授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析試驗(yàn)結(jié)果的變化大體上由兩類(lèi)因素引起：一、隨機(jī)因素二、人為控制因素

科學(xué)試驗(yàn)的目的常常是為了判斷受人們控制的因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否確實(shí)存在。方差分析正是通過(guò)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)變動(dòng)的分析，對(duì)上述問(wèn)題做出判斷的有效工具。因?yàn)樗梢詫㈦S機(jī)變動(dòng)和非隨機(jī)變動(dòng)從混雜狀態(tài)下分離開(kāi)來(lái)，幫助發(fā)現(xiàn)起主導(dǎo)作用的變異來(lái)源，從而抓住主要矛盾或關(guān)鍵因素并采取有效措施。

方差分析就是將多個(gè)樣本的觀察值作為一個(gè)整體，把觀察值的總變動(dòng)根據(jù)變動(dòng)的來(lái)源進(jìn)行分解，做出數(shù)量估計(jì)，從而發(fā)現(xiàn)各個(gè)觀察值在總變動(dòng)中所占的重要程度。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素在改變稱(chēng)為單因素試驗(yàn)，如果多于一個(gè)因素在改變稱(chēng)為多因素試驗(yàn)。因素所處的狀態(tài)，稱(chēng)為該因素的水平。

在因素的每一水平下進(jìn)行了獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)各總體均為正態(tài)變量，且各總體的方差相等，那么這是一個(gè)檢驗(yàn)同方差的多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等的問(wèn)題。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析

設(shè)因素有s個(gè)水平A1，A2，···，As，在水平Aj(j=1，2，···，s)下進(jìn)行nj(nj≥2)次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到如表6.1-1的結(jié)果。表6.1-1單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析

假定各個(gè)水平Aj(j=1,2,···,s)下的樣本

來(lái)自具有相同方差σ2、均值分別為μj(j=1,2,···,s)的正態(tài)總體N(μj,σ2)，μj與σ2未知，且設(shè)不同水平Aj下的樣本之間相互獨(dú)立。

單因素試驗(yàn)方差分析的任務(wù)是檢驗(yàn)s個(gè)總體N(μ1,σ2)，N(μ2,σ2)，···，N(μs,σ2)的均值是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)：(6.1-2)由此得檢驗(yàn)問(wèn)題（6.1-2）的拒絕域?yàn)槭剑?.1-25）(6.1-25)授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析SA叫做因素A的效應(yīng)平方和；SE叫做誤差平方和；總偏差ST=SA+SE。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析

【例6-1】為了研究幾種外加劑對(duì)混凝土抗裂性能有無(wú)顯著影響，進(jìn)行了斷裂韌性試驗(yàn)，結(jié)果如表6.1-3所示。

解：本例中，試驗(yàn)的指標(biāo)是混凝土的斷裂能，因素為外加劑，假定除外加劑這一因素外，混凝土原材料的規(guī)格、試件養(yǎng)護(hù)的條件、試驗(yàn)人員的水平等其它條件都相同。這就是單因素試驗(yàn)。試驗(yàn)的目的是為了考察三種外加劑對(duì)混凝土的抗裂性有無(wú)顯著的差異。外加劑因素有3個(gè)水平，即s=3；每個(gè)水平均試驗(yàn)5次，試驗(yàn)總次數(shù)為n=15。為了方便計(jì)算，首先將表中的數(shù)據(jù)都減去900后所得結(jié)果及初步計(jì)算結(jié)果列于表6.1-4。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析1）偏差平方和計(jì)算SA=5×[(83.6-227)2+(426-227)2+(171.4-227)2]=5×63255.92=316279.6SE=(22-83.6)2+(3-83.6)2+(87-83.6)2+(153-83.6)2+(153-83.6)2+(415-426)2+(407-426)2+(429-426)2+(429-426)2+(450-426)2+(199-171.4)2+(132-171.4)2+(200-171.4)2+(132-171.4)2+(191-171.4)2=25852.4ST=SA+SE=316279.6+25852.4=342132授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析2）自由度計(jì)算f1=3-1=2fe=15-3=12f=15-1=143）方差計(jì)算授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析4）F檢驗(yàn)查附錄F分布表可知，F(xiàn)0.05,(2,12)=3.89，F(xiàn)0.01,(2,12)=6.93顯然：F>F0.01,(2,12)5）結(jié)論：外加劑間有差別且影響高度顯著。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析綜上所述，單因素方差分析的步驟可歸納如下：1）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)為H0：μ1=μ2=···=μi=···=μm，備擇假設(shè)為：H1：μ1，μ2，···，μm不全相等；2）設(shè)原假設(shè)的前提

成立；3）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：偏差平方和，自由度，均方差和F值；4）根據(jù)顯著性水平α，查出，若F<Fα,(f1,fe)，原假設(shè)成立；否則原假設(shè)不成立，備擇假設(shè)成立。5）將計(jì)算結(jié)果及結(jié)論列成方差分析表。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析

單因素方差分析只研究一種因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，當(dāng)可能存在多個(gè)因素同時(shí)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響時(shí)，雖然可以采用固定其他因素，只研究一種因素變化的方法，對(duì)所有因素分別研究，但這種方法不僅效率低，而且容易遺漏最好的組合。另一方面，若需要同時(shí)研究幾種因素的影響，用單因素分析是無(wú)法進(jìn)行的，此時(shí)就需要進(jìn)行多因素試驗(yàn)。

多因素方差分析的思路和方法相同，本節(jié)介紹雙因素試驗(yàn)方差分析。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析6.2.1雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析設(shè)有兩個(gè)因素A、B作用于試驗(yàn)的指標(biāo)，因素A有r個(gè)水平A1，A2，···，Ar，因素B有s個(gè)水平B1，B2，···，Bs?，F(xiàn)對(duì)因素A、B的水平的每對(duì)組合（Ai,Bj），i=1,2,···,r，j=1,2,···,s都作t（t≥2）次試驗(yàn)（稱(chēng)為等重復(fù)試驗(yàn)），得到結(jié)果如表6.2-1。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析6.2.1雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析xijk~N（μij,σ2），i=1,2,···,r，j=1,2,···,s，k=1,2,···,t，各xijk獨(dú)立。這里，μij，σ2均為未知參數(shù)，引入記號(hào)：總平均

，，，水平Ai和水平Bj的交互效應(yīng)

。令水平Ai的效應(yīng)

，水平Bj的效應(yīng)

。進(jìn)而

，

。雙因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型可表示為式（6.2-5），μ、αi、βj、γij及σ2都是未知參數(shù)。(6.2-5)授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析6.2.1雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析對(duì)于這一模型要檢驗(yàn)以下三個(gè)假設(shè)：（1）H01：α1=α2=···=αr=0；H11：α1，α2，···，αr不全為零；（2）H02：β1=β2=···=βs=0；H12：β1，β2，···，βs不全為零；（3）H03：γ11=γ12=···=γrs；H13：γ11，γ12，···，γrs不全為零。(6.2-5)授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析6.2.1雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析【例6-2】為了研究?jī)煞N礦物質(zhì)摻合料A和B對(duì)耐久性混凝土抗氯鹽滲透性能的影響，在水泥混凝土中摻加不同用量的礦物質(zhì)摻合料A和B，A取4個(gè)不同的水平，B各取3個(gè)不同的水平，測(cè)試水泥混凝土試件的DRCM氯離子擴(kuò)散系數(shù)（單位10-12m2/s），得結(jié)果如表6.2-3。授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析

解：本例中試驗(yàn)的指標(biāo)是混凝土的抗氯鹽滲透性能（DRCM氯離子擴(kuò)散系數(shù)），礦物質(zhì)摻合料A和B是因素，它們分別有3個(gè)和4個(gè)水平。這是一個(gè)雙因素的試驗(yàn)。試驗(yàn)的目的在于考察在各種因素的各個(gè)水平下抗氯鹽滲透性能有無(wú)顯著的差異，即考查摻合料A和B這兩個(gè)因素對(duì)混凝土的抗氯鹽滲透性能是否有顯著的差異。

據(jù)數(shù)據(jù)可知，因素A有r=4個(gè)水平，因素B有s=3個(gè)水平，重復(fù)次數(shù)t=2。試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總平均=5.5。1）偏差平方和計(jì)算授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析1）偏差平方和計(jì)算2）自由度計(jì)算f1=4-1=3，f2=3-1=2，f3=3×2=6，fe=4×3×(2-1)=12，f=4×3×2-1=23授課內(nèi)容1授課內(nèi)容第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析3）方差計(jì)算4）F檢驗(yàn)

查F分布表可知，F(xiàn)0.05，（3,12）=3.49，F(xiàn)0.01，（3,12）=5.95，F(xiàn)0.05，（2,12）=3.89，F(xiàn)0.01，（2,12）=6.93，F(xiàn)0.05，（6,12）=3.00，F(xiàn)0.01，（6,12）=4.82顯然：FA