第二十四章圓一弧、弦.圓心角典型題型歸納專項(xiàng)練（一）

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)

一、用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系求角度

1.如圖所示，在0。中，若C是A3的中點(diǎn)，入4=45。，則280c的度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.45°D.40°

2.如圖，A6是直徑，BC=CD=DE，ZBOC=40°,/AOE的度數(shù)是

3.若一條弦把圓分成15兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角為

4.如圖，在0。中，已知A3=CD,ZAOB=45°,則/ZX)C=

=AC,NA=45。，則的度數(shù)為.

二、弧、弦、圓心角的有關(guān)計(jì)算

1.如圖，已知A8,。。是0。的直徑，AE=AC，NH。力=32。，求NCOE的度數(shù).

\u/

eV/

2.已知：如圖所示，A,B,C,。是。。上的點(diǎn),且AC=80，404=125。，求NC8的度數(shù).

3.如圖，A8和。E是。。的直徑,弦AC〃0E,若弦比的長(zhǎng)為3,求弦CE的長(zhǎng).

4.如圖，點(diǎn)A、B、C在0O上，。是"的中點(diǎn)，若408=124。,求N8CO的度數(shù).

A

三、利用弧、弦、圓心角的對(duì)稱性求最值

1.如圖，A8是0。的直徑，人。上人4于點(diǎn)人，。。交0。于點(diǎn)C,4E1.0。于點(diǎn)七，交0。于點(diǎn)尸,

廣為弧8c的中點(diǎn)，。為線段A3上一動(dòng)點(diǎn),若CO=4,則莊+P尸的最小值是（）

D

A.4B.2?C.6D.4>/3

2.如圖所示，例/V是。。的直徑，也A是半圓上的一個(gè)二等分點(diǎn)，點(diǎn)8是AN的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是點(diǎn)8關(guān)

于MN所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，。。的半徑為1,則A*的長(zhǎng)為（）

四、圓心角的有關(guān)計(jì)算與證明

1.如圖，在。。中，半徑OG。力分別交弦A8于點(diǎn)F,且。石=。尸.

⑵求證：AC=BD.

2.如圖，在0O中，弦AO=8C,OEJ,A8于E,OHJ.BC于H.

（2）若。。的半徑為5,CD=S,求。七的長(zhǎng).

3.（2025九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，MN是。。的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)8是

劣弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn).若MN=26，AB=l,則周長(zhǎng)的最小值

是.

A

B

MN

答案

一、用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系求角度

1.解：ZA=45。,04=08,

/.NO8A=NQA3=45。.

/.ZAOI3=180°-45°-45°=90°.

?.?點(diǎn)C是弧A8的中點(diǎn)，

NBOC=L/AOB=45。.

2

故選：C.

2.解：,:BC=CD=DE，NBOC=40。，

/.NDOE=NCOD=NBOC=40°,

/.NAOE=180O-NDOE-NCODZ.ROC=60°，

故答案為：60°.

3.解：????條弦把圓周分成15的兩段弧，

???劣弧所對(duì)圓心角的度數(shù)=上＞360。=60。，

1+5

故答案為：60°.

4.解：?:AB=CD,

??AB=CD，

/.ZAOB=ZDOC=45°（同弧所對(duì)的圓心角相等），

故答案為：45。.

5.解：二4B=M，

，AB=ACt

/.NB=NC,

VZA=45°,

??N/y——67.3；

2

故答案為：67.5°.

二、弧、弦、圓心角的有關(guān)計(jì)算

I.解：v=32°,

/BOD=ZAOC=yr,

AE=AC^

AZAOE=ZAOC=32°,

??.ZCOE=ZAOE+ZAOC=64°.

2.解：???A,B,C,。是。。上的點(diǎn)，AC=BD，

：?AC+BC=BD+BC，即A5=C。，

，AAOB=4COD,

???ZAOB=125°,

，ZCOD=125°.

3.解:如圖，連接OC,

二.ZC4O=/BOE,ZACO=NCOE,

???OA=OC,

???ZCAO=ZACO,

ZBOE=ZCOE,

CE=BE=3.

4.解：如圖，連接8.

丁。是A3的中點(diǎn)，

BD=AD>/AOB=124°,

???/BOD=ZAOD=-Z.AOB=62°,

2

NBCD=L/BOD=31。.

2

三、利用弧、弦、圓心角的對(duì)稱性求最值

1.解：如圖，延長(zhǎng)。。交。。于點(diǎn)用，連接PM,PF,OF,PE

D

???AE_LO。于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，尸為弧8c的中點(diǎn),

AC=CF=BF

???ZAOC=Z.COF=NBOF,

VZAOC+NCOF+ZBOF=180°,

，ZAOC=ZCOF=ZBOF=60°,

，NBOM=ZAOC=60。=/BOF,

，點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M,

???PM=PF,

:.PE+FF=PE+PMNEM'

當(dāng)E,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小,最小值為七用的長(zhǎng),

VZAOC=60°,ADJ.AH,

???NO=30。，

：,OD=2OA,

VCD=4,

AOD=OC+4=2OA=2OC,即OC=4,

???OC=OA=OB=OM=OF=4,

VAFLOC,NAOC=60。，

，ZCME=30°,

OE=-OA=2,

2

，PE+P廠的最小值￡M=OE+QM=2+4=6.

故選：C.

2.解：如圖，連接08、OB,

由題意可得，ZAOV=60°,

???點(diǎn)8是AN的中點(diǎn)，

AB=BN，

ZAOB=/BON=30。,

.??點(diǎn)9是點(diǎn)8關(guān)于MV所在直線的對(duì)稱點(diǎn),

B'N=BN

???/RON=NBON=300,

N90人=90。，

又。4=O8'=l,

??AB,=ylOA1+OB,2=yJ\2+\2=y/2-

故選:B.

四、圓心角的有關(guān)計(jì)算與證明

I.(1)證明：過。作QMJMB于M,連接。4、OB,

：?AM=BM,EM=FM,

/.AM-EM=BM-FM,

，AE=BF；

(2)證明：'/OMLAB,OA=OB,OE=OF,

/.ZAOM=ZI3OM,ZEOM=ZFOM,

???ZAOM-NEOM=NBOM-NFOM,

/.NAOC=NBOD,

:.AC=BD.

2.(I)證明：-AD=8C,

AD=BC，

,,AD+BD=BC+BD，

即AB=CD，

At3=CDi

(2)解：連接08,

?.-AB=CD=8,OE1AB,

:.AE=EB=4.

:.OE=yloB2-BE2=3.

3.解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A8,交MN于點(diǎn)P,連接OA,OA,OB,PA,人心

???點(diǎn)A與A關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn),

???Z4'0N=ZAON=6O。，PA=PA1,

???點(diǎn)