第三章圓(壓軸專練)(十三大題型)

題型1:“有直徑現(xiàn)直角”

1.如圖，已知點(diǎn)C是以A8為直徑的半。。上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A8重合)，點(diǎn)。是4c中點(diǎn)，連結(jié)3。、0D,

(1)如圖1,若AZ?=4,AC的度數(shù)為120。，求。”的長(zhǎng).

(2)如圖2,若4C=BC，求二方的值.

AF

(3)如圖3,連結(jié)OE,當(dāng)AOJ5七成為直角三角形時(shí)，求力所與尸的面積比.

題型2：“有垂徑現(xiàn)三角形”

2.如圖1,點(diǎn)E是：。直徑A8上一點(diǎn)，AE=2,BE=8,過點(diǎn)E作弦CO_L48,點(diǎn)G在80上運(yùn)動(dòng)，連

接CG.

⑵如圖2,連接AG,作NOCG的角平分線交AG于點(diǎn)“，在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過程中，AF的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變

化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值.

(3)如圖3,過點(diǎn)8作BA7JLCG于H,連接求?！钡淖钚≈?

題型3：題型1和題型2綜合

3.已知：A3是。的直徑，弦CO交A8于點(diǎn)E,且弧8C=弧80.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接AC,點(diǎn)r為AC上的一點(diǎn)，連接8/L過點(diǎn)C作⑦J_"/L垂足為點(diǎn)G,若點(diǎn)”為弧A8的

中點(diǎn)，求NCF3的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接777交AB于點(diǎn)M若"'=4V,"G=4,求。0的半徑.

題型4:構(gòu)造出圓心角、圓周角之間的關(guān)系

4.如圖，在VABC中，AB=8C,ZA8C=90。,。是人B上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,以C7)為直徑的M交AC于

點(diǎn)、E,連接并延長(zhǎng)交AC十點(diǎn)尸，交M十點(diǎn)G,連接BE.

⑴若/￡BG=45。，求證：點(diǎn)E是8G的中點(diǎn).

(2)當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到使CO8E時(shí)，求BC:的值.

⑶當(dāng)點(diǎn)。到移動(dòng)到使CG=30。時(shí)，求證：AE2+CF2=EF2.

題型5:題型1?4綜合

5.如圖，在VA8C中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，以。為圓心，為半徑作：O,交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,

弧E。與弧。C相等，點(diǎn)?在線段8E上，/BAC=2/BDF.

⑴求證：AB=AC；

⑵判斷。尸與。的位置關(guān)系，并加以證明:

（3）若：。的半徑為5,EB+DF=AO,求8。的長(zhǎng).

題型6:動(dòng)點(diǎn)問題（列方程；分類討論）

6.如圖I,在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=I2cm,AB=20cm,動(dòng)點(diǎn)。由點(diǎn)。向點(diǎn)B以每秒女m速

度在邊AC上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒4cm速度在邊上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)。、點(diǎn)E從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，運(yùn)

動(dòng)i秒（/〉（）），連接OE.

圖1

(1)求證：NDCEKACB、

（2）如圖2,設(shè)經(jīng)過點(diǎn)。、C、E三點(diǎn)的惻為O,連接CO并延長(zhǎng)交48十點(diǎn)

①猜想直線OC與直線A8的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②當(dāng).。與邊AB相切時(shí)，貝V=_；

③在點(diǎn)。、點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，若：。與邊A8交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)〃在點(diǎn)N下方，如圖3）,連接。。并延長(zhǎng)交

邊AB于點(diǎn)、H,連接當(dāng).。月例與八C。石相似時(shí)，直接寫出/值.

7.在矩形ABC。中，A8=6cm,8C=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)沿AA邊以lcm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí),

點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為，秒:

⑴如圖1,幾秒后,V5PQ的面積等于8cm2?

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中,若以P為圓心、為半徑的OP與即相切（如圖1）,求/值；

⑶若以。為圓心，PQ為半徑作0Q.

①如圖2,以Q為圓心，PQ為半徑作Q.在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的，值，使。正好與四邊形八46

的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出，值：若不存在，請(qǐng)說明理由；

②如圖3,若。與四邊形SPQ的邊的二個(gè)公共點(diǎn)，貝口的取值范圍為.（直接寫出結(jié)果，不需說埋）

題型7：圓與平面直角坐標(biāo)系

8.如圖，以點(diǎn)尸（-1,0）為圓心的圓，交x軸于8、C兩點(diǎn)（8在。的左側(cè)），交V軸于A、。兩點(diǎn)（A在。

的下方），ZABC=30°,將VABC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，得到ZiMCB.

⑴求A、6兩點(diǎn)的坐標(biāo)：

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段也、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶動(dòng)直線L從與重合的位置開始繞點(diǎn)9順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與3c重合時(shí)停止，設(shè)直線L與CM交點(diǎn)為E,

點(diǎn)。為BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EGJ.8c于G,連接MQ、或.請(qǐng)問在旋轉(zhuǎn)過程中/MQG的大小是否變化？

若不變，求出NM2G的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由.

題型8:圓與二次函數(shù)

9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系X。），中，開口向上的」旭物線），=aF+Z>x+c與大軸交于A,6（1,0）兩點(diǎn)，與），

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式:

（2）若點(diǎn)G為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)NG6A=NBC'O時(shí)，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);

（3）如圖2若Af為線段A/3的中點(diǎn)，N為拋物線的頂點(diǎn)，e7經(jīng)過人，B,C三點(diǎn).經(jīng)過圓心7的直線交拋物

線干。，E兩點(diǎn),直線N/）交x軸于點(diǎn)P,直線NE交x軸于點(diǎn)Q.求MPMQ的值.

10.如圖，已知拋物線），=加+歷-+c（ac<（））與x軸交于在3的左邊），與y軸交于C,旦08=404.

（1）若點(diǎn)4的坐標(biāo)是（-1,（））,。的坐標(biāo)是（0,-4）,試求拋物線的解析式;

⑵在（1）的條件下，如圖1,直線y=K與拋物線丁=&+法+<:交于。、E兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線下方的拋

物線上，若以尸為圓心作F,滿足/與直線。上相切，求當(dāng)，）產(chǎn)的半徑最大時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）如圖2,若OB=OC,M、N分別是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)上的兩點(diǎn)（M在N的右邊），連接力加、AN、MN,

MN交x軸于點(diǎn)P,點(diǎn)K是用N的中點(diǎn)，若二4VM的內(nèi)心在x軸上，K的縱坐標(biāo)為〃，試探究」PB的值是否

n

為定值，若是，求出這個(gè)定值：若不是，請(qǐng)說明理由.

題型9：新定義題一直線與圓的位置關(guān)系

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，QO的半徑為1.對(duì)于的弦48和一點(diǎn)C,給出如下定義：若直線AC與

。只有一個(gè)公共點(diǎn)，公BC=a,則稱點(diǎn)。是弦AB的“a切割點(diǎn)

①若點(diǎn)M（0，m）為弦A〃的“120。切割點(diǎn)“，則〃?=，點(diǎn)3的坐標(biāo)為

②若弦A8與x軸平行且只有一個(gè)點(diǎn)P為弦AB的切割點(diǎn)”，則。的取值范圍是；

(2)已知點(diǎn)。為直線>，=氐+〃上一點(diǎn)，若存在。的弦MN.當(dāng)1<MN<V5時(shí)，點(diǎn)。為弦MN的“90。切割

點(diǎn)”.直接寫出力的取值范圍.

題型10:內(nèi)心

12.如圖：AB是。。的直徑，C為O上一點(diǎn)，CD平分NAC6./是VABC的內(nèi)心，C。與AB相交于

連接A。、BD、IO.

(1)求證：BD=AD=D1；

(2)求證：ACBC—AHHB=CH2;

(3)已知tan/C48=—,01=^5,求0。的半徑.

4

題型11:圓與銳角的三角函數(shù)

13.如圖1,四邊形A3co內(nèi)接于(。，點(diǎn)A是80的中點(diǎn)，CD±CB.直線MN與。相切于點(diǎn)4,交.CD

⑵求ObC8的值.

(3)如圖2,在AC上取一點(diǎn)F,使NC48=2N8F.

①判斷A。與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4

②如圖3,作用JL8C于點(diǎn)從4/_L/皿于點(diǎn)/.若切：4=2:3,sinZfiCD=-,連接。P，請(qǐng)直接寫出

tan/ObG的值.

題型12：弧長(zhǎng)與扇形面積綜合

14.如圖，在VA8C中，ZBC4=90°,BC=12,sinA=-,。是AB的中點(diǎn)，。是線段08上一點(diǎn)，以。

為旋轉(zhuǎn)中心，將線段O力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到扇形。0￡

②求人七兩點(diǎn)間的距離.

(2)如圖2,設(shè)OE交AC于點(diǎn)尸，OE交AC于點(diǎn)、G,若OF工AB于點(diǎn)、O,求陰影部分的面積;

圖2

(3)當(dāng)扇形OOE所在圓與VABC的邊相切時(shí)，求QE的長(zhǎng).

15.如圖1、圖2、圖3和圖4、AB是半圓。的直徑，且48=4,點(diǎn)C以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度從點(diǎn)B沿

A3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.

(1)連接AC,BC.求圖I中的陰影部分面積和的最小值S；

⑵如圖2,過點(diǎn)。作半圓。的切線也，點(diǎn)P在射線相上，且。。=3,過點(diǎn)p在射線A8的上方作產(chǎn)且

PH=\.當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，求點(diǎn)，到射線人8的距離；

(3)如圖3和圖4,在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，將半網(wǎng)。沿儀;折疊，8c與AB爻于點(diǎn)、D.

①連接co.若ZAHC=25。，求N3CD的度數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)。落在半徑OA上（包括端點(diǎn)0,A）時(shí)，求點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)；

③如圖4,連接OC,過點(diǎn)A作AEJ.AB,與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)區(qū)延長(zhǎng)BC交AE于點(diǎn)凡連接C。.當(dāng)

4E=d（d>0）時(shí)，請(qǐng)亶掾用含4的式子表示累.

DL

題型13：情景探究題

16.閱讀理解:

（I）【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完‘‘圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的

知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易.我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓這類題目主要是兩種類型.

①類型一，“定點(diǎn)+定長(zhǎng)”：如圖1,在.A8C中，AB=AC,Nfi4C=44。，Q是V/WC外一點(diǎn)，且AQ"C,

求/BOC的度數(shù).

解：若以點(diǎn)A（定點(diǎn)）為圓心，AB（定長(zhǎng)）為半徑作輔助圓A,則點(diǎn)C、。必在0A上，/刖C是A的

圓心角，而N8OC是圓周角，從而可容易得到々"二°；

②類型二，“定角+定弦”：如圖，RtAAAC中，AB1BC,A3=6,BC=4,P是VA8C內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且滿足NP48=NP8C,則線段CP長(zhǎng)的最小值為：

（2）【問題解決】如圖3,在矩形A3CO中，已知4?=3,3c=4,點(diǎn)。是8C邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與8,C

重