突破解三角形專(zhuān)項(xiàng)2026屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)兩把刷子解三角形的正弦定理余弦定理解三角形教學(xué)法指導(dǎo)Ⅰ兩個(gè)定理01PART正弦定理余弦定理其中：R為三角形外接圓半徑.邊角對(duì)應(yīng)得比值連等式?囊括三角形的6個(gè)量前提：在三角形中價(jià)值之處：左變量為角、右變量為邊[2020年甲文11.]在△ABC

中，

，

，

，則A.B.C.D.典例1[2020年甲理7.]在△ABC中，，，，則A.B.C.D.[2018年卷Ⅱ理科6.]在△ABC中，,,,則A．

B．

C．

D．

[2025年Ⅱ卷5.][2024年甲卷11.改編]△ABC中，若

，,則

（

）A． B． C． D．法1由邊向角的轉(zhuǎn)化又代入上式法2函數(shù)消元思想排除ABD思考：已知三邊,怎樣求三個(gè)角的余弦值呢？變形：CBAbac邊角互化的思想已知兩邊及夾角求第三邊(SAS)已知三邊求三角（SSS)余弦定理的選擇：由角決定用“腳”決定的事兒余弦定理面積公式向量?jī)?nèi)積

正余弦定理優(yōu)先規(guī)則1.已知一邊及對(duì)應(yīng)角2.已知兩個(gè)角1.已知兩邊及一角2.已知三邊觀察永不過(guò)時(shí)公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)兩個(gè)定理拓展技能03PART邊角互化將邊和角進(jìn)行有機(jī)統(tǒng)一起來(lái)是正余弦定理的價(jià)值體現(xiàn).“角”的核心就是“邊與邊的位置關(guān)系”前提：齊次式類(lèi)型1邊化角角化邊類(lèi)型2思考：為什么必須要是齊次式？[2019年卷Ⅰ理17.]已知在△ABC中，設(shè).(1)求A;(2)若,求.[2018年Ⅰ卷理17.]在平行四邊形ABCD中，(1)求;(2)若

，求BC.04PART由角決定三角形的面積公式類(lèi)型1類(lèi)型2其中：

為周長(zhǎng)，

為內(nèi)切圓半徑.等面積法內(nèi)切圓問(wèn)題類(lèi)型3其中：

為半周長(zhǎng).無(wú)需角度三邊關(guān)系聯(lián)想：扇形面積一致性？

體會(huì)數(shù)學(xué)的自洽美.類(lèi)型4其中：

為外接圓半徑.類(lèi)型5其中：無(wú)邊坐標(biāo)類(lèi)型6向量無(wú)角05PART判斷三角形的形狀能力提升在△ABC中，“sinA<cosB”是“△ABC為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件典例1在△ABC中，若

，,則△ABC的形狀（

）A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解三角形Ⅱ函數(shù)與導(dǎo)數(shù)分點(diǎn)突破審題有什么求什么是什么要什么化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)換怎么用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)怎么做？數(shù)學(xué)意義數(shù)學(xué)性質(zhì)數(shù)字特征使之成立的條件思維與方法論00PART化簡(jiǎn)舉例法1數(shù)學(xué)敏感數(shù)值0的特殊性?移項(xiàng)得法2眼光獨(dú)到系數(shù)1，

的特殊性?輔助角公式得變1變2在三角形ABC中法3?解方程組雙基應(yīng)用反解代入或因?yàn)榻獾盟宰?法4?平方關(guān)系主動(dòng)改造?弦化切所以變4(1)(2)求求法5?萬(wàn)能公式所以或或舍所以變5萬(wàn)能公式揭示sin,cos,tan的內(nèi)在本質(zhì).法6根與系數(shù)的關(guān)系?方程思想所以將看作方程解得：所以或者若所以改變6法7構(gòu)造共軛型?解方程組改所以在三角形中所以聯(lián)立得改7審題有什么求什么是什么要什么解方程正(余)弦定理+面積公式怎么用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)怎么做？數(shù)學(xué)意義數(shù)學(xué)性質(zhì)數(shù)字特征使之成立的條件

兩邊及對(duì)角

等式右邊為0邊+面積兩鄰邊及夾角敏感數(shù)字

[2017年卷Ⅲ]在△ABC中,已知,,b=2.

(1)求c.

(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC,求△ABD的面積.數(shù)形結(jié)合面積問(wèn)題01PART典例1

[2017年卷Ⅲ]在△ABC中,已知,,b=2.

(1)求c.

(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC,求△ABD的面積.4所求對(duì)象(i)求角B.→正弦定理(ii)求面積.→面積公式法一：建方程?算兩次4在△ABD中在Rt△ACD中mx得重新代入，得法二：角分線定理ACBDmn得又得在Rt△ACD中24法三：數(shù)學(xué)敏感ACBDmn24所以角分線定理的本質(zhì)：等面積法法四：借助輔助線ACBDmn24E2在Rt△AEB中[2023年乙卷理18.]真題演練[2017年全國(guó)卷Ⅱ]在△ABC中,已知

.①求cosB;②若a+c=6，△ABC的面積為2，求b.真題演練逆向求解[2018年卷Ⅲ理科9.]若△ABC的面積為

，則A．

B．

C．

D．

[2024年Ⅰ卷15.][2025年Ⅰ卷11.]（多選）面積最值問(wèn)題02PART

在△ABC中，已知,.

(1)求B.

(2)求△ABC面積的最大值.典例2任務(wù)1：化簡(jiǎn)理論上邊化角or角化邊都行，但是具體的選擇運(yùn)算量不同。為什么要齊次式？為什么選擇角化邊？對(duì)比：可約!哪里有這個(gè)式子特征？決定接下來(lái)的選擇！可約!不能分割的整體在上單調(diào)遞減所以唯一值第2問(wèn)，我們不妨先來(lái)猜測(cè)一下！固定角B固定，邊AC固定.猜一下：什么情況下取最值？最值是什么樣的情況？特殊（極端）情況！等腰三角形是特殊情況！選擇面積公式下求：ac的最小值路徑1正弦定理+三角函數(shù)由正弦定理有所以將a,c分別表達(dá)出來(lái)，可以利用函數(shù)思想研究其任何形式的組合所以這種方法是優(yōu)先掌握，且適用性更廣.則因?yàn)榛?jiǎn)，整理得（涉及：恒等變換，輔助角公式，降次公式）所以（涉及：三角函數(shù)的值域問(wèn)題）適應(yīng)性廣

，涉及的知識(shí)面也廣，但都是同一板塊.進(jìn)一步地：當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，面積最大.符合預(yù)期！路徑2余弦定理+不等式由余弦定理化簡(jiǎn)得想要的保留不要的轉(zhuǎn)化由重要不等式有解得所以與基本不等式知識(shí)的融合更簡(jiǎn)潔和高效但適用性沒(méi)有法一廣泛思維訓(xùn)練?策略應(yīng)用在△ABC中，.(1)求

的值;(2)若b=2，求△ABC面積的最大值.題目

3.需不需要邊角互化？為什么？問(wèn)題：1.恒等式的形式讓你想到了什么？余弦定理2.哪個(gè)余弦定理？

邊角互化的特征不滿(mǎn)足.

(1)

觀察：1.式子有哪些特征？平方+2倍+A,B,C同時(shí)出現(xiàn)2.先做什么？

3.又出現(xiàn)什么新情況，怎么辦？

4.接下來(lái)？降次+倍角

====5.條件有什么，缺什么，怎么辦？

6.知一得二：角度的范圍?決定正負(fù)(2)

策略：1.面積公式的選擇由什么決定？角

一方面，由余弦定理：

另一方面，由重要不等式：

則

得

所以

在△ABC中，已知.[2019年卷Ⅲ理科18.](1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.真題演練周長(zhǎng)問(wèn)題03PART典例3[2024年Ⅱ卷15.]角分線問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)突破03PART[23屆市一模20.]已知?ABC中，.(1)求B；(2)若b=3，BD為∠ABC的角平分線，D在AC上，且BD=2，求?ABC的面積.典例3角分線問(wèn)題?等面積法ABCD解：(1)②①

思考2：使用等面積法的前提條件是什么？面積可表達(dá)是使用等面積法的關(guān)鍵.32ca

化簡(jiǎn)得：思考1：欲求面積，已知什么？使用哪個(gè)公式？需要什么？怎么產(chǎn)生？

等面積法

思考4：有積有和，想到完全平方，進(jìn)而利用余弦定理.

余弦定理思考5：公式：余弦定理的選擇，依據(jù)什么原則？①已知條件限制，②目的指導(dǎo)方向

?角分線定理補(bǔ)充

ABCD另解

由①②得

化簡(jiǎn)得

已知△ABC中.(1)求角A的大小；(2)若AD平分∠BAC并交BC于D，且AD=2，a=3，求?ABC的面積．?ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，已知AB＝2，AC＝AD＝1．(1)若∠CAD＝30°，求sinB的值；(2)若AD平分∠BAC，求BC的長(zhǎng)．針對(duì)訓(xùn)練1針對(duì)訓(xùn)練2對(duì)比實(shí)驗(yàn)在?ABC中，

．(1)求角C；(2)若

，D為BC的中點(diǎn)，在下列兩個(gè)條件中任選1個(gè)，求AD的長(zhǎng)度.條件①：

且;②:.賞析：1.仔細(xì)觀察、熟悉公式結(jié)構(gòu).2.邊角互化等技能是一種思維方式或解決路徑，但并不意味任何時(shí)候都需要.3.結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題.（1）觀察1：關(guān)于邊是齊次，想邊角互化，運(yùn)算量大，不推薦！觀察2：式子結(jié)構(gòu)中包含余弦定理原式可化為特征：弦切混現(xiàn)+邊角混出利用：商數(shù)關(guān)系+邊角互化特征：A,B,C同時(shí)出現(xiàn)利用：內(nèi)角和公式消角，消單都的項(xiàng)為最佳.利用：恒等變換公式打開(kāi)，消項(xiàng).因?yàn)樗訡ABD注意：AD分的不是角C，不滿(mǎn)足角分析模型.選①面積公式余弦定理暴力解方程所以又因?yàn)榈迷凇鰽BC中CABD在△ABC中本質(zhì)余弦定理向量CABD選②由正弦定理4法一：可以用余弦定理算出BC，然后與選①一致.法二：鞏固角分線模型.（非常麻煩）又，D是BC的中點(diǎn)又，等面積法CABD4此時(shí)只知道

是不夠的，需要計(jì)算出具體的值.不再深入[2019年卷Ⅰ理科17.]已知在

中，設(shè).(1)求A;(2)若,求.二級(jí)結(jié)論Ⅲ射影定理01PART例：在?ABC中，若

則?ABC的形狀為（

）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定分角截邊爪型三角形模型雞爪模型02PART角平分線定理ABCD

證明：在?ABD中

在?ACD中

兩式作比得：

類(lèi)型一AD分角模型角分線定理ABCD在?ABC中，D是BC上一點(diǎn)，則：

在?ACD中

證明：在?ABD中

兩式作比得：進(jìn)一步:角分線模型缺點(diǎn)：分線AD無(wú)法表達(dá)上[2023年省適應(yīng)性考試?yán)?5.]在?ABC中，點(diǎn)D在BC邊上一點(diǎn)，BD=2DC，AB=2,

，則

.ABCD232角分線定理的本質(zhì)：等面積法

ABCD

②①

思考2：使用等面積法的前提條件是什么？面積可表達(dá)是使用等面積法的關(guān)鍵.32ca

化簡(jiǎn)得：思考1：欲求面積，已知什么？使用哪個(gè)公式？需要什么？怎么產(chǎn)生？

等面積法

思考4：有積有和，想到完全平方，進(jìn)而利用余弦定理.

余弦定理思考5：公式：余弦定理的選擇，依據(jù)什么原則？①已知條件限制，②目的指導(dǎo)方向

在?ABC中，滿(mǎn)足

．（Ⅰ）判斷?ABC的形狀；（Ⅱ）若點(diǎn)D在線段AC上，且CD＝2DA，

，求tanA的值．極化恒等式D其中D為BC中點(diǎn)①類(lèi)型二AD截邊模型②共軛關(guān)系①2+②2得中線三邊中線定理[2023年Ⅱ卷17.]思維訓(xùn)練?策略應(yīng)用在△ABC中，.(1)求證;(2)若b=4，且D是邊AC的中點(diǎn)，求BD的最小值.法一：跨知識(shí)板塊應(yīng)用（橢圓）由（1）知b=4DB所以B點(diǎn)的軌跡是以A.C為焦點(diǎn)的橢圓（除左右頂點(diǎn)）其中D為原點(diǎn).半焦距為：2長(zhǎng)半軸為：6得，短半軸為所以，根據(jù)橢圓的性質(zhì)知，BD最小值為短半軸長(zhǎng)法二：二級(jí)結(jié)論應(yīng)用（中線定理）DD為中點(diǎn)由中線定理由重要不等式所以法三：基本技能應(yīng)用（算兩次）D設(shè)因?yàn)樗杂芍匾坏仁降盟訹2021年貴州省適應(yīng)性考試]在△ABC中，已知△ABC的面積為，.(1)若,求a.(2)若D為BC邊的中點(diǎn)，求線段AD長(zhǎng)的最小值.

中線問(wèn)題04PART分邊線ABCD當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)算兩次極化恒等式由向量的平行四邊形法則得特別地，證明：向量味4O極化恒等式OM其中M為AB中點(diǎn)證明：逆向思維當(dāng)|OM|最大時(shí)，原式取最大O法一向量法法二正弦定理法三輔助線法四等面積法法五余弦定理法六建系[2023年市三模理16.]在?ABC

中，

，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且

，

則

的最小值為

.ABCD法一ABCD素養(yǎng)：①高級(jí)點(diǎn)向低級(jí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化②已知A③抓住所求①②③整體代換當(dāng)時(shí)此時(shí)為等腰三角形[2023年市三模理16.]在?ABC

中，

，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且

，

則

的最小值為

.法二ABCD在素養(yǎng)：①角A和邊BC②抓住所求AB在素養(yǎng)：③抓住所求AD④契合前面角C⑤已表達(dá)出CD當(dāng)時(shí)選擇大于努力[2023年市三模理16.]在?ABC

中，

，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且

，

則

的最小值為