2026屆黑龍江省湯原高中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.2．若雙曲線的一個焦點為，則的值為（）A. B.C.1 D.3．已知直線，當(dāng)變化時，所有直線都恒過點（）A.B.C.D.4．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.35．如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.6．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.7．直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.119．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點，且，則橢圓的方程為A B.C. D.10．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓11．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（）.A. B.C. D.12．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點，動點分別在直線和上運(yùn)動，則的周長取最小值時點的坐標(biāo)為__________.14．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高二被抽取的人數(shù)為__.15．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是____________16．過圓內(nèi)的點作一條直線，使它被該圓截得的線段最長，則直線的方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖是一拋物線型機(jī)械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm（1）以頂點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長18．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且，，數(shù)列滿足：，，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍20．（12分）已知拋物線上的點到其焦點F的距離為5.（1）求C的方程；（2）過點的直線l交C于A，B兩點，且N為線段的中點，求直線l的方程.21．（12分）已知函數(shù)，求（1）（2）（3）曲線在處的切線方程22．（10分）已知等差數(shù)列中，首項，公差，且數(shù)列的前項和為（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】當(dāng)時可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C2、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點在軸，從而可得，再列方程可求得結(jié)果【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，，所以，解得，故選：B3、D【解析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點.【詳解】可化為，∴直線過定點，故選：D.4、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.5、D【解析】設(shè)線段的中點為，連接，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，然后以點為坐標(biāo)原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設(shè)線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標(biāo)原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當(dāng)時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.6、B【解析】根據(jù)正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.7、A【解析】根據(jù)直線與直線的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查直線一般式中直線與直線垂直的系數(shù)關(guān)系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.8、B【解析】先求出數(shù)列和的通項公式，然后利用分組求和求出，再對進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】解：因為數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列所以因為是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時，即當(dāng)時，當(dāng)時，所以n的最大值是.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.9、D【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，將代入橢圓方程，結(jié)合離心率為以及性質(zhì)列方程組求得與的值，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點為，因為，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，以及橢圓離心率的應(yīng)用，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.10、C【解析】根據(jù)兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：11、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確故選：A12、B【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標(biāo)為，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標(biāo)，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作點分別關(guān)于直線和的對稱點，根據(jù)對稱性即可求出三角形周長的最小值，利用三點共線求出的坐標(biāo).【詳解】如圖所示：定點關(guān)于函數(shù)對稱點，關(guān)于軸的對稱點，當(dāng)與直線和的交點分別為時，此時的周長取最小值，且最小值為此時點的坐標(biāo)滿足，解得，即點.故答案為：.14、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數(shù).【詳解】高一年級抽取的人數(shù)為：人，則，則高二被抽取的人數(shù)，故答案為：.15、【解析】去絕對值分別列出每個象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.【詳解】當(dāng)，表示橢圓第一象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第四象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第二象限部分；當(dāng)，不表示任何圖形；以及兩點，作出大致圖象如圖：曲線上的點到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，與距離為2，曲線二四象限上的點到的距離為小于且無限接近2，考慮曲線第一象限的任意點設(shè)為到的距離，當(dāng)時取等號，所以，則的取值范圍是故答案為：16、【解析】當(dāng)直線l過圓心時滿足題意，進(jìn)而求出答案.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，當(dāng)l過圓心時滿足題意，，所以l的方程為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）cm【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得拋物線過點，將此點代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，（2）設(shè)此時的口徑長為，則拋物線過點，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案【小問1詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為頂點深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點，所以，得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】若將磨具的頂點深度減少，設(shè)此時的口徑長為，則可得，得，所以此時該磨具的口徑長18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點，為底面的三棱錐的體積和以為頂點，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點到平面的距離即點到平面的距離設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為19、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得，由得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用錯位相減法求和即得.(3)將問題等價轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，構(gòu)造數(shù)列并判斷其單調(diào)性，即可求解作答.【小問1詳解】數(shù)列的前項和為，，，當(dāng)時，，則，而當(dāng)時，，即得，因此，數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，數(shù)列中，，，則數(shù)列是等差數(shù)列，而，，即有公差，則，所以數(shù)列，的通項公式分別是：，.【小問2詳解】由(1)知，，則，則有，兩式相減得：，從而得，所以數(shù)列的前n項和.【小問3詳解】由(1)知，，依題意得對任意恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)，，為單調(diào)遞增數(shù)列，顯然有，則當(dāng)時，取得最大值，即最大值是，因此，，所以實數(shù)k取值范圍是.【點睛】思路點睛：一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得，求得，即可得出答案；（2）設(shè)，利用點差法求出直線l的斜率，再利用直線的點斜式方程即可得出答案.【小問1詳解】解：由拋物線定義可知：，解得：，∴C的方程為；【小問2詳解】解：設(shè)，則，兩式作差得，∴直線l的斜率，∵為的中點，∴，∴，∴直線l的方程為，即（經(jīng)檢驗，所求