第9節(jié)爪形三角形中特殊線的計(jì)算

題型分析“爪形”三角形是指在給定的一個(gè)三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上的任意一點(diǎn)構(gòu)成的

圖形，一般涉及三角形的高線、中線、角平分線的計(jì)算.通?？梢圆捎谩班徰a(bǔ)角策略”、“算兩次”

策略等利用正弦定理、余弦定理列方程求解.

題型一三角形的高線

例1(2023?新高考I卷)已知在△/8C中,/+8=3C,2sin(/-C)=sinB.

⑴求sin

⑵設(shè)48=5,求邊上的高.

解法一(1)在△48C中,4+8=兀-。，

因?yàn)?+B=3C,

所以3c=kC,所以。三.

因?yàn)?sin(^-Q=sinB,

所以2sin(/-：)=sin管~人)，

展開(kāi)并整理得加(sinJ-cosJ)=y(cosZ+sinA),

得sin/l=3cos4

22

又sin/4+cos^=1,且sinA>0f

所以sin力二翟.

(2)由正弦定理,得

D廠48./5sz3x^10or=

BC=-----sinA=-T=-X-----=3V5.

sinC立10

2

由余弦定理,得

AB-=ACr+BC^-lACBCcosC,

即52=AC-3V5cos

4

整理得^(？-3710^0+20=0,

解得4C=VIU或4c=2V1U.

由⑴得,tan4=3>△所以

又4+8丹，所以B*,即C<B,

44

所以44<4C,所以4O2V15.

設(shè)邊上的高為隊(duì)

貝哈C,

即5//=2V10X3V5Xy,解得h=6,

所以4B邊上的高為6.

法二⑴在△力8c中，力+3=jr-C,

因?yàn)?+8=3C,

所以3C=兀Y,所以C1.

因?yàn)?sin(4-C)=sinB,

所以2sin(4一C)=sin[7i-(4+C)]=sin(4+C),

所以2sin4cosC_2cosJsinC=sin4cosC+cos/sinC,

所以sinJcosC-3cos所inC,

易得cosAcosCWO,

所以tanA=3tanC=3tarH=3,

22

又sinJ>0,tanA=—^-isin^+cos/i=l,

cosA

所以sinJ=^.

⑵由⑴知tan/=由0,所以4為銳角,

又sin4=^,所以cos

所以sin8=sin(4+C)

_V27VlO^Vzy3V10_2V5

---A十—A--------.

2102105

由正弦定理,得

ABB

AC-siZnC-v72

~2

故48邊上的高為/Csin4=245乂嚶=6.

思維建模1.設(shè)〃2,〃3為△45。的邊4b,。上的高,pl>]h]:/?2?/73=-:7:LJ:—T:

abcsm4sinBsine

2.求高一般采用等面積法,即求某邊上的高,需要求出面積和底邊的長(zhǎng)度.

高線的兩個(gè)作用：(1)產(chǎn)生直角三角形;(2)與三角形的面積相關(guān).

訓(xùn)練1設(shè)△48C的內(nèi)角48,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosC上片

(1)求角8的大??；

(2)若邊AB上的高為今求cosC的值.

解⑴由余弦定理的推論得當(dāng)三誓，

Zabb

所以a2+b2-c2=2a(a-csinB),

所以/^々斗"-2acsinB.

又因?yàn)閎2=a2+c2~2accosB,

所以sin3=cosB,

則tanB=\.

因?yàn)?W(0,兀)，所以8三.

⑵因?yàn)椤鰽8C的面積S=%csinB

夜C2mil企

下農(nóng)一,則。下。，

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB

2

=(TC)+c2-2X^cXcX^=1c2,

VTo

所以力=

4G

a-csinV5

所以cosC=

b~S

題型二三角形的中線

例2記△48C的內(nèi)角4,3,C所對(duì)的邊分別為a",c,已知bsinC=sinC+V5cosC,J=^.

⑴求c.

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為補(bǔ)充條件,判斷△48C是否存在?若存在,求出△/BC的面積;若

不存在，說(shuō)明理由.

①3。邊上的中線長(zhǎng)為今②48邊上的中線長(zhǎng)為近.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

解⑴由力sinC=sinC+V3cosC及正弦定理，得csinB=2sin(c+g),

因?yàn)榱θ?+8+。=兀,

所以csin8=2sin（兀-8）=2sinB,

又sin4W0,所以c=2.

(2)選①，

法一設(shè)8c邊上的中線為力。,

則AD=^,BD=CD；a.

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2

由cos/4D8=-cosN/QC及余弦定理的推論得,

2ADBD2ADCD

即衿-4=-G+亍-2),

化簡(jiǎn),得。2=2加+6,

由余弦定理,得a2=62+c2-2Z）ccosZBAC,

即金〃-2b+4,

所以"+292=0,該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

故符合條件的△48C不存在.

法二設(shè)BC邊上的中線為4D

則而=/而+語(yǔ)，

兩邊平方得而2三(而2+2通.前十前2),

即(4+2X26X*〃)，

即〃+2什2=0,易知該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

故符合條件的不存在.

選②，

設(shè)48邊上的中線為CF,則CF=?AF=BFVAB=\.

在△4CF中，由余弦定理C產(chǎn)號(hào)嚴(yán)+4C2-24C/FcosA,

22

得7=l+/)-2/?cos^,整理得b~b-6=0f

解得。=3或K舍去).

故△44C的面積S=^csin%W><3X2X矍畔.

思維建模如圖，在△力3。中,力。為3c的中線.

A

⑴余弦定理法

在4ABD中，AB2=AD2+BD2-2BDADCOS/ADB,①

在中，

A^AD^DC^-IAD-DCcosZADC,②

①+?得到4B2+4C2=2(BD2+4D2).

(2)向量法

由于正斗荏+宿,WmAD2=^(b2+c2+2bccosZBAC)

(3)倍長(zhǎng)中線法

借助平行四邊形性質(zhì):平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊形的平方和.

易得

(4)中線公式

在△MC中，8C邊上的中線和三邊有如下關(guān)系(可以用上面三種方法推導(dǎo))40乂耳亙

當(dāng)然除了上述常用的方法以外,述有坐標(biāo)法等技巧.

訓(xùn)練2(2025?福建九地市質(zhì)檢)在AZ8c中，內(nèi)角4,8,C的對(duì)邊分別是a,Ac,且asinC=

(1)求8的大??；

(2)若△XBC的面積為苧,求8C邊上中線的長(zhǎng).

解(1)VasinC=csinB,

由正弦定理,得sinJsinC=sinCsinB,

V0<C<7i,AsinC>0,AsinJ=sinB,

<0<A<n,0<B(N,：.A-B或/十6—兒(舍去),

???/+8+。=兀，且c=y,：,B=^.

(2)依題意得3J-射sinC,

,:A=B,：?a=b,

?3百12,2ix■

>?―-y-sin,得a=b=y/3,

4T4

由正弦定理,得T戶3

sinA

設(shè)8c的中點(diǎn)為。，

連接/D如圖,

AB

222

因?yàn)锳D=^AB+AC-^-2ABACcosZCAB)y

解得力。耳.

題型三三角形的角平分線

例3(2025?江西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)在△48C中，內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為6,c,其外接圓的

半徑為2V5,且bcosC=a+條sinB.

⑴求角B;

(2)若N/3C的平分線交4c于點(diǎn)D,8D=V5,點(diǎn)E在線段4c上,且EC=2EA,求△3DE的面積

解⑴由正弦定理可得sinBcosC=sin4+^sinCsinB.

又sin4=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

則cosBsinC-HysinCsinB=0.

VCE(0,7i),AsinC^O,Acos例咚sin3=0,

J

即tanB=_痘.

又3￡(0,兀)，，吟

(2)由⑴可知B聾,

J

DEA

又△43。的外接圓的半徑為2b,

??.由正弦定理得/4b，所以A6,

???8Z)平分N/8C,

???/CBD=/ABDT/ABCS

由S/、ABC=Sf、BC吩S/、ABD,

可得ycsiny=|tz-V3sin襯c?A/5sin/

即ac=\l3(a+c),①

由余弦定理得Z>2=6f2+c2-2tzccos

即("C)2-4C=36,②

由①②可得a=c=2\[3.

所以8OJ_ZC,又?：EC=2AE,則DE=1,

故S/M)￡=1X1XV3=y.

思維建模角平分線問(wèn)題的處理策略:在△/BC中,4。平分N8/C.

(1)角平分線定理:瑞嗡；

(2)利用兩個(gè)小三角形面積和等于大三角形面積處理.

訓(xùn)練3(2025?長(zhǎng)沙模擬)已知在△44。中，內(nèi)角4r。所對(duì)的邊分別為Ac,其中〃=4,475cos

C=V36-csinA.

⑴求Z;

(2)已知4W為N8/1C的平分線,且與8C交于點(diǎn)M,若為“考,求△/8C的周長(zhǎng).

解(1)根據(jù)題意可得754cosC+csinA=V3b,

由正弦定理得乃sinJcos。十sinJsinC—V3sinB,

又\Z5sin5=\/3sin(/i+C)=V3sinJcosC+V5cos4sinC,

故sin力sinC-V3cos/sinC,

又sinC#0,所以sinJ=V3cosA,則tan4=V5,

因?yàn)锳e(0,7i),所以A=^.

(2)因?yàn)镾dBLSdAB#SMCM,

所以?csinNBIcf/esinN84W《4WZrsinZCAM,

222

又平分N8/C,

所以/BAM=ZCAM^-ABAC=^.

26

Rr-pil,V312V212V2,

v=-Xv—￡?X-+-vX—/)X-,

444J乙乙3Z

貝!Jgbc=^(6+c),即bc=Y^b+c),

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosZBAC,

即16=b2+c2-bc,

所以16=(b+c)2-3bc=(b+c)2-^(b+c),

解得b+c=2乃(負(fù)值舍去)，

故△N8C的周長(zhǎng)為2V6+4.

角平分線張角定理拓展視野

在△/BC中,三個(gè)內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,如果4。是N84。的角平分線，則有

1(AD,AD\

cosa^+-)

證明:*.*S“BSAABD+S“CD,

/.-ABXAC'Xsin2a=^-ABXADXsina/4cx力。Xsina,

222

即cZ?X2sinacosa=cXADXsina+bXADXsina

兩邊同除以bcsina得2cosa哼瑤

.1(AD,AD\

?,cos嶗(丁+?

典例己知AD是4ABC的角平分線,48=3,4c=5,Z^JC=120°,則AD的長(zhǎng)為

A

BD

答案15

~8

解析法一??1。是△4BC的角平分線,且N3/C=120。,

：.ZBAD=ZCAD=^°.

,**S^ABD+S^CAD^S^ABC,

：.^ABADs\nZBAD-^ACADsinZCAD

22

=^ABACsinZBACf

&P|x3JDX^X5JDXy

=J-X3X5X—,

22

解得力。岑.

O

法二由角平分線張角定理得

COS60。弓（y+段K解得AD=^.

訓(xùn)練（2025?廣州質(zhì)檢）已知△/歌中,4B=6,AC=2fAD為NBAC的角平分線,/。二B,則△/BC的

面積為（）

A.2V2B.4V2

C.3近D.3V3

答案B

解析法一設(shè)NBAD=NCAD=。,

,**SNBC=SNABD+S“CD,

則pB/CsinZBAC^ABADsmZBAD-^ADACs\nZCAD,

即:X6X2Xsin2^=1x6XV3Xsin*X2XbXsin0、

可得V^sin2小2sin^=2\/3sinOcos9,

*.'sin9W0,貝?。輈os

sin^=V1—cos20=y,

則S"BC=S"BD+SX6X百X苧gX2XV3X浮=4&.

法二由角平分線張角定理得

8S4但停+日喙

故sinN8/D=當(dāng)，

所以sinZBAC=2sinZBADeosZBAD=^-,

故6X2X手=4魚(yú).

課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練

1.（2025?咸陽(yáng)模擬）在△Z8C中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,Ac,且4cosB凈三

（1）求4；

(2)若b=3,c=V3,求△ZAC中8。邊上高線的長(zhǎng).

解(1)因?yàn)閍cosB*b=c,

由正弦定理可得sin4cos^-Hysin5=sinC=sin(4+8)=sin/cosB+sinBcos4

所以拳inB=sinBcosA,

又因?yàn)?<8<兀,所以sinB>0,

所以cos力邛，

因?yàn)?〈代抽所以4q.

(2)由已知及余弦定理得

a2=Z)2+c2-2/)ccosABAC

=9+3-2X3xV3Xy=3,

所以a=V3,

設(shè)中8c邊上的高線長(zhǎng)為h,

所以nZBAC=^ah,

解得"=|.

故△NBC中8C邊上的高線的長(zhǎng)為行

2.已知△48。中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,4=60。,c=Z)+l,sin4哼.

⑴求c的值；

(2)設(shè)4。是AABC的角平分線,求AD的長(zhǎng).

解⑴sinB=^~,

由4=60。,可得sin/考，

c=b+l>b,可得B為銳角，

貝!JcosB=y/1-sin25=^,

所以sinC=sin(4+B尸sinAcosB+cosJsinB

73^.277,1..V2T3A/21

=-X----F-X——=------,

272714'

由可得號(hào)號(hào)，

smCs\nB3V21vzi

解得c=3.

(2)由⑴可得Ql1=2,

因?yàn)榱?。?歷fC的平分線，

所以N44D=NC/D=30。，

+

設(shè)AD=X,由S^ABC=S^ACDS^ABDf可得

lX3X2X^=|x2xXi4x3xX|,

化為△解得x等,貝UA吟.

3.(2025?杭州模擬)在AJ8C中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a(sinB+cosB)=c.

⑴求力；

(2)若c=V2,a=A,D為BC的中點(diǎn),求AD.

解(1)在△力BC中,由題意及正弦定理得，

sinz4(sinB+cos5)=sinC,

由J+B+C=n,得sinC=sin(4+8),

所以sin/sin所sinAcosB

=sinJcos8+sin5cosAf

化簡(jiǎn)得sin力sinB=sinBcos4

因?yàn)閟in8W0,所以tanA=l,

因?yàn)锳e(0,7i),所以A=^.

(2)在△48C中,由余弦定理得，

5="+2-2bX&X*

所以Z?2-2Z?-3=0,

又b〉0,所以6=3,

因?yàn)椤?C的中