專(zhuān)題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

目題型概覽

題型01切線、單調(diào)性及最值問(wèn)題

題型02恒成立存在問(wèn)題

題型03證明不等式

題型04雙變量問(wèn)題

題型05函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

題型06利用導(dǎo)數(shù)比較大小及構(gòu)造解不等式

題型01切線、單調(diào)性及最值問(wèn)題

1.（2025?天津武清?一模）已知〃x）=eX-[,曲線y=/（x）在點(diǎn)尸（//（%））&>0）處的切線為

/：產(chǎn)g(x).

⑴當(dāng)/=0時(shí)，求直線/的方程;

（2）證明：/與曲線，=/（x）有一個(gè)異于點(diǎn)尸的交點(diǎn)（％/?））且％<0；

⑶在（2）的條件下，令一五工匕求k的取值范圍.

2.（2025?福建泉州?一模）設(shè)函數(shù)=.

⑴當(dāng)k=0時(shí)，求曲線y=/'（x）在點(diǎn)（-1,/（-1））處的切線方程；

（2）若/（X）在區(qū)間[-1,+8）上單調(diào)遞增，求人的取值范圍;

（3）當(dāng)xN-1時(shí)，/（力之/（一1）,求〃的取值范圍.

X(T,xJ為（%，工2）丫2（工2，+。）

/'（X）+0-0+

/極大值極小值Z

X(T,xJ（%，工2）（馬，+8）

/'（X）+0-0+

/（X）/極大值極小值

3.（2025?山東泰安?一模）已知函數(shù)/（x）=lnJ+ox,aeR.

⑴當(dāng)4=1時(shí)，求函數(shù)/（》）在（1J0））處的切線方程;

⑵討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

⑶若方程+色9=（a+1）2有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

4.（2025?甘肅蘭州?一模）若函數(shù)卜=二二（e為自然對(duì)數(shù)的底）的一條切線與x軸平行，則切點(diǎn)

的坐標(biāo)為（）

A.（1,0）B.（0,1）C.（1J）D.（Lc）

5.（2025?黑龍江?一模）設(shè)函數(shù)/（x）=（x+o）lnx.

⑴當(dāng)"=1時(shí)，求曲線y=/（x）在⑴）處的切線方程；

（2）若f（x）為增函數(shù),求。的取值范圍.

6.（2025?山東聊城?一模）曲線7=xlnx在工=1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

A.4B.3C.ID.y

7.（2025?山東濟(jì)寧?一模）曲線y=/〃>0）與y=Inx和y=ex分別交于4片兩點(diǎn)，設(shè)曲線v=Inx在A

X

處的切線斜率為3y=e'在6處的切線斜率為若占+%2=g,則。=（）

A.21n2B.21n3C.31n2D.3ln3

8.（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）已知函數(shù)/（x）=；e2，-（〃+2）c'+2G+l,其中oeR.

⑴若/（戈）的圖象在（OJ（（）））處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)求。的值；

（2）討論的單調(diào)性.

9.（2025?黑龍江?一模）若不等式歷TlKe'-OF對(duì)一切xeR恒成立，其中口/wR,。為自然對(duì)數(shù)

的底數(shù)，則。-力的可能取值為（）

1

A.-2B.——C.1D.2

2

10.(2025?湖北一模)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)Mx)滿(mǎn)足：人(0)=0,/(x)=e'-2”-l,

函數(shù)/(x)=e'-x,

⑴求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)和極值;

(2)求〃(x)解析式；

⑶若力'(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的最大值;

⑷求證：++…+/(篇＞"+〃eN.

題型02恒成立存在問(wèn)題

1.(2025?廣東江門(mén)?一模)意大利畫(huà)家達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下自然下垂,

那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.在17世紀(jì)，惠更斯、萊布尼茨、約翰?伯努利等得到懸鏈線方程

X_x\

是TC+CCI，其中C為參數(shù).當(dāng)C=1時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)ch(x)=￡*二.相應(yīng)地

y=-------------2

2

就有雙曲正弦函數(shù)sh(x)=￡?二.已知三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式：①平方關(guān)系：sin2x+cos2x=l;

(sinx)f=cosx,

②二倍角關(guān)系：sin2x=2sinxcosA；③導(dǎo)數(shù)關(guān)系:

(cosx)f=-sinx.

⑴類(lèi)比關(guān)系式①②③，寫(xiě)出ch(x)和sh(x)之間的三種關(guān)系式(不需要證明)；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，不等式sh(x”履恒成立，求〃的取值范圍；

⑶設(shè)無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足G4x=2q”l,是否存在實(shí)數(shù)。，使得/"”=g?若存在，求。的電

若不存在，說(shuō)明理由.

2.(2025?江西?一模)已知函數(shù)/1工)=亭?(〃wR),將y=/(x)的圖象繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)5

后，所得曲線仍是某個(gè)函數(shù)的圖象，則。的取值范圍為.

圖1圖2

3.(2025?黑龍江哈爾濱?一模)已知函數(shù)/'(x)=(x-a)lm-x.

⑴當(dāng)〃=e時(shí)，求/(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)X],%2(演<W)是/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，

2

①求證：再+X,>一；

■e

②求證：2S+“，-X]ve2+2。+1.

e

4.(2025?山東濟(jì)寧?一模)Vxw[e,+e),若犬+2/欣26(2+山)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

5.(2025?山東淄博?一模)已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)-x.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：xNO時(shí)，/(工)^-^^——七

VI+x

⑶若不等式1+上4e對(duì)任意的〃tN都成立(其中。是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求整數(shù)。的最大值.

6.12025?江西萍鄉(xiāng)?一模)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-l)(e'-e),g(x)=x-In.v+a,若V/wW,+s),eR,

使得/a)?g(xj,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

7.(2025?江西萍鄉(xiāng)?一模)已知函數(shù)/a)=e,-a/(a€R),則下列結(jié)論正確的是()

A.若/(X)有2個(gè)零點(diǎn)，則。=W

4

B.當(dāng)。=/時(shí)，/(x)是增函數(shù)

C.當(dāng)。=1時(shí)，/(xRO恒成立

D.當(dāng)時(shí)，若/是/(幻的零點(diǎn)，則

8.（2025?山東煙臺(tái)?一模）已知正數(shù)xj滿(mǎn)足/+k+472一2=0,則三的最小值為：當(dāng)

二取得最小值時(shí)，不等式2e“+4axy-axln與20恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為_(kāi)_________.

xy5

9.（2025?江西上饒?一模）已知函數(shù)/（力二巴|匚一"[l+'JkwR）。

⑴若曲線），=/（》）在（1J（1））處的切線的斜率為1求。的值；

⑵若x=0是/（x）的極小值點(diǎn)，求。的取值范圍.

10.（2025?浙江?一模）已知函數(shù)〃x）=3x2—8sin（x+e）,其中時(shí)4兀.

⑴若函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，求。;

⑵當(dāng)8=0時(shí)，討論函數(shù)/（X）在+8）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

（3）若VxNO,/（x）20,求。的取宜范圍.

題型03證明不等式

1.12025?山東淄博一模）過(guò)點(diǎn)P（-1,O）向曲線6：》2-2/a+2/=0（〃￡1＜）引斜率為先化＞0）的切

線。，切點(diǎn)為巴（乙,以），則下列結(jié)論正確的是（）

ZIru;--In2026

A，"=面77B,

J=I

c.數(shù)歹U｛多，的前〃項(xiàng)和為￡=〃+/D.

2.（2025?四川巴中?一模）已知函數(shù)/（x）=xlnx.

⑴求函數(shù)/（x）的極值；

（2）求證：當(dāng)0＜工工1時(shí)，2f（x）＞x2-\；

⑶若力3=》2一力1+一,其中討論函數(shù)“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.（2025?安徽滁州?一模）已知函數(shù)/（%）=罷的極值點(diǎn)從小到大依次為為，x2,x3,L,/（X）是

/（X）的導(dǎo)函數(shù)，則（）

A.廣⑴＞0B.再+，：）

c.w是/(x)的極小值點(diǎn)D.2X2>X)+X3

4.(2025?江西南昌?一■模)已知/l：x)=xln(x-(awR).

⑴若/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求。的取值范圍：

(2)若y=/(》)有極大值求證：m--4.

5.(2025?北京延慶?一模)已知函數(shù)/(工)=一/-+(1-a)e'+ax.

⑴若a=1,求f(x)在(1,/(1))處的切線方程;

(2)若〃<7,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若公一1,旦八⑼=/'(〃)=0(，”〃)，證明：/(〃?)+/(〃)>3.

6.(2025?新疆烏魯木齊一模)已知/(切=/-23舊—1.

(1)求證：當(dāng)時(shí)，/Cv)>0；

(2)設(shè)(二￡」一1"?.

(1)求證：數(shù)列｛牝｝為遞減數(shù)列；

(ii)求證：回歸]

7.(2025?福建廈門(mén)?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=x(e'-02.

(1)當(dāng)4=0時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(力是增函數(shù)，求〃的取值范圍:

⑶當(dāng)0<。<1時(shí)，設(shè)/為/(%)的極小值點(diǎn)，證明：

2e

8.(2025?安徽合肥?一模)已知函數(shù)/(切=山-。其中"0.

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

3

⑵若函數(shù)/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)內(nèi)，工2(陽(yáng)<工2)，證明：，(xJ+/(X2)+/(*+x2)>ln2-7

9.(2025?廣東?一模)數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)工具研究數(shù)列性質(zhì).比如，為了研究數(shù)列

N')的性質(zhì)，對(duì)通項(xiàng)公式取對(duì)數(shù)得,\nan=InJ1+-,則可通過(guò)研究函數(shù)

y=h](l十；I)：的性質(zhì)，得到數(shù)列仲％｝的性質(zhì)，進(jìn)而得到｛4｝的性質(zhì).請(qǐng)根據(jù)以上材料，解決如下問(wèn)

題：

⑴若不等式cxNln(l+x)對(duì)任意鉆0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍，并證明：e>fl+lT：

In)

(2)是否存在常數(shù)。，使得：V〃wN?有，1-若存在，求。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

n

理由.

(注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

10.(2025?甘肅蘭州?一模)已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足％=1,且出，4,4成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列血｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：如%4%-1；

⑶若數(shù)列｛"卜滿(mǎn)足"=空立，證明：1+1…h(huán)+[]<e2(e為自然對(duì)數(shù)的底).

2I4八%人A)[bj

題型04雙變量問(wèn)題

1.(2025?山東聊城?一模)已知函數(shù)/(x)=g--為x+lnx.

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

⑵若/3有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)/，修，旦/(6/(?力21嗎-6“+3,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.(2025?陜西西安?一模)已知函數(shù)〃x)=xlnx,g(x)=(x-l)12s3in4+a-1.

⑴記/⑴的導(dǎo)數(shù)為/'(力求/4)+.屋)+…的值，其中〃WN+；

234n+1

(2)若06(0，+8)恒有/a)2g(xj,求a的取值范圍.

3.(2025?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(x)=logM(a>0且。=1),y=/(力關(guān)于N=*對(duì)稱(chēng)的函數(shù)記

為y=g("?

⑴若4>1,方程/(x)-g(x)=o有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求Q的值;

(2)討論方程g(X)—x“=0在(0,+”)上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù);

(3)若〃=€,設(shè)函數(shù)尸")=2右-/。)若尸(用)=/(乙)(、產(chǎn)工2)，求尸(司)+尸伍)的取值范胤

題型05函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

1.12025?湖南岳陽(yáng)?一模)已知函數(shù)=沙X”,虱*若函數(shù)/(x)與g(x)的

(x—2)~+〃,x之1e

圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

2.(2025?山東煙臺(tái)一模)已知函數(shù)/(x)=x(x+c『在、=1處有極大值.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+。有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.(2025?四川內(nèi)江?一模)已知函數(shù)/(x)=2xlnx+a/T,則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)。＞0時(shí),/(X)在(0,十句上是增函數(shù)

B.當(dāng)。=2時(shí)，/(X)在x=l處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為g

C.若/(“在(0,+司上為減函數(shù)，貝力工_/

D.當(dāng)。＜0時(shí)，若函數(shù)-(x)=/(x)+or有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則

4.(2025?北京延慶?一模)已知函數(shù)/(幻=M卜-1卜米+2,給H下列四個(gè)結(jié)論：

①及＜1,使得/(4)關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)；

②及＞1,使得/(%)存在最小值:

③V”＞1,/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減；

④女＞1,使得/(%)有三個(gè)零點(diǎn):

其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是.

5.(2025?陜西西安?一模)設(shè)函數(shù)/(幻=/一(〃?+〃)1門(mén)-(〃?+〃-2口，其中若/⑶有兩個(gè)

1p

零點(diǎn)且加+〃取最小整數(shù)P時(shí)，一+一的最小值為()

mn

A3+2百R4+2#r5+＞/3n6+2x/3

3333

6.(2025?云南曲靖?一模)已知函數(shù)/(x)=e2'+(l-24)e'-aHawR)?

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求/(X)在x=0處的切線方程；

(2)討論/(x)的單調(diào)性；

⑶若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取直范圍.

7.(2025?安徽滁州?一模)己知函數(shù)/(》)=：/+。/一工一2“111工

⑴若不等式〃x)2；/+/-x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若。＜0,求證：/(')有且只有1個(gè)零點(diǎn).

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