初四數(shù)學(xué)

1.如圖，在RlAABC中，NA=90°.4B=8c/〃，AC=6cm,若動點。從8出發(fā)，沿線段84運(yùn)動到點A為止（不考

慮。與8,A重合的情況），運(yùn)動速度為2o川s,過點。作DE〃BC交AC于點E,連接8￡,設(shè)動點。運(yùn)動的時間

為x（s）,4E的長為），（cm）.

（1）求），關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量％的取值范圍：

（2）當(dāng)x為何值時，△8。石的面積S有最大值？最大值為多少？

2.已知拋物線y=-f+2x+3.

（1）求出這個拋物線的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)；

（2）在給定的坐標(biāo)系中畫出這條拋物線，設(shè)拋物線與x軸交于A,8兩點，與），軸交十點C,求△ABC的面枳.

3.如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A、8兩點，拱橋最高點。到A8的距

離為9m,AB=36m,D、E為拱橋底部的兩點，且。石〃A8,點E到直線AB的距離為7m,則DE的長為

m.

上

___NE

4.如圖，某學(xué)校的校門是一拋物線形狀的建筑物，地面寬度為8〃?，兩側(cè)距地面高處各有一個掛校名橫匾用的鐵

環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為4〃?，則校門的高度為.m.

B

5.某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長25〃?，木柵欄長47〃?，在與墻垂

直的一邊留出1〃?寬的出入口（另選材料建出入門）.求雞場面積的最大值.

出入I1

6.某市體育館為了讓體育運(yùn)動的人方便停車，體育館利用一塊矩形空地建了一個停車場，其布局如圖所示，已知停

車場的長為58米，寬為22米，陰影部分為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位的面積為700平方米.

（I）求通道的寬是多少米？

（2）該停車場共有車位70個，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個車位的月租金為300元時，可全部租出；當(dāng)每個車位的月租金

每上漲10元，就會少租出1個車位，那么停車場的月租金收入最大為多少元？

7.小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為30元時銷量為200件，每漲1元少賣

10件，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%.

（I）設(shè)小明每月獲得利潤為卬（元）,求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自

變量X的取值范圍.

（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？

（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？

8.為滿足市場需求，郴州某超市在“中秋節(jié)”來臨前夕，購進(jìn)一種品牌月餅，每盒進(jìn)價是40元.超市規(guī)定每盒售價

不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價提高1元，每

天要少賣出20盒.

（1）試求出每天的銷售量），（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（%）最大？最大利潤是多少？

（3）為穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門限定：這種月餅的每盒售價不得高于57元.如果超市想要每天獲得不低于6000

元的利潤，那么超市每天至少銷售月餅多少盒？

9.某服裝超市購進(jìn)單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元.銷售

一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當(dāng)銷售單價每降低10元時，平均每月能多

笆出20件.同時，在銷色過程中，每月還要支付其他費(fèi)用450元.設(shè)銷生單價為x元，平均月銷傍量為y件.

（I）求出），與X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍.

（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？

（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

10.某商店經(jīng)營一種商品，進(jìn)價為2.5元，據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件，而銷售價每

降低1元，平均每天就可以多售出100件

（1）假定每件商品降價x元，商店每天銷出這種商品的利潤是），元，請寫出_），與x間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若商店每天銷售這種商品的利潤要達(dá)到6000元，則每件商品應(yīng)降價多少元？

（3）每件商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大？最大利潤是多少？

11.宏達(dá)汽車租賃公司共有出租車120輛，每輛汽車的日租金為160元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適合市場需求，

經(jīng)有關(guān)部門批準(zhǔn)，公司準(zhǔn)備適當(dāng)提高日租金，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每輛汽車的日租金每增加10元，每天出租的汽車

相應(yīng)的減少6輛，若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高幾個10元時，才能使公司的日租金收入最

高？這時公司的口租金總收入比提高租金前增加了多少元？

12.在一塊等腰直角三角形區(qū)域內(nèi)要建一個內(nèi)接于的矩形水池OEFN,其中DE在A3上，AC=8米，ZACB

=90"（1）求△48C中A8邊上的高木（2）設(shè)QN=x米，請用x表示NE

（3）設(shè)水池OEFN面積為），（平方米），試確定），與x的函數(shù)表達(dá)式;

（4）請確定點N在人。什么位置時y最大，最大值是多少？

參考答案與試題解析

一.二次函數(shù)的最值（共1小題）

1.如圖，在RtaABC中，NA=90°.AB=Scm,AC=6cm,若動點。從3出發(fā)，沿線段84運(yùn)動到點A為止（不考

慮力與8,A重合的情況），運(yùn)動速度為2c?i/s,過點力作。石〃8C交人。于點E,連接BE,設(shè)動點力運(yùn)動的時間

為x（s）,AE的長為y（cm）.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)％為何值時，△8DE的面積S有最大值？最大值為多少？

【解答】解：(1)動點。運(yùn)動x秒后，BD=2x.

又丁44=8,：.AD=S-2x.

?：DE!/BC,

???AD=---A-E,

ABAC

?』6(8-2x),3

,*AE=-------------=6亍，

???），關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為丁=-3/6（0VxV4）.

2

（2）解：^DE=^BD*AE=yX2X（-4X+6）=（0<X<4）.

乙乙乙乙

當(dāng)x=^-------—二2時，54用用最大，最大值為6cm2.

2X（-f）

二.拋物線與X軸的交點（共1小題）

2.已知拋物線y=?/+2丫+3.

（1）求出這個拋物線的對稱軸方程和頂點坐標(biāo)；

（2）在給定的坐標(biāo)系中畫出這條拋物線，設(shè)拋物線與x軸交于A,8兩點，與），軸交于點C,求△ABC的面積.

【解答】解：(1)y=-/+2x+3=-(x-1)2+4,

???頂點坐標(biāo)是(1,4),對稱軸是直線x=l；

(2)畫圖象:

在y=-f+2x+3中，令y=0,則-/+2什3=0,

:.(%-3)(x+1)=0,

解得川=3,X2=-1,

?"(?1,0),8(3,0).

XVC(0,3),

???A8=4,OC=3,

???S"8C=LB?OC=2X4X3=6.

22

三.二次函數(shù)的應(yīng)用(共8小題)

3.如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A、8兩點，拱橋最高點。到AB的距

離為9m，AB=36m,D、E為拱橋底部的兩點，且。E〃AB,點E到直線A8的距離為7〃?，則DE的長為48

上

【解答】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，X軸在直線DE上，y軸經(jīng)過最高點C.

設(shè)A4與)，軸交于點從

V>45=36w,

，A”=8"=18機(jī)，

由題可知：

0H=7m,CH=9m,

，0C=9+7=16”〃，

AC(0,16)>B(18,7).

設(shè)該拋物線的解析式為：)，=。/+16,

將8(18,7)代入得:

A7-18X18。+16,

?\a=--,

36

，拋物線：y=--LV2+16,

36

當(dāng)y=0時，即：0=--l^d+16,

36

?'=±24,

:,E(24,0),。-24,0),

???OE=OD=24mf

/.DE=OD+OE=24+24=48〃?，

故答案為：48.

4.如圖，某學(xué)校的校門是一拋物線形狀的建筑物，地面寬度為8〃?，兩側(cè)距地面高處各有一個掛校名橫匾用的鐵

環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為4加，則校門的高度為8in.

【解答】解：如圖所示：由題意可得，A(8,0),B(2,6),

設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=av(x-8;,

則6=2。(2-8),

解得：a1

2

故二次函數(shù)解析式為：y=--kv(x-8)=--ir+4x=-—(x-4)2+8,

222

則校門的高度為8〃?.

5.某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長25〃?，木柵欄長47〃?，在與墻垂

直的一邊留出1〃?寬的出入口(另選材料建出入門).求雞場面積的最大值.

出入口

【解答】解：設(shè)矩形雞場與墻垂直的一邊長為x〃?，則與墻平行的一邊長為(47-2/1)〃?，由題意可得:

y=x(47-2x+l),

即y=-2(x-12)2+288,

由題意「7-2x+ljO,

47~2x+l425

解得11.5Wx<24,

????2<0,

，當(dāng)K=12時，y有最大值為288,

當(dāng)x=12時，47-x-(x-1)=24<25(符合題意)，

工雞場的最大面積為288w2.

6.某市體育館為了讓體育運(yùn)動的人方便停車，體育館利用一塊矩形空地建了一個停車場，其布局如圖所示，已知停

車場的長為58米，寬為22米，陰影部分為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位的面積為700平方米.

(1)求通道的寬是多少米？

(2)該停車場共有車位70個，據(jù)調(diào)杳分析，當(dāng)每個車位的月租金為300元時，可全部租出；當(dāng)每個車位的月租金

每上漲10元，就會少租出1個車位，那么停車場的月租金收入最大為多少元？

【解答】解：(1)設(shè)通道的寬為x米，

根據(jù)題意得：(58-2x)(22-2x)=700,

解得：x=36(舍去)或x=4,

答：通道的寬為4米；

(2)設(shè)月租金上漲。元，設(shè)停車場的月租金收入為卬元，

根據(jù)題意得：校=(300+。)(70?工)=--L(?-700)(4+30。)，

1010

???-」二<0，故w有最大值，

10

當(dāng)"=2X(700-300)=200(元)時，卬的最大值為25000(元)，

2

答：停車場的月租金收入最大為25(X)0元.

7.小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為30元時銷量為200件，每漲1元少賣

10件，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%.

(1)設(shè)小明每月獲得利潤為W(元)，求每月獲得利潤卬(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自

變量)的取值范圍.

(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？

(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？

【解答】解：(1)由題意，得：卬=(x-20)?)，=(x-20)*(-10A+500)=-10?+700.\--10000,即w=-10x2+700x

-10030(20?2)；

(2)對于函數(shù)卬=-10/+70(k-l(X)00的圖象的對稱軸是直線x----y、=吩

x2X(-10)s

又???〃=-10<0,拋物線開口向下.

???當(dāng)20WX&32時，W隨著X的增大而增大，

，當(dāng)K=32時，卬=2160

答：當(dāng)銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元.

(3)取VV=20(X)得，-IO?+VCXJA-10000=2000

解這個方程得：xi=30,X2=4O.

9：a=-10<0,拋物線開口向下.

???當(dāng)30<x<40時，卬2200().

???20?2

當(dāng)3OWxW32時，w22000.

設(shè)每月的成本為P(元)，由題意，得：P=20(-IO.v+500)=-200X+10000

VA:=-200<0,

???P隨其的增大而減小.

???當(dāng)x=32時，尸的值最小,一最小值=3600.

答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元.

8.為滿足市場需求，郴州某超市在“中秋節(jié)”來臨前夕，購進(jìn)一種品牌月餅，每盒進(jìn)價是40元.超市規(guī)定每盒售價

不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價提高1元，每

天要少賣出20盒.

(1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P(元)最大？最大利潤是多少？

(3)為穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門限定：這種月餅的每盒售價不得高于57元.如果超市想要每天獲得不低于6000

元的利潤，那么超市每天至少銷售月餅多少盒？

【解答】解：(1)由題意得：y=700-20(x-45)=-20,V+1600；

(2)P=Cx-40)(-20x+1600)=-20?+2400.\--64000=-20(x-60)2+8000,

Vx>45,a=-20V0,

???當(dāng)x=60時，P電大值=8000元，

即當(dāng)每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤P(元)最大，最大利潤是8000元；

(3)由題意,得-20(x-60)2+8000=600(),

解得XI=50,A2=70,

???拋物線P=-20(x-60)2+800()的開口向下，

???當(dāng)5OWxW7O時，每天銷售糕點的利潤不低于6000元的利潤，

又???啟57,

；?5—.

???在產(chǎn)-20x+1600中，k=-20<0,

???)，隨x的增大而減小，

:.當(dāng)工=57時，)，此小值=-20X57+1600=460,

即超市每天至少銷售糕點460盒.

9.某服裝超市購進(jìn)單價為30元的童裝若干件，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元.銷售

一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當(dāng)銷售單價每降低10元時，平均每月能多

售出20件.同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費(fèi)用450元.設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為y件.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？

(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：(1)由題意得：y=80+20X處工

10

，函數(shù)的關(guān)系式為：>'=-2x+200(30W.xW60)

(2)由題意得：

(x-30)(-2x+200)-450=1800

解得浦=55,4=75(不符合題意，舍去)

答：當(dāng)銷售單價為55元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元.

(3)設(shè)每月獲得的利潤為卬元，由題意得：

w=(x-30)(-2x+200)-450

=-2（x-65）2+2000

*/-2<0

???當(dāng)xW65時，w隨x的增大而增大

???3（XW60

:.當(dāng)J=60時，w酸大=-2（60-65）2+2000=1950

答：當(dāng)銷售單價為60元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大，最大利潤是1950元.

10.某商店經(jīng)營一種商品，進(jìn)價為2.5元，據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件，而銷售價每

降低1元，平均每天就可以多售出100件

（1）假定每件商品降價x元，商店每天銷售這種商品的利潤是），元，請寫出），與x間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若商店每天銷售這種商品的利潤要達(dá)到6000元，則每件商品應(yīng)降價多少元？

（3）每件商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大？最大利潤是多少

【解答】解：（I）由題意可得，

），=（13.5-X-2.5）（500+1001）=-100?+6（X）,t+5500,

即y與x間的函數(shù)關(guān)系式是），=-100.r+600.v+5500：

（2）當(dāng)y=6000時,

6000=-100?+600.v+5500,

解得，Xl=l,X2=5,

即每件商品應(yīng)降價1元或5元；

（3）y=-100?+600A+5500=-100（x-3）2+6400,

???x=3時，），取得最大值，此時y=6400,

即每件商品銷售價是3元時，商店每天銷售這種商品的利潤最大，最大利潤是6400元.

四.二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

11.宏達(dá)汽車租賃公司共有出租車120輛，每輛汽車的口租金為160元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適合市場需求，

經(jīng)有關(guān)部門批準(zhǔn)，公司準(zhǔn)備適當(dāng)提高日租金，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每輛汽車的日租金每增加10元，每天出租的汽車

相應(yīng)的減少6輛，若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的口租金提高幾個10元時，才能使公司的口租金收入最

高？這時公司的日租金總收入比提高租金前增加了多少元？

【解答】解：設(shè)該公司的每輛汽車日租金提高x