冪函數(shù)考試答題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖象過點(diǎn)\((2,8)\)，則\(\alpha\)的值為（）A.1B.2C.3D.42.冪函數(shù)\(y=x^{\frac{1}{2}}\)的定義域是（）A.\(\{x|x\geq0\}\)B.\(\{x|x\gt0\}\)C.\(R\)D.\(\{x|x\neq0\}\)3.下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是（）A.\(y=2x\)B.\(y=x^{2}+1\)C.\(y=\frac{1}{x^{2}}\)D.\(y=2^{x}\)4.冪函數(shù)\(y=x^{-3}\)的圖象關(guān)于（）對稱A.\(x\)軸B.\(y\)軸C.原點(diǎn)D.直線\(y=x\)5.若冪函數(shù)\(y=x^{m}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(m\gt0\)B.\(m\lt0\)C.\(m\geq0\)D.\(m\leq0\)6.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)，當(dāng)\(\alpha=-1\)時，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增7.已知冪函數(shù)\(y=x^{a}\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((4,2)\)，則\(a\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.2D.\(-2\)8.冪函數(shù)\(y=x^{4}\)的奇偶性是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)9.冪函數(shù)\(y=x^{\frac{2}{3}}\)的圖象大致是（）A.第一象限內(nèi)遞增的曲線B.第一、二象限內(nèi)關(guān)于\(y\)軸對稱的曲線C.第一、三象限內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線D.第二、四象限內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線10.冪函數(shù)\(y=x^{m-1}\)的圖象在\((0,+\infty)\)上是上升的，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(m\gt1\)B.\(m\lt1\)C.\(m\geq1\)D.\(m\leq1\)答案：1.C2.A3.C4.C5.B6.B7.A8.B9.B10.A二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列冪函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=x^{\frac{2}{3}}\)C.\(y=x^{-2}\)D.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)2.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的\(\alpha\)值可以是（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.33.以下冪函數(shù)中，定義域為\(R\)的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^{2}\)C.\(y=x^{\frac{1}{3}}\)D.\(y=x^{3}\)4.冪函數(shù)\(y=x^{-1}\)與冪函數(shù)\(y=x\)的圖象（）A.都經(jīng)過點(diǎn)\((1,1)\)B.都經(jīng)過點(diǎn)\((-1,-1)\)C.關(guān)于原點(diǎn)對稱D.有一個交點(diǎn)5.對于冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)，當(dāng)\(\alpha\)滿足（）時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)。A.\(\alpha=-2\)B.\(\alpha=-\frac{2}{3}\)C.\(\alpha=-\frac{1}{2}\)D.\(\alpha=2\)6.冪函數(shù)\(y=x^{n}\)（\(n\)為整數(shù)）的圖象不可能經(jīng)過（）A.第二象限且\(x\)軸下方B.第四象限且\(x\)軸上方C.第二象限且\(y\)軸左側(cè)D.第四象限且\(y\)軸右側(cè)7.已知冪函數(shù)\(y=x^{a}\)的圖象過點(diǎn)\((9,3)\)，則下列說法正確的是（）A.\(a=\frac{1}{2}\)B.\(y=x^{a}\)是偶函數(shù)C.\(y=x^{a}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.\(y=x^{a}\)的值域是\([0,+\infty)\)8.下列冪函數(shù)中，與函數(shù)\(y=x\)單調(diào)性和奇偶性都相同的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=x^{\frac{1}{3}}\)C.\(y=x^{\frac{5}{3}}\)D.\(y=x^{-1}\)9.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\)為常數(shù)）的圖象可能是（）A.直線B.拋物線C.雙曲線D.只在第一象限的曲線10.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)，若\(\alpha\)滿足\(0\lt\alpha\lt1\)，則該冪函數(shù)（）A.圖象過點(diǎn)\((0,0)\)和\((1,1)\)B.在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增C.圖象是上凸的D.圖象是下凸的答案：1.ABC2.ABCD3.ABCD4.ABD5.AB6.AB7.ACD8.ABC9.ABCD10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.冪函數(shù)\(y=x^{\frac{1}{3}}\)的定義域為\(R\)。（）2.冪函數(shù)\(y=x^{-2}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。（）3.函數(shù)\(y=3x^{2}\)是冪函數(shù)。（）4.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\lt0\)）的圖象一定不過原點(diǎn)。（）5.冪函數(shù)\(y=x^{\frac{3}{2}}\)是奇函數(shù)。（）6.若冪函數(shù)\(y=x^{m}\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則\(m\gt0\)。（）7.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖象與坐標(biāo)軸最多有一個交點(diǎn)。（）8.冪函數(shù)\(y=x^{4}\)的圖象比\(y=x^{2}\)的圖象在\((0,+\infty)\)上增長得快。（）9.冪函數(shù)\(y=x^{-\frac{1}{2}}\)的定義域是\(\{x|x\gt0\}\)。（）10.所有冪函數(shù)在\((0,+\infty)\)上都有定義。（）答案：1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述冪函數(shù)\(y=x^{n}\)（\(n\)為正整數(shù)）的奇偶性規(guī)律。答案：當(dāng)\(n\)為偶數(shù)時，冪函數(shù)\(y=x^{n}\)是偶函數(shù)；當(dāng)\(n\)為奇數(shù)時，冪函數(shù)\(y=x^{n}\)是奇函數(shù)。2.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)的圖象過點(diǎn)\((3,\frac{1}{9})\)，求\(\alpha\)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。答案：將點(diǎn)\((3,\frac{1}{9})\)代入\(y=x^{\alpha}\)，得\(3^{\alpha}=\frac{1}{9}=3^{-2}\)，所以\(\alpha=-2\)。函數(shù)\(y=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\)，在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。3.比較\(2^{\frac{1}{2}}\)與\(3^{\frac{1}{3}}\)的大小。答案：對\(2^{\frac{1}{2}}\)與\(3^{\frac{1}{3}}\)分別進(jìn)行\(zhòng)(6\)次方運(yùn)算，\((2^{\frac{1}{2}})^6=2^{3}=8\)，\((3^{\frac{1}{3}})^6=3^{2}=9\)，因為\(8\lt9\)，所以\(2^{\frac{1}{2}}\lt3^{\frac{1}{3}}\)。4.說明冪函數(shù)\(y=x^{0}\)的定義域、值域及圖象特征。答案：定義域為\(\{x|x\neq0\}\)，值域為\(\{1\}\)。圖象是直線\(y=1\)去掉點(diǎn)\((0,1)\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)在\(\alpha\gt0\)和\(\alpha\lt0\)時，函數(shù)圖象在第一象限的變化趨勢有何不同？答案：當(dāng)\(\alpha\gt0\)時，在第一象限內(nèi)函數(shù)圖象單調(diào)遞增，且\(\alpha\)越大，圖象上升速度越快；當(dāng)\(\alpha\lt0\)時，在第一象限內(nèi)函數(shù)圖象單調(diào)遞減，且向兩坐標(biāo)軸無限趨近。2.結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，討論如何根據(jù)冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)中\(zhòng)(\alpha\)的值快速畫出函數(shù)在第一象限的大致圖象？答案：先看\(\alpha\)正負(fù)，\(\alpha\gt0\)圖象上升，\(\alpha\lt0\)圖象下降。再看\(\alpha\)與\(1\)的大小關(guān)系，\(\alpha\gt1\)圖象下凸上升快，\(0\lt\alpha\lt1\)圖象上凸上升慢，根據(jù)這些特點(diǎn)可畫出大致圖象。3.討論冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在形式和性質(zhì)上的主要區(qū)別。答案：形式上，冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)（\(x\)是自變量，\(\alpha\)是常數(shù)），指數(shù)函數(shù)\(y=a^{x}\)（\(a\)是常數(shù)且\(a\gt0,a\neq1\)