高二數(shù)學(xué)考試參考答案

題序1234567891011121314

答案BBABDCCABCABDBCD—13;6、

【評(píng)分細(xì)則】

【1】第1~8題,凡與答案不符的均不得分.

【2】第9題,全部選對(duì)的得6分,有選錯(cuò)的不得分,每選對(duì)一個(gè)得3分;第10,11題,全部選對(duì)的

得6分,有選錯(cuò)的不得分,每選對(duì)一個(gè)得2分.

【3】第12題,其他結(jié)果均不得分.

【4】第13題,第一空2分,第二空1分,第三空2分.

【5】第14題,第一空2分,第二空3分.

1.B【解析】本題考查直線的斜率,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

直線5r+y—1=0的斜率為—5.

2.B【解析】本題考查一元二次不等式的解法,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

由r2—7r—18<0,得(r—9)(r+2)<0,解得r∈(—2,9).

3.A【解析】本題考查雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

依題意得a2=6,b2=24,則a=、,b=2、,則雙曲線的漸近線方程為yr

=±2r,則r|,故r2=4.

4.B【解析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

5.D【解析】本題考查正方體的內(nèi)切球的表面積,考查空間想象能力.

設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為a,則該正方體內(nèi)切球的半徑為,所以

解得a=2、.

6.C【解析】本題考查分段函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn),考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算

的核心素養(yǎng).

令g(r)=0,得f(r)=m,作出f(r)的大致圖象,如圖所示,5—1=4,

f(1)=3,

由圖可知,當(dāng)m∈[3,4]時(shí),直線y=m與f(r)的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn),

從而g(r)只有1個(gè)零點(diǎn).

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第1頁(yè)(共7頁(yè))】26-002B●YN●

7.C【解析】本題考查直線與拋物線的綜合,考查直觀想象、邏輯推

理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

依題意得直線l的方程為y=r—2,設(shè)c的焦點(diǎn)為F,則F(0,1),

d1=|PF|.

由圖可知d1+d2的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離,且最小值為

8.A【解析】本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查邏輯推理與直觀想象的核

心素養(yǎng).

f(r)=2sin(2r+φ+(0,∈(φ+,φ+,因?yàn)?<φ<π,

所以φ+∈,∈,依題意可得φ+∈,∈,

),所以φ的取值范圍是,π).

9.BC【解析】本題考查相互獨(dú)立事件的概率,考查應(yīng)用意識(shí).

這三人都按時(shí)到達(dá)昆明市的概率為0.7×0.6×0.5=0.21,這三人中只有甲按時(shí)到達(dá)昆明市

的概率為0.7×(1—0.6)×(1—0.5)=0.14,這三人都未按時(shí)到達(dá)昆明市的概率為(1—0.7)

×(1—0.6)×(1—0.5)=0.06,這三人中至少有一人按時(shí)到達(dá)昆明市的概率為1—0.06=

0.94.

10.ABD【解析】本題考查復(fù)數(shù)與圓錐曲線的綜合,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).

若z1的共軛復(fù)數(shù)為2—3i,則—y=—3,即y=3,A正確.

時(shí)2,則的軌跡是離心率為的橢圓,

當(dāng)|z2|=2y=1P、=

B正確.

2222

因?yàn)閦1z2=(r+yi)(r—2yi)=r+2y—ryi,所以z1z2的實(shí)部為r+2y,

當(dāng)r2+2y2=4時(shí)P的軌跡是短軸長(zhǎng)為2、2的橢圓,C錯(cuò)誤,D正確.

11.BCD【解析】本題考查抽象函數(shù)與函數(shù)的奇偶性、周期性,考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心

素養(yǎng).

因?yàn)閒是奇函數(shù),f是偶函數(shù),所以f

f(—r—=f(r—(—r—f(r)=f(—r—,

令r=—,得f(—=—f—(—=0,

令r=,得f=f(——=f(—=0,B正確.

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第2頁(yè)(共7頁(yè))】26-002B●YN●

由f(∞)=—f(—∞—)及f(∞)=f(—∞—,得f(—∞—=—f(—∞—),設(shè)t

=—∞—,所以f(t)=—f(t—,則f(t)=f(t—π),即f(∞)=f(∞+π),C正確.

5π5π5ππ2π2ππ

令∞=,則f=f——=f(—π)=f(0)=—f—=—f—=

6(6)(66)(3)(36)

ππ

—f,D正確.f=0未必成立,A錯(cuò)誤.

(2)(12)

12.—1【解析】本題考查集合的子集,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)锳中只有1個(gè)元素,所以a=a2—2,解得a=—1或2,又A≤B,所以a=—1.

【解析】本題考查正三棱錐的體積及空間向量的數(shù)量積,考

查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

、32

過P作PO丄底面ABC,垂足為O,則CO=×、3×=1,所以PO

23

AC

1、3O

=、PC2—OC2=、15,則正三棱錐P-ABC的體積V=××D

34

B

—→—→—→—→—→—→—→—→—→

PA.BC=PA.(PC—PB)=PA.PC—PA.PB=0.連接PD,則PD丄AB,則

—→—→—→——→—→——→—→——→—→——→——→——→——→——→

AP.AD=AP.DB=|AD|2,PA.CD=PA.(CB+BD)=—PA.BC+PA.BD=

14.3;6、【解析】本題考查直線、雙曲線及基本不等式的綜合,考查直觀想象、邏輯推理及數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)镃的離心率為2,所以、=2,得m=3.設(shè)P(∞,y)(∞>0,y>0),

則y即y所以kPA.kPB

1

設(shè)直線PA的斜率為k(k>0),則直線PB的斜率為,

3k

所以直線PA的方程為y=k∞+1,直線PB的方程為y=∞—1,所以M(,4),Q(15k,

4),則M當(dāng)且僅當(dāng)=

15k,即k時(shí),等號(hào)成立,所以|M,Q|的最小值為6、.

15.【解析】本題考查解三角形,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

解及正弦定理得………3分

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第3頁(yè)(共7頁(yè))】26-002B●YN●

所以2sinC=cosC,………………………4分

所以tanC……………………6分

(2)由(1)知tanC則cosC…………………8分

由余弦定理,得c2=a2+b2—2abcosC=5+9—12=2,………………11分

則c=、,…………………12分

所以△ABC的周長(zhǎng)為、+3+、.………13分

【評(píng)分細(xì)則】

2

第(2)問中,cosC的結(jié)果寫為,不扣分;求c的過程中,未寫“c2=a2+b2—2abcosC”扣1分.

、

16.【解析】本題考查統(tǒng)計(jì),考查數(shù)據(jù)處理能力.

解:(1)因?yàn)锽餐廳滿意指數(shù)在[2,4)內(nèi)的學(xué)生有15人,所以2×b=,解得b=0.15.…

……………1分

因?yàn)?.15×2+a×2+0.2×2+0.05×2=1,所以a=0.10.……………2分

設(shè)B餐廳滿意指數(shù)的第40百分位數(shù)的估計(jì)值為y.

因?yàn)榈谝唤M的頻率為0.3,第二組的頻率為0.2,所以y………………4分

(2)設(shè)A餐廳滿意指數(shù)的平均數(shù)的估計(jì)值為rA,B餐廳滿意指數(shù)的平均數(shù)的估計(jì)值為rB,

則rA=2×(3×0.05+5×0.15+7×0.20+9×0.10)=6.4,…………6分

rB=2×(3×0.15+5×0.10+7×0.20+9×0.05)=5.6,………………8分

所以rA>rB,從而A餐廳滿意指數(shù)的平均數(shù)更大.……9分

22

(3)設(shè)B餐廳第三、四組滿意指數(shù)平均數(shù)分別為r1,r2,方差分別為s1,s2,

22

則r1=7,r2=9,s1=2,s2=1,……………10分

因?yàn)榈谌M有20人,第四組有5人,……………………11分

所以設(shè)第三組和第四組所有人的滿意指數(shù)的平均數(shù)的估計(jì)值為,方差的估計(jì)值為s2,

則…………………13分

…………………15分

【評(píng)分細(xì)則】

【1】第(1)問中,“a=0.10”也可以寫為“a=0.1”.

【2】第(2)問中,rA的計(jì)算過程寫為“rA=3×0.1+5×0.3+7×0.4+9×0.2=6.4”,不扣

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第4頁(yè)(共7頁(yè))】26-002B●YN●

分;rB的計(jì)算過程寫為“rB=3×0.3+5×0.2+7×0.4+9×0.1=5.6”,不扣分.

【3】這3問中的統(tǒng)計(jì)量(百分位數(shù)、平均數(shù)、方差)均為估計(jì)值,不是準(zhǔn)確值,解析過程要寫估

計(jì)值,否則整個(gè)題共扣1分,不累計(jì)扣分.

17.【解析】本題考查立體幾何、空間向量及三角恒等變換的綜合,考查直觀想象、邏輯推理及數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(1)證明:連接AC,交BD于點(diǎn)O.…………1分

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以AC丄BD.…………………2分

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1丄平面ABCD,則AA1丄BD.………………3分

因?yàn)锳A1∩AC=A,所以BD丄平面AC1A1,…………4分

因?yàn)锳1CG平面AC1A1,所以BD丄A1C.……………5分

A

(2)解:因?yàn)榈酌鍭BCD既是菱形,又是矩形,所以底面ABCD為正DC

方形.………………6分A

B

以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(2,2,0),

C(0,2,0),A1(2,0,3),C1(0,2,3),……………8分

—→—→C

則=(0,,—3),=(2,,……分D

AB2CB009y

設(shè)平面A1BC的法向量為n=(r,y,z),B

—→—→

則n.A1B=2y—3z=0,n.CB=2r=0,……10分

令y=3,得n=(0,3,2).…………………11分

—→—→

IIIIII

設(shè)平面A1BC1的法向量為m=(r,y,z),則m.A1B=2y—3z=0,m.A1C1=—2r

+2yI=0,…………………12分

令yI=3,得m=(3,3,2).…………………13分

|cos…………………14分

故cos2θ=2cos………………15分

【評(píng)分細(xì)則】

【1】第(1)問中,未寫“AA1丄平面ABCD”,直接得到“AA1丄BD”,扣1分;未寫“AA1∩AC

=A”,扣1分;未寫“A1CG平面AC1A1”,扣1分.

m.n

【2】第(2)問中,注意到二面角C-A1B-C1為銳角,所以“|cosθ|===

m||n、

18.【解析】本題考查橢圓與圓的綜合,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象的核心素養(yǎng).

解:(1)因?yàn)镃的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,則a所以2a=4,……………2分

則a=2,所以C的方程為y2=1.……………………3分

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第5頁(yè)(共7頁(yè))】26-002B●YN●

(2)依題意可得|F1Q|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a=4,……5分

由(1)得F1(—、,0),………………………6分

所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心,4為半徑的圓,………7分

故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為(r+、)2+y2=16.……………8分

(3)設(shè)點(diǎn)F1到直線l的距離為d,則d…………………9分

因?yàn)閘被Ω截得的弦長(zhǎng)為2、,所以d………10分

所以整理得k2=2、k,………………11分

解得k=0或k=、.………………………12分

2

r222

將y=kr+1代入+y=1,得(1+4k)r+8kr=0,………………13分

4

解得r1=0,r………………14分

當(dāng)k=0時(shí),r1=r2=0,所以k≠0,………15分

所以|ABr1—r17分

【評(píng)分細(xì)則】

【1】第(1)問中,未寫“a扣1分.

【2】第(3)問中,未寫“kk”,但由解得k=0或k不扣分;最后

2

一行中,只要寫了“|AB|=、/1+k|r1—r2|”,就可給1分.

【3】第(3)問中,求得k=0或k=、后,還可以這樣解答:

當(dāng)k=0時(shí),l與c只有一個(gè)公共點(diǎn),則k≠0.……………12分

所以k=、,將y=、r+1代入y2=1,得13r2+8、r=0,……13分

解得r1=0,r…………………14分

所以|ABr1—r…………………17分

19.【解析】本題考查直線與拋物線的綜合,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(1)解:由題意知4(、—1)2=a(3—2、),得a=4,……1分

則F的坐標(biāo)為(1,0).………………………2分

(2)(i)解:k1k2為定值.……………………3分

【高二數(shù)學(xué)●參考答案第6頁(yè)(共7頁(yè))】26-002B●YN●

理由如下:

由(1)知kFP=—1,則(1,—1)為直線FP的一個(gè)方向向量,……………4分

因?yàn)镕A,FB的斜率分別為k1,k2,所以(1,k1)為直線FA的一個(gè)方向向量,(1,k2)為直線

FB的一個(gè)方向向量.………………………5分