第四章相似三角形（舉一反三講義）全章題型歸納

【浙教版】

題型歸納

【培優(yōu)篇】

【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】

【題型2由平行判斷成比例的線段】

【題型3黃金分割】

【題型4證明兩三角形相似】

【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解或證明】

【題型6作位似圖形】

【拔尖篇】

【題型7利用平行線分線段成比例求解】

【題型8利用相似求最值】

【題型9利用相似解決動點(diǎn)問題】

【題型10利用相似進(jìn)行規(guī)律探究】

【題型11相似三角形的應(yīng)用】

【題型12利用相似格點(diǎn)作圖】

舉一反三

知識點(diǎn)1相似多邊形

1.定義：把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者說是相似形.兩個邊數(shù)相同的

多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊長度的比相等，那么這兩個多邊形叫做相似多邊

形.相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似

比或相似系數(shù).

2.性質(zhì)：如果兩個多邊形是相似的，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比

例.

知識點(diǎn)2比例線段

1.定義：如果比b=c：d（或*=］），那就說成比例.兩條線段的長度的比叫做

bd

兩條線段的比.

試卷第1頁，共23頁

對于四條線段a，b，c,d,如果a：b=c：d（或表示為5=5）,那么a,b,c,d叫做成比例線段,

ba

簡稱比例線段.這時，線段。，d是比例外項(xiàng)，線段〃，c是比例內(nèi)項(xiàng).

2.性質(zhì)：

"工acA,.bdcd

基本性質(zhì)：—-—^ad-be,-—

bdacab

人ac,a+hc+dac*a-bc-d

合比性質(zhì)：-=工=7?丁?=—

bababdbd

依ac,,a+cac,

等比性質(zhì)：-=~=/i一U=x=k

hdb+dbd

知識點(diǎn)3黃金分割

如果點(diǎn)P把線/出分割成和尸8（力〃>〃8）兩段，其中AP是AB和PB的比例中項(xiàng)，即

這種分割為黃金分割，點(diǎn)P稱為線段44的黃金分割點(diǎn).

力P與P8的比值且二1稱為黃金分割數(shù)（簡稱黃金數(shù)）.黃金分割數(shù)是一個無理數(shù)，在應(yīng)用

2

時取其接近值0.618.

知識點(diǎn)4平行線分線段成比例

1.基本事實(shí)：兩條直線被一?組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

2.數(shù)學(xué)語言描述：如圖，已知直線《II〃II%，分別交直線小，〃于點(diǎn)力，B,C,D,E,F,

3.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.

如圖⑴、圖（2）所示，8CIIOE,則有A黑R=痣Ar，哭AR=笨AC，….

BDCEADAE

知識點(diǎn)5相似三角形

1.定義：三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.AABC和aAiBiG相

彳以，i己作AABCSAA|B]C].

試卷第2頁，共23頁

2.全等三角形與相似三角形的比較

全等三角形相似三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫

定義

等三角形做相似三角形

特征形狀相同且大小相等形狀相同但大小不一定相等

圖形

表示BACBA'C

對應(yīng)

相等成比例

邊

對應(yīng)

相等相等

角

相似

1可以是I,也可以是其他正實(shí)數(shù)

比

知識點(diǎn)6三角形相似的判定

如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似.

相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與

原三角形相似.

1.定理I：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

已知AABC和和AABC'和，若NA=/A',NB="B',MAABC^AABV.

2.定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

已知AABC和和△ABC,若空7=隼，NA=/A',則AABCSAABC'.

ABAC

3.定理3：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.

AOAC1

已知AABC和和若-7=仔=-^7，WJAABC-AA^/C,.

ABBCAC

直角三角形相似的判定定理：如果?個直角三角形的斜邊及?條直角邊與另?個直角三角形

的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

4.有關(guān)三角形相似的常見圖形

試卷第3頁，共23頁

圖形特征所需條件證明方法

平

行/EyyD已知DE//BC,所以同位兩角分別相等的兩個三角形

BACB2fc

線角、內(nèi)錯角相等相似.AADESAABC

型

有公共角或?qū)斀牵瑑山欠謩e相等的兩個三角形

似.

斜A才/B=/AEDAADES^ACB

交

兩邊成比例，且夾角相等的兩

公共角的兩邊對應(yīng)成比例，

型個三角形相

ABAC

A?AD-AE

似.^ACBSAAED

母

A兩角分別相等的兩個三角形

子/1=/2

相似.AACDSAABC

型—

旋有一組角對應(yīng)相等，公共角兩邊成比例，且夾角相等的兩

/(/')

轉(zhuǎn)A.（對應(yīng)角）的兩邊對應(yīng)成比個三角形相

“，ABAC

型例'AMAC似.

知識點(diǎn)7相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.

2.相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比.

3.相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比.

4.相似三角形的周長比等于相似比.

5.相似三角形的面積比等于相似比的平方.

知識點(diǎn)8位似圖形的有關(guān)概念

1.一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)P,P'所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)0,且

有。?二左?。-攵工0）,那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形.點(diǎn)。叫做位似中心，人就

是這兩個相似多邊形的相似比.位似中心可能在兩個位似圖形的同側(cè)，也可能在兩個位似圖

形的異側(cè)，也可能在具中一個圖形的邊上，還可能在兩個位似圖形的內(nèi)部.

試卷第4頁，共23頁

2.位似與相似的關(guān)系

位似相似

形狀完全相同完全相同

對應(yīng)角相等相等

對應(yīng)邊成比例成比例

位置關(guān)系對應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過同一點(diǎn)任意擺放

聯(lián)系位似是相似的特殊情況

知識點(diǎn)9位似圖形的性質(zhì)

1.位似圖形對應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線必過位似中心.

2.位似圖形任意?組對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

3.位似圖形的對應(yīng)線段所在直線平行（或共線），且對應(yīng)線段之比相等.

4.如果兩個圖形是位似圖形，則兩個圖形必相似，其周長比等「相似比，面積比等于相似

比的平方.

知識點(diǎn)10位似圖形的畫法

1.利用位似圖形的性質(zhì)將一個圖形進(jìn)行放大或縮小的過程叫做位似變換.

2.畫位似圖形的步驟

（1）確定位似中心。；

（2）分別連接位似中心和能代表原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)：

（3）按相似比找出所作位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)；

（4）順次連接上述各點(diǎn)，所得的圖形就是所求的位似圖形.

知識點(diǎn)11平面直角坐標(biāo)系中的位似變換

1.在平面直角坐標(biāo)示中，將一個多邊形每個頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個數(shù)?A￥0）,

所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為悶，即若原圖形的某

一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（如兄），則其位似圖形對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（云。，處°）或（-h。，-處o）.

2.平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似變換中坐標(biāo)的變化規(guī)律

名稱規(guī)律

試卷第5頁，共23頁

平移變

對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)加上（或減去）平移的單位長度

換

軸對稱若以X軸為對稱軸，則對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若以），軸為對

變換稱軸，則對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

旋轉(zhuǎn)變將一個圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互

換為相反數(shù)

位似變當(dāng)以原點(diǎn)為位似中心時，變換前后兩個圖形走應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之比的絕對

換值都等于相似比

【培優(yōu)篇】

【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】

【例1】（24-25八年級下?山東煙臺?期中）

ace4

1.（1）已知工=：=-7=77，且b+d-/=18,則”+c-e=

bdj9

（2）已知線段〃、b、c滿足三二[=$,且a+2/）+c=26.

326

①求a、b、c的值；

②若線段x是線段如力的比例中項(xiàng)，求線段x的長；

③若四條線即a,b,c,〃為成比例線段，則線段4的長為.

【變式1-1]（24-25八年級下?河南周口?階段練習(xí)）

2.已知?=：=§（〃工0）,則：+27-，-的值為（）

234/2a-h+c

A.-B.-C.-D.

536

【變式1-2]（24-25八年級下?山東煙臺?期中）

、什25+2c2a+2c2a+2b..,,“

3.若=,==k,則％的值為____.

abc

【變式1-3]（24-25八年級下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）

4.已知線段。、b、。滿足〃：/）:c=3:2:4,且q+2/）+c=33.

（I）求公氏c的值；

（2）若線段x是線段心力的比例中項(xiàng)，求x的值；

【題型2由平行判斷成比例的線段】

試卷第6頁，共23頁

【例2】（2025?黑龍江哈爾濱?三模）

5.如圖，點(diǎn)。分別在邊AC、AB、4c上，OE〃彳及。尸〃力。,8￡交即于點(diǎn)G,則下

AF_EGFGBG

B.—,

~GDGE

FG_DGAFAE

D.

~AE~~EC~BF~EC

【變式2-1］（24-25九年級下?河南周口?期中）

6.如圖，口"CQ中，點(diǎn)G在。4的延長線上，直線GC交48于點(diǎn)E,交8。于點(diǎn)O.下

列結(jié)論正確的是（）

GOCOOPAD

A-而=訪B.------

~OBBC

AEGEBEGD

C.———D.

EBOE~CD~~BC

【變式2?2】（2025?山東臨沂?一模）

7.如圖，ABLBD,CD1.BD,垂足分別為8、D,力。和4c相交于點(diǎn)￡,EF1BD,

垂足為口.則下列結(jié)論錯誤的是（）

八AB八BEEF

A.----------B.———C空=空D.----=-----

BFFDEDCD?ABDBECCD

【變式2-3】（2025?安徽合肥?一模）

8.在。中，對角線力C與4。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在8c上，點(diǎn)廠在CO上，連接

力￡,月尸,夕?.下列結(jié)論錯誤的是（）

試卷第7頁，共23頁

CFAD

A.若EF〃BD、P!lJ—=—

CFAB

B.若月CA.BD,/tE=AF,則EF〃8。

_廿CEAD.“

C.若7777=-^，則n0“8。

CFAB

D.若AEA.BC,AF上CD、AE=AF,則E尸〃BD

【題型3黃金分割】

【例3】（24-25九年級上?安徽馬鞍山?期中）

9.在絢麗多姿的秋色葉類植物中，爬山虎有著油畫般濃郁的色彩。我們學(xué)校墻上的五葉爬

山虎樹葉，蘊(yùn)含著一種數(shù)學(xué)美：“黃金分割如圖，尸為48的黃金分割點(diǎn)（力尸＞P8）,如

果力占的長度為8cm,那么4P的長度是（）

A.（4-275JemB.（475-4）cm

C.（4A/5+4jcmD.（4-4灼cm

【變式3-1]（24-25八年級下?黑龍江大慶?期中）

10.點(diǎn)C、。是線段48的兩個黃金分割點(diǎn)，若48=2,則CO的長為（）

A.3-y/5B.2V2-4C.275-4D.3-V2

【變式3-2]（2025?寧夏銀川?二模）

11.寬與長的比是叵口的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感.如圖,

2

把黃金矩形46CD沿對角線/C翻折，點(diǎn)6落在點(diǎn)9處，/1B'交CD丁點(diǎn)、E,貝l」cos/ZM￡的

值為（）

試卷第8頁，共23頁

A.正B.C.3D.正

5255

【變式3-3]（24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）

12.如圖，在國旗上的五角星中，C、。兩點(diǎn)都是線段48的黃金分割點(diǎn).若4B=4,則4。

【題型4證明兩三角形相似】

【例4】（24-25九年級上?安徽六安?階段練習(xí)）

13.如圖，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，一定能得到（）

A.AAEDSKEDB.XABESAACB

C.dABCs^EDCD.A,4EDS^CBA

【變式4-1]（24-25九年線上?四川內(nèi)江?期中）

14.如圖，在4x4的方格紙中，每個方格邊長為1,△4BC和SEE都是格點(diǎn)三角形.

（1）填空：ZABC=。，BC=

（2）判斷△力8c與△￡底尸是否相似，并說明你的結(jié)論.

【變式4-2]（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）

15.如圖在四邊形48CQ中，AD〃BC、於F,E分別在線段8。上，4C上，且

試卷第9頁，共23頁

NE4C=N4DE,AC=AD.

（2）請?jiān)黾右粋€條件，使“BFSACDE.則此條件可以是.

【變式4-3】

16.如圖，已知ABLBC于盡B,CDLBC于點(diǎn)、C,46=4,CD=6,8C=14,P為直線

BC上一點(diǎn),若以4、8、。為頂點(diǎn)的三角形與以P、。、。為頂點(diǎn)的三角形相似，則這樣

的P點(diǎn)有個.

D

A

hri

BC

【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解或證明】

【例5】（2025?陜西西安?噗擬預(yù)測）

17.如圖，在△力8C中，AB=AC,。為的中點(diǎn)，DE//BC交AC千E,延長。力至產(chǎn),

使力尸=D4.若力￡=3,8c=8,則以'的長為（）

A.26B.5C.3夜D.2713

【變式5-1]

18.如圖，已知梯形48co中，AD//BC.E是邊/也上一點(diǎn)，CE與對角線8。交于點(diǎn)少,

試卷第10頁，共23頁

⑴△ABDFFCB；

（2）BD-BE=ADCE.

【變式5-2]（2025?浙江杭州?三模）

19.如圖，在菱形48CO中，七是對角線力。上一點(diǎn)，連接將如CE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),

點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)廠落在邊力。上，點(diǎn)上的對應(yīng)點(diǎn)G落在邊48上，BF與4C交于點(diǎn)H.若F

是的中點(diǎn)，則黑的長為一.

【變式5?3】（2025?廣東深圳?模擬預(yù)測）

20.（1）如圖1,在△力8C中，乙4=90。，將線段8c繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8Q,

作48交48的延長線于點(diǎn)E,求證：AB=DE；

（2）如圖2,連接CO并延長交4?的延長線于點(diǎn)E,若4B=2,AC=6,求8/的長.

[例6]（24-25九年級上?安徽六安?階段練習(xí)）

21.如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，△/8C與是位似圖形，則位似中心是（）

A.點(diǎn)RB.點(diǎn)PC.點(diǎn)。D.點(diǎn)O

【變式6-1]（24-25九年級上?河南商丘?期末）

試卷第11頁，共23頁

22.按如下方法，將△48C的三邊縮小為原來的如圖，任取一點(diǎn)O,連接力O,B0,

CO,并取它們的中點(diǎn)。，E,F,得到力EF,則下列說法錯誤的是（）

A.△/出。與是位似圖形，位似中心為。

B.△力4c與相似

C.△/4C與△/）四的面積之比為4:1

D.與△/）￡尸的周長之比為4:1

【變式6-2]（2025?遼寧沈陽?二模）

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△。48與AO'/）是位似圖形，其中對應(yīng)點(diǎn)4和H坐標(biāo)分

別是（1,2）,（7,-4）,則位似中心C的坐標(biāo)是______.

【變式6-3]（24-25八年級下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）

24.如圖，△/BC在帶有網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系中的位置.

（I）以點(diǎn)。為位似中心，在y軸右側(cè)作出的位似圖形△44G,使得放大后的△44G

與ZVIBC的位似比為2:1.

試卷第12頁，共23頁

（2）若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，且坐標(biāo)為S/）,寫出按（1）變化后的對應(yīng)點(diǎn)々的坐標(biāo).

【拔尖篇】

【題型7利用平行線分線段成比例求解】

【例7】

25.如圖，在△力8c中，。是邊44上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。￡〃8c交4C于點(diǎn)E,過點(diǎn)后作4C

的平行線交￡。的延長線于點(diǎn)尸，連接尸。交月8于點(diǎn)G,設(shè)△月的面積為△/C6的面

4AD

積為Sz,AFAG的面積為$3,若工33=彳12,則年=_____.

5AB

【變式7-1]

26.在四邊形44CQ中，NB4D=NBCD=90。,N44C=45。，點(diǎn)E為對角線6。的中點(diǎn),

連接4E并延長交線段"C于點(diǎn)凡6=6,BF=4,則CO的長為.

【變式7-2]（2025?廣東?一模）

27.【動手操作】在數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們開展“正方形的折疊”的相關(guān)研究.如圖1,四邊

形/8CZ）為正方形紙片，E為BC上一動煎,將該紙片沿力￡所在的直線折疊，使點(diǎn)4落在

正方形48C。內(nèi)部的點(diǎn)G處，將該紙片再沿著過點(diǎn)力的直線折疊，使力。和4G剛好重合,

折痕交CO于點(diǎn)尸.

試卷第13頁，共23頁

圖1圖2

(1)【觀察思考】在點(diǎn)E移動的過程中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)E,G,E三點(diǎn)共線且/￡4尸的大小不

變.請證明E,G,/三點(diǎn)共線，并求出/￡4戶的大??；

(2)【拓展探究】如圖2,繼續(xù)將該紙片沿過點(diǎn)￡的直線折疊，使點(diǎn)廠落在線段"'的點(diǎn)P處,

折痕交力產(chǎn)于點(diǎn)〃，求證：APEC=2PHBE.

【變式7-3](2025?山西忻州?二模)

28.綜合與探究

如圖，在菱形中，乙44c=60,點(diǎn)P是對角線4c上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)力，。重

合)，過點(diǎn)、P作PE//4B交BC于息E,連接PQ,將線段繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)得到線段

尸產(chǎn)，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)/恰好落在射線8c上.

問題解決：

(1)線段/尸與蛇之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)求N。/小的度數(shù).

拓展探究：

(3)連接P8,尸尸與8交于點(diǎn)G.若48=6,PB=2后,請直接寫出GF的長.

【題型8利用相似求最值】

【例8】(2025?江蘇徐州?二模)

29.如圖，在RI△48C中，Z5^C=90°,AB=2AC.點(diǎn)、E在邊BC上,連接力E,將線段力石

繞點(diǎn)力按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AF,連接BF,EF,4ABD是等邊三角形，若48=4,

試卷第14頁，共23頁

則線段8廠的最小值是（）

A.4岳;#B.4-2^4-亞

C.25/5-1

.5

【變式8-1]（2025?江蘇南京?二模）

3（）.如圖，乙〃，2,4與4間的距離為2,力、8是4上兩個定點(diǎn)，尸是6上的一個動點(diǎn)，連接

P8并延長至點(diǎn)C,使得BC=；PB.若。是右上方一點(diǎn).且四邊形4PCO是平行四邊形，

31.如圖，矩形/8C。中，"=6,8c=8,點(diǎn)"，N分別為4。，4c上一個動點(diǎn)，且4W=CN,

以MN為對稱軸將矩形折疊，點(diǎn)力，8的對應(yīng)點(diǎn)分別為E,F,點(diǎn)P為BCk一點(diǎn)、,且

BP=2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合時，4W的長為,尸產(chǎn)的最大值為.

【變式8-3]（2025?湖北武漢?二模）

32.在△相。中，4。？=90。，。為平面內(nèi)一點(diǎn).

試卷第15頁，共23頁

圖1圖2

(1)如圖1,若。在邊48上，且NC4D=N/CQ.

①求證：BC2=BDAB；

②若8。=24。，延長CD至點(diǎn)E,使CE=BE,求證：AE//BC；

(2)如圖2,AD=AC=\,BC=6延長。。至點(diǎn)E,使/CEB=NCBD,直接寫出琵的

最小值.

【題型9利用相似解決動點(diǎn)問題】

【例9】

4R2

33.如圖，在矩形力8C'。申，—動點(diǎn)N從力出發(fā)，沿邊4。向點(diǎn)。勻速運(yùn)動，動點(diǎn)

Z>C3

M從〃出發(fā)，沿邊8C向點(diǎn)。勻速運(yùn)動，連接MN.動點(diǎn)N,M同時出發(fā)，點(diǎn)N運(yùn)動速度

為匕，點(diǎn)M的運(yùn)動速度為酎2,且匕<嶺.當(dāng)點(diǎn)〃到達(dá)。時，〃，N兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動,在

運(yùn)動過程中，將四邊形M/13N沿MN翻折，得到四邊形版5M.若在某一時刻，點(diǎn)〃的對

【變式9-1](2025?河南周口?一模)

34.如圖，在矩形。中，OC=6石，04=12,B為CH中點(diǎn)、,連接動點(diǎn)”從點(diǎn)

O出發(fā)沿04邊向點(diǎn)4運(yùn)動，動點(diǎn)'從點(diǎn)/出發(fā)沿力8邊向點(diǎn)8運(yùn)動，兩個動點(diǎn)同時出發(fā),

速度都是1個單位長度/秒，連接CM,CN,MN,以運(yùn)動時間為秒，則/=_

試卷第16頁，共23頁

時，ACMN為直角三角形.

【變式9-2](2025?廣西?二模)

35.如圖.在矩形48CO中，/18=6cm,8C=8cm,對角線AC、BD交于點(diǎn)、O.點(diǎn)P從

點(diǎn)力出發(fā)，沿力。方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；同時點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿。C方向勻速運(yùn)動，

速度為lcm/s.當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.連接P。并延長交8c于點(diǎn)

過點(diǎn)。作。尸〃4。，交BD于點(diǎn)、F.設(shè)運(yùn)動時間為，(s)(D＜，＜6).若五邊形。EC?！甑拿娣e

與三角形4c。的面積之比為9:16,則/=

【變式9-3](2025?山東青島?一模)

36.如圖，在RtZ\/8C中，NC=90。，JC-12,5C-16,動點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)沿/C邊向點(diǎn)

C以每秒3個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿C8邊向點(diǎn)8以每秒4個單位長的速

度運(yùn)動.P,。分別從點(diǎn)4c同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動.在運(yùn)動過程中，△PC0關(guān)于直線也對稱的圖形是cP。。.設(shè)運(yùn)動時間為E(秒).

(1)設(shè)四邊形的面積為y，求P與，的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)/=秒，四邊形"?胡是梯形？

(3)是否存在時刻乙使得PO〃48?若存在，請求出，的值；若不存在，請說明理由;

(4)當(dāng)/=秒時，PDLAB.

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【題型10利用相似進(jìn)行規(guī)律探究】

【例10]（24-25九年級上?四川內(nèi)江?期中）

37.如圖，在矩形/8CO中，川?=1,BC=2,連接力C,以對角線力C為邊，按逆時針方

向作矩形彳。。圈，使矩形力CC^s矩形月。c/?；再連接＜G，以對角線力G為邊，按逆時

針方向作矩形力GG層，使矩形力GG約s矩形彳CG修，…,按照此規(guī)律作下去，則邊力G023

的長為（）

/廠\2O2I

C.V5X叵D.石X22022

I2J

【變式10-1]

38.如圖，△力5。中，N8=45。，BC=4BC邊上的高AD=I?點(diǎn)勺，a,凡分別在邊

AD.AC,CD上,且四邊形4。內(nèi)。為正方形，點(diǎn)鳥，ft,凡分別在邊烏〃1,CQ,C//,

上，且四邊形鳥。2,2%為正方形，…按此規(guī)律操作下去，則線段C02O23的長度為（）.

/2A2023

而D.自而

【變式10-2]（24-25九年級上?山東棗莊?期中）

39.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形481cM2與正方形4為。24是以點(diǎn)。為位似中心

的位似圖形，且位似比為，，點(diǎn)4,4,4在X軸上，延長4G交射線。用于點(diǎn)名，以4&

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為邊作正方形4層。3/4；延長4G交射線于點(diǎn)名，以4區(qū)為邊作正方形

….按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若。4=1,則△星陽。2。2/2024的面積為

B、/

【變式10-3]

40.如圖，/MON=45。，正方形484C,正方形同片層6，正方形力再避。?，正方形

4名以。3，…，的頂點(diǎn)44,4,4,…，在射線0M上，頂點(diǎn)￡片,%鳥,%…，在射線0V

上，連接力員交44于點(diǎn)D,連接43交44于點(diǎn)A，連接4自交4名于點(diǎn)2,…，連接

BR交AB產(chǎn)點(diǎn)、E,連接生&交4鳥于點(diǎn)用，…，按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)AZS與ABQE

的面積之和為4,△4CI4與△々口用的面積之和為S2，△4。2。2與AB，。?石2的而積之和為

工，…,若4B=4,則s,等于.（用含有正整數(shù)〃的式子表示）

【題型11相似三角形的應(yīng)用】

【例11】（2025?廣西梧州?二模）

41.如圖，當(dāng)駕駛員的眼睛點(diǎn)尸與地面的距離為1.6米時，8￡是駕駛員的視覺盲區(qū)，車

頭4戶QC近似的看成是矩形，且力尸：￡0=3:2,若8EE勺長度為5.6米，則車寬。。的長度

大約是（）

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【變式11-1]（24-25八年級下?黑龍江大慶,階段練習(xí)）

42.如圖1是裝了液體的長方體容器的主視圖（數(shù)據(jù)如圖），將該容器繞地面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)

傾斜后，水面恰好接觸到容器口邊緣，如圖2所示，則此時液面的寬度為cm.

圖1圖2

【變式11-2]（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）

43.初三數(shù)學(xué)小組準(zhǔn)備用所學(xué)知識測量路燈力3的高度，路燈底端有花壇無法直接到達(dá)，在

路燈一側(cè)有一棵高為3米的小樹瓦'（E/=3米），小峰站在距離小樹2.8米的D處（。尸=2.8

米）觀察發(fā)現(xiàn)，他的眼睛。與小樹的頂端及路燈的頂端力在同一條直線上，小峰的眼睛

距離地面1.6米（CQ=L6米），小峰在小樹的前方尸處放置一個平面鏡，小峰緊靠小網(wǎng)站

立（小峰與樹之間的距離忽略不計）剛好在鏡面中看到路燈的頂端4平面鏡距離小樹1.4

米（々=1.4米），請你幫助小峰計算路燈43的高度.（結(jié)果精確到0.1米）

【變式11-3]（24-25九年級上?陜西寶雞?期末）

44.【問題提出】

（1）如圖1,在矩形力86中，48=8,8C=12,點(diǎn)七是8c邊上一點(diǎn)，連接花，作痔_4￡

交CD于點(diǎn)F,若AE=2EF,求B的長；

【問題解決】

試卷第20頁，共23頁

（2）學(xué)校勞動實(shí)踐基地的開發(fā)能讓學(xué)生體驗(yàn)勞動的艱辛，品味獲得勞動成果的喜悅，同時

滿足學(xué)生勞動教育實(shí)踐需要.如圖2,矩形力〃。。是某校的一塊勞動實(shí)踐基地，48=20m,

BC=30m,8c邊上的點(diǎn)E處有一口灌溉水井，力七和E尸是兩條互相垂直的小路，巨

AE=2EF,現(xiàn)在沿"'修了一條延伸至8C邊上的小路小W（點(diǎn)、M在BC上，點(diǎn)尸在4M

上），發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M到灌溉水井E的距離求灌溉水井E到點(diǎn)8的距離8E.

【題型12利用相似格點(diǎn)作圖】

【例12】（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）

45.如圖，是由小止方形組成的8x8的網(wǎng)格，每個小止方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，44是格點(diǎn),

C是網(wǎng)格線上一點(diǎn)，僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成如下兩個問題，每問的畫線不得超過

四條.

（I）（I）

（1）在圖（1）中，先在力C上畫點(diǎn)。，使/』8。=45。；再在8。上畫點(diǎn)E,使4E=OE；

（2）在圖（2）中，先在網(wǎng)格內(nèi)畫一點(diǎn)使CM〃力民CM二川％再在4C上畫點(diǎn)N使

AN=2CN.

【變式12-1]（2025?上海浦東新?三模）

46.圖①、圖②、圖③均為6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)尸、

A.8均在格點(diǎn)上.分別在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺按要求畫圖（不要求

寫出畫法，但要保留必要的痕跡）

試卷第21頁，共23頁

HB

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，過點(diǎn)P畫直線PC〃/4.

(2)在圖②中，過點(diǎn)P畫直線。。_L4A.

(3)在圖③中，在/仍邊上取一點(diǎn)。，使得力。=480

【變式12-2](2025?吉林模擬預(yù)測)

47.圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都為1,每個小正方

形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)4、M均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中

畫圖，不要求寫畫法.

(1)在圖①中找一個格點(diǎn)8,連接力4,使線段44=石;

(2)在圖②中畫出一個等腰三角形力。。，點(diǎn)C、Q在格點(diǎn)上，使/力為頂角且S捻e=2：

4N

⑶在圖③中線段4”上找一點(diǎn)N,使加=2.

【變式12-3](24-25九年級下?湖北武漢?階段練習(xí))

48.如圖是由小正方形組成的6x7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A,8,C,D,

E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)M是線段4E與豎格線的交點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個

畫圖任務(wù)，每個任務(wù)的畫線不得超過三條.

試卷第22頁，共23頁

(1)在圖(1)中，將線段IE繞4點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90。，畫對應(yīng)線段力方;

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，在線段板上畫點(diǎn)G,使板=21G：

(3)在圖(2)中，作線段M/V垂直于4。，交6。于N點(diǎn)；

(4)在(3)的基礎(chǔ)上，在線段8。上作點(diǎn)H,使NH=BN.

試卷第23頁，共23頁

1.(1)8；(2)①。=6/=4,c=12；②》=26；③8

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項(xiàng)的概念是解決問題的關(guān)鍵，同時

利用"設(shè)左法''用左表示出口、b、c可以使計算更加簡便.

(1)由題意可知。=4/c=-4d,e="4，由6+4-/=18即可得到答案；

(2)①設(shè)q=g=￡■=%(〃工0),則。=3左，b=2k,c=6k,代入a+2b+c=26,求得〃的

326

值，即可求出八b、c的值；

②由線段x是線段。、方的比例中項(xiàng)，可得/="=6x4=24,計算即可；

③根據(jù)題意得到a：6=c3,將。=6,Z)=4,c=12代入計算即可.

ace4

【詳解】(1)解：.??工=5=7=不，

bdf9

?"+4—/=18,

4444

：.a+c-e=—b+—d——f=—x!8=8,

9999

故答案為：8;

(2)解：①設(shè)@=2=￡=〃(左H0),則a=3攵，b=2k,c=6k,

326

???4+2b+c=26,所以3A+2x2A+6%=26,解得〃=2,

二〃=3x2=6,b=2x2=4,c=6x2=12；

②"J?x是線段a、b的比例中項(xiàng)，

二/=a方=6x4=24,所以x=2>/6(舍負(fù))；

③mb,c,d為成比例線段，

：?a:b=c:d,

即6:4=12:"

:.d=8,

故答案為：8.

2.A

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)及求代數(shù)式的值，根據(jù)條件利用“設(shè)k法”是解題的關(guān)鍵.

設(shè)W=g=；=&，則。=2左、b=3k、c=43代入已知等式中，即可求得結(jié)果.

234

答案第1頁，共53頁

【詳解】解：設(shè)

234

貝!Ja=2%,b=3k,c=4k,

，+2)一。=2肚+2x3左一4左二4

2a-b+c2x2k-3k+4k5'

故選：A.

3.4或-2

【分析】本題考查比例的性質(zhì).當(dāng)x+y+z/O時，根據(jù)題意可得26+2c=必，2a+2c=bk,

2a+2h=ck,當(dāng)x+y+z=O時，根據(jù)題意可得a=-(力+c),分別代入，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)4+6+CHO時，

2b+2c2a+2c2a+2b.

?—lx,

abc

:.2b+2c=ak,2a+2c=bk,2a+2b=ck,

2b+2c+2a+2c+2a+2b=k[a+b+c),

即4(a+6+c)=M〃+〃+c)

???A=4：

當(dāng)q+6+c=0時，a=-(b+c),則A="里^=^^^=-2；

a-(D+C)

綜上所述，4-4或—2,

故答案為：4或-2.

4.⑴a=9,b=6,c=12；

⑵%=3瓜.

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項(xiàng)的概念是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)。：力:c=3:2:4,設(shè)。=3￡,b=2k、c=4k,再代入等式進(jìn)行計算即可得；

(2)根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式求解即可.

【詳解】(1)解：???〃:6:c=3:2:4,

二設(shè)。=3A,b=2k,c=4〃，

???a+2b+c=33,

.?.3左+4k+4k=33,解得：k=3,

b=6,c=12；

答案第2頁，共53頁

(2)解：?.?線段％是線段。、力的比例中項(xiàng)，

ax

xb

?*,x~-ab,

a=9,b=6,

???x=>?6x9=3\/6(負(fù)值已舍去).

5.D

【分析】本題考查了平行線截線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)

用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線截線段成比例定理得到比例式以及利用相似三角形的判定定理得出

△EDGs^BFG、"BESAFBG、^GBD^^EBC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式并

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.-DF//AC,

ApFG

二蕓==，故A正確，不符合題意；

ABBE

B、?：DE〃AB,

:.AEDGS^BFG,

.?.嘗=警，故B正確，不符合題意；

GDGE

C.-DF//AC,

:.AABESAFBG,AGBDS^EBC,

FGBGGBGD

,,布一旅，麗一正‘

：.?=*故C正確，不符合題意；

AEEC

ApAp

D.不能證明須7=笠，故D錯誤，符合題意.

BFEC

故選D.

6.A

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對邊平

行，得至ikOOGs^BOC,"EGs^BCE,ABOEsXDOC,根據(jù)平行線分線段成比例和

相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：.:口4BCD,

答案第3頁，共53頁

:.AD//BCyAB//CD,

OG=OPOPPC

'‘灰一萬‘而一灰’

???*=*;故A選項(xiàng)正確，符合題意；

COEO

AD//BCyAB//CD,

.?.△QOGSAB。。，“EGSABCE,△BOEsADOC,

ODGDAEGEBEOECOBC乂八…,口丁協(xié)人舊上

~rz-?-TT-=_Z77?=7^77=Trr;=~^77?故B，C,D選項(xiàng)錯誤，不符合題意，

(JB/JCED/>CC/J(ZC(70/JO

故選A.

7.D

【分析】考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識,

熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵.利用平行線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：?.?力〃_L8O.CD1BD,EF1RD.

/.AB//EF//CD,

，ABE=，DCE,ABAE=Z.CDE,

△ABESADCE,

AEAB

故B正確

EDCD

AB//EF,

AEED

故正確

~BF~~FDA

AB//EF,

:.NDEF=ZDAB，NDFE=/DBA=90°,

.FDEFS^DAB,

EFDF

故C正確;

.EF//CD,

BEBF......口

正=而‘故口錯誤;

故選：D.

8.B

【分析】平行線分線段成比例結(jié)合平行四邊形的對邊相等，判斷A；先證明四邊形48co是

菱形，得到C3=CQ,分CE=CF和CE工3,兩種情況，判斷B,根據(jù)平行線分線段成比

答案第4頁，共53頁

CECF

例的推論，判斷C；先證明四邊形48CO是菱形，再證明CE=b,得到"^二丫，判斷

QBCD

D.

【詳解】解：如圖：

BEC

???四邊形力8CQ是平行四邊形,

:.AD=BC,AB=CD；

CECBAD

—=—=故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

CFCDAB

若AC上BD,則：四邊形48CO是菱形；

C