甘肅省武威市涼州區(qū)清源鎮(zhèn)清源中學(xué)2025-2026學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期

中考試數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.下列各數(shù)為無理數(shù)的是（）

A.OB.&C.3.14D.我

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了無理數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).根

據(jù)無理數(shù)的定義，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得到答案.

【詳解】A、。是有理數(shù)，故選項(xiàng)A不符合題意，

B、G是無理數(shù)，故選項(xiàng)B符合題意，

C、3.14為有理數(shù)，故選項(xiàng)C不符合題意，

D、圾=2是有理數(shù)，故選項(xiàng)D符合題意，

故詵：B.

2.下列計(jì)算正確的是（）

A.（3x）"=6x2B.3a26*

C."J）6=?3D.（-々J=〃

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了同底數(shù)號(hào)除法，哥的乘方，積的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，根據(jù)同底數(shù)哥除法，

暴的乘方，積的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、（3x）2=9x2,原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、3〃2.2/=3X2〃2+3=6/，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

D、（—a）‘e（一以『二（一以）’一=-a>原選項(xiàng)計(jì)算借識(shí)，不符合題意；

故選：C.

3.估計(jì)J萬一2的值在（）

A.4到5之間B.3到4之間C.2到3之間D.1到2之間

【答案】C

【解析】

【分析】首先估計(jì)J萬的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間，再估計(jì)J萬-2的值，即可得出答案.

【詳解】V42<17<52>

???4<行<5，

:.2<V17-2<3?

即而一2的值在2到3之間，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考杳無理數(shù)的估算，掌握算術(shù)平方根的定義是關(guān)鏈.

4.已知2X一丁一3=0,則9'+3,的值為（）

A.27B.9C.6D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了同底數(shù)寤的除法，察的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

先由2x--3=0得至ij2x—），=3,再將夕+3y變形為（3?）'+3）'=32v+3V=進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???2乙一二一3=0,

???2工-），=3,

???9、3'=（32）'+3,=32X+3、=32t-y=33=27,

故選：A.

5.若（2x+〃?）（x-3）的展開式中不含工的一次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)〃?的值為（）

A.—6B.0C.3D.6

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式不含某項(xiàng)問題，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

本題先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則求出展開式，再根據(jù)展開式中不含X的一次項(xiàng)，該項(xiàng)的系數(shù)為0,然

后即可求解；

【詳解】解：先將（2x+m）（x-3）展開，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則：

（2.v+w）（x-3）

=2xxx-2xx3+/??xx-mx3

=2x2-6x+nix-3，n

=2x23m,

???展開式中不含X的一次項(xiàng)，即X的一次項(xiàng)的系數(shù)為0，

?'?加-6=0,

解得m=6，

故選：D.

6.已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6cm,另一邊長(zhǎng)為7cm,則它的周長(zhǎng)為（）cm

A.19B.20C.19或20D.21

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等腰三

角形的定義，分類討論，結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理，計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)6cm是等腰三角形的腰時(shí)，三邊為6cm,6cm，7cm,

而6+6>7,

???符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)為6+6+7=19cm,

當(dāng)7cm是等腰三角形的腰時(shí)，三邊為6cm,7cm,7cm,

而6+7〉7,

???符合三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)為6+7+7=20（cm）,

故選：C.

7.如圖，△ABCgZVIDE,且D,C,七三點(diǎn)共線，若NR4D=30。，則NE=（）.

,1

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查等邊對(duì)等角、三角形全等的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)得到=是解題的關(guān)鍵.

由△A5C四△ADE,得到/8AC=ND4及AC=A￡,進(jìn)而得到的O=NC4E,/E=NACE即可求

解.

【詳解】/\ABC^/\ADE,NBAC=/DAE,AC=AE,

又???ZBAC=N8AO+NCA。,/DAE=/CAD+NCAE,

.\ZBAD=ZCAE=30°,

葉=75°.

故選:A.

8.我們可以利用圖形的面積解釋一些代數(shù)恒等式.如圖，能夠使用其中陰影部分面積說明的等式是

B.(4+3)(4-3)=/-9

C.(a+3)(a-6)=/一3〃一36D.(〃+3)~=/+6〃+9

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了平方差公式,

根據(jù)第一個(gè)陰影部分的面積等于5+3）（。-3）,第二個(gè)陰影部分的面枳等于/一32,再根據(jù)面積相等可得

答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得（。+3）（。-3）=。2-32=°2-9.

故選:B.

9.某校八年級(jí)學(xué)生到野外活動(dòng)，為測(cè)晟一池塘兩端A3的距離，甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出如下兩種方

案:

甲方案乙方案

/一B-

ZW

Ez--------

D

圖1圖2

如圖1,先在平地取一如圖2,過點(diǎn)3作

個(gè)可直接到達(dá)A3的點(diǎn)BD1AB，再由點(diǎn)

。觀測(cè)，在A8的

C,再連接AC,8。，

延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)

并分別延長(zhǎng)AC至

。，使

DBC至E，使

/BDC=/BDA,

DC=AC,BC=EC,這時(shí)只要測(cè)出8C

最后測(cè)出。石的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)即為A8的距

48的距離.離.

下列說法正確的是（）

A.甲的方案可行，乙的方案不可行B.甲的方案不可行，乙的方案可行

C.甲、乙的方案均不可行D.甲、乙的方案均可行

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用.甲方案利用“SAS”方法，證明

△AC的ADCE,測(cè)出OE的長(zhǎng)即為A3的距離；乙方案利用“ASA”方法，證明△ABQg/XCBO,

測(cè)出3C的長(zhǎng)即為A3的距離.

【詳解】解：甲方案：在△ACB和△OCE中，

AC=DC

/ACB=NECD,

BC=EC

.?.△ACB^ADCE(SAS),

；.DE=AB;

乙方案：VBD±AB,

ZABD=ZCBD=90°,

在△ABD和△CBO中，

ZABD=ZCBD

<BD=BD,

ZBDA=NBDC

:.△ABD^/\CBD(ASA),

BC=AB，

???甲、乙的方案均可行.

故選：D.

10.若(a+b+c)2=4026,(。-6+。)2=24,則/+/+c2+2ac的值是()

A.2024B.2025C.2026D.4050

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.

通過設(shè)s=4+c,將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于S和8的等式，利用已知平方和求值.

【詳解】v(?+/?+f)2=4026,m—/?+c)2=24,

設(shè)s=。+。，則(s+b)2=s2+2sb+b2=4026,(s-b)2=s2-2sb+b2=24,

將兩式相加得：(?+2sb+/?2)+(j2-2sb+Z?2)=4026+24,

???2s2+2〃=4050，

?+b2=2025，

又a2+b2+c2+lac=卜/+/+2ac)+b2=(a+c)2+b2=s2+lr,

222

a+b+c+2ac=2025.

故選R.

第II卷（非選擇題）

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.比較大?。?52（填“＞”、或“二"）.

【答案】＞

【解析】

【分析】該題考查了實(shí)數(shù)比較大小.根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大.

【詳解】解:因?yàn)?＞4,

所以石＞"=2.

故答案為：＞.

12.已知a'”=6d=3,則〃"+”=.

【答案】18

【解析】

【分析】直接運(yùn)用同底數(shù)幕乘法逆運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：???/'=6"=3,

???〃"+"=。"=6x3=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了同底數(shù)凝的乘法，熟練掌握同底數(shù)暴的乘法運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.

13.如圖，正方形ABC。的面積為7,頂點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為1,若點(diǎn)￡在數(shù)軸上（點(diǎn)上在點(diǎn)A的左

側(cè)），且AO=4E，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為

【答案】1-V7

【網(wǎng)茴斤】

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)正方形的面積求出正方形的邊長(zhǎng)為J7是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的面積求出正方形的邊K為近，得到AE=AO=J7，即可得到點(diǎn)七表示的數(shù)為1-近.

【詳解】解：?.?正方形的面積為7,

?..正方形的邊長(zhǎng)為J7,

AE=AD=yfj，

???點(diǎn)E表示的數(shù)為1一五.

故答案為：1—yfl.

14.如圖，△ABCgZ\OERB,E,C,產(chǎn)四點(diǎn)共線，若BF=19,EC=5,則BE的長(zhǎng)是.

【答案】7

【解析】

【分析［本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的

關(guān)鍵.

利用全等三角形的性質(zhì)可得8C=￡F,進(jìn)而得到3E=CF,再利用線段的和差關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】解：:AABCQADEF,

???BC=EF,

：?BC-EC=EF-EC,即

???B/=19,EC=5,BE+CE-CF=BF,

???2BE+5=19,

解得：BE=7.

故答案為：7.

15.若左為任意整數(shù)且=則（攵+。）2-（攵一〃）2的值總能被______整除.

【答案】11

【解析】

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用平方差公式。2一從=（〃+?（〃-與對(duì)式子進(jìn)行

因式分解.

先利用平方差公式對(duì)快十。）2—（A—〃）2進(jìn)行因式分解，再結(jié)合a十〃=11化簡(jiǎn)式了，從而確定能整除該式

子的數(shù).

【詳解】解：(k+a)2-(k-b)2=[(A:+a)-^-(k-b)][(k+a)-(k-Z>)]=(2k+a-b)(a4-b)

因?yàn)橐阎猘+〃=U,將其代入上式，得到（2Z+a-力xll.

這表明伏+。）2-伏-/力2是11的倍數(shù)，即它的值總能被11整除.

故答案為：11.

16.如圖，AABC是等邊三角形，點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)（不與A,8重合），點(diǎn)E是邊8C上一點(diǎn)，且

AD=2BE，以O(shè)E為邊在右側(cè)作等邊三角形。比M是AC的中點(diǎn)，連接A/,MF，當(dāng)

AF+MF最小時(shí)，NAE/W的度數(shù)是°.

【解析】

【分析】在8c上取點(diǎn)M使NE=BD,連接RV、CF,結(jié)合等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定定

理證明△也花式再由全等三角形的性質(zhì)推出3E=CN=N/，等邊對(duì)等角可得

/乂€戶=30。=?44。8,根據(jù)三線合一定理證得點(diǎn)廠一定在的垂直平分線CG上，即找到點(diǎn)尸的

運(yùn)動(dòng)軌跡；作M點(diǎn)關(guān)于CG的對(duì)稱點(diǎn)AT,連接MM'、FM'：由對(duì)稱性質(zhì)得=M/，則當(dāng)A、

F、三點(diǎn)共線時(shí)，4廠十用戶最小，即4產(chǎn)+w最小，綜合等邊三角形的判定與性質(zhì)、三線合一、

等腰三角形的判定與性質(zhì)即可求出A尸+叱最小時(shí)，ZAFM的度數(shù).

【詳解】解：在8C上取點(diǎn)N,使NE=BD,連接RV、CF,

??zABC、△。石尸是等邊三角形,

ZB=ZACB=ZDEF=60°,AB=BC=AC,DE=EF,

?zBDE中，NB+NBDE+ZBED=180。，

又點(diǎn)￡在8c上，

:"BED+/DEF+4NEF=180%

:"BDE=/NEF,

???在ABDE和ANEF中,

BD=NE

，/BDE=4NEF,

DE=EF

:△BDE%NEFlSAS),

:.BE=NF,/ENF=/B="。,

?:AB=BC,AD=2BE,即BE+NE+C7V,

；.BE=CN=NF,

180°-(180°-ZE/VF)1

:"NCF=ZNFC=-------------------------2=30°=一ZACB,

22

即點(diǎn)F一定在ZACB的角平分線上，

延長(zhǎng)C/交A8于點(diǎn)G,

由三線合一定理可得，點(diǎn)尸一定在A3的垂直平分線CG上，

作〃點(diǎn)關(guān)于CG的對(duì)稱點(diǎn)AT,連接MM'、FM',

由對(duì)稱性質(zhì)可知，CG垂直平分W，

;.MF=M'F,

則當(dāng)4、F、M'三點(diǎn)共線時(shí)，A尸+MF最小，即Ab+MF最小,

A

???CG_LMM',CG1AB,

:.乙MM'C=4B=&T,

.?.△MM'C是等邊三角形，

:.CM'=CM,

又同是AC的中點(diǎn)，

.?.M'是5c中點(diǎn),

...等邊△ABC中AM'_L8C,即NBW'C=90。，

:/M'FC=180°-4FM'C-4NCF=60°，

?：MF=M'F，CG垂直平分MM',

???等腰三角形△必中，NMFC=NM戶C=60。，

:.ZAFM=\80°-/MFC-AM'FC=60°.

綜上，當(dāng)八尸最小時(shí)，ZAFM=60°.

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三線合一、等腰三角

形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、垂線段最短，解題關(guān)鍵是結(jié)合一線三等角模型找出

點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計(jì)算：+72(>/2-1)4-11-VI|.

【答案】-1

【解析】

【分析】本題考查了立方根、二次根式的乘法運(yùn)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，解題關(guān)鍵是分別掌握立方根的定義、

二次根式乘法法則和絕對(duì)值的性質(zhì)，逐一化簡(jiǎn)后再計(jì)算.

分別根據(jù)立方根定義化簡(jiǎn)Q，根據(jù)二次根式乘法法則計(jì)算8(血-1)，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)H-忘I，

再將化簡(jiǎn)后的結(jié)果合并計(jì)算.

【詳解】解：O+V2（V2-l）4-|l->/2|

=-2+2->/2+V2-l

=-1.

18.計(jì)算：

（1）（。+2）（3—ci）；

（2）（3叫:姆?2/.

【答案】（1）—/+〃+6

⑵/

【解析】

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘法和零的運(yùn)算（塞的乘方、同底數(shù)騫的乘法），解題關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘

法法則和累的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確進(jìn)行展開與運(yùn)算.

（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，將兩個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再合并同類項(xiàng).

（2）先根據(jù)寤的乘方法則計(jì)算，再根據(jù)同底數(shù)事的乘法法則計(jì)算最后將兩者的結(jié)果相減

即可.

【小問1詳解】

解:（a+2）（3-a）

=3a-a2+6-2a

=-a24-47+6?

【小問2詳解】

（3/『—4/2/

=9〃6_&廣

=d.

19.先化簡(jiǎn)，再求值［*+2），）2-（工+），）（3工一切一5./卜2%，其中工=-3,），=4

【答案】7

【解析】

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值.解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式、多項(xiàng)式乘法法則對(duì)整

式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值.

先利用完全平方公式、多項(xiàng)式乘法法則展開并化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)的式子，再進(jìn)行除法運(yùn)算，最后將工=-3,丁=4代

入化簡(jiǎn)后的式子求值即可.

【詳解】[(x+2)，)2-(x+y)(3x-y)-5y2]+2x

=[x2+4xy+4y2-(3x2-沖+3xy-y2)-5y2]-e-2x

=(x2+Axy4-4y2-3x2-2xy+y2-5y2)4-2x

=(~2x2+2xy)-r2x

=_%+)，，

當(dāng)工=-3,y=4時(shí)，

原式=—(-3)+4=3+4=7.

20.已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是2x-14和x+2,y+1的立方根為一3,〃，是JF7的整數(shù)部

分，

(1)求x和y的值；

(2)求工一)葉相平方根.

【答案】(1)x=4,y=-28

(2)±6

【解析】

【分析】本題考查平方根與立方根的應(yīng)用和以及無理數(shù)的估算，熟練掌握平方根和立方根的意義是解題的

關(guān)鍵，

(1)分別根據(jù)平方根的意義和立方根的運(yùn)算即可得到答案；

(2)先通過估算得到，〃的值，再代入求得、一)葉〃,的值，從而求得答案.

【小問1詳解】

解：由題意知2%一14和x+2互為相反數(shù)，

/.2x-14+x+2=0,

解得：x=4,

??,J+1的立方根為一3,

/.y+l=(-3)\

解得：y=-28；

【小問2詳解】

解：?;屈〈歷<后，

4<x/17<5，

.-.Vn整數(shù)部分機(jī)=4,

+?7?=4-(-28)+4=36,

,?工―y+機(jī)的平方根為土J元=±6?

21.如圖，點(diǎn)A、8、C、Z）在一條直線上，AE//DF,AE=DF,AB=CD.求證:

△AEC之ADFB.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了全等二:角形的判定，由人E||OF推導(dǎo)出4=",由人3=。。即可得

AC=BD,即可根據(jù)全等三角形判定定理證明三角形全等.

【詳解】證明：?.?A石〃。/，

.?.ZA=N。，

?：AB=CD,

AC=BD,

?:\E=DF、

:AAEC'DFB.

22.我們學(xué)過單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，那么多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式該怎么計(jì)算呢？我們也可以

用豎式進(jìn)行類似演算，即先把被除式、除式按某個(gè)字母的指數(shù)從大到小依次排列項(xiàng)的順序，并把所缺的次

數(shù)項(xiàng)用零補(bǔ)齊，再類似數(shù)的豎式除法求出商式和余式.

例：計(jì)算（8f+6x+l）+（2x+l）,可依照672+21的計(jì)算方法用豎式進(jìn)行計(jì)算.因此

(8x2+6X+1)+(2X+1)=4X+1.

324x+l

21；6722x+\)8X2+6X+1

638X2+4X

422x+l

422x+l

o-0

圖1圖2

請(qǐng)根據(jù)閱讀材料，叵I容下列問題；

(1)模仿例題中列豎式計(jì)算的方法計(jì)算(f+3x+2)+(x+l)的值.

(2)現(xiàn)在有一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為(x-l)cm,寬為(x+4)cm.若這個(gè)長(zhǎng)方體體積為

(*,+6x2+5x-12)cm',

①求這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積(用含)的代數(shù)式表示)；

②求這個(gè)長(zhǎng)方體的高(用含x的代數(shù)式表示).

【答案】⑴x+2

(2)①(f+3x-4)cm2；②(R+3)cm

【解析】

【分析】本題主要考杳了多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)仿照題意利用豎式計(jì)算即可；

(2)①用長(zhǎng)方體長(zhǎng)乘以其寬即可得到答案；②用長(zhǎng)方體的體積除以其底面積即可得到答案.

【小問1詳解】

解：

x+2

x2+3x+2

X+1

2x+2

2x±2

0

(產(chǎn)?+3x+2)+(x+1)=x+2；

【小問2詳解】

解：?(x-l)(x+4)=x2-x+4x-4=(x2+3x-4)cm2,

???這個(gè)K方體的底面積為卜2+3^-4）cm2；

②

x+3

X2+3X-4）X3+6X2+5X-12

/+3/-4%

-3/+9，-12'

3X2+9X~12

0

???這個(gè)長(zhǎng)方體的高為（x+3）cm.

23.（綜合與實(shí)踐）

【問題情境】補(bǔ)短法在解決線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用，具體的做法是將某條線段延

長(zhǎng)，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來解決數(shù)學(xué)問題.

例：如圖①，在四邊形A8CD中，A8〃OC,E是AO的中點(diǎn)，BE平分NABC,試判斷

之間的等量關(guān)系.

小穎的方法：如圖②，延長(zhǎng)非、C。的相交于點(diǎn)尸，構(gòu)造和等腰三角形8c尸（由

ZFBC=ZF即可判斷BC=CF)

【問題解決】（1）按照小穎的方法，3C,CDA區(qū)之間的數(shù)量關(guān)系是

【自主探究】（2）如圖③，在VHBC中，。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，連接交4。于點(diǎn)

F,AE=EF,試說明：AC=BF.

【拓展延伸】（3）如圖④，在四邊形ABDC中，AB〃CO,A8=5,CO=2,點(diǎn)/在上且滿足

NDFE=NBAE,S^ABE=S^ACE,請(qǐng)求出DF的長(zhǎng).

【答案】（1）BC=CD+ABi（2）見解析；（3）3

【解析】

【分析】題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì).

（1）延長(zhǎng)鹿、C。相交于點(diǎn)F,證明△ABE1和△￡＞「￡：全等得AA=Ob，再根據(jù)無平分/ABC得

ZABE=ZCBE=ZDFE,則6C=b,由此可得出8C,CD,AB之間的等量關(guān)系；

（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)從使￡W=AD,連接證明△AC力和△//8￡）全等得=AC.

/H=/CAD,再根據(jù)AE=EP，N/F￡=4暇/得N”=NAfE=NMH，進(jìn)而得=斯，由

此即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)延長(zhǎng)AE、C。相交于點(diǎn)A',根據(jù)三角形面積公式及5"花=5"8得CE=8E,證明△回￡

和△ACE全等得AC=A8=5,則DA=4'C-C￡>=3,再根據(jù)ND莊=/84￡,外￡=/4'得

4DFE=ZA，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：（1）BC,CD,45之間的等量關(guān)系是：BC=CD+AB,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)把、CD相交于點(diǎn)F,

(2)

VAB//CD,

:.ZA=AFDE>ZABE=ZDFE，

???E是AO的中點(diǎn)，

/.AE=DE，

?.?在△A3E和△￡)莊中，

NABE=NDFE

-ZA=NFDE,

AE=DE

:AABE名ADFE(AAS),

:.AB=DF，

?.?即平分/ABC,

:.ZABE=4CBE,

.'.ZDFE-ZCBE,

:.BC=CF,

?；CF=CD+DF,

BC=CD+AB；

故答案為：BC=CD+ABi

(2)延長(zhǎng)AO至點(diǎn)兒使DH=AD,連接44，

A

■

H

?.?/）是8。的中點(diǎn)，

BD=CD，

?.?在△ACT）和△〃班）中，

AD=DH

<ZADC=4BDH,

BD=CD

.△ACD^HBD（SAS）,

；.BH=AC，NH=NCAD,

?.?AE=EF,

AZCAD=ZAFE，

:.小=ZAFE，

?：ZAFE=^BFH（對(duì)頂角相等）,

Z7/=ZLBFH,

BH=BF,

:,AC=BFx

（3）延長(zhǎng)4E、CO相交于點(diǎn)A,

:.CE=BE，

VAB//CD,

:.ZBAE=ZA,

ZABC=ZAfCE，

;在△48￡和2\4。七中

ZBAE=ZA,

<ZA8C=NAC￡,

BE=CE

.?.△A3E小△/VCE(AAS),

:.A,C=AB=5,

:.DA=AC-CD=5-2=3,

???ZDFE=/BAE，ZBAE=ZA>

:.ZDFE=ZA\

,\DF=DAf=3,

因此，。廠的長(zhǎng)為3.

24.對(duì)于兩個(gè)正數(shù)。，力（。工1）,,定義一種新的運(yùn)算，記作（〃/）,即：如果：/=〃,，那么

(a0)=c,例如:3,=81,則(3,81)=4.

（1）根據(jù)上述運(yùn)算填空:（2,4）=一；（2,8）=；（2,32）=

（2）先觀察（2,4）,（2,8）與（2,32）的結(jié)果之間的關(guān)系，再觀察⑴中的三個(gè)數(shù)4,8,32之間的關(guān)系,

試著歸納：（。,根）+（。,〃）=

（3）如圖①，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為，〃，小正方形CG莊的邊長(zhǎng)為〃，若+（〃,〃）=（〃,〃），

（2川+〃）=4,（2,〃）=3,求圖中陰影部分的面積.

（4）如圖②，四邊形ABED,CG"。是長(zhǎng)方形紙條，AD=CD=m,CG==〃，按如圖所示疊放

在一起，將重疊的部分長(zhǎng)方形H￡EO,沿著OE翻折得到長(zhǎng)方形OEWN.若（4〃?）=儂,〃）=2,長(zhǎng)方形

的面積是15,AN=5,a十〃=3,求(a—。)？的值.

【答案】(1)2,3,5

(2)

(3)120(4)1

【解析】

【分析】本題考查定義新運(yùn)算，完全平方公式的變形求值，鼎的乘方計(jì)算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)如果"二〃，那么(a,〃)=c,據(jù)此計(jì)算即可;

(2)由(2,4)+(2,8)=(2,32)=(2,4x8)得(a,㈤+(a,=(a,mn)：

(3)由(4加)+(。,〃)=(。/)得到％=P,由(2,根+〃)=4得到機(jī)+〃=2"=16，由(2,p)=3得到

〃=23=8,最后根據(jù)圖中陰影部分的面積為—2+H](m+2Ml計(jì)算即可；

(4)由(a,加)=("〃)=2得到“2=而,環(huán)=〃,由圖可得:矩形A8MN的面積是(機(jī)+〃)(切一〃)二15,

m=4

AN=m+n=5,解得《.,即可得到〃=±2,b=±l,再根據(jù)a+b=3,得到。=2,人=1,代入

n=1

求值即可.

【小問1詳解】

解：V22=4,

A(2,4)=2；

??,23=8，

A(2,8)=3；

V2'=32,

.-.(2,32)=5；

故答案為：2,3,5；

【小問2詳解】

解：???(2,4)=2,(2,8)=3,(232)=5,2+3=5,4x8=32,

.\(2,4)+(2,8)=(2,32)=(2,4x8),

:.(a,m\+(〃，〃)=(a,irm\,

故答案為:加〃)；

【小問3詳解】

解：???(〃,〃?)+(〃,〃)=(〃,〃)，

???由(2)可得""?=〃，

V(2,/W+M)=4,

in+z?=24=16，

???(2,p)=3,

p=23=8?

mn=〃=8,,

???正方形ABC。的邊長(zhǎng)為，〃，小正方形CG莊的邊長(zhǎng)為〃，

???圖中陰影部分的面積為gm2+；z?2=g(m2+〃2)=g[(m+〃)2-2〃m]=gx(162-2x8)=120；

【小問4詳解】

解：???卜/,〃?)=(/?,〃)=2,

a2—in?b?=n'

由圖可得：矩形ABMN的面積是(m+〃)(6一〃)=15,A/V=6+〃=5,

幾

???:m-=3/解得<[m=4一

tn+n=jn=I

；?a2=4>Z72=1?

tz=zt2?Z?=±l,

?/Q+〃=3,

；?〃=2,Z?