第三章圓知識歸納與題型突破(十三類題型清單)

一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1.圓的定義：(D線段0A繞著它的一個端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

要點(diǎn)：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不口J；

②圓是一條封閉曲線.

2.圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對

稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對

應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸時稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

要點(diǎn)：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在

這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的

弦不能是直徑)

3.兩圓的性質(zhì)

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn).

4.與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對■的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角.

要點(diǎn)：(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.判定一個點(diǎn)P是否在。。上

設(shè)。()的半徑為廣，op=d，則有

d>r=點(diǎn)P在。o外；d=尸=點(diǎn)P在。0上；d<廠=點(diǎn)P在。0內(nèi).

要點(diǎn)：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；

知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.

2.判定幾個點(diǎn)Az、???An在同一個圓上的方法

當(dāng)4。=4。=…=4。=R時，4、4、…4在。o上.

3.直線和圓的后置關(guān)系

設(shè)。()半徑為R,點(diǎn)。到直線？的距離為d.

(1)直線？和。0沒有公共點(diǎn)=直線和圓相離=d>R.

⑵直線？和。0有唯一公共點(diǎn)O直線/和。o相切od=R.

(3)直線/和。0有兩個公共點(diǎn)=直線/和。0相交Od<R.

4.切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定；

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì):

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線

的夾角.

5.面和圓的位置關(guān)系

設(shè)Oq、0Q的半徑為凡圓心距。15=乩

(1)oq和0Q沒有公共點(diǎn)，且每一個圓上的所有點(diǎn)在另一個圓的外部O。。1、QQ外離

=3>A+r.

(2)?？诤?。5沒有公共點(diǎn)，且QQ的每一個點(diǎn)都在。Q內(nèi)部=0Q內(nèi)含=d<R-r

(3)00］和。Q有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部OOOpOq外切

=d=R+r?

(4)oq和。4有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，的每個點(diǎn)都在oq內(nèi)部內(nèi)切

=d=R-，

(5)和。4有兩個公共點(diǎn)oQOpoQ相交=&-r<d<&+r?

三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1.三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三

角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形

內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距

離相等，通常用0表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對邊中點(diǎn)距離的2倍，

通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).

要點(diǎn)：(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面枳等于周長與內(nèi)切圓半徑乘

積的一半，即S=」Pr(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

2

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：

名稱確定方法圖形性質(zhì)

外心(三角形三角形三邊中垂線的(1)OA=OB=OC；⑵外心不一

A

外接圓的圓交占定在三角形內(nèi)部

心)國

內(nèi)心(三角形三角形三條角平分線(1)到三角形三邊距離相等；

內(nèi)切圓的圓的交點(diǎn)(2)0A、OB、0C分別平分N

心)BAC、ZABCxZACB：(3)內(nèi)

心在三角形內(nèi)部.

2.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四力形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

四、圓中有關(guān)計(jì)算

1.圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：$=開&2,周長C=

圓心角為壽。、半徑為R的弧長？二竺鳥.

180

圓心角為九。，半徑為R,弧長為/的扇形的面積=絲憶=」依.

3602

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R,母線長為，的圓柱的體積為刀底2/,側(cè)面積為2天⑷，全面積

為2加?/+2成2.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長為/,高為力的圓錐的側(cè)面積為k處,全面積為

式R/+汽1，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有爐+必

要點(diǎn)：

（I）對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的」一，

360

17TR2

即——頭式Rn2------:

360360

（2）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就

可以求出第三個量.

（3）扇形面積公式S康尼=1次，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式S有點(diǎn)類

AR/V22

似，可類比記憶；

（4）扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S由解=^l=lx—xA=-ZA.

南的36021802

題型一概念綜合辨析

例題

1.下列說法正確的是（）

A.經(jīng)過三點(diǎn)可以作一個圓B.直徑不是弦

C.等弧所對的圓心角相等D.相等的圓心角所對的弧相等

鞏固訓(xùn)練

2.已知。。的直徑為5,若PO=5,則點(diǎn)P與。O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在。0內(nèi)B.點(diǎn)P在。。上C.點(diǎn)P在。。外D.無法判斷

3.下列語句中：（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）等弧所對的弦相等；（3）長度相等的兩條弧是等弧;

（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是對稱軸.正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

4.下列說法不正確的是（）

A.垂直于弦的直徑平分這條弦

B.弦所對的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦

C.在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等

D.平分弦的直徑垂直弦，并且平分弦所對的弧

題型二垂徑定理及推論

例題

5.如圖，48是0。的弦，半徑垂足為設(shè)0。的半徑為5,CD=\,則88的長為（）

A.4B.6C.8D.10

鞏固訓(xùn)練

6.如圖，OA,OB,OC都是。。的半徑，AC,08交于點(diǎn)D.若AO=CD=8,00=6,則的長為

7.簡車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖，點(diǎn)。表示簡車的一

個盛水桶，如圖2.當(dāng)簡車工作時，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心。為圓心，且圓心在水面上方，若圓被水面

截得的弦人8氏為8m,簡車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為2m.則圓的半徑為

奉奉奉奉奉

8.。。的半徑是10,弦AB〃C。，4A=16,CZ）=12,則弦4B與。。的距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

題型三圓心角

例題

9.如圖，A8是。。的直徑，BC=CD=DE，NCOQ=48。，則N80E的度數(shù)為

D

鞏固訓(xùn)練

10.如圖，在OO中，AB=2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CD

?與。的大小關(guān)系無法比較

C.AB=2CDDA82C

11.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接。。，AC平分-84。，則下列結(jié)論正確的是（）

A

C

A.AB=ADB.BC=CDC.A13=ADD.ZBCA=ZDCA

12.如圖，在O。中，4C=BC，。、E分別是半徑OA與04的中點(diǎn)，連接OC,AC,BC,CD,CE,則下

列結(jié)論不一定成立的是（）

CD=CEC.ZAOC=ZCOBD.CD1OA

題型四外接圓

例題

13.直角三角形的兩邊長分別為6和8,它的外接圓的半徑是（）

A.2B.4C.5D.以上都不對

鞏固訓(xùn)練

14.在一個直角三角形中，兩邊長分別是5,12,那么這個三角形的外接圓的半徑是一.

15.己知RtZ\45C中，N4=90。，AB=6,AC=S,則VA3C外接圓的半徑為（）

A.3B.4C.5D.不確定

16.若直線/上有四點(diǎn)4B,C,D,直線/外有一點(diǎn)P,則經(jīng)過圖中的三個點(diǎn)作圓，最多可以作個.

題型五圓周角

例題

。是0。上一點(diǎn).若N4OC=66。，則NA=（)

C.24°D.30°

鞏固訓(xùn)練

18.如圖，點(diǎn)A,B,C均在上，若2AQ8=5（）c,則ZAC3的度數(shù)是（)

C.75°D.100°

19.如圖，是VABC的外接圓，若4480=30。，則/AC8的度數(shù)是（）

A

A.50°B.60°C.65°D.70°

20.如圖,AB.C。是。。的弦，且45=8,若N8QD=84。，則NACO的度數(shù)為（）

C.46°D.然。

21.如圖，△ABC是。O的內(nèi)接三角形，AD_LPC于D點(diǎn)，且AC=13,CD=5,AB=12及，則。O的直

徑等于（）

A.yV2B.15拒C.13cD.17

題型六圓內(nèi)接四邊形

例題

22.如圖，四功形A8CO內(nèi)接于QO,已知ZADC=14（F,則NA8C的大小是（）

B

A.80°B.100°C.60°D.40°

鞏固訓(xùn)練

23.在正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)。為圓心畫圓，使該圓經(jīng)過格點(diǎn)A,B,并在圓弧上取點(diǎn)C,D,連接

則的度數(shù)為()

A.135°B.130°C.120°D.不確定

24.在00中，AA為直徑，點(diǎn)C為圓上一?點(diǎn)，將劣弧4C沿弦AC翻折，交AB于點(diǎn)D,連接CO.如圖,

則NAC￡＞的度數(shù)為

25.如圖，四邊形A3CO內(nèi)接于。0,N84O=45。，8C=&,6=2,則。。的半徑為()

B.MC.2\/5D.2M

題型七正多邊形與圓

例題

26.如果一個正多邊形的中心角為45。，那么這個正多邊形的邊數(shù)是,

鞏固訓(xùn)練

27.如圖，正六邊形A8CDM內(nèi)接于O。，點(diǎn)M在AB上，則的度數(shù)為.

28.如圖，AE,。戶是正八邊形的兩條對角線，則大7=

DF

BC

29.如圖，0。是正五邊形ABC"的內(nèi)切圓，分別切A&C。于點(diǎn)M,N,。是優(yōu)弧WW上的一點(diǎn)，則/MPN

的度數(shù)為。.

題型八弧氏與扇形面積

例題

3().已知四邊形八BCD是矩形，AB=2,BC=2近，以點(diǎn)8為圓心為半徑的圓交A。于點(diǎn)石，則圖中陰

影部分的面積為.

鞏固訓(xùn)練

31.如圖，半圓。中，直徑A8=30,弦CO〃A8,C7)長為6兀，則由C7)與AC,4。圍成的陰影部分面積

為

32.如圖，在平面內(nèi)將RtZXABC繞著直角頂點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到Rt△瓦C,若AB=#,CF=1,

則陰影部分的面積為.

33.如圖，在RtZvWC中，44C8=90。.。。是V八AC的內(nèi)切圓，若4c=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積

為.

34.如圖，已知正六邊形A8CQ石尸的邊長為2,以點(diǎn)E為圓心，所長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得

的O”的長為.

35.如圖，半徑為6的扇形AOZ?中，ZAOB=90。,。是A6上一點(diǎn)，CD±OA,CE上OB,垂足分別為D,

E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為.

36.如圖，4?是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。在84的延長線上，CD與。。交于另一點(diǎn)E,

DE=OB=Z?D20?,則BC的長度為（結(jié)果保留兀）.

C

題型九直線與圓的位置關(guān)系

例題

37.已知。。的半徑「為女m,圓心。到直線/的距離d為4cm,直線/與。0的公共點(diǎn)個數(shù)為（）

A.0個B.1個

C.2個D.以上都不對

鞏固訓(xùn)練

38.V八3C中，AB=AC=6,BC=4,以點(diǎn)A為圓心，5為半徑畫圓，那么該圓與8。的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

題型十切線的判定與性質(zhì)

例題

39.如圖，人8是。。的直徑，BC交0O于點(diǎn)D,力石工AC于點(diǎn)E,下列說法不正確的是（）

A.若DE=DO,則。石是。。的切線B.若A8=AC,則。七是。。的切線

C.若CD=DB,則OE是。。的切線D.若OE是。。的切線，則A3=AC

鞏固訓(xùn)練

40.如圖，VA8C的邊8c與。。相切于點(diǎn)8,點(diǎn)A在00上，47經(jīng)過圓心0,且NC=40。，。為劣弧AB

上一動點(diǎn)，連接其戶，BP,則/P的度數(shù)為（）

A

O

義

BC

A.1150B.125°C.130°D.140°

41.如圖，在RlZXABC中，ZC=90°,￡＞是AB上的一點(diǎn)，以A。為直徑的。。與BC相切于點(diǎn)七，連接AE、

DE,若N5=30。，AC=3,則80的長度是()

A.GB.2C.3D.2G

題型H—內(nèi)切圓

例題

42.如圖，。。是VABC的內(nèi)切圓，若NA=80。，則24OC的度數(shù)為()

A

BAC

A.40°B.150°C.130°D.100°

鞏固訓(xùn)練

43.如圖，VA3c的內(nèi)切圓0O與A跟BC、AC相切于點(diǎn)。、E、F,已知八4=4,AC=3,BC=5,,則OE

的長星()

A

BEC

&MR2Mr3MD,亞

5555

44.如圖，V4BC的內(nèi)切圓。O分別與A8,8C,AC相切于點(diǎn)。，旦尸，且4O=3,BE=2,b=4,則VABC的

周長為（）

題型十二內(nèi)心

例題

45.如圖，點(diǎn)/是IBC的內(nèi)心，若NC=70。，則NAZ8=

鞏固訓(xùn)練

46.如圖，V/WC的周長是18cm,點(diǎn)。是V/WC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作砂〃AB,與AC、8c分別交于點(diǎn)七、

F,已知A8=6cm,則△<7所的周長為cm.

47.如圖，在VA8C中，A8=AC,點(diǎn)。在AC邊上，過△A8O的內(nèi)心/作/EJLBD于點(diǎn)E.若責(zé)）=14,8=6,

則跖的長為（）

A

D

E

BC

A.8B.9C.10D.II

48.如圖，在oA8C￡）中，AB=3,AD=5,將△ABO沿8。翻折得到△ABO,若A。經(jīng)過△CBO的內(nèi)心/,

則W的長為.

AD

A1

題型十三解答題

例題

49.如圖，是0。的直徑，點(diǎn)C,。在0。上，若AD=CD，求證：OD//BC.

@

D

鞏固訓(xùn)練

50.如圖，在中，/）、石分別為半徑04、的點(diǎn)，AD=BE,C為弧A8的中點(diǎn)，連接C。、CE、CO,

求證：CD=CE.

c

51.如圖，在0。中，弦ABCQ相交于點(diǎn)M,且AB=CQ.

(1)求證：AD-RC^

(2)連接OM,BD,若8。是O。的直徑，AB=2AD=8,求QW的長?

52.如圖，VA8C中，AB=AC