4.y=0,圓

22

CtJ:x+y-2atlx-2a2()2(t_ny=0t若圓CG=L2,3,…,2025)平分圓C的周長，則｛4｝的所有項的

和為()

A.2024B.2025C.4048D.4050

【答案】D

【解^5］

【分析】先求出兩圓的公共弦方程，由題意，公共弦過圓C的圓心，代入圓心，可得勺+生026-〃=4,寫出

所求$2025的表達式，利用倒序相加求和法，即可得答案.

(x2+y2-4x-4v=0

【詳解】由題意，聯立《，工’八，兩式相減可得公共弦所在直線方程為：

［廠+?-2%x-26026.n)'=0

4x+4y-4x-2q0267y=0,即(2-%)x+(2-a2026T)y=0,

因為圓?！?〃=1,2,3「，,2025)平分圓。的周長，

所以公共弦過圓C的圓心，

圓0的標準方程為(工一2)2+()，-2)2=8,則圓心為(2,2),

所以(2-q)x2+(2-生026-〃)x2=0,即%+a2O26_n=4,

又｛q｝的所有項的和為§2025=q+。2+。3+…+1025，

則$2025="2025+〃2024+生023"*?

兩式相加得2s2Q25=(4+%025)+(“2+〃2024)+…+(%025

因為凡+%026-〃=4，

所以2s2025=2025x4=8100,則S2O25=4050.

故選：D

10.已知〃月二也，若/(x)>/()”/(z)則x,y,z的大小關系不可能是()

X

A.x>y>zB.X<y<z

c.y>x>zD.)>z>x

【答案】D

【解析】

【分析】分析函數/(X)的單調性，作出函數圖象，數形結合判斷各選項是否有可能成立.

]nx

【詳解】因為/(x)=—，無>0,

(Inx)?x-lnxf_1-lnx

所以r")=

X2

由f'(x)>0=>1—Inr>0=>0<x<e；由/'(x)<0nX>e.

所以在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減.

又/(1)=0,當x>e時，/(x)>0.

所以函數/(力的草圖如下:

當K,y,z￡(0,e)時，因為/(x)單調遞增，所以/(x)>/(，)>/(z)ox>y>z,故A可能成立；

當乂y.zw(e.+8)時.因為/(/)單調遞減.所以oxvyvz,故B可能成立:

如圖:

當/(x)>/(y)>/(z),故C可能成立；

當y>z>x時，

若()<x<z<y<e,則/'(x)v/'(z)</(y),不符合；

若0<x<z<e<y,則有/(R)</(2),不符合；

若0<x<e<z<y,則有/(z)>/(y),不符合；

若evxvzvy,則/(x)>/(z)〉/()，)，不符合.

所以當)，>z>x時，“X)>/(j)>/(z)不可能成立.

故選：D

第二部分(非選擇題，共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知雙曲線辰2一V=i的一條漸近線與直線21+),+1=。垂直，那么雙曲線的離心率為；漸近

線方程為.

【答案】①.叵②.y=±^-x

22

【解析】

【分析】首先根據直線的垂直關系求出左=!，可得漸近線方程，然后結合離心率公式可求離心率.

4

【詳解】雙曲線點2—丁二1的漸近線方程為)，=±4工，

因為直線2x+y+l=0的斜率為一2,所以-2〃=一1，解得A=4，

4

離心率為e=￡=

漸近線方程為y=±gx.

故答案為：；y=i—-x.

2.2

12.設函數"五)=已,一小+戈3,則使得了(2x—3)+.f(x)>0成立的x的取值范圍是.

【答案】(1,e)

【解析】

【分析】首先根據題意得到為奇函數，再利用導數得到“X)在R上為增函數，再根據單調性求解不

等式即可.

【詳解】〃同=^一片+/，定義域為R,

因為/(r)=e"—e'—/=—(e'一。一'+/)=—/(%),

所以/(x)為奇函數.

因為/'(力=廿+?一、+3->。，所以/(x)在R上為增函數.

所以/(21一3)+/(工)>。=/(2式一3)>—/(力=/(21一3)>/(—力,

即2%-3>-工，解得了>1.

故答案為：(1,+8)

13.大西洋蛙魚每年都要逆游而上游回產地產卵.研究鞋魚的科學家發(fā)現鞋魚的游速妙(單位：m/s)可

以表示為u=Jlog3備，其中0表示鞋魚的耗氧量的單位數.若一條鯉魚游速為2m/s時耗氧量的單位

W

數為U,游速為4m/s時耗氧量的單位數為W,則不二.

【答案】81

【網茴斤】

【分析】根據題意列出等式，根據對數的計算法則進行化簡求解

【詳解】當能魚游速u=2m/s時，耗氧量單位數為U,故2=1og3的，化簡得4=log3

21(X)]1)()

1wW

當娃魚游速u=4m/s時，耗氧量單位數為W,故4=-loga——，化簡得8=log?—.

2-100100

wUW

兩式相減得，4=log3--log3—=log3—.

1511UU(J

w

所以一=34=81.

u

故答案為:81

14.已知拋物線G：），2=4x的焦點為K，則拋物線G的準線方程為；拋物線。2：）'2=16工的焦點

為",若直線y=皿根wO）分別與G，C?交于乙。兩點，旦|P￡|一|QK|=3,則.

【答案】①.x=-\②.±4夜

【解析】

【分析】根據拋物線G方程求出準線方程；設P（M，X）,Q（X2，%），利用拋物線定義求出

|產用=不+1,依周=/+4,運算得解.

【詳解】由拋物線C：y2=4x,可得耳（1,0）,拋物線q的準線方程為x=—l.

設P（內,）?，。（￡,必），

則歸周二x+l,|Qg|二巧+4，

故店用一|。巴|=百一々-3=3，所以演一巧一6，

22

所以"一江=6,解得〃?=±4近.

416

故答案為：x=-1；m=±4>/2?

，、S

15.無窮數列｛〃”｝前〃項和為S“，且滿足：V〃EN"，%>0,S,產1,凡=另二，則下面說法中，所

有正確結論的序號是_________.

①02m②數列｛4｝有最大值，無最小值

③訓）EN",使得％<%+1?XZneN*，均有“<（〃+1）。,用

【答案】①②④

【解析】

【分析】①賦值〃=1和〃=2即可求出②作差比較判斷數列｛《J單調性即可判斷；③用數

學歸納法證明s〃2〃+1對任意〃wN，成立即可判斷；④結合③結論證明(〃+1)4用一，叫＞0.

Sa.

【詳解】①因為凡=7七，令〃=1,得囚=一

S“-lq-1

因為q>0,解得-1=1,即4=2.

S,2+

令〃=2,得心一亡7一不方

解得生=±3,因為%＞o,所以4=J5.

所以①正確.

②當〃之2時，a-,7.

因為>0,所以S”>Sn_}>4=2,

S”_S〃—1+1

所以凡=

S—S”一l

所以凡+|一/=1+不~二I

3〃+iT"1s,-\

因為S”M>S〃>2,

]1

所以

11

所以見+1-。＜。，所以數列｛《7｝單調遞減,

21\-1

所以數列｛〃“｝有最大值，無最小值.故選項②正確.

③根據數學歸納法:

當〃=1時，St=a}=2=1+1,

假設〃=攵時，SJ?&1,

〃二攵+1時，由②知凡=1+《~~7>1,即4+]>1,

S“T

所以S^?SAak+i>SA+1?a\)+\=k+2

所以S”2〃+l,當且僅當〃=1時等號成立，故不存在〃owN?，使得S仆<%+1.

故選項③錯誤.

④由③知,對于任意〃wN”,S*2〃+l,

(〃+1)心電5+1)SM(S“-1)—,0(5向-1)

因為(〃+1)q+1一〃M

S”+「1S”—1(S-1)

=S“+15〃一(〃+1)5〃+]+電+1(〃+1)S/1-(〃+1)-+]+>S*+]_電+10

-

"(S")⑸-1)(S〃+「l)(S〃—l)(5w+I-1)(5M-l)

所以(〃+1)q+1—/q>()恒成立，故④正確.

故答案為：①?@.

三、解答題共6小題，共85分.解答題應寫出文字說明，計算步驟或證明過程.

16.已知函數/(x)=Asin(0式+夕)(4>0,0>0,一兀<。<兀)的部分圖象如圖所示.

(I)求/(%)的解析式及單調遞增區(qū)間；

(2)將函數丁=/(幻的圖象向左平移言個單位長度后得到函數y=g")圖象，若不等式g(x)-〃z<4

7T

對任意工￡[0,一]成立，求〃?的取值范圍.

4

27T7

【答案】(1)/(x)=3sin(2x——兀)；[一+E,—兀+E],kwZ

31212

⑵m>-\

【解析】

【分析】(I)根據函數的圖象，由最大值確定八，由對稱軸和零點的距離確定口，再由最大值點確定。，

再代入正弦公式的單調遞增區(qū)間，即可求解；

(2)首先求函數g(x)的解析式，根據函數的定義域，利用代入法求函數g(x)的只有，再將不等式恒成立

問題，轉化為最值問題，列不等式，即可求解.

【小問1詳解】

由圖象可知，4=3,—x—=-,得。=2,

04123

當工二F?時，2XS+°=￡+2E,kcZ,得0=—@+2譏，ksZ,

121223

因為一71V0V71,所以0二一-

3

所以/(x)=3sin(2x-1,

令-±+2EV2x-空工工+2E,kwZ,

232

得---F/CJIWxW---Fkit,kwZ,

1212

兀7兀

所以函數單調遞增區(qū)間是石+械五十①，&wZ；

【小問2詳解】

/\今?「cr57rl2兀］今.f_TC

g(x)=3sm2x+-----=3sin2x+一,

_V12J3JI6J

八兀］,.兀「兀2兀

當x￡0,—時，2x+—e—,—,

4J6163_

則3sin(2x+^)￡-1,3,

若不等方式.?(%)-//?<4對任意Ae10,-］成立，則3-根<4,

4

17.在VABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,C,已知/?sin2A=J5asin8.

（1）求NA；

（2）再從以下條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個上為已知，使得VABC存在且哼二確定,

求VA3c的面積.

條件①：b=2\/3，a=2；

條件②：b=2>/3?。+。=4；

條件③：AB邊上的高h=J5"?a=V19.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【答案】（1）A=y

6

（2）解答見解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理：邊億角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案；

（2）①利用正弦定理可得3為銳角或鈍角;②利用基本不等式和三角形的性質可得VA3c存在且唯一確定;

③利用正弦定理和余弦定理可得V4VC存在且唯一確定.

【小問1詳解】

因為〃sin2A=sin3,由正弦定理得，sinBsin2A二行sinAsinB，

又Bw（0,7t）,所以sinBuO,得到sin2A=GsinA，乂2sinAcosA=J5sinA,

又,4￡（0,兀），所以sinAwO,得到cosA=Y3,所以A二四.

26

【小問2詳解】

選條件①：〃=26，。=2：

由（1）知，4=色，根據正弦定理知，.DbsinA*又56

6sinB=------=-------=——，

a22

所以存在B二三或8二三兩種情況，V48c存在，但不唯一，故不選此條件：

33

選條件②：Z?=26，a+c=4

因a+c>2\/ac，即。cW4,

口（a+c）2-2ac-h24-lac2

又cosB=----------------=-------=----1<1,

laclacac

所以14ac04,

所以只有。=c=2成立，VABC存在且唯一確定，

所以V4BC的面積為5=,48.4。?5苗4=,乂2、26乂』二6.

222

選條件③：AB邊上的高=a=>/19：

*

qCD25

如圖所示，A8邊上的高力=CO=J5,在Rt二ACD中，-.兀—,即〃=26，

sm—

6

由(1)知，4二營，根據余弦定理知，cosA(立,

61ACAB2

化簡得48?-6AB—7=0，得48=—1(舍去)或A4=7,VA8C存在且唯一確定，

所以VABC的面枳為S=，A8.AC-sinA=，x7x2VJx，=^.

2222

3-9r

18.已知函數/")=彳瓷.

(1)若々=0,求曲線y=/(x)在點(1"(1))處的切線方程；

(2)若/(力在%=一1處取得極值，求/(力的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值.

【答案】(1)4x+j-5=0；(2)函數/(x)的增區(qū)間為(-8,-1)、(4+8),單調遞減區(qū)間為(一1,4),

最大值為1,最小值為-!.

【解析】

【分析】(1)求出/。)、/'(1)的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

(2)由/'(-1)=0可求得實數。的值，然后利用導數分析函數/(X)的單調性與極值，由此可得出結果.

【詳解】(1)當〃=0時，=則r(x)=2(7),=r(1)=_4,

XX

此時，曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為y—l=T(x—l),即4工+)，-5二0；

⑵因為八力=學，則r(x)J(x；?U(3-2x)=2(：-3x『,

卜+〃)(廠+。)

2(4—ci\

由題意可得r(-1)=/=。，解得〃=4,

e+i)

故f(x)=之3,r(x)=2(：+叱;4),列表如下：

''廠+4(x+4)

X(fT)-1(-1,4)4(4,-hx))

■元）+0—0+

增極大值減極小值增

所以，函數/（X）的增區(qū)間為（一8,—1）、（4,48）,單調遞減區(qū)間為（-1,4）.

33

當上〈一時，/（x）＞0；當工＞一時，/（x）＜0.

22

所以，/（X）M=/（T）=1，/（x）mm="4）=q.

19.已知橢圓。：.+《=1（?！怠！?）的右頂點為A（2,0）,上頂點與左右焦點構成一個等腰直角三角形.

（1）求橢圓。的方程；

（2）經過點4的直線與橢圓的另?一個交點為M、點M關于）'軸的對稱點為N（M與N不重合），直線

AM,AN與軸的交點分別為P,Q.若|MN|=|PQ|,求線段MN的長.

【答案】（1）—+^-=1

42

（2）\MN\=2y/2

【解析】

【分析】（1）根據等腰直角三角形可得力=c,結合右頂點可求各基本量，從而可得橢圓方程；

（2）利用知點求點可用直線4W的斜率結合表示M,N,P,Q,再根據|MN|二|PQ|可求得23+1=|4札

故可得M的坐標，從而求出線段的長.我們也可以設M（%,%），%（一%,%），則可用/,先表示P,Q,

再根據|MN|=|PQ|可求故可求線段MN的長.

【小問1詳解】

a=2

由題設，b=C，所以/=02=2，

a2=b2+c2

22

所以C的方程為三+二=1.

42

【小問2詳解】

方法一：由題設，直線4M的斜率一定存在，設直線4M的方程為〉=%（工一2）.

"（尢-2）

所以可得（2公+1卜2-8心+8公一4二（）A=16>0>

142

匚「I”8K—44k2-2

設“（天,），0）,所以2%=—；—?x=所以為=上

°2公M°02尸+1

‘4萬一2-4k、-4^+2-4ky

所以M,所以N

、2公+1'2公+1,、2k2+1'2公+

-41

所以直線AN的方程為y=：（x—2）,

直線AN的斜率kAN=

~^T~2乙K2k

-21所以2（0,一2

令M=0,得>Q==一,同理可得P（O.-2A）

乙KK

所以|尸。|=2%_；

因為M與N不重合，所以2公一1。（），

所以2公+1=幽,所以閱=1,所以聞=應,所以|MN|=2五.

方法二：設點M（%,%）,%（一七,%）,所以4+至=1,

42

所以直線AM的方程為y=y7（工-2）,

與一巳

令1=0,所以乃=二空，同理直線4V的方程為■彳（X-2）,

%-2一4-2

2%

令上=0,所以“二

人o+2

又|MN|=2闖，|P9=|急一然卜熱+懸口冷|

|七一2x0+2|七一2x0+2||x0-4|

22

因為無+范=1,所以4-4=-2媼所以歸0

42

所以2聞=2%,所以尻|=i,所以聞=血，所以|MN|=2夜.

20.對于定義在。上的函數/。），若存在距離為〃的兩條平行直線4：），=履+偽和?。?+打，使得對

任意的力都有依+4乙+打，則稱函數有一個寬度為△的通道，4與4分別叫做

函數/（x）的通道下界與通道上界.

（1）若〃制二匕1,請寫出滿足題意的一組/'（X）通道寬度不超過3的通道下界與通道上界的直線方

er+1

程；

（2）若g（x）=x+sinx+cosx,證明：g（x）存在寬度為2的通道；

（3）探究〃（x）二生9,x￡[L+8）是否存在寬度為立的通道？并說明理由.

x2

【答案】（1）丁=-1與y=l；

（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）求出函數、f（x）的值域，再利用給定定義求解即得.

（2）利用輔助角公式求出sinx+cosx的值域，再利用不等式的性質可得x—0Wg（x）Wx+J^,結合定

義推理即得.

（3）利用導數求出函數力（不）的值域，假定存在，設出通道下界與通道上界的直線方程，利用定義建立不等

式，構造函數0（幻=版幻一日,工之1,按％=0,%>0"<0探討函數值情況即可得解.

【小問1詳解】

eA-12

函數f（x）=―L的定義域為R,f（x）=1一7二在R上單調遞增，

ev+le+1

22

而er+l>l，則0<----<2,即一1<1———<1,因此一1</。）<1,

ev+1e'+1

取出=0,々=-1,4=1，得通道下界4的直線方程：丁=一1，通道上界4的直線方程：)'=1，

顯然直線)，=-1與y=1的距離為2,因此通道寬度不超過3,

所以通道下界與通道上界的直線方程分別為y=-1與y=1.

【小問2詳解】

函數g(x)=x+sia￥+cos^的定義域為R,ftnsinx+cosx=\/2sin(x+—)G[-^,V2],

4

即一0<sinx+cosx<V2，則x-0Wg(x)<x+\/2,

取k=l，h=-也也=6,得通道下界4的直線方程：y=x-y/2,通道上界，2的直線方程：

y=x+42,

2V

顯然直線不一)，一血二0與X-)，+啦=0的距離d=/,、=2,

U+(f

所以g(x)存在寬度為2的通道.

【小問3詳解】

函數力(1)=4!竺：2,xe[l,+8),求導得如)二-21『<0,函數力。)在U,”)上單調遞減,

XX

則力(初皿=力⑴=3，顯然當X21時，恒有力(X)>°，gp0<h(x)<3,

假設存在寬度為正的通道，設通道下界與通道上界的直線方程分別為丁=乙+班，

2

y=kx+m2("%<7M2),

tn

則對任意xw[l,+8),辰+町<依用工辰+/%恒成立，BP\^h(x)-kx<m2,

人/、，/、,21iu-+3.、，

令(p(x)=h(x)-kx=--------/ir,x>1,

x

當太=0時，則0〈o(x)W3,而3-0〉立，不符合題意；

2

當Q0時，對任意工￡[1,出)，例幻《3-辰，函數)=3-日在"80)上單調遞減，值域為

(-00,3-月，

因此不存在〃％,使得對任意工￡[1,+8),0(x)2班成立，即不存在寬度為它的通道；

當太<0時，對任意X￡[l,+8),(p(x)>-kx,函數丁=一日在U，+8)上單調遞增，值域為[-匕+8),

因此不存在，小，使得對任意X￡[l,+8),0。)工孫成立，即不存在寬度為理的通道，

2

綜上，力⑴=2山+3”[1,內)不存在寬度為此的通道.

x2

【點睛】思路點睛：函數新定義問題，需結合函數性質來判斷是否存在滿足定義的直線，也可以結合圖象

的性質來判斷存在性，但不存在時則需結合定義給出矛盾.

21.在平面直角坐標系中，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列(整點即橫縱坐標都是整數的點)

A(〃)：A，A2,4，…，A〃與8(〃)：片，層，鳥，…，B”,其中〃N3,若同時滿足：①兩點列的

起點和終點分別相同；②線段A4+J瓦?%,其中i=l,2,3,,n-lt則稱A(〃)與B(〃)互為正交點列.

⑴求A(3)：)(。⑵，4(3,0),4(5,2)的正交點列3(3)；

(2)判斷44)：4(0,0),A(3,1),4(6,0)，4(9,1)是否存在正交點列8(4)?并說明理由