第2節(jié)常用邏輯用語

課標要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.理解判定定理與充分條件的關系、性

質定理與必要條件的關系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義,能正確對兩種命題進行否

定.

知識診斷自測

【知識梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則p是g的充分條件,q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=>q且q半>p

p是q的必要的充分條件p書q且qnp

P是q的充要條件poq

p是9的既不充分也不必要條件p*q且q#p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞:一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體,稱為全稱量詞,用符號

“V”表示.

(2)存在量詞:“存在“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分,稱為存在量詞,用符號

w表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結構對M中的任意一個x,有q(x)成立存在M中的兀素x,p(x)成立

簡記Vx￡”,心)士｛Myp(x)

今定3xM,F(X)

［常用結論與微點提醒］

1.會區(qū)別力是B的充分不必要條件(4=4且B分A),與A的充分不必要條件是B(BnA且4#8)兩者

的不同.

2.p是q的充分不必要條件,等價于"是》的充分不必要條件.

3.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結論”.

4.命題"和的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難,可判斷此命題否定的真假.

【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編

1.思考辨析（在括號內打或“X”）

（I）至少有一個三角形的內角和為兀是全稱量詞命題.（）

（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.（）

（3）當夕是q的充分條件時,q是p的必要條件.（）

（4）若已知p:x>l和1,則p是q的充分不必要條件.（）

答案（1）X（2）4（3）4（4）<

解析（1）錯誤,至少有一個三角形的內角和為兀是存在量詞命題.

2.（人教A必修一P22習題1.4T2改編）命題“三角形是等邊三角形”是命題“三角形是等腰三角形”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由“三角形是等邊三角形”可得到“該三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.

3.（人教A必修一P30例4（3）改編）命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是.

答案任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)

4.（人數(shù)B必修一P28T4改編）“力仁也+8）,爐21，，是真令題,則實數(shù)。的取值范圍是.

答案口,+8）

解析??3221,即在1或1,且原命題是真命題,.?々的取值范圍是心1.

考點聚焦突破

考點一充分、必要條件的判定

例1（1）（2024?天津卷）設a,則“人力”是，營守”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C充要條件

D.既小充分也不必要條件

答案C

解析由于函數(shù)戶V和產3'都是定義域R上的單調遞增，

因此〃二護,3。守均與a=b等價，

從而人力是的充要條件.

(2)(多選)必+6-4-1=0的一個充分不必要條件可以是()

A.a=~\B.a=b

C.b=\D.ah=\

答案AC

解析由ab+b-aT=0,可得他+1)(6-1)=0,解得或1,故選AC.

思維建模充分、必要條件的兩種判定方法：

⑴定義法:根據(jù)p=q,夕=〃進行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法:根據(jù)0夕對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問

題.

訓練1(1)(2025?東北師大附中質檢)已知p:R,(7：X2+X-6>0,則〃是q的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由1<1得x>l或x<0,

X

不妨設集合4=(-8,0)U(l,+8).

由爐+廠6>0得x<-3或x>2,不妨設集合后(-8,-3)U(2,+8).

因為塢4所以〃推不出q,而夕能推出p,

所以P是4的必要不充分條件.故選C.

(2)在等比數(shù)列｛冊｝中，“m>0,且公比夕>1”是“｛。〃｝為遞增數(shù)歹的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也小必要條件

答案A

解析當。1>0,且q>l時，

有4小1一4后。1夕〃一。1["1二。|夕"1（[一1）>0,

所以an+i>an（nGN）即｛斯｝為遞增數(shù)列;

當｛扇｝為遞增數(shù)列時,

即對一切〃￡N*,有斯+1>斯恒成立，

所以?！?1一。”二。同'門（（7-1）>0,

但a\<0且0<^<1時,上式也成立,顯然無法得出0>0,且夕>1.

則”m>0,且公比行1”是“｛說為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

考點二充分、必要條件的應用

例2（2025?西安模擬）若“45『4<0”是“。-的必要不充分條件,則實數(shù)。的取值范圍

是（）

A.（2,3）B.[2,3]

C.（-2,3]D.[-2,3]

答案B

解析由丫+4V0,解得l<r<4.

因為“爐-5戶4<0”是ZTCVG+I”的必要不充分條件，

所以①-1,〃+1）是（1,4）的真子集,

所以時會

解得2WaW3.

經驗證,端點值滿足條件，

故實數(shù)Q的取值范圍為[2,3].

思維建模充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意：

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據(jù)集合之間的關系列出關于

參數(shù)的不等式（或不等式組）求解.

（2）要注意區(qū)間端點值的檢驗.

訓練2（2025?甘孜州模擬）設p:log2（xT）（加,夕：>1.若夕是q的充分不必要條件，則tn的取值范I韋I是

（）

A.（-8,0]B.[0,+8）

C.[-l,+oo）D.（-oo,-l]

答案A

解析由log2（x-l）</?,得0<x-l<2w）,

即\<x<2n,+\.

由|>1,得0vx<2.

若P是q的充分不必要條件，則2〃，+1W2,

解得mW0.故選A.

考點三全稱量詞與存在量詞

角度1含量詞命題的否定及真假判斷

例3（1）（2025?邵陽聯(lián)考）命題“8￡R,f-4X+6<0”的否定為（）

A.3XER,X2-4X+6>0

B.3XER,X2-4X+6^0

C.VX三R,x2-4x+6<0

D.VxWR,產4x+620

答案D

解析“*WR,X2-4X+6<0”的否定為“Vx￡R,/-4x+6N0”.

⑵（2024?新高考II卷）己知命題〃”工￡1<附1|>1;命題/玉>0,R氣順）

A.p和鄉(xiāng)都是真命題

B.「p和夕都是真命題

C.p和p都是真命題

D.「p和f都是真命題

答案B

解析在命題夕中,當產-1時,|x+l|=0,

所以命題〃為假命題，>為真命題.

在命題q中,因為立方根等于本身的實數(shù)有T,0,1,所以太〉0,使得3二X,

所以命題q為真命題，P為假命題，

所以「P和學都是真命題.

角度2含量詞命題的應用

例4(2024?河南百校聯(lián)考)已知[7,2],/2+質0逐士WR,/-=0.若p為假命題,q為真

命題，則。的取值范圍為()

A.[-3,4]B.(-3,4]

C.(-co,-3)D.[4,+8)

答案A

解析由題意知,p：VxW[T,2],/-ir+ovO為假命題，

則「p:*￡[T,2],x2-2x+a20為真命題，

當x￡1,2]時,y=x2-2x^a的圖象的對稱軸方程為產I,

此時其最大值為(-1)2+2+折3+小則3+。20,解得。2-3.

又q:王T￡R,x2~4x+a=0為真命題，

即/刁6-4。20,解得〃W4.

綜上，。的取值范圍為[-3,4].

思維建模1.含量詞命題的否定,一是要改寫量詞,二是要否定結論.

2.判定全稱量詞命題“Vx￡M,p(x)”是真命題，需要對集合"中的每一個元素x,證明p(x)成立;要

判定存在量詞命題“太￡M,p(x)”是真命題，只要在限定集合內找到一個x,使p(x)成立即可.

3.由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍;二是利用等價

命題,即p與「p的關系,轉化成-p的真假求參數(shù)的范圍.

訓練3(1)(多選)(2025?深圳質檢)下列命題中，為真命題的有()

A.VX>0,X+A

B.3.Y<0,x+Xi>-2

CVD0./

答案AD

解析對于A,利用均值不等式可得Vx>O,x+注2n=2,

當且僅當戶1時,等號成立,故A正確；

對于B,對于Vx〈O,-工>0,x+^=-f-x+—）^-2—x?^~=-2,

X\—X）Y-x

當且僅當廣-1時，等號成立，

故命題玉y。,工號>-2為假命題,故B錯誤；

對于C,易知對于Vx>0,

當且僅當x=\時,等號成立,故C錯誤；

對于D,易知當產T時,

即*<0,故D正確.

（2）侈選）己知命題p:Vx￡[O,1],不等式2x-2^m2-3m恒成立,命題/玉七口，3],不等式/-辦+4W0,

則下列說法正確的是（）

A.命題2的否定是“孔￡[0,1],不等式2廠2〈田_3機”

B.命題q的否定是[1,3],不等式N-QX+420”

C.當命題〃為真命題時，1W〃?W2

D.當命題q為假命題時,a<4

答案ACD

解析命題夕的否定是“孔￡[0,1],

不等式2x-2<m2~3m”，故A正確；

命題夕的否定是"Vxe[l,3],

不等式/-辦+4>0"，故B錯誤；

若命題P為真命題，

則當工￡[0,1]時,（2x-2）min2〃戶-3陽，

即〃?2-3/〃+2WO,解得1&〃?W2,故C正確；

若命題q為假命題，則口，3],

不等式x2-tzx+4>0為真命題，

即40日紙工￡[1,3]時恒成立，

因為x+222/方'^,

Xy1X

當且僅當1,即產2時取等號,所以〃<4,故D正確.

課時對點精練

一、單選題

1.命題"3x>0,sinx—xWO”的否定為（）

A.VxWO,sinx-x>0

B.3x>0,sin

C.Vx>0,sinx-x>0

D.mxWO,sinx-x>0

答案C

解析由題意知命題“*>O,sinX-為存在量詞命題,其否定為全稱量詞命題,

即V工>0,sinx-x>0.

2.已知命題：“八6兄方程/+以+白力有解”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<4B.aW4

C.a>4Da24

答案B

解析“Vx￡R,方程x2+4x+a=0有解”是真命題，

故/=16-4〃20,解得〃W4.

3.“乂>0"是'?>1”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由a>b>0,得會>1,反之不成立，

如。=-2,b二T,

滿足》1,但是不滿足。泌>0,

故“心〃是的充分不必要條件.

>0”D

4.（2023?天津卷）已知a,6GR,則“標二〃”是“4+〃=2加'的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若屋二尻則所±4當時，

有。2$=2次2ab=-2a2,

即a2^b2^2ah,所以由a2=b2^>a2-b2=2ab;

若a2^b2=2ab,則有a2+b2-2ab=0,

即（〃-力產0,所以〃=/）,貝！］有a2=b2,

即a2^b2=2ab=^a2=b2.

所以“層二〃，，是“標+今9"”的必要不充分條件.

5.當命題“若p,則夕”為真命題，則“由〃可以推出”,即一旦P成立,q就成立,P是9成立的充

分條件.也可以這樣說,若q不成立,那么p一定不成立,對〃成立也是很必要的.王安石在《游褒

禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者

不能至也”.從數(shù)學邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析因為“非有志者不能至也”即“有志”不成立時“能至”一定不成立，

所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件.

6.已知命題p3x￡R,公2+2依-4?0為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.-4<?<0BK<0

C「4<后0DKWO

答案C

解析命題p'3x￡R,67x2+2tzx-4^0為假命題，

即命題R,ax2+2ax-4<0為真命題，

當折0時,-4<0恒成立,符合題意；

當qWO時，則a<0fiJ=(2a)2+16a<0,

即-4<〃v0.

綜上可知,-4<qW0.

7.設p:關于x的不等式『+以+1>0對一切xER恒成立,5對數(shù)函數(shù)月Og,3獷在(0,+8)上單調遞減,

那么〃是q的()

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若關于X的不等式V十公十1>0對一切x￡R恒成立，

貝!］/=4_4<0,gp-2<a<2;

若對數(shù)函數(shù)月0g43aK在(0,+8)上單調遞減,則0<4-3a<l,BPl<a<p

??,(1,辨(-2,2),

???〃是^的必要不充分條件.

8.(2024?成都調研)設p:0<ln(x-2)Wln3,9:(廠2〃z)(x-2〃L3)W0.若p造q的充分不必要條件，則實數(shù)

〃?的取值范圍是()

D.(詞

答案C

解析因為0v1n(L2)(ln3,

所以lq-2W3,即3CW5,

因為(X-2〃7)(X-2〃L3)W0,

所以2〃Wx《2m+3,

因為〃是q的充分不必要條件，所以(3,5］是［2相,2m+3］的真子集，

所以圖5解得

經驗證，端點值滿足條件，

故實數(shù)a的取值范圍是［1，3,故選C.

二、多選題

9.下列命題的否定是假命題的是（）

A.3//1￡N,Vm2+1￡N

B.菱形都是平行四邊形

C.3a￡R,一元二次方程x2~ax~\=0沒有實數(shù)根

D.平面四邊形的內角和筆于360°

答案ABD

解析由于原命題和其否定的真假完全相反，

所以題干中“下列命題的否定是假命題”等價于“下列命即是真命題”，

對于A,當片0時,V0+l=leN,則A中命題為真命題,故A符合題意；

選項B顯然符合題意；

對于C,因為/二4+4>0恒成立,所以不存在aeR,使得一元二次方程x2-^-l二0沒有實數(shù)根，故C不

符合題意；

選項D顯然符合題意.故選ABD.

10.已知事函數(shù)兒丫）=（4〃7-1則下列選項中，能使得./（a）次6）成立的一個充分不必要條件是（）

A.0<汽B.屋泌2

C.lna>\r\bD.2a>2"

答案AC

解析由題設知4/??-1=1,可得/w=1,

故兒X尸日，

所以要使人。）>/（方），貝II辰乃，即?！贰罚ǎ?

°<M=A6>°，A符合題意；

Ina>\nboa>b>0,C符合題意；

B,D選項中0b均有可能為負數(shù),B,D不符合題意.

11.(2。25?溫州模擬)下列選項中,與f>1”互為充要條件的是()

A.X<1B.log0.5X2>log05X

C3X<3XD.|x(x-l)|=x(l-x)

答案BC

解析由1,得91>0,即呼>0,MxT)<0,解得0<^<1.

對于A,"x<l”是吩1”的必要不充分條件，故A錯誤；

對于B,由logo.5X2>logo.5X,得0<A2<X,故x(x~\)<(),解得0<x<1,故B正確；

對于C,由3/<3;得fvx,解得0<x<l,故C正確；

對于D,網廠l)|r(l-x),則x(lr)20,解得0<xW1,故D錯誤.

三、填空題

12.(2025?沈陽質測)“sin產1”的一個充分不必要條件是.

答案xg(答案不唯一)

解析當xg時,sinx=l,

由sinx=\可得工q+2%兀,kGZ,板“sin產1”的一個充分不必要條件是“xg”.

13.(2025?南昌質測)已知p：-3WxW1,為實數(shù)).若q的一個充分不必要條件是p,則實數(shù)a的

取值范圍是.

答案［1,+8)

解析因為夕的一個充分不必要條件是P，

所以［-3,1］是(-8,0的一個真子集，則心［,

即實數(shù)a的取值范圍是［1,+8).

14.為了證明“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明: