第十二章因式分解（舉一反三講義）全章題型歸納

【滬教版五四制2024】

題型歸納

【培優(yōu)篇】

【題型1囚式分解的概念】

【題型2確定公因式】

【題型3運用提公因式分解因式】

【題型4運用公式法因式分解】

【題型5運用提公因式法和公式法因式分解】

【拔尖篇】

【題型6利用因式分解進(jìn)行數(shù)的簡便計算】

【題型7利用因式分解進(jìn)行求值】

【題型8利用因式分解判斷數(shù)的整除】

【題型9因式分解與三角形的綜合應(yīng)用】

【題型10因式分解與圖形面積】

舉一反三

知識點1因式分解

1.定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式

分解.，也叫做把這個多項式分解因式.

2.拓展：（1）因式分解是針對多項式而言的，一個單項式本身就是數(shù)與字母的積，不需要再

分解因式；

（2）因式分解的結(jié)果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成事的形式；

（3）因式分解必須分解到每一個因式都不能再分解為止；

（4）因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不是互為逆運算.因式分解是一種恒等

變形，而整式乘法是一種運算.

知識點2用提公因式法分解因式

1.公因式的定義：一個多項式各項都含有的公共的因式做這個多項式各項的公因式.

2.怎樣確定公因式（五看）：

試卷第1頁，共12頁

?看系數(shù)：若各項系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；

二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；

三看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；

四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應(yīng)將其看成整體，不要拆開；

五看首項符號：若多項式中首項符號是則公因式的符號一般為負(fù).

3.提公因式法的定義：

一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與

另?個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

4.提公因式法分解因式的一般步驟：

①確定公因式：先確定系數(shù)，再確定字母和字母的指數(shù)；

②提公因式并確定另一個因式；

③把多項式寫成這兩個因式的積的形式.

拓展：（1）多項式的公因式提取要徹底，當(dāng)一個多項式提取公因式后，剩下的另一個因式中

不能再有公因式.

（2）提公因式后括號內(nèi)的項數(shù)應(yīng)與原多項式的項數(shù)?樣.

（3）若多項式首項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，通常要提出負(fù)因數(shù).

知識點3用平方差公式分解因式

1.平方差公式的等號兩邊互換位置，得/h2=（a+b）（a_b）

語言敘述：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.

2.特點：①等號左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；

②等號右邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.

知識點4用完全平方公式分解因式

2

I.完全平方公式的等號兩邊互換位置.，得/+2仍+/=的+6）2,a^2ab+b=（a-by

語言敘述：兩個數(shù)的平方卻加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）

的平方.

2.特點：①等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩人數(shù)（或兩個式子）的平方，旦這兩

項的符號相同，中間一項是這兩個數(shù)（或兩個式子）的積的2倍，符號正負(fù)均可.

②等號右邊是這兩個數(shù)（或兩個式子）的和（或差）的平方.當(dāng)中間的乘積項與首末兩項符

號相同時，是和的平方；當(dāng)中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方.

試卷第2頁，共12頁

3.公式法的定義：

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特

殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

【培優(yōu)篇】

【題型1因式分解的概念】

[例1]

(24-25七年級下安徽合肥期末)

1.下列各式中，自左向右變形屬于正確的因式分解的是()

A.a(a+b+=a2+aba

B.2“2+4〃=a(2〃+4)

C.9b2-4a2=(3b-2a)(3b+2a)

D.X2-4X+5=(X-2)2+1

【變式1-1】

(24-25八年級下?山東棗莊?期末)

2.已知關(guān)于x的二次三項式/+7工+〃有一個因式為(x+5),則〃的值為()

A.-10B.2C.10D.15

【變式1-2]

3.根據(jù)下邊圖形寫一個關(guān)于因式分解的等式.

b

【變式1-31

(24-25八年級上?陜西渭南?階段練習(xí))

4.甲同學(xué)分解因式/+?+9時看錯了9,分解結(jié)果為卜+2)卜+4),則多項式f+ax+9

分解因式的正確結(jié)果為.

試卷第3頁，共12頁

【題型2確定公因式】

【例2】

(24-25八年級上?福建廈門,階段練習(xí))

5.多項式9工1一3專,2各項的公因式是()

A.3yB.3xzC.3盯D.3x

【變式2-1]

6.寫出一個公因式為b的多項式：—.(寫一個即可)

【變式2-2]

(24-25九年級下?貴州六盤水?階段練習(xí))

7.小紅和小華在用提公因式法對多項式2/_4x進(jìn)行因式分解的過程中，出現(xiàn)了分歧，請

你在下列四個選項中幫他們選出正確的公因式()

A.2B.xC,2xD.2xz

【變式2-3]

8.整式a?”和的公因式為.

【題型3運用提公因式分解因式】

【例3】

(24-25九年級下?河北廊坊?階段練習(xí))

9.如圖是甲、乙兩位同學(xué)因式分解-r+x的結(jié)果，下列判斷正確的是()

甲同學(xué)：原式二-x(x-l)；

乙同學(xué)：原式=x(lf).

A.甲、乙的結(jié)果都正確B.甲、乙的結(jié)果都不正確

C.只有甲的結(jié)果正確D.只有乙的結(jié)果正確

【變式3-U

(24-25九年級上?山東淄博?階段練習(xí))

10.分解因式/。-3)+/(3-力的正確結(jié)果是()

A.(y-3)(x2+x)B.x(y-3)(x+l)

C.(y-3)(x、x)D.x(^-3)(x-l)

試卷第4頁，共12頁

【變式3-2】

(24-25八年級下?安徽宿州,階段練習(xí))

11.已知x-y=5,.q=3則.

【變式3-3】

(24?25八年級上?河南駐馬店,階段練習(xí))

12.若多項式(x+2)(2x-l)-(x+2)可以因式分解成2(x+〃?)(x+〃)，則〃-〃的值是.

【題型4運用公式法因式分解】

【例4】

2

13.下列多項式:①~4<2-??；②4K2_(_))-；③力+2ah-Z)2；@x4-1+^-:⑤m。/+4-,

其中能用公式法分解因式的是()

A.①③④⑤B.②④⑤C.②③④D.②③④⑤

【變式4-1】

(24-25八年級下?山西運城?期末)

14.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是()

A.a2-2a+\B.a2-4C.a2-aD.a2-4a

【變式4-2】

(2025?黑龍江大慶?一模)

15.分解因式：x2-2xy-9+y2=

【變式4-3】

16.在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式:6/-5盯+/+x_歹_2=.

【題型5運用提公因式法和公式法因式分解】

【例5】

(24-25八年級上?山東煙臺?期中)

17.請完成下列各題：

(1)分解因式：X3+9X—10;

(2)分解因式：x3-2x2-5x+6.

【變式5?1】

(2025?山東聊城?三模)

試卷第5頁，共12頁

18.因式分解：，/（x-y）+9〃2（y—x）=.

【變式5-2]

（24-25七年級上?上海?階段練習(xí)）

19.因式分解：（〃一-4（。一》）一5=.

【變式5-3]

（24-25八年級上?山西朔州?期中）

20.在口常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼.有一種用“因式分解''法產(chǎn)生的密碼，方便記

憶.原理是如對于多項式/-心因式分解的結(jié)果是（一切（"曰（/+_/）,若取當(dāng)＞9,

y=9時，則各個因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+/=162,于是就可以把“018162”作

為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式4/一孫2取工=11,y=1（）時，用上述方法產(chǎn)生的密碼不

可能是（）

A.113212B.111232C.123211D.123011

【拔尖篇】

【題型6利用因式分解進(jìn)行數(shù)的簡便計算】

【例6】

2L計算（「撲bTMlWM-!）的值為＜）?

A.—B.7C.-D.—

1221230

【變式6-1]

22.Bftl2010202,-201020'9=2010vx2009x2011,那么『的值為（）

A.2018B.2019C.2020D.2021.

【變式6-2]

23.利用因式分解計算：

（1）20182-20172

（2）1022+102X196+982

【變式6-3】

24.簡便計算：

⑴2x562+8x56x22+2x44?

試卷第6頁，共12頁

【題型7利用因式分解進(jìn)行求值】

【例7】

（24-25八年級上?山東煙臺?期中）

25.已知（/〃+2〃『+2m+4〃+1=0,則（陽+2/?）汕的值為（）

A.-1B.-2C.1D.2

【變式7-1]

（2025?安徽合肥?模擬預(yù)測）

26.已知。+力=2,ab=2,則匕36+/從+_!_蘇的值為

22

【變式7-2】

（24-25七年級卜??廣東廣州?期中）

27.已知./+.*+1=0，則.d-/的值是.

【變式7-3]

28.已知實數(shù)m8滿足”從=4,則代數(shù)式3”/一從的最大值為.

【題型8利用因式分解判斷數(shù)的整除】

【例8】

（2d-25七仔級下?江蘇蘇州?期末）

29.若加是一個正整數(shù)，且〃?除以3余2.判斷2〃/-5陽+11是否一定能被9整除，并說明

理由.

【變式8-1]

（2025?河南駐馬店?模擬預(yù)測）

30.對于任意整數(shù)〃，可得多項式（2〃+5丫-9的結(jié)論最為恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

A.被7整除B.被8整除C.被6或8整除D.被7或9整除

【變式8.2】

（24?25八年級上?甘肅張薇,期末）

31.已知整式力=3〃?+2,8=3m-2,m為任意有理數(shù).

（1）48+4的值可能為負(fù)數(shù)嗎？請說明理由；

（2）試說明：當(dāng)/〃是整數(shù)時，才一4的值一定能被24整除.

試卷第7頁，共12頁

【變式8-3】

(2225八年級下?河北保定?期末)

32.觀察:

觀察下歹恪式：(7+2)2-22=11X7；(7+4)2-42=15X7；(7+6)2-62=19X7........

發(fā)現(xiàn)：

比任意一個偶數(shù)大7的數(shù)與此偶數(shù)的平方差都能被7整除.

驗證：

(1)(7+10『-1。2的結(jié)果是7的J而

(2)設(shè)偶數(shù)為2〃,試說明比2〃大7的數(shù)與2〃的平方差都能被7整除;

延伸：

(3)請利用整數(shù)k說明“比任意一個整數(shù)大3的數(shù)與此整數(shù)的平方差被6除的余數(shù)為3”.

【題型9因式分解與三角形的綜合應(yīng)用】

【例9】

33.閱讀材料:若〃尸一2〃〃?+2〃2_8〃+16=0,求〃?、〃的值.

解：,/nr-2mn+2n2-8/7+16=0,

...(〃/-2mn+)+(/J-8〃+16)=0,

(ni-n)2+(n-4)2=0,

：.(m-n)2=0,(-4)2=。，

「.〃=4,"?=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知f一次+2y+6歹+9=0,求v的值；

⑵已知△//萬。的三邊長"、I)、c都是正整數(shù)，且滿足a'+-10〃-12/)+61=0,求△/6C的

最大邊C的值；

(3)已知。一〃=8,。力+。2—16c+80=0,求〃++c的值.

【變式9-1】

34.已知mAc為△Z8C三邊的長，當(dāng)2/+/+/=2g+2%時，則△48C的形狀是.

【變式9-2】

試卷第8頁，共12頁

(24-25八年級下?廣東佛山?階段練習(xí))

35.閱讀理解：

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多項式只用上述方法就無法分

解，如4/—2x+4y,但我們細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后

兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成

整個式子的分解囚式了：

x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).

這種分解因式的方法叫分組分解法.

解決問題：

(1)分解因式：a2-4a+4-b2^

⑵△48C三邊處b,c^a2-ab-ac+bc=0^判斷△為8。的形狀.

【變式9-3】

(24-25八年級下?山東濟(jì)南?階段練習(xí))

36.王老師安排喜歡探究問題的小明同學(xué)解決某個問題前，先讓小明看了一個有解答過程的

例題.

例：若病+2利〃+2?-6力+9=0,求”和〃的值.

解：〃/+2mn+2/-6〃+9=0，

m2+2mn+〃？+n'-6〃+9=0.

BP(m+n)2+(n-3)2=0.

/.m+n=0,〃-3=0,

/.m--3,n=3,

為什么要對,z/進(jìn)行了拆項呢？聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩

個問題.相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請寫出你的解題過程.

⑴若/-4中+5)，+2y+l=0,求x的值：

(2)已知。、b、c是等腰△相。的三邊長，且滿足1(%+/_]26+61=0.求此三角形的

周長.

【題型10因式分解與圖形面積】

【例10】

(24-25七年級下?山東聊城?期末)

試卷第9頁，共12頁

37.閱讀以下材料：

材料1：如圖所示，將圖1中陰影部分無重疊、無縫隙地拼成圖2.

b

圖1圖2

材料2：分解因式:("bp-2(b)+l.

解:將“"力”看成整體，令a-b=A,則原式=才-2/+1=(4-1)",再將"6=力還原，得

到：原式=(〃-6-1)2.

卜述解題過程用到了“整體思想”，它是數(shù)學(xué)中常用的一種思想.

請你根據(jù)以上材料解決下列問題：

(I)材料I中根據(jù)兩個圖中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是

⑵計算：20252-2025x50+252：(結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示)

⑶根據(jù)材料2進(jìn)行因式分解：

(T)x2+4xy+4y2-4；

②工2-旬，-5/.

【變式10-1]

(24-25七年級下?河北滄州?階段練習(xí))

38.如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為用的大正方

形，兩塊是邊長都為〃的小正方形，五塊是長為〃?、寬為〃的全等小長方形，且?。尽?(以

上長度單位：cm)

試卷第10頁，共12頁

(1)用含加，〃的代數(shù)式表示所有裁剪線(圖中虛線部分)的長度之和；

(2)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5mn+2/可以因式分解為；

(3)若每塊小長方形的面積為lOcn?,四個正方形的面積和為58cm"求("-〃『的值.

【變式10-2]

(24?25七年級下?江蘇常州,階段練習(xí))

39.閱讀理解：若x滿足(30-x)(x-10)=160,求(30-+(x-10)2的值.

解：設(shè)30—x=a,x-10=Z),則(3O-x)(x-IO)=M=16O,a+b=(30-x)+(x-10)=20.

(30-x)1+(x-\0)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2x\60=400-320=80.

歸納方法：首先，利用換元進(jìn)行式子簡化，再利用和(差)是定值，積是定值的特點與其平

方和之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解決問題：

(1)若無滿足(2024-x)(x-2020)=2,貝IJ(2024-x)2+(x-2020)2=_；

(2)若x滿足(x-2021『+(x-2024)2=29,求(x-2021)(x-2024)的值;

(3)已知正方形力8c。的邊長為x,E,產(chǎn)分別是0c上的點，且/1￡=1,CF=3,長

方形的面積是48,分別以“/、。尸作正方形A/FRN和正方形GQH,求陰影部分

的面積.

【變式10-3]

(24-25七年級下?山東荷澤?期末)

40.【問題情境】

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)

恒等式，將一些多項式因式分解.例如：利用圖1可以得到/+2ab+〃=(a+力

【解決問題】

(1)請把表示圖2面積的多項式因式分解：(直接列出等式即可)；

試卷第11頁，共12頁

(2)若，7+/>+c=13,ab+ac+be=56,+b2+c2

【探索創(chuàng)新】

(3)如圖3,有足夠數(shù)量的邊長分別為db的正方形紙片和長為6,寬為。的長方形紙片,

請利用這些紙片將多項式3/+5H+2/因式分解，并畫出圖形.

bb

圖1圖2圖3

試卷第12頁，共12頁

1.c

【分析】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解

因式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、“。+〃+1)=。2+帥+。不是因式分解，則A選項不符合題意，

B、2/+4。=。(2。+4),公因式未提盡，因式分解不徹底，則B選項不符合題意，

C、9//-4/=(3方-2〃)(勸+2。)符合因式分解的定義，則?選項符合題意，

D、x、4x+5=(x-2>+l中等號右邊不是積的形式，則D選項不符合題意，

故選：C.

2.C

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，多項式相等的條件.設(shè)另一個因式為(》+〃?)，則

X2+7X+〃=(X+〃?)(X+5),根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)另一個因式為(》+〃?)，

則x2+lx+n=(x+/??)(x+5),

而(X+m)(x+5)=x24-(54-w)x+5m,

所以5+〃?=7,

解得："?=2,

“=5x2=10,

故選：C.

3.2a2+Z>2+3ab=(2a+d)(?+b)

【分析】根據(jù)圖形的面積=大長方形的面積，又等于各部分的面積之和，即可得到等式.

【詳解】解：圖形的面積=(2〃+6)(。+6),

又??.圖形的面積=2/+/+3岫，

2a2+b2+3ab=(2a+b)(a+b),

故答案為：2a2+b2+3ab=(2a+b)(a+b).

答案第1頁，共21頁

【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用兩種方法求出大長方形的面積是解題的關(guān)鍵.

4.(x+3)2

【分析】本題考查因式分解和整式化簡之間的關(guān)系，牢記各自的特點并能靈活應(yīng)用是解題關(guān)

鍵.先根據(jù)分解因式/+?+9時，甲看錯了9,分解結(jié)果為(x+2)(x+4),求出。=6,再

分解因式即可.

【詳解】解：?.?分解因式V+ax+9時，甲看錯了9,分解結(jié)果為(x+2)(x+4),

???在(x+2)(x+4)=x?+6x+8中,4=6是正確的,

Ax2+6/X+9=x2+6x+9=(x+3)2.

故答案為：(x+3『.

5.C

【分析】本題主要考杳了公因式的定義，熟練掌握確定多項式各項的公因式，需找出系數(shù)部

分的最大公約數(shù)和各字母的最低次塞是解題關(guān)鍵.

根據(jù)公因式的定義即可求解.

22

【詳解】解：v9xy-3xy+6xyz=3xy3x-3xy^y+3xy2zt

多項式9/?-3個，2+6RZ各項的公因式是3V.

故選：C.

6.b2-4b(答案不唯一)

【分析】本題考查了因式分解，以及多項式的定義，掌握公因式的定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)多

項式的定義和公因式為6作答即可.

【詳解】解：公因式為b的多項式：b2-4b,

故答案為:b2-4b(答案不唯一)

7.C

【分析】此題考查了公因式的含義，解題的關(guān)鍵是掌握公因式的含義.根據(jù)公因式是指多項

式中各項都含有的相同因式求解即可.

【詳解】解：2/-4》的公因式為2》.

故選：C.

8.。一1

答案第2頁，共21頁

【分析】本題考查確定公因式，先對進(jìn)行因式分解，再根據(jù)確定公因式的方法：''①定

系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式；③定指數(shù),

即各項相同字母因式的指數(shù)的最低次幕“，求解即可.

【詳解】解：

.'.a2-a和(方-if的公因式為,

故答案為："-1.

9.A

【分析】本題考查因式分解，利用提公因式法進(jìn)行因式分解，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：-X2+X=-A(X-1)；-X2+X=X(1-X)；

故甲、乙的結(jié)果都正確.

故選A.

1().D

【分析】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.將第二項中的3-歹轉(zhuǎn)

化為-(歹-3),然后提取公因式(乎-3),再對(F-x)提取公因式即可.

【詳解】解：V(y—3)+M3—y)

=X2(^-3)-X(^-3)

2

=(y-3)(x-x)

=(y-3)x(x-l)

=M，-3)(xT)，

故選：D.

11.-15

【分析】本題考查因式分解，將式子AZ-X)提公因式分解后，把相關(guān)式子的值代入即可求

解.

【詳解】解：門-》=5,

...y-X=-5,

xy=3

答案第3頁，共21頁

.?.xy2-x2y=Ay(^-.r)=3x(-5)=-15.

故答案為：-15

12.3或一3

【分析】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.直接利用提

取公因式法分解因式進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???(x+2)(2xT)-(x+2)可以因式分解成2(x+/〃)(x+〃)，

:.(x+2)(2x-1)-(x+2)

=(x+2)(2x-2)

=2(.r+2)(x-l)

=2(x+/〃)(x+〃)，

故〃？=2,〃=一1或m=-1,〃=2,

貝！J/〃一〃=3或一〃=一1一2=-3.

故答案為：3或-3.

13.B

【分析】本題考杳了公式法分解因式，熟練掌握公式法分解因式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)公式法

的特點，對題目中的每個多項式逐一分析即可.

【詳解】解：①-4/—/不能用公式法分解；

②4寸-(-y)2=4.r2-/=(2x+y)(2x-y),可以用公式法分解；

③/+2附一〃不能用公式法分解：

2

?x+l+y=l+2xlx|4-^|y=^l+|V,可以用公式法分解；

⑤〃?+4-4〃?〃=(〃?〃『-2x(〃〃7)x2+2?=(〃〃?一2)-,可以用公式法分解；

二綜上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤.

故選：B.

14.B

【分析】本題考查了平方差公式分解因式.

答案第4頁，共21頁

根據(jù)平方差公式</-〃=(〃+/))(〃-/)),判斷各選項是否符合該結(jié)構(gòu)即可.

【詳解】解：A：。2_2。+1=(4-1)2,不符合平方差公式；

B：1-4符合平方差公式，分解為(。+2)(〃-2),正確；

C：<r-?,可提取公因式。，分解為不符合平方差公式：

D：a2-4a,可提取公因式。，分解為不符合平方差公式；

故選：B

15.(x-j+3)(x-y-3)

【分析】本題主要考查因式分解，分別運用因式分解法和公式法求解即可.

【詳解】解：/—2xy—9+/

=x2-2xy+y2-9

=(x-y)2-9

=(x-y+3)(x-y-3)

16.(2x-1y-l)(3x-y+2|

【分析1利用十字相乘法分解6--50+/可得(2x-p)(3x-y),x-y-2轉(zhuǎn)換成

-(3x-)，)+2(2x-y)-2的形式，整理合并同類項即可.

【詳解】6x2-5xy+y2+x-y-2

=(2x-^)(3x-^)+x-^-2

=(2x-y)(3x-y)-(3x-y)+2(2x-y)-2

=(2x-^-l)(3x-^)+2(2.v-^-l)

=(2x-^-l)(3x-^+2)

故答案為：(2--l)(3x-y+2).

【點睛】本題考查了因式分解的問題，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

17.(l)(x-l)(x2+x+10)

答案第5頁，共21頁

⑵(x-3)(x+2)(x-1)

【分析】本題主:要考查了分組分解法分解因式，熟練掌握相關(guān)知識準(zhǔn)確分組是解題的關(guān)鍵；

(1)先把原式變形為/一工2+/+9丫_]0,再利用分組分解法進(jìn)行因式分解即可；

(2)先把原式變形為、3_3/+/一5%+6,再利用分組分解法進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：/+9.X-10

=xy-x2+x2+9x-10

=x2(x-l)+(x-l)(x+10)

2

=(x-l)(x+x+10);

(2)解：xy-2x2-5x+6

=x3-3x2+x2-5x+6

=x2(x3)i(x-2)(x-3)

=(x-3)(x2+x-2)

=(x-3)(x+2)(x-l).

18.(x-y)(m+3n)(m-3n)

【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法.因式分解的

方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等.

直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：〃/(x-y)+9〃2(y-x)

=w2(x-^)-9/72(x-jy)

=(x-y)(/w2-9/?2)

=(x-y)(7774-3/?)(/zz-37?).

故答案為:(x-y)(ni+3n)(m-3n).

19.(”一人+1)(4—8-5)

【分析】本題考查了因式分解中的換元法與十字相乘法，解題的關(guān)鍵是通過換元將含多項式

的二次式轉(zhuǎn)化為常見的二次三項式，再利用十字相乘法分解因式.

答案第6頁，共21頁

設(shè)則原多項式轉(zhuǎn)化為二次三項式Y(jié)-4x-5;用十字相乘法分解該二次式(尋找

兩個數(shù)，積為-5且和為-4,即-5和1),得到(x-5)(x+l)；最后將x換回。-〃，得到原多

項式的因式分解結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)則原多項式可化為：X2-4X-5

用十字相乘法分解：尋找兩個數(shù)，使其積為-5,和為-4,這兩個數(shù)為-5和1,

故：X2-4X-5=(X-5)(X+II

將x=代回，得：(a-6)2-4(a-b)-5=(a-b+\)(a-b-5)

故答案為：(a-b+l)(a-b-5).

20.D

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟練掌握用

提取公因式法和平方差公式因式分解是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題中范例的提示，先提取公因工3

再運用平方差公式因式分解，得到x(2x-#(2x+y),可得到六種密碼排列，即可判斷答案.

【詳解】解：???4/-92二.4/一/)=耳2'一月(2'+方)，且％=11,J，=1(),

.二各個因式的值是x=11,2x—y=12,2x+y=32,

???組成的密碼應(yīng)包含11,12,32,

???組成的密碼共有6種:111232,113212,121132,123211,321112,321211,

二不能組成的密碼為123011.

故選：D.

21.C

【分析】原式各括號利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果.

【詳解】原式

f.nf.n(.n(.n(.n(.n(.n(.n(.n(.n

I2)I2)(3乂3jI4八4)5)I5)I6)I6)

1324354657

=—X—X—X—X—X—X—X—X—X—,

2233445566

7

12

答案第7頁，共21頁

故選：c.

【點睛】本題考查的是平方差公式，掌握運算法則和平方差公式是解題關(guān)鍵.

22.B

【分析】將2010班「2010刈9進(jìn)行因式分解為2010239x2009x2011,因為左右兩邊相等，故

可以求出x得值.

【詳解】解：20IO?。?1-2010刈9

=201。2°19乂201()2一201()2°“

=20102°,9X(20102-1)

=20102°,9X(2010-1)X(2010+1)

=201020,9x2009x2011

20102019x2009x2011=201O'x2009x2011

.-.x=2019

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正確的掌握因式分解的方

法是解題的關(guān)鍵.

23.(1)4035

(2)40000

【分析】(1)根據(jù)平方差公式/-〃=(〃+力)(。-6)進(jìn)行求解即可；

22

(2)根據(jù)完全平方公式+2ab+b=(a+b)進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：原式=(2018+2017)x(2018-2017)

=4035x1

=4035；

(2)解：原式=1022+2x102x98+982

二(102+98)2

=2002

=40000.

【點睛】本題主要考查了利用因式分解進(jìn)行簡便計算，熟知完全平方公式和平方差公式是解

題的關(guān)鍵.

24.(1)20000

答案第8頁，共21頁

【分析】本題主要考查了利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

平方差公式和完全平方公式.

(1)先提取公因式2,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計算即可；

(2)運用平方差公式進(jìn)行變形進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1〉解：2x563-F8x56x22+2x442

=2X(562+2X56X44+442)

=2x(56+44『

=2xl002

=20000；

1324810911

=-X—X—X—X…X—X——X——X-----

2233991010

11

20

25.C

【分析】本題考查了用公式法分解因式、有理數(shù)的乘方.首先把等式(加+2〃)2+2〃?+4〃+1=0

的左邊分解因式可得：(小+2〃+lf=0,從而可得〃?+2,，?=-1,然后整體代入求值即可

【詳解】解：(9+2〃『+2〃7+4〃+1=0

整理得：(/H+?.W)"+?.(W+2H)+1=0.

分解因式可得：(〃?+2〃+1)2=0,

m+2/7=-1,

/,\\2024/1\2024

+2”)=(-1)=1.

故選：C.

26.4

答案第9頁，共21頁

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，把所求式子先提取公因式《打，再利用完全平

方公式分解因式得到;必（。+6『，據(jù)此代值計算即可得到答案.

【詳解】解：?.*a+/>=2,ab=2,

.-.-a3b+a2b2+-aby

22

2'7

=-x2x22

2

=4,

故答案為：4.

27.-1

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用.將爐+》+1=0左邊分解因式得

(x3-x2+l)(x2+.r+l)=O.由x2+x+l=(x+gJ+(>0,則/一/+1=0,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???J+x+JO，

???x5+x4+xy-X4-x3-X2+x24-x+l=0,

.-.(x3-x2+l)(x2+.r+l)=O,

???x3-x24-1=Ofi￡x2+x+l=O,

???x2+x+]=fx+，)+->0,

I2)4

???x2+x+1=0(舍去)，

???X3-x2=-1,

故答案為：-1.

28.-4

【分析】此題考查利用公式分解因式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找到。的取值范圍.先整

體代入，將原式轉(zhuǎn)化為只含有。的代數(shù)式，直接求最大值即可.

【詳解】解：???a4=4,即/j—,

:.3a—a2-b2=3a-a2-(a-4)=-a2+2。+4

=-(a2-2a+l-l)+4=-(ti-l)2+l+4=-(a-l)2+5

答案第10頁，共21頁

a=力2+424

「?a=4時，34-/一/的最大值為

3a-a2-b2=-(?-1)2+5=-(4-1)2+5=-4

故答案為：-4

29.2刑2一5陽+11能被9整除,理由見解析

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，整除，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意設(shè)m=34+2,代入代數(shù)式，即可得2〃/-5〃?+11=9(2/+〃+]),即能被9整除.

【詳解】解：2〃/—5〃?+11能被9整除，理由為：

由題意設(shè)加=3左+2(4為正整數(shù))，

則262-5m+11

=2(3k+2>-5(3k+2)+ll

=2(9&2+12*+4)-1510+11

=18公+24%+8-1510+11

=18公+9A+9

=9(2k2+k+\),

.??2〃廣一5小+11能被9整除.

30.B

【分析】此題考查了完全平方公式，提取公因式進(jìn)行因式分解.多項式利用完全平方公式計

算，合并同類項進(jìn)行化簡，然后提取公因式進(jìn)行因式分解，即可做出判斷.

【詳解】解：(2〃+5)2—9

=(2〃+5+3)(2〃+5-3)

=4(〃+4)(〃+1),

無論〃為奇數(shù)或偶數(shù)，〃+4與〃+1必為一奇一偶，其乘積為偶數(shù)，

故4(〃+4)(〃+1)=84.

該式恒為8的倍數(shù)，因此對任意整數(shù)〃，原式必被8整除.

故選:B.

31.(1)不可能，埋由見解析

答案第11頁，共21頁

(2)見解析

【分析】本題考杳了因式分解的應(yīng)用，多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式，整

式的混合運算.

(1)利用平方差公式，整式的混合運算計算；

(2)利用平方差公式計算.

【詳解】(1)解：???力=3陽+2,4=3加-2,加為任意有理數(shù)，

=(3w+2)(3w-2)+4

=9nr-4+4

=9m~，

9m2>0,

48+4的值不可能為負(fù)數(shù)：

(2)解：A2-B2

=(3W+2)2-(3W-2)2

=(3m+2+3m-2)(3m+2-3m+2)

=6m-4

=24w,

???m是整數(shù)，

.?.24〃?能被24整除.

??.w是整數(shù)時，才-夕的宜一定能被24整除.

32.(I)27；(2)見解析；(3)見解析

【分析】本題主要考查了運用平方差公式分解因式、分解因式的應(yīng)用等知識點，靈活運用因

式分解成為解題的關(guān)鍵.

(1)先運用平方差公式化簡(7+107-IO?即可解答；

(2)根據(jù)“比據(jù)大7的數(shù)與2〃的平方差”列式,再利用平方差公式計算即可解答;

(3)根據(jù)“比任意一個整數(shù)大3的數(shù)與此整數(shù)的平方差”列式，再利用平方差公式計算即可

解答；

【詳解】解：(I)V(7+10)2-102=(7+10+10)(7+10-10)=27X7,

答案第12頁，共21頁

.??(7+10)2-102的結(jié)果是7的27倍.

故答案為：27.

(2)設(shè)偶數(shù)為2〃,則比2〃大7的數(shù)為2〃+7,

由題意得：(2〃+7『一(2〃『，

=(2〃+7-2〃)(2〃+7+2〃j

=7(4〃+7),

???4〃+7為整數(shù)，

???7(4〃+7)能被7整除,

.??比2〃大7的數(shù)與2〃的平方差都能被7整除.

(3)???比整數(shù)4大3的數(shù)為我+3,

.?.(&+3)2-左2=(%+3-4)(上+3+左)=3(24+3)=6左+9,

???6k+9=6攵+6+3,

.?.64+9被6整除的余數(shù)是3,

???比任意一個整數(shù)大3的數(shù)與此整數(shù)的平方差被6除的余數(shù)為3.

33.(1)9

(2)△/AC的最大邊，,的值為6,7,8,9或10

(3)8

【分析】⑴根據(jù)/一為+2爐+6y+9=0,應(yīng)用完全平方公式得(x-?+(y+3『=o,根

據(jù)平方的非負(fù)性質(zhì)求出X、》的值再代入V計算即可；

(2)首先根據(jù)-10”12力+61=0得(。-5)2+e-6『=0,求出。、方的值；然后根據(jù)

三角形的三條邊的長度的關(guān)系，求出。的范圍，然后再確定。的值即可；

(3)=代入d-16c+80=0,得(a—4)一+(c-8)~=0,可得。、。的值，繼而得

到b的值，從而可得答案.

【詳解】(1)解：???士-匆+29+6/+9=0,

二卜2-2M，+/)+(/+6v+9)=0,

???(xy)2|(y|3)2=0,(xy)2之0,(y|3)2>0,

答案第13頁，共21頁

：.x-y=O,y+3=0,

x=-3,y=-3,

.-.xy=-3x(-3)=9

即中的值為9：

22

(2)■.?a+/>-10a-12/)46I=0,

.?.(/-10a+25)+("128+36)=0,

.-.(^-5)2+(h-6)2=0,(A-5)2>0,(Z)-6)2>0,

—5=0,6—6=0,

?，a=5,6=6,

的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且C?為最大邊，

6-5<c<6+5.c>6.

???6<c<11,

.?.△44C的最大邊c的值為6,7,8,9或10；

(3)a-/?=8,

1?b=a-8,

vab+c2-16c?+80=0,

a(fl-8)+c7-16c+80=0,

即Q2—8Q+/-16c+80=0，

.?.(<72-8a+16)+(c2-16c+64)=0,

.-.(/7-4)2+(C-8)2=0,(tf-4)2>0,(C-8)2>0,

a-4=0,c-8=0,

?a=4,c=8?

二6=。-8=4-8=-4,

二a++c=4+(-4)+8=8,

a+b+c的值為8.

【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用，「角形三邊關(guān)系,

一元一次不等式組的應(yīng)用，正確理解閱讀材料并能運用其方法及公式是解題的關(guān)鍵.

答案第14頁，共21頁

34.等邊三角形

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式對原式正確的因式分解是解題的

關(guān)鍵.

先分組因式分解，然后再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得如6c的關(guān)系即可解答.

【詳解】解：2a2+b2+c2=2ba+lac,

2a2+b2+c2-2ab-2ac=0,

(a-b)~+(?-c)~=0,

：.a-b=Ota-c=O,

:.a=b,a=ct

：?a=b=c,

.?.△/AC是等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

35.⑴("2+。)("2-6)

(2)ZUAC是等腰三角形.

【分析】本題考查分組分解法分解因式，因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的定義.

(1)先將前三項分為一組，運用完全平方公式分解，再運用平方差公式分解即可；

(2)先運用因式分解，將等式變形為5-力(。-。)=0,從而得;1|。=〃或。=。再根據(jù)等

腰三角形的定義，即可求解.

22

【詳解】(1)解：a-4a+4-b

=(a2-4。+4)-〃

=(4-2)2-從

=(a-2+b)(a-2-b)；

(2)解：a2-ab-ac+be=0

a(a-b)-c(a-b)=0,

(a-/>)(?7-c)=0,

"6=0或Q-C=O?

〃或Q=c,

答案第15頁，共21頁

???a,b,。是△川?C的三邊，

是等腰三角形.

36.(l)x=-2

⑵三角形的周長為16或1?

【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的定義，熟練掌握以上知識

點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

(1)已知等式變形后，利用完全平方公式變形，再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)計算即可得解；

(2)已知等式變形后，利用完全平方公式變形，再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)計算得出。=5,

b=6,再由等腰三角形的定義，分兩種情況，分別計算即可得解.

【詳解】(1)解：:/一4孫+5/+2y+l=0,

.-.x2-4xy+4y2+x+2^+1=0,

?'\x-2y)~+(y+1)?=0,

.?.x-2y=0,y+1=0,

??-x=-2,y=-l；

(2)解：???。2-10。+/-126+61=0,

???a?-10。+25+從-12/)+36=0,

.??(t/-5)2+(^-6)2=0,

???4-5=0,6-6=0,

???4=5,6=6,

?:a、b、c是等腰△ZBC的三邊長，

二當(dāng)。為腰長時，三邊長為5,5,6,能組成三角形，公力4。的周長=5+5+6=16；

當(dāng)〃為腰長時，三邊長為5,6,6,能組成三角形，ZUAC的周長=5+6+6=17；

綜上所述，三角形的周長為16或17.

37.(X)a1-lab+b1=(a-b^

(2)4X106

(3)①(x+2y+2)(x+2尸2)；②(x+y)(x-5p)

【分析】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整體思想換元.

(1)原式利用圖形面積即可求解；

答案第16頁，共21頁

(2)原式中50=2x25整理后，利用完全平方公式分解即可；

(3)①原式中V+4k+4/利用完全平方公式分解，令x+2y=/利用平方差公式分解，

再將x+2y=4還原即可；

②原式添加輔助項MV—4r利用完全平方公式分解，得(x-2yf-9必，令x-2y=4利用

平方差公式分解，再將X-2J，=4還原即可.

【詳解】(1)解：。2一2帥+/=(。一32；

(2)20252-2025X50+252

=20