高一數(shù)學考試

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊前四章。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知集合A={x|1<2x-1<3},B={x|x2-3=0},則A∩B=

A.{一√3,√3}B.{√3}C.{—√3}D.?

2.已知a>0,則3a√a的分數(shù)指數(shù)冪的形式為

A.aBCD.c

3.函數(shù)f(x)=x3-11的零點所在區(qū)間是

A.(5,6)B.(4,5)C.(3,4)D.(2,3)

4.已知a=log43,b=log42,c=4?.?,則

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

5.已知函數(shù)f(x)=x+loga(x+3)(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過定點P,則P的坐標為

A.(-3,—2)B.(-2,—3)

C.(一2,—2)D.(一3,—3)

6.已知a>0且a≠1,則函數(shù)y=a?+a與函數(shù)y=ax—a在同一平面直角坐標系中的部分圖

象可能為

ABCD

【高一數(shù)學第1頁(共4頁)】·YN·

7.已知函數(shù)f(x)滿足Vx,y∈R,yf(x)-xf(y)=x-y,且f(0)+f(1)=0,則f(2)=

A.6B.5C.4D.3

8.當O≤m≤3時，不等式x2—(m+2)x+m—3<0恒成立，則x的取值范圍為

A.(一1,5)B.(一1,3)

C.(0,3)D.(0,5)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列結論正確的是

A.“AUB=B”是“A=”的充要條件

B.“a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要條件

C.“l(fā)og?x<2”是“x<4”的必要不充分條件

D.“a=0”是“”的充要條件

10.已知實數(shù)x,y滿足Inx—Iny>e-e2,則

AB.lg(x-y)>0

C.√2>2D.2*->1

11.已知函數(shù)若x?,x2,x3,x4(x?<x?<x?<x4)是關于x的方

程f(x)=k的四個不相等的實數(shù)根，則

A.0<k≤3

B

C.x?+x?+x?+x?的最小值為0

D.方程f(f(x))=0有6個不相等的實數(shù)根

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)的定義域為▲.

13.已知a>0,且a+a?1=5,則a2+a?2=▲_.

14.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增，且f(2)=0,則不等式(2*-1-1)·

f(x)>0的解集為▲.

【高一數(shù)學第2頁(共4頁)】·YN·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知0<a<5,0<b<4.

(1)若ab=6,證明：a2+b2≥12.

(2)求2a—3b的取值范圍.

16.(15分)

(2)已知2“=6,6=24,求1的值.

17.(15分)

已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點),函數(shù)

(1)證明：g(x)是偶函數(shù).

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明g(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增.

(3)求不等式g(x+2)-g(一x)≤0的解集.

【高一數(shù)學第3頁(共4頁)】·YN·

18.(17分)

太陽能帆板是航天器的重要組成部分，它利用光電效應將太陽能轉(zhuǎn)化為電能，為航天器的運

行提供動力.衛(wèi)星發(fā)射入軌后，攜帶的太陽能帆板在太陽的照射下會產(chǎn)生初始輸出功率

P(0),衛(wèi)星在太空中運行了t年后，太陽能帆板的輸出功率P(t)滿足InP(t)=—0.01t+

InP(O).已知某個衛(wèi)星的運行年限為15年.(參考數(shù)據(jù)：取e-0.15=0.86,e-?.05=0.95,e-0.11

<0.9<e-?.1)

(1)求當該衛(wèi)星到達運行年限時，所攜帶的太陽能帆板的輸出功率(用P(O)表示).

(2)有科學家提出，為了保證該衛(wèi)星的運行狀態(tài)良好，衛(wèi)星運行n(0<n<15)年后，在保證原

太陽能帆板正常運行的同時，加裝一組與原太陽能帆板性能相同的新太陽能帆板，試解

決下列問題.

(i)求該衛(wèi)星所攜帶的太陽能帆板的總輸出功率S(t)與衛(wèi)星運行時長t(單位：年)的關

系式，并求當n=10,且該衛(wèi)星達到運行年限時，所攜帶的太陽能帆板的總輸出功率(用

P(O)表示);

(ii)若要使得從加裝新太陽能帆板開始，直到達到運行年限，該衛(wèi)星所攜帶的太陽能帆

板的總輸出功率不低于1.76P(O),求正整數(shù)n的最小值.

19.(17分)

若函數(shù)f(x)滿足對任意m,n∈N,都有f(m)·f(n)<f(mn),則稱f(x)為“膨脹”

函數(shù).

(1)證明：為“膨脹”函數(shù).

(2)若f(x)為“膨脹”函數(shù)，證明：對任意k∈N*,都有f(k)>0.

(3)是否存在b∈R,使得為“膨脹”函數(shù)?若存在，求b的取值范圍；若不

存在，說明理由.

【高一數(shù)學第4頁(共4頁)】·YN·

高一數(shù)學考試參考答案

題序1234567891011

答案BADBCADCBDACDABD

題序121314

答案23(一∞,—2)U(0,1)U(2,十∞)

【評分細則】

【1】第1～8題，凡與答案不符的均不得分.

【2】第9題，全部選對的得6分，有選錯的不得分，每選對一個得3分；第10,11題，全部選對的

得6分，有選錯的不得分，每選對一個得2分.

【3】第12題的結果還可以寫;第13題的結果與答案不符的不得分；第

14題的結果還可以寫成{x|x<-2或0<x<1或x>2}.

1.B【解析】本題考查集合的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

因為A={x|1<x<2},B={一√3,√3},所以A∩B={√3}.

2.A【解析】本題考查指數(shù)的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

3.D【解析】本題考查函數(shù)零點存在定理，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

易知f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(2)=-3<0,f(3)=16>0,根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知，

f(x)的零點所在區(qū)間是(2,3).

4.B【解析】本題考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

因為4?.?>1,log42<log43<1,所以c>a>b.

5.C【解析】本題考查函數(shù)圖象過定點的問題，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

因為loga1=0,所以f(—2)=-2+loga1=-2,則P的坐標為(-2,—2).

6.A【解析】本題考查函數(shù)的圖象，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

若a>1,則y=a2+a在R上單調(diào)遞增，圖象過點(0,a+1),y=ax-a的圖象過點(1,0),

(0,—a),由—a<-1,可知A符合條件，B不符合條件.若0<a<1,則y=a?+a在R上單

調(diào)遞減，圖象過點(0,a+1),由a+1>1,可知D不符合條件，y=ax-a的圖象過點(1,0),

(0,—a),由一1<-a<0,可知C不符合條件.

【高一數(shù)學·參考答案第1頁(共7頁)】·YN·

7.D【解析】本題考查抽象函數(shù)求值，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

令x=1,y=0,得一f(0)=1,則f(0)=-1,f(1)=1.令x=2,y=1,得f(2)-2f(1)=1,

則f(2)=2f(1)+1=3.

8.C【解析】本題考查不等式恒成立問題，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

令f(m)=x2—(m+2)x+m-3=(1-x)m+x2—2x-3.由題可知f(m)<0在[0,3]上恒

成立，則即解得0<x<3.

9.BD【解析】本題考查充分條件、必要條件，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

若A=?,則AUB=B,若A={0,1},B={0,1,2},則AUB=B,故“AUB=B”是“A=

?”的必要不充分條件，A不正確.因為|b|≥0,所以由a>|b|,可得a2>b2,取a=-3,b=

2,則a2>b2,a<|b|,故“a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要條件，B正確.由log?x<2,可得

0<x<4,則“l(fā)og?x<2”是“x<4”的充分不必要條件，C不正確.

-1≥1,當且僅當a=0時，等號成立，則“a=0”是“”的充要條件，D正確.

10.ACD【解析】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

由Inx—Iny>e-e2,可得Inx+e>Iny+e.令f(x)=Inx+e,易知f(x)在(0,

十∞)上單調(diào)遞增，則由Inx+e?>lny+e,可得x>y>0,則π-y>0,,則1

lg1=0,V22=2>2,2?>>2?=1,lg(x-y)與0的大小關系不確定.

11.ABD【解析】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

作出f(x)的大致圖象，如圖所示.因為f(1)=3,所以由圖可知0<k≤3,A正確.因為x1,

x2,x3,x4(x?≤x?<x?<x?)是關于x的方程f(x)=k的四個不相等的實數(shù)根，函數(shù)y=

的圖象關于直線x=-2對稱，所以x?+x?=-一

1),則ln(x?-1)+ln(x?-1)=ln[(x?-1)(x?-1)]=0,則(x?-1)(x?-1)=1,整理得

,因為x4>x?>1,所,當且僅當x?=x?時，等號成立，因為x?≠x?,所以

不正確.當x≤1時，由f(x)=0,可得x=-2±√3,

,則x?+x?+x?+x?>0,C

【高一數(shù)學·參考答案第2頁(共7頁)】·YN·

當x>1時，由f(x)=0,可得x=2,則由f(f(x))=0,可得f(x)=-2±√3或f(x)=2.

,>-2+、

,,2<3,結

合圖象可知，f(x)=-2—√3無實數(shù)根，f(x)=-2+√3有2個不相等的實數(shù)根，f(x)=2

有4個不相等的實數(shù)根，故方程f(f(x))=0有6個不相等的實數(shù)根，D正確.

12.U(0,+∞)【解析】本題考查函數(shù)的定義域，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

由題可得且x≠0.

13.23【解析】本題考查指數(shù)的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

a2+a?2=(a+a-1)2—2=23.

14.(一∞,—2)U(0,1)U(2,十∞)【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與不等式，考查邏輯推理的核

心素養(yǎng).

因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增，且f(2)=0,所以當x∈(-2,0)U

(2,+∞)時，f(x)>0,當x∈(-∞,—2)U(0,2)時，f(x)<0.當x>1時，2-1-1>0,則

由(2?-1-1)f(x)>0,可得f(x)>0,解得x>2;當x<1時，2?-1-1<0,則由(2*-1-

1)f(x)>0,可得f(x)<0,解得x<-2或0<x<1.故原不等式的解集為(一∞,—2)U

(0,1)U(2,+∞).

15.【解析】本題考查不等式的性質(zhì)和基本不等式，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

(1)證明：因為ab=6,所以a2+b2≥2ab=12,3分

當且僅當a=b=√6時，等號成立，……………………5分

故a2+b2≥12.………………6分

(2)解：因為0<a<5,0<b<4,所以0<2a<10,0<3b<12,8分

則—12<-3b<0,……………………10分

則—12<2a—3b<10,12分

【高一數(shù)學·參考答案第3頁(共7頁)】·YN·

故2a-3b的取值范圍為(-12,10).……………13分

【評分細則】

第(1)問中，只寫取等條件為“a=b”,扣1分.

16.【解析】本題考查指數(shù)、對數(shù)的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

解：(1)原式=23×23+1-1g(4×25)………………4分

=22+1-2…………………6分

=3.…………………………7分

(2)因為2=6,6?=24,所以a=log26,b=log?24,9分

則ab=log224=log?4+log?6=2+log?6,…………11分

則……13分

=-2log?6+4+2log26……·14分

=4.………………………15分

【評分細則】

【1】第(1)問中，得到,(π—√2)°=1,各得1分；得到-21g2-1g25=-1g(4×

25),得2分；得到：,1g(4×25)=2,各得1分.

【2】第(2)問中，得到a=log26,b=log?24,各得1分.

17.【解析】本題考查冪函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)與不等式，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

(1)證明：由題可設f(x)=x”.因為f(x)的圖象經(jīng)過點,所以,解得

m=2,…………1分

則f(xz)=z2,

則g(x)的定義域為(-∞,0)U(0,十∞),關于原點對稱.………………2分

…………………3分

所以g(x)是偶函數(shù).………………………4分

(2)證明：Vx?,x?∈(0,十∞),且x?<xr2,5分

…………………7分

【高一數(shù)學·參考答案第4頁(共7頁)】·YN·

因為0<x?<x?,所以x?+x?>0,x?-x?<0,8分

則g(x?)<g(x?),則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增…………9分

(3)解：由g(x+2)-g(一x)≤0,得g(x+2)≤g(一x)…………………10分

因為g(x)是定義在(-∞,0)U(0,+∞)上的偶函數(shù)，且g(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增，所

………………………13分

解得x≤-1且x≠-2………………………14分

故原不等式的解集為(-∞,-2)U[-2,-1]……………15分

【評分細則】

第(3)問中，沒有考慮定義域，求得不等式的解集為(一∞,—1),扣2分.

18.【解析】本題考查函數(shù)的應用，考查應用意識.

解：(1)由lnP(t)=—0.01t+lnP(O),可得lnP(15)=—0.15+1nP(O)………………1分

則

……………………3分

則P(15)=0.86P(0)…………4分

故當該衛(wèi)星到達運行年限時，所攜帶的太陽能帆板的輸出功率為0.86P(O)……………5分

(2)(i)因為衛(wèi)星運行t年后，所攜帶的太陽能帆板的總輸出功率為S(t),

所以………………6分

由InP(t)=-0.01t+lnP(0),整理得P(t)=P(0)·e-0.01……………7分

……8分

若n=10,則該衛(wèi)星達到運行年限時的太陽能帆板的總輸出功率為S(15)=P(0)·(e-0.15

+e-?.05)=1.81P(0)…………10分

故當n=10,且該衛(wèi)星達到運行年限時，所攜帶的太陽能帆板的總輸出功率為1.81P(O).

…………………………11分

(ii)從加裝新太陽能帆板開始，直到達到運行年限，該衛(wèi)星所攜帶的太陽能帆板的總輸出功

率S(t)=P(t)+P(t-n)=P(0)·e-0.01+P(0)·e-?.01(1-n)(n≤t≤15)………………12分

【高一數(shù)學·參考答案第5頁(共7頁)】·YN·

顯然函數(shù)P(t)=P(0)·e-0.1與函數(shù)P(t-n)=P(0)·e-0.01(-一m)均在[n,15]上單調(diào)遞

減，所以S(t)在[n,15]上單調(diào)遞減………13分

要使得該衛(wèi)星所攜帶的太陽能帆板的總輸出功率不低于1.76P(0),則S(15)=P(15)十

P(15-n)=0.86P(O)+e-0.01(15-”)·P(O)≥1.76P(0)…………………14分

則e-0.0(15-m≥0.9…………15分

當n≥5時，一0.01(15—n)≥-0.1;當0<n≤4時，一0.01(15-n)≤-0.11.………16分

因為e-0.11<0.9<e??.1,所以正整數(shù)n的最小值為5……17分

【評分細則】

第(2)(ii)問中，若沒有寫出S(t)在[n,15]上單調(diào)遞減，直接計算S(15)≥1.76P(0),扣

2分.

19.【解析】本題考查新定義函數(shù)，考查數(shù)學抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

(1)證明：由.

,得………1分

因為m,n∈N*,所以mn+m+n+1>mn+1>0,則,且f(mn)>0…

………………………3分

則f(m)·f(n)<f(mn),故為“膨脹”函數(shù)………………4分

(2)證明：令m=n=1.因為f(x)為“膨脹”函數(shù)，所以[f(1)]2<f(1)……5分

得0<f(1)<1.…………6分

取m=k,k∈N*,n=1,則f(k)·f(1)<f(k),即f(k)[f(1)-1]<0.………………7分

因為0<f(1)<1,所以f(1)-1<0………8分

則f(k)>0…………………9分

(3)解：假設存在b∈R,使得為“膨脹”函數(shù)，則由(2)可知0<f(1)<1,

……………………10分