2025—2026學(xué)年三晉聯(lián)盟山西名校高二12月聯(lián)合考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊第四章。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.直線5x+y-1=0的斜率為

A.5B.-5CD

2.數(shù)列1,—16,81,—256,…的一個通項公式可以為

A.a=(一1)”·n?B.an=(一1)"+1·(7n2—6n)

C.a=(一1)”+1·n?D.an=(一1)”+1·(15n—14)

3.若直線y=x與圓C:x2+y2—4y-m=0相切，則m=

A.—2B.-1C.0D.1

4.在等比數(shù)列{an}中，a?a?a10=2a?a7,且a12=54,則a?=

A.36B.27C.18D.9

5.已知x,y∈R,復(fù)數(shù)z?=x+yi,z2=x—2yi,點P(x,y),若z?z2的實部為4,則

A.P的軌跡是實軸長為4的雙曲線

B.P的軌跡是短軸長為4的橢圓

C.P的軌跡是實軸長為2√6的雙曲線

D.P的軌跡是短軸長為2√2的橢圓

6.打籃球是一項以手為中心的身體對抗性體育運動.如圖，這是一個籃球的平面圖形，籃球的外

形輪廓為圓O,將籃球表面的黏合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分.設(shè)該雙曲線的中心在原

點O,焦點在x軸上，y軸、雙曲線與圓O的交點將圓O的周長六等分，且|BC|=2|AB|=

2|CD|,則該雙曲線的離心率是

AB.√5

CD.√3

【高二數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】

7.已知直線l過點(2,0)且與直線y=x平行，P為拋物線C:x2=4y上的動點，P到C的準(zhǔn)線

的距離為d?,P到l的距離為d?,則d?+d2的最小值為

AB.√2CD.2√2

8.如圖，在四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，側(cè)面ADD?A?⊥底面ABCD,四邊形ABCD是正方

形，四邊形ADD?A?是菱形，且∠A?AD=60°,E,F,G分別是棱BC,DD?,AD的中點，則異

面直線EF與B?G所成角的余弦值是

A

B.

C.

D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若直線ax+(a-4)y-1=0與直線ax+2y+13=0垂直，則a的值可能為

A.—2B.4C.—4D.2

10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d≠0,若存在正整數(shù)m,k(m≠k),使得Sm=S,,則

A.Sm+k=0B.當(dāng)n<m+k時，S=Sm+k-n

C.S,存在最小值D.當(dāng)m+k為偶數(shù)時，

11.已知曲線Ω:x?+x2y2=4x2,直線l的斜率為k,且l過點A(4,0),則

A當(dāng)時，l與Ω只有1個公共點

B.當(dāng)時，l與Ω有3個公共點

C.橢圓與Ω有6個公共點

D.當(dāng)拋物線y=3+ax2與Ω有5個公共點時，

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2”+n—7,則當(dāng)n≥2時，an=.▲_.

13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，A(2,0,0),B(0,2,0),C(2,4,-2√2),D(x,3,√2),且AB⊥

BD,則x=.▲_,四面體ABCD的體積為▲_.

14.已知雙曲線1,A(0,1),B(0,一1),P為C上一點，且P在第一象限，直線PA

與直線l:y=4交于點M,直線PB與l交于點Q,M與M′關(guān)于y軸對稱，則|M′Q|的最小

值為▲_.

【高二數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為S,a?=1,a?=9.

(1)求{an}的通項公式；

(2)求Sn;

(3)求數(shù)列的前n項和Tn.

16.(15分)

已知雙曲線C的虛軸長為4,F?,F2分別是C的左、右焦點.

(1)求C的漸近線方程.

(2)若P是C的右支上一點，且|PF?I+|PF?|=4√2,求|PF?I.

(3)是否存在直線l,使得直線l與C交于A,B兩點，且弦AB的中點為P(√2,2√2)?若存

在，求l的傾斜角；若不存在，請說明理由.

17.(15分)

如圖，在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，底面ABCD為菱形.

(1)證明：BD⊥A?C.

(2)若底面ABCD為矩形，BD=2√2,AA?=3,二面角C-A?B-C?為θ,求cos20.

【高二數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】

18.(17分)

已知橢圓C(a>1)的長軸長為4,F?,F2分別為C的左、右焦點

(1)求C的方程與離心率；

(2)設(shè)P為C上的動點，延長F?P至點Q,使得|PQ|=|PF?|,求動點Q的軌跡方程；

(3)設(shè)(2)中動點Q的軌跡為曲線Ω,若直線l:y=kx+1與C交于A,B兩個不同的點，且

l被Ω截得的弦長為2√15,求|AB|.

19.(17分)

定義：若an=bn+cn,且{bn}和{cn}是公比不相同的等比數(shù)列，則稱{an}為“混雙等比數(shù)

列”.已知數(shù)列<a》滿足a1=3,an+1=3an+k·5”,其中常數(shù)k≠0且

(1)證明：{an+1-5a}是等比數(shù)列.

(2)設(shè){an}的前n項和為S,,若{S,}是“混雙等比數(shù)列”,求k的值.

(3)若“混雙等比數(shù)列”{pn}滿足p,=k?9”+k?q2,1<q?<q?,{pn}的前n項和為Tn,{Tn}

也是“混雙等比數(shù)列”,證明：當(dāng)1<i<j(i,j∈N)時，pip;>0.

【高二數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】

2025—2026學(xué)年三晉聯(lián)盟山西名校高二12月聯(lián)合考試

數(shù)學(xué)參考答案

1.B直線5x+y-1=0的斜率為一5.

2.C數(shù)列1,—16,81,—256,…的一個通項公式可以為an=(一1)”+1·n4.

3.A由x2+y2—4y-m=0,得x2+(y-2)2=m+4,則圓C的圓心(0,2)到直線y=x的距

離,得m=—2.

4.C由等比數(shù)列的性質(zhì)得a?a10=a?a7,得a?=2.由a12=a?q?=54,得q?=27,得q3=3,所

5.D因為z1Zz=(x+yi)(x-2yi)=x2+2y2—xyi,所以z1≈2的實部為x2+2y2,若x2+

2y2=4,則,所以P的軌跡是短軸長為2√2的橢圓.

6.A設(shè)雙曲線的方程(a>0,b>0),則IOC|=a.因為IBCI=2IAB|=21CDI,

所以A|B|=|OC|=a,所以|OA|=2a,即圓O的半徑為2a.因為y軸、雙曲線與圓O的交

點將圓O的周長六等分，所以點(√3a,a)在該雙曲線上，所,解得,則該

雙曲線的離心率

7.C依題意得直線l的方程為y=x-2,設(shè)C的焦點為F,則F(0,

1),d?=|PF|.

由圖可知d?+d2的最小值為點F到直線l的距離，且最小值為

8.D連接A?G,EG,易證GE,GD,GA?兩兩垂直，則以G為

坐標(biāo)原點，GE,GD,GA?所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2,則B?(2,0,

故

√3),E(2,0,0),,,G(0,0,0),EF=(-2,

設(shè)異面直線EF與B?G所成的角為θ,

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(共7頁)】

9.CD依題意可得a2+2(a-4)=0,解得a=-4或a=2.

10.AB設(shè)S,=An2+Bn,由Sm=S?(m≠k),可知二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx的圖象關(guān)于直

線對稱，所以f(m+k)=f(0)=0,即Sm+k=0,A正確.因為f(n)=f(m+k—

n),所以當(dāng)n<m+k時，S,=Sm+k一，B正確.取a=5—2n,則S?=S?,但S=4n-n2不

存在最小值，C錯誤.若m+k為偶數(shù)，不妨設(shè)m<k,由S?-Sm=0,可得am+1+am+2+…

+ak=0,即,則am+1+aE=0,即am+a?+d=0,即

所以不成立，D錯誤.

11.ACD由x?+x2y2=4x2,得x2(x2+y2—4)=0,即x=0或x2

+y2=4,所以Ω由圓O:x2+y2=4與y軸組成，當(dāng)時，因

x

為O到l:y=k(x-4)的距離

2,所以l與圓O相離，則l與Ω只有1個公共點，A正確.當(dāng)時，l與y軸的交點恰

在圓O上，所以l與Ω只有2個公共點，B錯誤.

因為橢圓的四個頂點的坐標(biāo)為(一1,0),(1,0),(0,—3),(0,3),所以橢圓x2+

與Ω有6個公共點，C正確.當(dāng)拋物線y=3+ax2與Ω有5個公共點時，由圖可知，a

<0,由得a2x?+(1+6a)x2+5=0,則

解得,D正確.

12.2”?1+1當(dāng)n≥2時，an=S,-S-1=2”-1+1.

13.1;,BD=(x,1,√2),則AB·BD=-2x+2=0,解得x=1.因為

BD=(1,1,√2),BC=(2,2,-2√2),所以AB·BC=-4+4=0,則AB⊥BC,又BD∩BC

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(共7頁)】-

=B,所以AB⊥平面BCD.因為BD·BC=2+2-4=0,所以BD⊥BC.因為AB=2√2,

BC=4,BD=2,所以四面體ABCD的體積為

14.6√5設(shè)P(x,y)(x>0,y>0),

則,即

設(shè)直線PA的斜率為k(k>0),則直線PB的斜率

所以直線PA的方程為y=kx+1,直線PB的方程為：1,所以),Q(15k,

4),則,當(dāng)且僅當(dāng)

15k,即時，等號成立，所以|M′Q|的最小值為6√5.

15.解：(1)設(shè){an}的公差為d,則,……………2分

所以an=1+4(n—1)=4n-34分

(2)由(1)知

,……10分

所以.……13分

【評分細(xì)則】

第(1)問還可以這樣解答：

因為a?=a?+2d=1+2d=9,……………1分

所以d=4,…………………2分

所以an=1+4(n—1)=4n-3.………………4分

16.解：(1)因為C的虛軸長為4,所以2√m=4,分

解得m=4,…………2分

所以a2=2,b2=4,解得a=√2,b=2,………………3分

故C的漸近線方程為y=±√2x.……………………4分

(2)因為P是C的右支上一點，所以|PF?I-|PF?|=2a=2√2,6分

又|PF?I+|PF?|=4√2,所以|PF?I=3√2.……………8分

(3)設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(x?,y1),(x2,y2),

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(共7頁)】

………………9分

兩式相減得2(x?-x2)(x?+x2)—(y?-y?)(y?+y?)=0,…………10分

依題意可得………………11分

所以，……………………13分

由(1)知C的漸近線方程為y=±√2x.

因為0<1<√2,所以直線l與C相交，………………14分

故直線l的傾斜角為……………15分

【評分細(xì)則】

【1】第(1)問還可以這樣解答：

依題意可得2b=4,……………………1分

則b=2,………………………2分

所以C的漸近線方程為.,即y=±√2x.……………4分

【2】第(3)問還可以通過聯(lián)立方程y=x+√2,得x2—2√2x—6=0,則△=8+

24>0,所以直線l與C相交，直線l的傾斜角還可以寫為45°.

17.(1)證明：連接AC,交BD于點O1分

因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD2分

在直四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AA?⊥平面ABCD,則AA?⊥

BD.……………3分

因為AA?∩AC=A,所以BD⊥平面ACC?A?,………………4分

因為A?CC平面ACC?A?,所以BD⊥A?C.……5分

(2)解：因為底面ABCD既是菱形，又是矩形，所以底面ABCD為正方形.……………6分

以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(2,2,0),C(0,2,0),A?(2,0,3),

C?(0,2,3),…………8分

則A?B=(0,2,-3),CB=(2,0,0),A?C?=(-2,2,0).………9分

設(shè)平面A?BC的法向量為n=(x,y,z),則n·A?B=2y-3z=0,n·CB=2x=0,……

…………………………10分

令y=3,得n=(0,3,2)11分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(共7頁)】

設(shè)平面A?BC?的法向量為m=(x',y′,z'),則m·A?B=2y'-3z'=0,m·A?C?=-2x′

+2y'=0,………………12分

令y'=3,得m=(3,3,2).…………13分

,……14分

…………15分

【評分細(xì)則】

【1】第(1)問中，未寫“AA?⊥平面ABCD”,直接得到“AA?⊥BD”,扣1分；未寫“AA?∩AC

=A”,扣1分；未寫“A?CC平面ACC?A?”,扣1分.

【2】第(2)問中，注意到二面角C-A?BC?為銳角，所以“

”寫為“,不扣分

18.解：(1)因為C的長軸長為4,且,所以2a=4,……………1分

則a=2,所以C的方程…………………2分

所以C的離心率……………………3分

(2)依題意可得|F?Ql=|PF?I+|PQ|=|PF?I+|PF?|=2a=4,5分

由(1)得F?(一√3,0),……………………6分

所以動點Q的軌跡是以F?為圓心，4為半徑的圓，……7分

故動點Q的軌跡方程為(x+√3)2+y2=168分

(3)設(shè)點F?到直線l的距離為d,則…………………9分

因為1被Ω截得的弦長為2√15,所以d=√15-(√14)2=1,……分

所以,整理得k2=2√3k,……………·11分

解得k=0或k=√3·12分

將y=kx+1代得(1+4k2)x2+8kx=0,………………13分

解得z?=0,……………14分

當(dāng)k=0時，x?=x?=0,所以k≠0,……………………15分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第5頁(共7頁)】

………………17分

【評分細(xì)則】

【1】第(1)問中，未寫“”,扣1分.

【2】第(3)問中，未寫“k2=2√3k”,但由,解得k=0或k=√3,不扣分；最后

一行中，只要寫了“|AB|=√1+k2|x?-x?|”,就可給1分.

【3】第(3)問中，求得k=0或k=√3后，還可以這樣解答：

當(dāng)k=0時，l與C只有一個公共點，則k≠0.…………12分

所以k=√3,將y=√3x+1代,得13x2+8√3x=0,……13分

解得：z?=0,……………………14分

………17分

19.(1)證明：由題意得an+1-5an=3a+k·5”—5an=-2an+k·5”,1分

則an+2-5an+1=-2a+1+5k·5”=-2(3an+k·5”)+5k·5”=—6a+3k·5”,

所以an+2-5an+1=3(an+1-5an).………………3分

又a?—5a?=(3×3+5k)-5×3=5k—6≠0,4分

所以{an+1-5an}是以5k—6為首項，3為公比的等比數(shù)列.………5分

(2)解：由(1)可得an+1-5an=(5k—6)·3”?16分

又因為an+1=3an+k·5”,所以一2an+k·5”=(5k—6)