知識清單

1.銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數(shù).

2.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在RQABC中，ZC=90°,如果銳角A確定:

.對邊a

正弦sinsinA=------=-

斜邊c

B

鄰邊b

余弦coscosA=------=-a

斜邊。

cbA

對邊a

正切tantanA=------=-

鄰邊b

3.sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示NA三個三角函數(shù)值，書寫時習(xí)慣上省略符號“N”，但不能寫

成sin.A,對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號2”不能省略，應(yīng)寫成sin/BAC,而不能

寫出sinBAC.sin2A表示(sinA)2,而不能寫成sinA2.T角函數(shù)有時還可以表示成sina,cosp等.

4.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

(1)余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式“如/A+NB=90。，那么：sinA=cosB;cosA=sinB;

*(2)同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A4-cos2A=l；tanA=^-

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的?些相等關(guān)系，如圖:

(1)角角關(guān)系：兩銳角互余，即NA+NR=90。：

h

B

（2）邊邊關(guān)系:勾股定理，即/+"=冷

（3）邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

aba

sin^4=-,CO$J4=—Jan=—

ccb

sin3=■.cos3=2.Ian3=一

7.解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：

（1）已知兩條邊（一直角邊和一斜邊；兩直角邊）；

（2）已知一條邊和一個銳角（一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角）.

這兩種情形的共同之處：有一條邊.因此，直角三角形可能的條件是：至少已知一條邊.

和解法

已知條件解法步驟

三角形類

由求

bNA,

兩直角邊（a,b）ZB=90°-ZA,

兩c=y/a2+b2.

邊

由si〃力=2求NA,

c

斜邊，一直角邊（如c,a）ZB=90°~ZA,

RtAABC

b=\/c2-a2.

B

,xl；ZB=90°-ZA,

銳角、鄰邊a=btanA,

（如NA,b）b

c=-cosA

Abc直角邊

和一銳角ZB=90°-ZA,

邊

銳角、對邊彳公

（如NA,a）

角

b=lanA

NB=90。-NA,

斜邊、銳角（如c,ZA）a=csinA,

h=ccosA.

8.常見應(yīng)用問題常識

坡度：i=l：〃i;坡角:a.

方位角仰角與俯角

.h

i=-=tana.

9.解實際應(yīng)用問題的一般過程

(I)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖

形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

10.用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：

易錯總結(jié)

1.混淆銳角三角函數(shù)sin、cos和tan的定義

錯誤：對銳角三角函數(shù)的定義不熟悉，導(dǎo)致做題時張冠李戴。

注意：銳角的三角函數(shù)是銳角所在直角三角形三邊中其中兩邊的比的值，因此容易混淆。在平時要多使用，

多練習(xí)，記憶并熟練。

例I(2425九年級下?甘肅?課后作業(yè))分別求出下列直角三角形中N4的正弦值、余弦值和正叨值.

【答案】sin4=y|,cos/l=-^,tanJ=y；sinJ=g,cos/=g,tanJ=g

【分析】根據(jù)勾股定理，可得直角三角形的另一邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，在直角三角形中，銳角的正弦

為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，可得答案.

【詳解】解:對于圖1中的直角三角形，由勾股定理，得心/爐-蠟=5,

...BC12.AC5?4BC

?㈤政=方=石的力=布石，6仙=元

對于圖2中的直角三角形，由勾股定理，得力4=而又記=10,

?.’BC4,AC3,BC4

??sin/=—=-,C°S/寸=

AB55'AC3

2.特殊銳角的二角函數(shù)值不熟悉或混淆

錯誤：特殊的銳角函數(shù)值一共有三組9個，在使用時混淆。

注意：熟練記憶特殊的銳角三角函數(shù)值，并能在遇到特殊角時法行運用。

例2（2526九年級上?山東淄博.階段練習(xí)）計算：

（1）cos30°-tan600-4sin3004-tan45°；

（2）tan300-sin600-cos450sin45°.

【答案】（嗚（2）0

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值.熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，代入式子計算即可；

（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，代入式子計算即可.

【詳解】⑴解:cos30°tan600-4sin300+tan45°

=YXV3-4X1+1

3

=--2+1

2

=1

=2；

⑵解：tan300?sin600-cos450sin45。

V3V3V2V2

=一一.X一一.—.“一―X.......

3222

_32

=6-4

11

——

22

=0.

3.勾股定理結(jié)合銳角三角函數(shù)解直角三角形

錯誤：在計算直角三角形中的邊時，只使用剛學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)知識，不能結(jié)合勾股定理求解。

注意：回顧勾股定理，已知直角三角形的兩條直角邊a,b和斜邊C,則有：0242=//°2./=/。

其可以通過已知兩邊求第三遍。

例3（2526九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，△力8c中，/于點D,BC=14,AD=\2,tanN比1。=：,

4

求sinC,cosC的值.

【答案】sinC=|cosC=5

【分析】本題主要考查了正切、正弦、余弦的定義，勾股定理，由正切的定義求出8Q,由線段的和差求出OC,

再根據(jù)勾股定埋求出ZC，再根據(jù)正弦和余弦的定義分別求出smC和cos。即可.

【詳解】解：??YO_LAC,

???ZADB=ZADC=90°,

在Ri△48。中，VtanZ5J￡>=—=^=-,

AD124

：?BD=9,

V5C=14,

：.DC=BC-BD=5,

:.AC=ZlD2+DC2=v/i22+52=13,

??smC=Z=3COSC=^=B-

4.結(jié)合已知條件求直角三角形的其他元素(邊或角)

錯誤：常見的錯誤：①錯誤使用勾股定理：②當(dāng)已知(除直角這個條件外)一邊一角時，不能使用合適的

銳角三角函數(shù)來求出更多的i力長

注意：參考知識清單中第7條，已知不同情況的一邊一角時，使用合適的銳角三角函數(shù)來求其他邊長。

例4(2526九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，已知在△力8c4s力。是邊8c上的高，E是邊/C的中點，

BC=AD=20,cos8=(.求：

(1)線段8。的長；

⑵/EQC的正切值.

【答案】(1)15(2)4

【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；熟練利用三角函數(shù)及

勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

(1)由三角函數(shù)得cos8=^=g設(shè)8ZA3x,AB=5x,由勾股定理得力。=廂工赤=4x,即可求解；

An5

(2)由直角三角形的特征得。E=CE=g4C,由等腰三角形的性質(zhì)得NQCE=NEQC,由正切函數(shù)即可求解.

【詳解】(1)1?：V是邊8c上的高，cos8=(,

BD

.?.COSD5=—=73，

AB5

???設(shè)BZ)=3x,AB=5x,

：.AD=y/AB2-BD2

=4.Y,

A4x=20,

解得：x=5,

.??6ZA3X5=15；

（2）解：???E是邊力C的中點，力。是邊3c上的高，

:,DE=CE=；AC,

：./DCE=/EDC,

'：BC=4D=2（）,

:,CD=BC-BD=5,

tanZfZ）C=tanZ￡）C￡=^=y=4.

5,作垂線構(gòu)成直角三角形求角的三角函數(shù)值

錯誤：不能掌握在沒有直角三角形的環(huán)境下求一個銳角的三角函數(shù)值，或已知一個銳角的三角函數(shù)值求邊

長時求線段長的方法。

注意：通過合適的方式做垂線，構(gòu)成直角三角形。在直角三角形中，可以結(jié)合線段長求出銳角三角函數(shù)值，

也可以結(jié)合已知的銳角三角函數(shù)值就可以求出其他的線段長。

例5（2526九年級上.?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，將△/BC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點力，B,

。均在格點上，則tanC的值是.

【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用，在直角三角形中銳角的正切為對邊比鄰邊，構(gòu)造直角三角

形是本題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形如圖所示，點。在格點上，從而可以求出31c的值.

【詳解】解：構(gòu)造直角三角形△05。如圖所示，點。在格點上，

由圖可得tanC=今=+

故答案為：p

例6（2025九年級.浙江?學(xué)業(yè)考試）如圖，在菱形48co中，點七為邊CD上一點，連結(jié)4￡,8￡,點。關(guān)于我的

對稱點尸在8K卜.若月=2,則夕/的長為,sin/。4月的值為.

【答案】4.

【分析】連結(jié)/兄利用直線平行的性質(zhì)證明N8EC=NC,從而得到8E=8C,進(jìn)而可求8R作40_8產(chǎn)于點

作廣NJ_/IE于點N,利用等面積法4/莊=］萬萬N=；所求出砧，利用sin/D4E=sin/"E=V進(jìn)行求解.

LL/if*

【詳解】解：如圖，連結(jié)力H

???點。關(guān)于4E的對稱點尸在8￡上，

/.△AFEg/\ADE,

???四邊形48CQ是菱形，

FE=DE=2yAB=AD=AF=^Z.D=NAFE.

?:AD"BCAB"CD,

???NBEC=NABF=/AFB=180°-N.4FE=180°-ZZ>ZC,

:?BE=BC=6,

：.BF=BE-FE=4.

作/吁點M,作FN工4E于點N,則4M=nW=2,

:?AM7Gd=45

???HE=J（4夜）2+42=475,

:4zfF￡=5AE.FN=；FEAM,

,2x4近2n

??必Fr,

s\nZDAE=s\nZ.E4E=—=—

AF9

故答案為:4,手.

6.通過幾何性質(zhì)中的等角關(guān)系間接求角的三角函數(shù)值

錯誤：對幾何圖形的性質(zhì)不熟悉，需要求三角函數(shù)值的角找不到已知條件和直角三角形的環(huán)境。

注意：在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的幾何圖形的知識中，可以通過圖形的性質(zhì)找到所求角的等角，如通過平行線的同

位角、內(nèi)錯角的性質(zhì)；通過全等三角形、相似三角形的性質(zhì)；通過特殊四邊形的性質(zhì)；圓周角的性質(zhì)等。

要根據(jù)所給的已知條件使用合適的性質(zhì)來轉(zhuǎn)移所求角所在的位置。

例7（2526九年級上.江蘇淮安?階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格申，每個小正方形的邊長為1,點A,B,C,

力都在這些小正方形的頂點上，力4與C￡>相交于點P,則tan/BPC的值是

【答案】2

【分析】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，勾股定理的逆定理，求一個角的正切值，平行線的性質(zhì)，

熟練掌握三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵.取格點￡,連接花、應(yīng)；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N/BE=N8PC,

證明為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)定義求出tan/8產(chǎn)。=lan//KE4=邛=2.

obv-

【詳解】解：取格點E,連接力E、BE,如圖所示：

根據(jù)圖形可知：BE"CD,

：./ABE=/BPC,

??"=1+22=2v5,8E=yWF=v5,J5=/12+32=VT0,

又???(2a)2+(⑷2=10=(g)2,

???418E為直角三角形，

tanZBPC=tanZABE=卷=若=2.

故答案為：2.

例8(2021?湖南株洲?三模)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,。。是△力8c的外接圓，

點4B,。均在網(wǎng)格線的交點上，貝iJcosN/CH的值是.

【答案】y

【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，圓周角定理，求余弦，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.連接40

并延長交。。于點。，連接8。，則/4a)=90。，/ACB=/ADB,利用勾股定理求解力。的長，再根據(jù)余弦的

定義，即可求解.

【詳解】解：連接力。并延長交。。于點。，連接8。，貝叱4沈H90。，ZACB=ZADB,

V^O/I2+22=V5,

，力D=2V5,

*8=4,

：.BD=^AD2-AB2=2,

???cos4cAeos/n08=墨=5=￡

故答案為：y.

7.坡度的概念

錯誤：認(rèn)為坡度i=l：m是坡角的對邊比斜邊的結(jié)果。

注意：坡度】二1：m表示的是在以坡角為a的斜坡直角二角形中，對邊比上鄰直角邊的結(jié)果。

例9（2526九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，扶梯48的坡度為4:3,滑梯CO的坡度為1:2.滑梯的高8E=CE,

設(shè)HE=3米,8c=3米，一男孩從扶梯走到滑梯的頂部,然后從滑梯滑下，他經(jīng)過的路程為米.（結(jié)

果保留根號）

【答案】（8+475）/（475+8）

【分析】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握坡比的定義是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)坡度和已知條件即

可求出BE、CF和。F,再根據(jù)勾股定理即可求出力8和CQ,從而得出結(jié)論.

【詳解】解：???扶梯的坡度（8E與力石長度之比）為4:3,4E=3米，

；.BE=4米,

?,.止/1七2+8￡2=5米,

/=8E=4米，CQ的坡度（C/與。尸長度之比）為1:2,8c=3米，

.,.FZ>2CF=2X4=8>K，

再而^=4v5米，

:.經(jīng)過的路程=48+8C+C￡>=5+3+4石=（8+4⑸米.

故答案為：（8+4V5）.

8.根據(jù)方位角的描述或根據(jù)仰角俯角的描述作圖探究

錯誤：不熟悉方位角的描述或仰角俯角的描述，也不能根據(jù)題意作圖，構(gòu)成三角形并解直角三角形。

注意：一般關(guān)于方位角的數(shù)學(xué)問題，或關(guān)F仰角俯角的數(shù)學(xué)問題，需要進(jìn)行作圖，或連結(jié)關(guān)鍵點，或作垂

線構(gòu)成直角三角形。比如如下方式，這些都是解決此類問題常見的方式。

例10（2024九年級上?山東青島?專題練習(xí)）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔45海

里的4處，它沿北偏東30。方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67。方向上的8處，此時與燈塔尸的

距離約為海里.（參考數(shù)據(jù)：sin37°^|,cos37°-ptan37°^^）

【答案】75

【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，

根據(jù)題意得，NC1P=N月以=60。，/。48=30。，以=45海里,

???ZPAB=90°,Z/iP5=180o-67°-60o=53°,

??.N8=180。-90。-53。=37。,

在RsPAB中，sin37°=^,

PD

PB=*-=$罟=75（海里），

sinZBsm370-5

即：此時與燈塔尸的距離約為75海里.

故答案為：75.

例”（2025?甘肅武威?模擬預(yù)測）如圖，某翼裝飛行員從離水平地面高500米的4處出發(fā)，沿著俯角為30度

的方向直線滑行160米到達(dá)。點，然后打開降落傘以60度的俯角降落到地面上的8點.求他飛行的水平距離.

【答案】運動員飛行的水平距離約為2206米.

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，如圖，過點。作。，作J_8C,垂足分別

為E,F,得出四邊形EC廣。是矩形，則EC=QE進(jìn)而解Rt△力。E,RsDBF,分別求得。反“凡根據(jù)BC=b+A凡

即可求解.

【詳解】如圖，過點。作。作Ob_L4C,垂足分別為￡F,

由已知可得N/QE=3（）。，NDBF=6。。,

'：ACLBC,

???四邊形ECFD是矩形，

:,EC=DF.

在Rt△月OE中，ZADE=30°,40=160.

AE=ADsinZADE=160sin30°=80,

DE=AD-cosZADE=160cos30°=80v5,

:.CF=80V5

?:EC=AC-AE,

；?￡0500-80=420.

在RtZkQB/中，BF==號=140/,

tan乙DBFv5

???BC=CF+BF=^V5+140V5=220v5.

???運動員飛行的水平距離約為2206米.

9.數(shù)學(xué)建模解決生活中的實際問題

錯誤：實際生活中的物體，不能解構(gòu)成簡單的幾何圖形，然后根據(jù)解直角三角形的知識解決實際問題。

注意：解構(gòu)實際應(yīng)用中的幾何圖形，然后作必要的輔助線（一般是連結(jié)線段或作垂線），結(jié)合求解直角二

角形的知識求出必要的線段長，解決實際問題。

例12（2425九年級下?甘肅武威?期中）隨著多媒體教學(xué)的普及.很多教學(xué)場景都引入了投影儀（如圖1）,

如圖2是投影儀安裝截面圖，某數(shù)學(xué)課題研究小組打算對投影屏幕下邊沿C離教室頂部的高度進(jìn)行測量，具

體過程如下：

方案設(shè)計：投影儀垂直于地面，先測量出吊臂4。、投影屏幕8C的長度，再選取點力，C兩處分別測得NA4C

和N/C8的度數(shù)（區(qū)B,C,產(chǎn)在同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過測量得知：投影儀的光線夾角N84O45。，ZACB=30°,吊臂力。為0.5m,投影屏幕的高8c為

1.6m.

問題解決：求屏幕下邊沿C離教室頂部的高度CE（結(jié)果保留一位小數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：V3=1.73

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程.

【答案】2.4米

【分析】本題考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能作出正確的輔助線.過合作AG_LNC于G.

過^作產(chǎn)于“，則利用三角函數(shù)知識在Rt/iBCG中，算出8G與CG,在RS/8G中，算出力G,從而可得4C

的長，最后在RtA/IC”中，算出“，由此可得C￡

【詳解】解：過8作4G_L/1C于G,過/作于〃.

在RQ8CG中，5G=5Csin30°=1.6x；=0.8m,CG=5Ccos30°=1,6＞：y=0.8v5m.

在RtzU8G中，力6=隼="=0.8m,

tan45°I

XC=/G+CG=0.8+0.8V5m.

在Rt/UC“中，C，=4CCOS300=（0.8+0.8V5）XW=0.4V5+1.2m.

???CE=CH+EH=CH+AD=0A^+\,2+Q.5-2Am.

答：屏幕下邊沿。離教室頂部的高度CE約為2.4米.

例13（2025?山東泰安?模擬預(yù)測）如圖1是某小車側(cè)面示意圖，圖2是該車后備廂開啟側(cè)面示意圖，具體

數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）IL4c=30,AF//BE,sin/84"=0.8,箱蓋開起過程中，點A,C,/不隨箱蓋

轉(zhuǎn)動，點8,D,E繞點A沿逆時針方向轉(zhuǎn)動相同角度，分別到點月，D,￡的位置，彈簧活塞桿CO隨之伸

長CQ'.已知直線8EJ_5'E‘，CD=2CD.

⑴求的長度.

（2）求CQ.的長度.

【答案】（l）20V7cm

(2)40cm

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)過點力作力于產(chǎn)，過點6作4〃_1_4戶于〃，解RtA44P,得出4P=：/出，進(jìn)而得出

8E=8P+PE'=78+"8,根據(jù)圖示數(shù)據(jù)即可求解；

(2)設(shè)。>=xcm,則4C=4O=至/cm,Ab=AD=x+^^==^^cm,CD=2CD=2x,根據(jù)勾股定理得出

Ad+AD2=CD2,解方程即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，過點A作彳P_L8E于P,過點爐作877L4P于”，

則ZAPB=ZAPE=ZAHB=ZBHP=90°,

?：AF//BEt

：.NABP=NB/1F,

sinZJ^P=sinZ5JF=0.8=^>

在RtZk/180中，^=sinZJBP=t

Ao5

設(shè)/P=4k,則48=5k,

:.BP=y/AB2-AP1=^(5k)1-(4k)1=3k,

3

.?.co/sAZDJD^-B-P=-3=k-,

：.BP=^AB,

由8E旋轉(zhuǎn)一定角度后得到8'￡可知：旋轉(zhuǎn)角度為90。，^ZBAB=90°,AB=AB,BE=BE,

：N以8+N月8P=90。，ZbAP+ZPAB=90°,

；?ZDAP=ZABP,

：.BH=ABsinZDAP=ABsinZABP=^AB,

*：BEA.BE,

：.N8ZH=N8'〃P=N力產(chǎn)爐=90°,

???四邊形是矩形，

:.PE=BH=\AB,

i347

；?BE=BP+PE=^AB+^AB=^AB,

???BENZS歷,

：?(AB-285,

.*.^5=20v?cm：

（2）解：設(shè)CZ）=xcm,則/C=8Z）=2°：'cm,AD=AD=x+20^?~A=20^~Acm,CD=2CD=2x,

?/NZ）」C=90。，

?"小/=也2,

.?.（竽）:（哈2"

解得x=20,或x=-20（舍），

.*.CD=2r=40cm.

易錯訓(xùn)練

1.（2526九年級上?江蘇常州?階段練習(xí)）sin30。的值是（）

A.1B.YC.；D.V3

【答案】C

【分析】本題考查了特殊三角形的三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能運用求解.

根據(jù)特殊三角形的三角函數(shù)求解.

【詳解】解：sin30°=p

故選：C.

2.（2526九年級上?山東?階段練習(xí)）如圖，在RS/4C中，ZC=90°,BC=2,AC=3,則tan/=（）

A.gB.gC.苧D.手

【答案】B

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角力的對邊。與鄰邊6的比叫做N4的正切是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正切的定義解答即可.

【詳解】解:在RS/18。中，ZC=90°,BC=2,AC=3,

AC3

故選:B.

3.（2526九年級上?廣東揭陽?階段練習(xí)）如圖，在菱形49CO中，相=5,N33120。，則4Q的長度為（）

A.5V3B.|C.5D.浮

【答案】A

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).

連接4c交8。于點0,根據(jù)四邊形48CQ是菱形，可得08=0%BD,BC=AB=5,

ZBAD=ZBCD=120°,再用銳角三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論.

【洋解】解：如圖，

連接4C交8。于點0,

???四邊形48CQ是菱形，

：,ACLBD,OB=OD=\BD,BC=AB=5,/BAD=/BCD=\20。,

Z5JC=60°,

???在中，

8xsin600=5xf=孚，

:?BD=2OB=56.

故選：A.

4.（2024九年級上?山東青島.專題練習(xí)）在如圖所示8x8的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1,點A、B、C、D

都在格點上，48與CQ相交于點E,則N4E。的正切值是（）

A.2B.；C.1D.

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，如圖，取格點K,連接力K,BK.觀察圖形可知HKJ_4K,BK=2AK,BK//CD,

推出乙1EZA418K,解直角三角形求出tanNMK即可.

【詳解】解：如圖，取格點K連接力K,BK,則BK//CD,

觀察圖形可得：BK=2而,AB=y^5,

.\^K2+BK2=AB2,BK=2AK,

：.AKVBK,

*：BK//CD,

???/AED=NABK,

tanZA￡￡>=tanZ.ABK=經(jīng)=：,

BK2

故選：B.

5.（2024?安徽?模擬預(yù)測）如圖，是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)08與墻MN平行

且距離為小一輛小汽車車門寬力。為〃，當(dāng)車門打開角度NIC%為。時，車門邊緣的點A處與墻的距離為

（）.

A.a-bsinaB.a-btanoC.a--D.a--

sinatana

【答案】A

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

如圖：過點A作彳CJ?。月于點C,解三角形求出4C的長度，進(jìn)而完成解答.

【詳解】解：如圖：過點A作力CL08于點C,

在Rt^WC。中，AC=AOsinZAOB=bs\na

，車門邊緣的點4處與墻的距離為。-bsina.

故選：A.

6.（2526九年級上?山東?階段練習(xí)）構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要應(yīng)用，小康在計

算tan22.5。時，構(gòu)造出如圖所示的圖形:在RlMCQ中,NC=90。，N"C=45。，延長C8到。，BD=AB,連接

AD,得ND=22.5。.根據(jù)此圖可求得tan22.5。的結(jié)果（）

A.V2+1B.V2-1C.與D.空

【答案】B

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)比，二次根式分母有理

化，解題的關(guān)鍵是掌握以上性質(zhì).

令BC=1,得出4C=BC=1,根據(jù)勾股定理求出48=彷，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)比求解即可.

【詳解】解:令8c=1,

VZC=90°,ZABC=450,

???414C為等腰直角三角形，

：,AC=BC=\,

由勾股定理得48=/^^?=夜,

,BD=4B=0,

?.522.5。=左=看=內(nèi),

故選:B.

7.（2526九年級上?山東淄博?階段練習(xí)）河堤橫斷面如圖所示，斜坡A8的坡度=1:逐，/B=6m,則4c的長

是________

【答案】3m

【分析】本題考查了坡度的定義、銳角三角函數(shù)（正切函數(shù)）的應(yīng)用以及直角三角形中30。角的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是理解坡度與直角三角形兩直角邊的比例關(guān)系，將坡度轉(zhuǎn)化為正切值求出銳角角度，再利用特殊角

的直角三角形性質(zhì)計算直角邊長度.

Rt08c中，斜坡48的坡度=1:0,求出NMC=30。，由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案

【詳解】解：氐△"。中，tan/8,4C=斜坡48的坡度=1:6=今

/.NB/C=30。，

'JBCVAC,

1

?\BC=-AB=3m

8.（2526九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）在Rt△48c中，ZC=90°,若sinJ=j則cos力的值為.

【答案】y

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.利用正弦值設(shè).8C=2鼠

止3k,再利用勾股定理求出4C=石鼠再利用余弦的定義求解即可.

【詳解】解：在。中，ZC=90°,sinJ=p

?.?~B—C~—2，

AB3

設(shè)6c=2A,AB=3k,

由勾股定理得：AC=x/AB2-BC1=^k,

..ACy/5kV5

??c°s公拓=

故答案為：寺

9.（2425九年級上?云南曲靖?階段練習(xí)）如圖，無人機(jī)丁空中A處測得某建筑頂部6處的仰角為45。測得

該建筑底部。處的俯角為17。.若無人機(jī)的飛行高度4）為62m,則該建筑的高度4C為m.（參考數(shù)據(jù)：

sin17°~0.29,cos17°M）.96,tan!7°~0.3l）

【答案】262

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角的含義并熟練地運用三角函數(shù)解決問題是關(guān)鍵.

過點A作力￡_L8C,垂足為則,4Z>C￡=62m,求解力￡=隼之異=2006?,Z?E=JExtan45°=2006n；?從而

tan170.31

可得答案.

【詳解】解：過點A作4EJ_8C,垂足為￡,

*：AELBC,

；?ZADC=ZDCE=ZAEC=90°,

???四邊形力。CE是矩形，

則/D=CE=62m,

在RS.4EC中，ZCAE=\70,

???幺￡=隼。M=200回口，

tan1700.31'/

在Rt△48E中，ZBAE=45°,

，陣心tan45o=200x1=200行4

???BC=8E+CE=200+62=262”

，該建筑的高度8C約為262m.

故答案為:262.

10.（2526九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，在Rt/UBC中，Z^C5=90°,8c=4,cos8=g，點.“是他的

中點，則。/的長為.

【答案】3

【分析】本題考杳了直角三角形的邊角間關(guān)系及直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系.掌握直角三角形

斜邊的中線等于斜邊的一半，是解決本題的關(guān)鍵.

先根據(jù)銳角三角函數(shù)的邊角間關(guān)系，求出力8的長，再根據(jù)直角三角形的斜邊中線與斜邊的關(guān)系得結(jié)論.

【洋解】解：在Rt△48C中，

??n2BCA

?cos^=-=—,BC=4,

3AB

*.AB=6.

???M是m5的中點,

4=3,

故答案為3

11.（2526九年級上.山東東營.階段練習(xí)）計算、化簡求值:

（1）sin60o+cos300-tan60°；

（2）先化簡，再求值：（會-右），其中。滿足/-（｛fp+GcosGOGO.

【答案】(1)0

⑵1

【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值、分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則以及負(fù)整數(shù)指

數(shù)恭，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解.

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計算求值即可；

(2)先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)

幕，特殊角的三角函數(shù)值，求得/-4〃+3=0的值，最后將標(biāo)一4。+3=0代入化簡結(jié)果即可求解.

【詳解】(1)解：sin60°+cos30o-tan60°

=0；

?a\<r-2(?<r-4o+4/

a-4(Q+2)(4-2)4(4-1)、

aI〃(q-2)2a(a-2)2)

_a-4(a+2)(a-2)-〃(a-l)

aa(a-2)2

a-4a2-4-a2+a

aa(a-2)2

_67-467-4

aa(a-2)2

a-4〃(4-2)2

=--x------

aa-4

=(m2)2

=。2-4。+4,

*.*a2-Qa+6cos60。=0,

即。2-4a+3=0,

:.原式=。2-4。+3+1=0+1=1.

12.(2526九年級上?吉林長春?階段練習(xí))圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點

稱為格點，小正方形的邊長均為1,線段彳8的端點在格點上，在圖①、圖②，圖③中，只用無刻度的直尺

按下列要求畫圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出畫法.

(1)在圖①中畫N/18C,使tanN/BC=l；

(2)在圖②中畫N"。，使lan/"Q=；；

（3）在圖③中畫N48E,使tan/43E=；.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

⑶見詳解

【分析】該題是格點作圖題，考查了角的正切，相似三角形的性質(zhì)和判定.

（1）取格點C,使力。=4,連接3C,則乙4呂。即為所求；

（2）取格點。，使/。=2,連接8D,則/力出）即為所求；

（3）取格點￡〃，連接尸“交T!G于點E,連接BE,則N/8E即為所求；

【詳解】（1）解：如圖，N48。即為所求：tanN48c=：=1；

（2）解：如圖，N48O即為所求；tanN4&＞：=；；

（3）解：如圖，/4AE即為所求:

■:AF//GH、

?MFAEsAHGE,

??NE=1,GH=2MG=4,

.AE_AF_i

??茄—謙一,

：.AE=~AG=^

4

tanZ^5E=-i=7.

43

13.（2425九年級下?甘肅?課后作業(yè)）圖I是一臺工業(yè)用機(jī)械臂，圖2是其示意圖，O-A8部分固定不變，BC

部分可以旋轉(zhuǎn)，8為鉛垂吊繩，表示水平地面，4O_LOM于點。，且

AO=70cm,ZBAO=\60\BC//（9M,CD=80cm.將8。繞點8向下旋轉(zhuǎn)45。，使得8c。落在8。'。'的位置（如圖3）,

此時C'。'J_aM/O'〃OM〃Q'=160cm,求點8到水平地面。河的距離.（參考數(shù)據(jù)：

sin700-0.94,cos70o-0.34,laii700-2.75,結(jié)果精確至U0.1cm）

【答案】點4到水平地面。歷的距離約為447.1cm

【分析】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握通過作輔助線將復(fù)雜線段分解，利用三角函數(shù)和矩形性質(zhì)計

算各部分長度，再求和得到最終距離是解題的關(guān)鍵.通過作輔助線，將點〃到地面的距離分解為多個線段的

和，利用三角函數(shù)和已知線段長度分別計算各部分，最終求和得到總距離.

【詳解】解：如圖：過點4作8G_L0M,垂足為G,過點C作?！╛L8G垂足為〃，延長。力交4G于點E

由趣意得：CH=DE,CD=E^=CD=80cm,JO=￡G=70cm,ZE40900,BC"HC,

：,ZCBC=ZBCH=45°,

???N8/g60。，

/BAE=NBAO-NEAg。。,

設(shè)幺E=xcm，

V^D=160cm,

CH=DE=AE+AD={x+160）cm,

在RS8"C中，/BCH=45。,

:.BH=CHtan45°=（x+160）cm,