第二章函數(shù)全章復(fù)習(xí)

內(nèi)容概覽

「判斷函數(shù)相等

-具體函數(shù)定義域的求解

-抽象函數(shù)定義域的求解

-函數(shù)值域的求解

-函數(shù)解析式的求解

-分段函數(shù)問題

-判斷函數(shù)的單調(diào)性

-由函數(shù)單調(diào)性求參

第一早-函數(shù)單調(diào)性的證明

一利用單調(diào)性比較大小或解不等式

一利用單調(diào)性求函數(shù)的最值

-函數(shù)奇偶性的判斷

■由奇偶性求解析式或參數(shù)

-奇偶性與單調(diào)性的綜合

一函數(shù)的圖象問題

一對稱性與周期性的綜合（拓展）

一抽象函數(shù)性質(zhì)的綜合

一幕函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用

J函數(shù)的實際應(yīng)用

l函數(shù)的新定義問題

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.通過復(fù)習(xí)理順本章重點知識，掌握本章重要知識點及常見題型.

教學(xué)目標(biāo)

2.能綜合應(yīng)用本章知識解決綜合性強(qiáng)的問題.

1.重點：（1）函數(shù)的定義域、值域與表示方法：（2）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、對稱性；

教學(xué)重難點（3）幕函數(shù)的圖象與性質(zhì).

2.難點：（1）抽象函數(shù)問題；（2）函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

知識清單

一、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

二、回顧重點知識

知識點01函數(shù)的概念

1.函數(shù)的傳統(tǒng)定義（變?觀點）

在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對

于工的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與與其對應(yīng)，那么就稱），是x的函數(shù).

2.函數(shù)的近代定義（集合觀點）

設(shè)48是非空的實數(shù)集，如果對于集合4中的任意一個數(shù)X,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力在集合8中

都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，稱/：418為從集合4到集合8的一個函數(shù)，記作：y=/（x）,花4

其中，x叫做自變量，x的取值范圍人叫做函數(shù)的定義域：與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值

的集合｛/（x）|x。｝叫做函數(shù)的值域.

3.函數(shù)的四個特性

定義域內(nèi)的任意一個x值，必須有且僅有唯一的y值與之對應(yīng).

（1）非空性：定義的集合A8必須是兩個非空數(shù)集：

（2）任意性：A中任意一個數(shù)都要考慮到；

（3）單值性：每一個自變量都在8中有唯一的值與之對應(yīng)；

（4）方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的過程，即

4.函數(shù)的三要素與函數(shù)相等

（1）定義域：使函數(shù)解析式有意義或使實際問題有意義的X的取值范圍；

（2）對應(yīng)關(guān)系：對?應(yīng)關(guān)系/是函數(shù)的核心，是溝通定義域與值域的橋梁，在定義域確定的情況下，對

應(yīng)關(guān)系控制著值域的形態(tài)，/可以看作是對"X”施加的某種運算或法則.如：f（x）=x2,/就是對日變量

X求平方.

（3）值域：對應(yīng)關(guān)系/對自變量X在定義域內(nèi)取值時相應(yīng)的函數(shù)值的集合，其中，），=f（x）表示"），

是工的函數(shù)〃，指的是），為X在對應(yīng)關(guān)系/下的對應(yīng)值.通常一個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定了，那么它

的值域也就隨之確定了.

5.函數(shù)相等

兩個函數(shù)定義域相同，并且充應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)

為同一個函數(shù).

知識點02函數(shù)的表示法

1.三種表示方法

（1）解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

優(yōu)點：（1）簡明、全面概括了變量間的關(guān)系；（2）利用解析式可求任意函數(shù)值.

缺點：不夠形象、只管，而且并不是所有函數(shù)都有解析式.

（2）列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

優(yōu)點：不需要計算可以直接看出與自變量對應(yīng)的函數(shù)值；

缺點：僅能表示自變量取較少的有限值時的對應(yīng)關(guān)系.

（3）圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

優(yōu)點：能形象直觀地表示函數(shù)的變化情況；

缺點：只能近似求出自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值，而且有歸誤差較大.

2.函數(shù)圖象的變換

（1）函數(shù)圖象的平移變換

左加右減：函數(shù)y=/（x）的圖象沿x軸方向向左（。＞0）或向右（。＜0）平移個單位長度得到函數(shù)

y=f（x+a）-,

上加下減：函數(shù)y=/（x）的圖象沿y軸方向向上（〃＞0）或向下（A＜0）平移制個單位長度得到函數(shù)

y=fM+h

（2）函數(shù)圖象的對稱變換

二大上附對稱〉），=

①yf（X）-/（X）

②）,=/⑴紅電-Jy=f（-X）

③）,=/（X）.關(guān)于.原型蹲_＞）,=_/（_%）

（3）函數(shù)圖象的翻折變換

①）=/（幻保飄謝上及其上方的圖軟

把削?卜方的圖象翻“至h軸上方

②y=/(x)保爾）觸上及其右例的圖牌>y=/(W)

把前“洲的圖象捆0Tb布臼例

知識點03函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)與減函數(shù)

（1）設(shè)函數(shù)/（?的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值否,占

當(dāng)為＜七時，都有/（的）＜/（工2），那么就說函數(shù)/四）在區(qū)間。上是單調(diào)遞增函數(shù)：

當(dāng)用＜々時，都有/（~）＞/（工2），那么就說函數(shù)/仞在區(qū)間。上是單調(diào)遞減函數(shù).

（2）單調(diào)性的圖形趨勢（從左往右）

上升趨勢下降趨勢《

(3)占，%的三個特征

①區(qū)間/上的自變量的兩個值』，聲必須是任意的，即區(qū)間/內(nèi)的全部工，任意即所有，不可以隨便取

兩個特殊值；

②有序性：一般要對西和々的大小進(jìn)行規(guī)定，通常規(guī)定$＜/；

③同區(qū)間性：即修，馬同屬于一個單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

區(qū)間D叫做＞=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【易錯警示】

(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上，的性質(zhì)，單獨一點不存?在單調(diào)性問題，

故單調(diào)區(qū)間的端點若屬于定義域，則區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點不屬于定義域則只能開.

(2)單調(diào)區(qū)間定義域/.

(3)遵循最簡原則，,單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；

(4)單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“U”,可以用”和“來表示：

—37單調(diào)函數(shù)的運算桂廟

若函數(shù)/*)與g(X)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：

(1)/(X)與/(X)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)/(X)與一/(X)的單調(diào)性相反.

(3)當(dāng)。＞0時，af(x)與/(/)單調(diào)性相同；當(dāng)。＜0時，qf(x)與單調(diào)性相反.

(4)若f(x)＞0,則/(X)與具有相同的單調(diào)性.

(5)若/(幻恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)。＞0時，/(幻與，_具有相反的單調(diào)性；

/(A)

當(dāng)。＜0時，外處與，—具有相同的單調(diào)性.

(6)/(x)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：

簡記為：/+/=/;(2)\+\=\;(3)/-、=/;(4)X-/=\.

知識點4函數(shù)的最大(小)值

1.函數(shù)的最大值

(1)定義：對于函數(shù)y=/(川其定義域為D,如果存在x0eo,f(x)=M,使得對于任意的xRD,都有

f(x)＜M,那么,我們稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值,即當(dāng)x=x0時，/(xo)是函數(shù)y=/(x)的最大值,記作ymax=

/(xo).

（2）幾何意義：函數(shù)的最大值對應(yīng)函數(shù)圖象的最高點的縱坐標(biāo).

2.函數(shù)的最小值

（1）定義：對于函數(shù)y=/（x）,其定義域為。，如果存在刈￡0,/（x）=M,使得對于任意的x￡。，都有

f{x}>M,那么，我們稱M是函數(shù)y=/（x）的最小值，即當(dāng)x=xo時，/（X。）是函數(shù)y=/（x）的最小值，記作內(nèi)皿=

f（xo）.

（2）兒何意義：函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標(biāo).

【易錯警示】

對于定義域為閉區(qū)間的函數(shù)，還需要確定函數(shù)在端點處的函數(shù)值的大小，將其與所求出的最值進(jìn)行比

較，值最大（?。┱呒礊楹瘮?shù)的最大（小）值.

知識點5函數(shù)的奇偶性

1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義

（1）奇函數(shù)：如果對于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個X,都有/（T）=—/（X）,那么函數(shù)/（力是

奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.

（2）偶函數(shù)：如果對于函數(shù)“X）的定義域內(nèi)任意一個-都有/（r）=〃x）,那么函數(shù)“X）是偶

函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.偶函數(shù)）（幻的性質(zhì)：/（-x）=/（x）=/（|x|）,可避免討論.

2.奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象對稱性的推廣

y=f（x）在定義域內(nèi)恒滿y=/（x）的圖象的對稱軸（中

足心）

直線x二〃

f(x)=f(a-x)直線工=@

2

“口a+b

f(u+x)=f(D直線x二-----

2

/(〃+x)+/(…)=0點（。,0）

點（等,。）

f(a+x)+f\b-x)=O

點（等令

f(a+x)+f(b-x)=c

知識點6黑函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.塞函數(shù)的定義

形如y=R）的函數(shù)稱為豪函數(shù)，其中x是自變量,a為常數(shù).

2.累函數(shù)的特征

暴函數(shù)要同時滿足?下三個條件才是暴函數(shù)

①￡的系數(shù)為1;

②爐的底數(shù)是自變量；

③指數(shù)為常數(shù).

3.塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（1）哥函數(shù)圖象

（2）常見尋函數(shù)的圖象與性質(zhì)

￡

V-丫23)，=/

函數(shù))~Xy=xy=x2

V(1/V午

圖象十

47r

r

定義域RRR{x\x>0}{x|x^0}

值域R{y\y>0}R{ylyN。}3），工0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在R在（e，。）上單在（-8,0）和

在R上單在10,+8）上

單調(diào)性上單調(diào)遞調(diào)遞減,在（0,+8）（0,收）上單調(diào)遞

調(diào)遞增單調(diào)遞增

增上單調(diào)遞增減

公共點(1,1)

4.鬲函數(shù)的特性

①單調(diào)性：如果a>0,則累函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數(shù).如果a<0,則基函數(shù)的

圖象在（0,+oc）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與），軸.

②過定點：所有的塞國數(shù)在（0,十8）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

③奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時，累函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，累函數(shù)為偶函數(shù).

￡

當(dāng)。=幺（其中互質(zhì)，〃和夕EZ）,若〃為奇數(shù)4為奇數(shù)時，則），是奇函數(shù)，若〃為奇數(shù)

P

±±

9為偶數(shù)時，則）』/是偶函數(shù)，若P為偶數(shù)4為奇數(shù)時，則），=/是非奇非偶函數(shù)

三、熟記重要結(jié)論

1.常見函數(shù)的定義域

⑴分式函數(shù)中分母不笠于。

12）偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

[3）一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.

⑷零次基的底數(shù)不能為0.

2.基本初等函數(shù)的值域

⑴y=kx+b（七0）的值域是R.

r4ac—b2A

[2）y=ax2+bx+c（80）的值域：當(dāng)Q>0時，值域斗?+8>當(dāng)Q<0時，值域為

（4ac~b2

I--OO■■

I_4QJ-

（3）y=%kH0）的值域是刨府Q}.

[4）/=（/（0>0且"1）的值域是（0.，_±°°）.

（5）y=logd（a>0且“1）的值域是R.

3.函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論

,f（Xl）—f（X2）.,0?rsf_（_X1）—f（x?）.,口

⑴對Vx】，X2EO（5X2），-j；二Mo附在區(qū)上是增甌數(shù):小-7Tti2

減函數(shù).

（2）對勾函數(shù)y=x+?（。>0）的墻區(qū)間為（二8...二gl和[也「±旬，減區(qū)間為匕二也40）到四,W^L

（3）在區(qū)間。上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).

⑷函數(shù)/（g（x））的單調(diào)性與函數(shù)y=/（u）和u=g（x）的單調(diào)性的關(guān)系是例乳星減:.

4.函數(shù)最值存在的2個結(jié)論

（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.

（2）開區(qū)間上的"單蜂，函數(shù)一定存在最大（?。┲?

5.函數(shù)奇偶性的三個重要結(jié)論

⑴如果一個奇函數(shù)/(X)在x=0處有定義，那么一定有三Q.

：2)如果函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，那么/(x)=/(|x|).

⑶奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單

調(diào)性.

6.周期性的幾個常用結(jié)論(拓展)

對/(M的定義域內(nèi)任一自變量的值x,周期為T,則

⑴若/(x+a)=-f(x)，則三四叱如

；2)若f(x+a)=沸一，則-2以吟。；

I3)/(x+a)=-^-，則r=2。(。>0).

7.幕函數(shù)y=x°在第一象限的兩個重要結(jié)論

⑴恒過點(1,1)；

(2)當(dāng)x曰0,1)時，凌越大，函數(shù)值越??；當(dāng)x€(l,+8)時，a越大，函數(shù)值越大.

3.與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題

設(shè)/(x)=ax2+bx+c(a。。)，則

a>0

(l)/(x)>0恒成立的充要條件是

AVO；

(2)/(x)<0恒成立的充要條件是Li］

3Vo

f(m)>0

(3)/(x)>0(a<0)在區(qū)間［m,〃］恒成立的充要條件是，，、.八

f(D):0

f(m)<0

⑷/(x)V0(a>0)在區(qū)間［m,恒成立的充要條件是，,、…

f(n)<0

題型精講

題型01判斷函數(shù)相等

【典例1】(2025高一上?安徽?期末)中文〃函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻

譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，下列選項中是同一個函數(shù)的是()

A.y=x°-l^y=0

B.y-Jx-2-Jx+2與y=Vx2-4

C.尸x與z=^

y=Y+%與）,=

方法技巧

判斷函數(shù)相等的方法

⑴先看定義域，若定義域不同，則不相等.

⑵若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同.

【變式五】72025高一上?北京東城?期末）下列函數(shù)中，與是同一函數(shù)的是（）

A.y=V?-IB.y=C.y="+:D.y=?/?-1

【變式1?2】（24-25高一上?天津?階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（）

A.y=--------,y=x+3B.>'=>/?-1?)=1

x-3

），」

C.y=y[x^，、二WD.

題型02具體函數(shù)定義域的求解

函數(shù)），=五肓+=的定義域是（）

【典例2-1]（24-25高一上?福建龍巖?階段練習(xí)）

x-1

A.[-4,-KO)B.(-4,-HO)

C.H，0)J(0,-HX)D.[-4J)J(1,-HX))

【典例2-2】（2026高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=尸7、的定義域是R,則實數(shù)。的取值范

ax~-ax-3

圍是.

方法技巧

函數(shù)定義域的求解

⑴若/（x）是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.

（2）若/（x）是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.

⑶若/（x）是由幾個式子構(gòu)成的，則定義域是幾個部分定義域的交集.

⑷若/（*）是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題,使實際問題有意義.

【變式2-1]（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）函數(shù)/"）二卜'的定義域為（）

\j2-x-x~

A.（^30,—2）U（t+°o）B.（—2,1）

C.2MLy）D.[-2,1]

【變式2-2]（2025?北京朝陽?一模）函數(shù)/（x）=-?L+五+x°的定義域為_______

\J\-X

【變式2-3](24-25高一上?天津靜海?階段練習(xí))已知函數(shù))，=的一5)七+(〃-1)1+1的定義域是R，則。

的取值范圍是.

題型03抽象函數(shù)定義域的求解

【典例3】(2025高一上?山東?期中)函數(shù)/(x+1)的定義域為[-22],函數(shù)g")=心二二\),則g(x)

的定義域為()

A.[0,2)0(2,4]B.[—l,2)u(2,3]

C.(川及川D.(別J(Z3]

方法技巧

抽象函數(shù)定義域的求解

⑴函數(shù)的定義域是指自變量的取值范圍，函數(shù)/[以幻]中的自變量還是x,因此它的定義域仍是指x(而

不是。(X))的取值范圍.

(2)同在對應(yīng)法則f下的范圍相同，即f(t)/[9(.Y)],f[h(x)]三個函數(shù)中的t,O(x),h(x)的范圍相

同.

【變式3-1](24-25高一上?黑龍江大慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/㈤的定義域[0,6],則函數(shù)gQ)=」與的定

義域為

【變式3-2](24-25高一上?河南信陽?階段練習(xí))求下列函數(shù)的定義域：

⑴已知函數(shù)/(x)的定義域為[1,2],求函數(shù)y=/(2x+l)的定義域；

⑵已知函數(shù)y=/(2x+l)的定義域[1,2],求函數(shù)y=f(2x-1)的定義域.

題型04函數(shù)值域的求解

【典例4-1]（24-25高一上?廣東汕頭?期中）已知是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，滿足/V（x））=x+2,則

函數(shù)），=x+”（x）的值域為（）

A.[l,+oo）B.卜1收）

，?卜*）「3

D.一:，+8

4

【典例4-2】（2025高三?全國?專題練習(xí)）

方法技巧

函數(shù)值域的求解

求函數(shù)值域問題須明確兩點：一點是值域的概念，即對于定義A內(nèi)的函數(shù)y=f（x）,其值域就是指集合

C=【y|y=f（x）,xEA},;另一點就是函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系為確定函數(shù)的依據(jù).

求函數(shù)的值域的方法很多，常見的有：

（1）直接觀察法:通過對函數(shù)解析式的筒單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高

點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域，這就是觀察法.

（2）配方法:對于二次函數(shù)型的解析式，則可通過配方后再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得值域.

（3）判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍,常用于“分式函數(shù)”“無理函數(shù)”

等.使用此法要特別注意自變量的取值范圍.

（4）分離參數(shù)法:此法常用于求形如y=三土色（〃W0）的函數(shù)的值域，所謂分離常數(shù)，就是把函數(shù)式

ax+b

分子中含x的項分離掉，即分子不含x項.

（5）換元法:對于一些無理函數(shù)（如帶有根式的函數(shù)）或超越函數(shù)，通過換元把它們化為有理函數(shù)（如二次

函數(shù)），再利用有理函數(shù)求值域的方法可直接把原函數(shù)的值域求出."換元法''求函數(shù)值域其實質(zhì)是等價轉(zhuǎn)換的

思想方法.

【變式4-1]（24-25高一下?四川德陽?階段練習(xí)）函數(shù)），=Gx-j8+2x—f的值域為

【變式4-2]（23-24高一上?山西太原?階段練習(xí)）函數(shù)=2x+3的值域是（）

A.[0,2]B.[0收）C.[2,+oo）D.（0,2）U（2,-K?）

【變式4-3]（2025高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)尸J=+7177的值域為.

【變式4-4]（24-25高一上?河南駐馬店?期末）若函數(shù)/（X）=〃!+JT+4的定義域為可（。＜力）,值域為

，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

題型05函數(shù)解析式的求解

【典例5-1】（2025高一?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)”1-力=9（1/0）,則/3=（）

A.1J-I(XHO)

B.7_^T(Z)

(1)(1)

4/4,、

c.7~^T(XHO)D.7~~^T(xWl)

(x—l)(x-1)

【典例5-2】(2026高三?全國?專題練習(xí))若函數(shù)/(X)滿足/(”-2/撲x+2,則

/(x)=

方法技巧

函數(shù)解析式的求解

(1)代入法:如已知f(X)=x2-l,求f(x+X?)時，有f(x+x2)=(x2+x)2T.

(2)待定系數(shù)法：已知f(x)的函數(shù)類型，則可通過設(shè)函數(shù)f(x)的解析式,根據(jù)題中的條件求得解析式,這種

方法叫作待定系數(shù)法.

(3)配湊法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)時，可從f(g(x))的解析式中配湊出g(x),即用g(x)來表示

f(g(x)),再將解析式兩邊的g(x)用X代替即可.

(4)換元法:解題時,把某個式子看作一個整體,用一個新的變量去替代它,從而使問題簡化,這種方法叫作

換元法.

(5)解方程組法或消元法:在已知式子中，若含有兩個不同變量,這兩個變量又有著某種關(guān)系，這時就要依

據(jù)兩個變量的關(guān)系，建立一個新的關(guān)于兩個變量的式子，聯(lián)立這兩個式子,通過解方程組消去一個變量,得到

目標(biāo)變量的解析式，這種方法叫傳解方程組法或消元法.

(6)賦值法：依題目的特彳止，能夠由特殊到一般尋找普遍規(guī)律，口」將變量取特姝值，從而找出一般規(guī)律,求出

解析式.

【藪5-1Y724-25高一上?重慶?期中)已知函數(shù)7(可贏7(幣方(i二x)=2-3]血7(&"；-f

1C."3

A,二B.—XH--D.T+一

2442

已知函數(shù)f(3-2x)=紅二，則

【變式5-2](24-25高一」二?四川?期中)()

x

A/■/x+6%+21...、x~-6.v+21

A.y(x)=--——B../(x)=————

2(3-x)2(3-x)

-f,、A-24-6x4-21_?<、X2-6x+21

D-

【變式5-3](24-25高三上?安徽安慶?階段練習(xí))(1)己知/⑴-2/(￡|=3x+2,求〃力的表達(dá)式;

(2)已知奇函數(shù)/(力的定義域為R,當(dāng)x>0時，/(x)=x2+x+l.求函數(shù)/(力的解析式.

題型06分段函數(shù)問題

x+2,x<-1

【典例6](24-25高一上?云南昭通?期中)已知函數(shù)/*)的解析式為/(幻=<2,-1<.門2.

-x+6,x>2

⑴求f(3),的值:

⑵畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出f(x)的最大值.

方法技巧

分段函數(shù)的求解

(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù).處理分段函數(shù)的問題時，首先確定自變量的數(shù)值屬于哪一個范

圍,從而選擇相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系.

(2)畫分段函數(shù)的圖象時，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的解析式分別作出圖象，再將它們組合在一起得到整個分

段函數(shù)的圖象.

(3)分段函數(shù)的定義域是函數(shù)各段自變量取值范圍的并集,各段定義域的交集是空集.

(4)分段函數(shù)的值.域是各段函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上函數(shù)取值集合的并集.

(5)求分段函數(shù)的有關(guān)函數(shù)值的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式.

【變式6-1](24-25高一上?福建福州?期中)已知函數(shù)若〃。)>3,則。的取值范

x-2x,x>1

圍是()

A.(-??,-1)B.(3,+co)

C.(-1,3)D.

(1一2〃?)x+3，〃,xv1

【變式6-2】(24-25高一上?湖北宜昌?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=的值域為R,則m

x2,x>1

的取值范圍是.

題型07判斷函數(shù)的單調(diào)性

【典例7-1](24-25高?上?山東濟(jì)南?期中)下列函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)的是<)

A.f(x)=x'[B./(x)={

C.小)=1D.f(x)=x

【典例7-2](23-24高一上?北京?期中)函數(shù)/(x)=|x(x-2)|的單調(diào)遞減區(qū)間是

方法技巧

函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解

⑴利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解.

⑵利用函數(shù)的圖象.

【變式7-1](24-25高二下?江蘇無錫?階段練習(xí))函數(shù)y=—6的單調(diào)減區(qū)間是一.

【變式7-2]作出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性.

(l)y=-x2+2x+l,xG[0,4]；(2)f(x)=Vx2-6x+9+Vx24-6x4-9.

題型08由函數(shù)的單調(diào)性求參

【典例8-1]（24-25高一上?河北保定?期末）若函數(shù)=在區(qū)間（<+8）上單調(diào)遞增，則實數(shù)

。的取值范圍是.

/、\x2-2ajc+a2,x>1,

[MM8-2]（24-25高一上?陜西西安?期末）已知函數(shù)fx0?！ㄊ荝上的增函數(shù)，則。的

（a+2）x+3,xW1

取值范圍是.

方法技巧

利用單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍

已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的一般方法：⑴將參數(shù)看成已知數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再

與已知的單調(diào)區(qū)間比較，求出參數(shù)的取值范圍；（2）運用函數(shù)單調(diào)性的定義建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組），解不

等式（組）求出參數(shù)的取值范圍，即將函數(shù)值之間的不等關(guān)系與自變量之間的不等關(guān)系進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.

【變式8-1]（24-25高一下?湖北武漢?階段練習(xí)）已知函數(shù)廠在R上單調(diào)遞減，

7x,x>4

則實數(shù)。的取值范圍為

【變式8-2]（24-25高一上?安徽亳州?階段練習(xí)）已知函數(shù)"寧巴，其中acR.

⑴當(dāng)函數(shù)/（"的圖象關(guān)于點為中心對稱時，求。的值；

（2）若函數(shù)/（力在區(qū)間上單調(diào)遞增時，求a的取值范圍.

題型09函數(shù)單調(diào)性的證明

【典例9】（24-25高一下?安徽馬鞍山?開學(xué)考試）已知函數(shù)竺上史里為奇函數(shù)，且/⑴=3

⑴求“X）的解析式

⑵求證：/（X）在區(qū)間［1，+8）上單調(diào)遞增；

方法技巧

函數(shù)單調(diào)性的證明

（1）取值:設(shè)X1，X2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,且X1<X2?

⑵作差變形：作差并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.

⑶定號：確定期1）—/（X2）的符號.

⑷結(jié)論：根據(jù)知】）一段2）的符號及定義判斷單調(diào)性.

【變式9-1]⑵3高一上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）已知函數(shù)/⑶="+口。/“）.

⑴判斷/（x）的奇偶性，并用定義進(jìn)行證明：

（2）若〃=2〃，試討論/"）在（&什8）上的單調(diào)性.

【變式9-2]（24-25高一上?云南德宏?期末）已知函數(shù)/（%）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時,

?。?磊

⑴當(dāng)x<0時,求“X）的解析式：

（2）判斷/（力在[0,+8）上的單調(diào)性，并用定義證明.

題型10利用單調(diào)性比較大小或解不等式

【典例10-1]設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+00)上是減函數(shù)百,必氐且a+bwo,則下列選項正確的是()

A.fia)+f(b)<f(a)+f(b)B,f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

C.fla)+f(b)>f(a)+f(b)D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

【典例10?2】已知f(x)是定義在[-2,2]上的增函數(shù)，求使f(2a-l)>f(a-l)成立的實數(shù)a的取值范圍.

方法技巧

利用單調(diào)性比較大小或解不等式

1.利用函數(shù)單調(diào)性的定義比較大小，主要有兩個方面:一是正用，即已知函數(shù)y=f(x)在定義域的某個區(qū)間上

是增(減)函數(shù)，則當(dāng)X|〈X2時,f(X|)Vf(X2)(f(X|)>f(X2)),當(dāng)X]>X2時,f(Xi)>f(X2)(f(X])〈f(X2))；二是逆用，即已知函數(shù)f(x)

在定義域的某個區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)f(X|)<f(X2)時,X|VX2,當(dāng)f(X》f(X2)時,X]>X2,減函數(shù)也有類似的性質(zhì).

2.利用函數(shù)單調(diào)性解不等式時，先將不等式整理成f(a)<f(b)或f(a)>f(b)的形式，再利用單調(diào)性脫去

f,轉(zhuǎn)化為具體不等式求解?.

rSFlOlTZ/ZS高一下?云南昆明?期末)定義在R卜的函數(shù).v=/(x)圖象關(guān)千音線x=l對稱,在

(YD/)單調(diào)遞減，若Xvlv匕且司+勺>2,則()

A.B.f(x2)>f[2-xt)C./(-V1)>/(2-X2)D.f(-)vf(2-\)

【變式10-2](24-25高一上?云西楚雄?期末)已知函數(shù)卜2+3+].

⑴若g(x)=/(x)+x是偶函數(shù)，求不等式/(切>0的解集；

⑵若對任意的牛為41,用)，且人產(chǎn)占時，都有"?二?巧)<1成立，求”的取值范圍.

題型11利用單調(diào)性求函數(shù)的最值

【典例11］（24-25高一上?湖北武漢?開學(xué)考試）已知二次函數(shù)y=f-6x+5.

⑴求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸；

⑵當(dāng)時，函數(shù)的最大值和最小值分別是多少？

⑶當(dāng)￡WxW，+3時,函數(shù)的最大值為“，最小值為〃，若〃L〃=3,求7的值.

方法技巧

函數(shù)的最值與單調(diào)性

⑴若函數(shù)加）在區(qū)間⑸切上是增（減）函數(shù)，則加）在區(qū)間g,句上的最小（大）值是加）,最大（?。┲凳欠危?

⑵若函數(shù)段）在區(qū)間5團(tuán)上是增（減）函數(shù)，在區(qū)間［b,C］上是減（增）函數(shù)，則/（X）在區(qū)間0C］上的最大（?。┲?/p>

是j（b）,最?。ù螅┲凳?（。）與He）中較?。ù螅┑囊粋€.

（3）定號：確定/（X1）—/（X2）的符號.

⑷結(jié)論：根據(jù)/（M）—/（X2）的符號及定義判斷單調(diào)性.

【變式11](24-25高一下?北京?開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=x+2TTI,aeR.

(1)當(dāng)〃=g時，求函數(shù)/G)的值域；

(2)記函數(shù)f(x)的最大值g(〃)，求烈。)的解析式.

題型12函數(shù)奇偶性的判斷

【典例12-1】(2024高三?全國?專題練習(xí))若函數(shù)〃x)(xeR)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)(xcR)是偶函數(shù)，則

()

A.函數(shù)f(g(x))是奇函數(shù)

B.函數(shù)g(/(x))是奇函數(shù)

C.函數(shù)/(力送(力是奇函數(shù)

D.函數(shù)/(x)+g(x)是奇函數(shù)

【典例12-2]判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(l)f(x)=|x+b|-|x-b|;

(2)f(x)=x2-|x|+l,xW[-l,4];

⑶f(x』；

(4)f(x)=(x-l)

方法技巧

判斷函數(shù)的奇偶性的基本方法

(1)定義法:若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則可判斷函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義

域關(guān)于原點對稱,則判斷f(-X)是否等于f(X)或-f(X).

(2)驗證法：即在定義法的基礎(chǔ)上，驗證f(-x)±f(x)=O.毋士i(f(x)ro)是否成立.這是因為若f(-

x)4f(x)=0,則f(-X)=-f(x),則f(X)為奇函數(shù).其他可類似推知.

(3)圖像法:奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(y地)對稱,所以通過函數(shù)的圖像可直觀地看出

函數(shù)的奇偶性.

(4)性質(zhì)法:偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個

奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個奇函數(shù)和一個隅函數(shù)的積為奇函數(shù).

(5)①利用上述結(jié)論時要注意各函數(shù)的定義域.

②用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟是判斷定義域(關(guān)于原點對稱)一驗證f(-x)=±f(x)f下結(jié)論，還可以

利用圖像法或定義的等價命題f(-x)±f(x)=0或臀±l(f(x)WO)來判斷.

③利用定義判斷函數(shù)的奇偶性時，既要判斷f(X)與f(-X)的關(guān)系，又不能忽略與定義域有關(guān)的問題，如關(guān)

于原點對稱,X的任意性等.

④有些題目的求解過程是先確定函數(shù)的定義域，然后在定義域上化簡函數(shù)關(guān)系式,觀察其本質(zhì)，最后利

用定義去判斷奇偶性.

【變式12-1】(2025?江蘇海安市校級月考)設(shè)函數(shù)/(x)=號，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

八T4

A.f(x-2)-1B./(x-2)+1C.f(x+2)-1D.f(x+2)+1

【變式6-1](2022春?楊陵區(qū)校級期末)若函數(shù)/(x)=/+質(zhì)+8(“W0)是偶函數(shù)，則g(x)=2aP+/

是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

【變式12-2]設(shè)函數(shù)/(>)=/_；計3,則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.f(x+1)B./(x)+1C./(x-1)D.f(x)-1

【變式12-3】(2025?廣東汕頭期天)已知/(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，且g(x)WO,

則下列說法正確的是()

A./(x)+g(A-)為R上的奇函數(shù)

B.f(x)-g(x)為R上的奇函數(shù)

C.望為R上的偶函數(shù)

D.|/-(x)g(x)|為R上的偶函數(shù)

題型13由奇偶性求解析式或參數(shù)

【典例13-1］(21-22高一上?重慶璧山?階段練習(xí))已知/(x)=or2+S+3)x+。是定義在［。-3,24］上的偶函

數(shù)，則4+/?=.

【典例13-2］(24-25高一下?江西宜春?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑴是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，當(dāng)0GW2

時，/(x)=f+2x.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若/(2l)+/(4a-3)>0,求實數(shù)。的取值范圍.

方法技巧

由奇