二次函數(shù)中的最值問(wèn)題（3大題型40題）

【人教版】

題型歸納

【題型1幾何定理法求線段之和（差）最值】.....................................................1

【題型2代數(shù)法求線段最值】....................................................................6

【題型3鉛錘法巧求面積最值】.................................................................11

:舉一反三］

【題型1幾何定理法求線段之和（差）最值】

1.（2024?四川資陽(yáng)?中考真題）已知二次函數(shù)y=+以與），=32一日的圖像均過(guò)點(diǎn)4（4,0）和坐標(biāo)原點(diǎn)

0,這兩個(gè)函數(shù)在0式無(wú)44時(shí)形成的封閉圖像如圖所示，P為線表。4的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與無(wú)軸不重合的直線

與封閉圖像交于氏C兩點(diǎn).給出下列結(jié)論：

①b=2：

（2）PB=PC-

③以。，A,B,。為頂點(diǎn)的四邊形可以為正方形：

④若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn):Q在y軸上（Q,B,C三點(diǎn)不共線），則△BCQ周長(zhǎng)的最小值為5+后.

其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.(2023?福建三明?模擬預(yù)測(cè))二次函數(shù)丫=—a/+3ax+C(Q>0,c>0)與動(dòng)直線丫=Q%+b交于M,N兩

點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為H,4(—1,0),僅0,—2),則力H+BH的最小值為()

A.V5B.2V3C.V13D.V14

3.(24-25九年級(jí)匕福建廈門(mén)?期中)如圖，已知二次函數(shù)'=。(％+1)2+4(。工0)的圖象乙，點(diǎn)0是坐標(biāo)系

的原點(diǎn)，點(diǎn)尸是圖象L對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，圖象L與y軸交于點(diǎn)配則下面結(jié)論：①關(guān)于％的方程Q(%++4=0

的解是打=-3,x2=l：②當(dāng)x=2時(shí)，y<0：③點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)：④△PC。周長(zhǎng)的最小值是36

+3.正確的有.

4.(22-23九年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=一卜2+2%+2的圖象與工

軸、y軸分別交于A、8、C三點(diǎn)，點(diǎn)。是其頂點(diǎn)，若點(diǎn)P是%軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CP+OP的最小值為.

5.(22-23九年級(jí)上?天津紅橋?期中)如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)。(0,0),/1(5,5),其對(duì)稱(chēng)軸為％=2.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)8是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)8在第一象限.

①當(dāng)△048的面積為15時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P4-PB取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.（2024?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)丫=。工2+^:+/。=0）的圖像與￥軸交于點(diǎn)C

(0,-3),與%軸交于點(diǎn)做一1,0),8(3,0).

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)已知P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△4PC周長(zhǎng)的最小值.

⑶已知Q為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到直線8。下方時(shí)，求ABCQ面積的最大值.

7.(23-24九年級(jí)上?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中)已知二次函數(shù)y=-#+2%+血.

⑴如圖，二次函數(shù)的圖象與3軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍；

(2)如圖，當(dāng)m=3時(shí)，二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)8,與、軸交于點(diǎn)4拋物線與不軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,P為

拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求P8+PC的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

8.(2023?廣東廣州?二模)二次函數(shù)^二口好+力為+3(QH0)的圖象與y軸交于點(diǎn)C,與％軸交于點(diǎn)做1,0)、

BQO)

⑴求a、b的值；

（2）P是二次函數(shù)圖象在第一象限部分上一點(diǎn)，且ZBCP=2乙4BC,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

⑶在（2）的條件下，有一條長(zhǎng)度為1的線段￡尸落在。力上（￡與0重合，尸與A重合），將線段沿工軸正方

向以每秒/個(gè)單位向右平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為￡秒，當(dāng)四邊形CE/P周長(zhǎng)最小時(shí)，求t的值.

DJL

9.（24-25九年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，已知二次函數(shù)丫=一32+族+c的圖象過(guò)點(diǎn)40,4）,對(duì)稱(chēng)軸與工

軸交于點(diǎn)、8(2,0).

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式;

⑵己知點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn).，

①若直線，：y=x+ri經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,且點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q恰好落在直線48上，求點(diǎn)P坐標(biāo).

②設(shè)宜線PB與二次函數(shù)圖象另一交點(diǎn)為Q,過(guò)二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)作％軸的平行線m,則直線m上是否存在點(diǎn)

M,使得MP+MQ最??？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2024,江西?一模)已知關(guān)于匯的二次函數(shù)'=以2+"+。的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線工=1,其最大值是4,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)做一1,一4),交y軸于點(diǎn)B,請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺按下列要求作圖.

⑴在圖1中作二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)P(2,2)；

(2)在圖2中二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)Q,使△力BQ的周長(zhǎng)最短.

11.(23-24九年級(jí)上?云南昆明?期末))如圖1,二次函數(shù)y=ax2+4x+c(a00)的圖象與一次謔數(shù)y=-x+2

的圖象交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)4在y軸上，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線％=2,點(diǎn)。是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)解析式;

⑵若將二次函數(shù)y=ax2+4x+c的頂點(diǎn)。向右平移幾個(gè)單位后得到。.在點(diǎn)C的平移過(guò)程中，是否存在一個(gè)

合適的位置，使△480是一個(gè)以BU為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由;

（3）如圖2,P是x軸下方線段4B上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作％軸的垂線和平行線，垂足為點(diǎn)￡平行線交直線8C于

點(diǎn)心當(dāng)面積最大時(shí)，在工軸上找一點(diǎn)M,使的值最大，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)M

的坐標(biāo)和IBM-PM|的最大值.

12.（2025?江蘇無(wú)錫?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=ad+法+2（a。0）與無(wú)軸交于點(diǎn)4（一4,0）

和點(diǎn)8（點(diǎn)力在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)力的直線與拋物線交于點(diǎn)。（一1,3）,與y軸交于點(diǎn)￡

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M是線段。力上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段1上一動(dòng)點(diǎn)，且力M=￡N,求EM+ON的最小值.

【題型2代數(shù)法求線段最值】

13.（2025?安徽合肥?三模）已知：直線y=—％+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)力伍力），拋物線力二。一編（工+6）與工軸交于

B,。兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)。的左側(cè)），拋物線yi的頂點(diǎn)為。，拋物線及=Q—a）（x—b）與交V軸于點(diǎn)￡

⑴求點(diǎn)從點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含字母。的代數(shù)式表示）；

（2）連接4。，求線段力。的最小值：

⑶當(dāng)直線80恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，求。的值.

14.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期末）如圖，已知拋物線y=—T2+%+2與X軸交于力、8兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C.

⑴求直線的函數(shù)解析式：

（2）若P是直線8。上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PNJ.X軸于點(diǎn)N,交直線BC于點(diǎn)M,求線段PM的最大值.

15.（2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)y二一好-4/+1的圖象與一次函數(shù)丫=丘+3的圖象交

于,4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（一4,1）.

(1)求化的值:

(2)點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)時(shí)向上平移h(/i>0)個(gè)單位得到點(diǎn)N,若點(diǎn)N在二次函數(shù)的圖象上,

求方的最大值；

⑶在(2)的條件下，若h=2,線段MN與二次函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，求點(diǎn)切的橫坐標(biāo)m的取值范圍.

16.(23-24九年級(jí)上?云南昆明?期末)如圖，拋物線y=—目2+m工+孔與工軸交于4、B兩點(diǎn),與y軸交

于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交不軸于點(diǎn)。，已知力(一1,0),C(0,2).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵求△8DC的面積；

⑶線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)。，求線段PQ的最大值.

17.（23-24九年級(jí)上?浙江紹興?階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y=—/+以+。與一直線相交于從一1,o）,

《2,3）兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N.其頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線及直線AC.的函數(shù)表達(dá)式；

⑵設(shè)點(diǎn)M(3,m),求使MN+MD的值最小時(shí)機(jī)的值；

⑶若點(diǎn)戶是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ_Lx軸交AC于點(diǎn)0,求PQ的最大值.

18.(22-23九年級(jí)上?山東臨沂?期末)如圖，直線y=x+2與拋物線丫="2+"+6僅。0)相交于4你|)

和8(4,m)，點(diǎn)P是線段48上異于48的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸Clx軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)如果設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(七九+2),則點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為;

⑶在(2)的條件下，請(qǐng)用含有n的式子表示PC的長(zhǎng)，并確定PC長(zhǎng)度的最大值.

19.(2023九年級(jí)?全國(guó)?專(zhuān)題練工)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=一d+以+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0),B

(-1,0),交y軸于點(diǎn)C.

y

D

B

EA\\x

⑴求拋物線的解析式;

⑵若將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的解析式；

⑶若點(diǎn)。是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DElx軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)R求線段。"長(zhǎng)度的最大值.

20.（22-23九年級(jí)上?廣東廣州?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4的坐標(biāo)為（一1,0）,且

OA=OC=5OB,拋物線y=a/+以+C（Q=0）圖象經(jīng)過(guò)4,B,。三點(diǎn).

(1)求力，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式；

⑶若點(diǎn)Q是直線力。下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作P014?于點(diǎn)。，當(dāng)P0的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)

及PD的最大值.

21.(22-23九年級(jí)?全國(guó)?單元測(cè)試)已知：如圖,拋物線y=a/+4x+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)和點(diǎn)4(3,3),P為

拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為8(m,0),并與直線04交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)點(diǎn)P在直線。力上方時(shí)，求線段尸C的最大值；

⑶過(guò)點(diǎn)力作力?！陛S于點(diǎn)。，在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得以尸、A,C、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，求加的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(2025?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=kx+b經(jīng)過(guò)拋物線y=d+2rnx+2m2

-m(niHO)的頂點(diǎn).如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為P.

⑴求拋物線的解析式并直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)￡t+1時(shí)、y的最小值為2,求/的值；

(3)當(dāng)k=2時(shí).動(dòng)點(diǎn)七在直線/下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)E作"I”軸交直線/于點(diǎn)尸，令SEF,求S的最大

值.

23.如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,3)、B(4,0)和原點(diǎn)O0為二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)產(chǎn)

作工軸的垂線，垂足為。(m,0),并與直線交于點(diǎn)U

⑴求出二次函數(shù)的解析式；

⑵當(dāng)點(diǎn)P在直線。片的上方時(shí).，求線段尸。的最大值；

(3)當(dāng)m>0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)兒使得△PC。為等腰三角形，如果存在，求出尸的坐標(biāo)；如果不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.(2025?云南玉溪?二模)如圖，拋物線y=/+板+3與工軸交于點(diǎn)力和點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求該拋物線的解析式；

(2)將拋物線的頂點(diǎn)。向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)￡點(diǎn)/W為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，記L=MA2+ME2,

求1的最小值.

25.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)(2,1)和點(diǎn)(4,4)在拋物線y=ax2+bx［：..

⑴求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)四邊形MCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在該拋物線上，4c與8D交『點(diǎn)E(O,TI)，直線48為丫=加工+m(0<m<辦

直線為y=&%+￡?

①求自幾-k2m的值：

②記ACDE的面積為Si，四邊形ABCD的面積為S,若m=l,n=2,求藍(lán)的最小值.

【題型3鉛錘法巧求面積最值】

26.(24-25九年級(jí)上?福建廈門(mén)?期中)如圖,已知二次函數(shù)丫=。/+板+3交匯軸于點(diǎn)力(一1,0)，8(3,0)，

交y軸于點(diǎn)C.

⑴求二次函數(shù)y=ax2+bx4-3的解析式；

⑵記AB中點(diǎn)為點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。作直線DP交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)色交拋物線于點(diǎn)P,Q,點(diǎn)P在Q點(diǎn)右邊.

①當(dāng)。尸=3時(shí)，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)M在線段PQ上方，求△MPQ面積的最大值；

②當(dāng)匕。。尸=60。時(shí)，若點(diǎn)。與點(diǎn)G關(guān)于直線DP對(duì)稱(chēng)，求證：DGLBF.

27.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,拋物線的：y=/+板+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)&一3Q）和點(diǎn)B（1Q,拋物線Q

與Q關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng).

（1）求b,c的值;

⑵求拋物線的的解析式；

⑶將拋物線C2向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到。3，拋物線與C3相交于P,。兩點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)。的左側(cè)），如

圖2.

①求點(diǎn)P和。的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)M,N分別為拋物線Ci與C3上P,Q之間的點(diǎn)（點(diǎn)M,N均不與點(diǎn)P,。重合），直接寫(xiě)出四邊形PMQN

面積的最大值.

28.（2025?湖南株洲?三模）如圖，拋物線y=一必+"+<:交匯軸于4（一4,0）,8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)。（0,4）.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式.

⑵在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ACM是以4C為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶若點(diǎn)。在線段。力上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。作“軸的垂線，與AC交于點(diǎn)Q,與拋物線交于點(diǎn)P,連接4P、CP,求四邊

形SOCP的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

29.（24-25九年級(jí)下河南駐馬店?期中）如圖1,一塊鋼板截面的一邊為線段力氏另一邊曲線為拋物

線的一部分，。為力8的中點(diǎn)，現(xiàn)沿線段CD將這塊鋼板分成①②兩部分，以邊所在直線為x軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

且與48垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy,規(guī)定1個(gè)單位長(zhǎng)度代表1m.已知：04=lm,

AD=OC=2m.

⑴求曲線4C8所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

⑵如圖2,在區(qū)域①中截取一個(gè)矩形PENG,其中點(diǎn)P在線段CD上（不含端點(diǎn)C,。），點(diǎn)E在曲線4C上,

點(diǎn)、F,G均在線段/1D上，設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為m（0<mV2）,求矩形PEFG的面積S與加之間的函數(shù)表達(dá)式；

⑶如圖3,在區(qū)域②中截取一個(gè)四邊形COBQ,其中點(diǎn)。在曲線8C上（不含端點(diǎn)&C）,記四邊形COBQ

的面積為Sm2,求S的最大值.

30.（2025?遼寧營(yíng)口?二模）已知函數(shù)月=Q%2+3b,y2=-ax+b,定義新函數(shù)y：y=2為一

⑴若新函數(shù)y的解析式為y=-|“2—》+5,求函數(shù)人與及的解析式:

⑵在（1）條件下，點(diǎn)4（m,n）在函數(shù)y2上，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線交函數(shù)yi的圖象于點(diǎn)兒且當(dāng)無(wú)之一3時(shí).

①若點(diǎn)力，8重合，求m的值；

②過(guò)點(diǎn)8作％軸的平行線交函數(shù)及圖象于點(diǎn)c,函數(shù)=+求函數(shù)/關(guān)于m的解析式（寫(xiě)出自變量m

的取值范圍）；△4BC的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出△4BC面積的最大值，若不存在請(qǐng)說(shuō)

明理由.

31.（2025?寧夏銀川?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)做一4,0）,（；（0,8）,

J

點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,0),連接BC.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作0)11%軸，交拋物線于點(diǎn)。，連接4),判斷四邊形力的形狀，并說(shuō)明理血

⑶在(2)的條件下，若P是AD所在直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△AOP面積的最大值.

32.(2025?安徽阜陽(yáng)?三模)對(duì)于二次函數(shù)丫=。/+族+2,當(dāng)自變量％=一5寸，函數(shù)p的最大值為*

(1)求二次函數(shù)的解析式.

(2)如圖，二次函數(shù)、=以2+取+2的圖象與_￥軸相交于4B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,P,。是力與C之

間的二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM1%軸交直線4C于點(diǎn)M,。/71.”軸交直線4。于點(diǎn)7，MEly軸于點(diǎn)

E,川。1、軸于點(diǎn)。，PM=QN,求當(dāng)尸，。兩點(diǎn)不重合時(shí)，線段ME+ND的長(zhǎng).

⑶在(2)的條件下，連接NE,求△CNE的面枳的最大值.

33.(2024?安徽合肥?二模)如圖，拋物線y=-/+板+。與工軸交于點(diǎn)力(一1,0),8(3,0),與歹軸交于點(diǎn)

C,頂點(diǎn)為。，直線y=-與拋物線交于點(diǎn)E,F,M是線段EF的中點(diǎn).

yjk

D

AB

O

E,

⑴求拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是一3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)若0<k<2,求四邊形MCDB的面積的最小值.

34.(2025?四川資陽(yáng)?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力在拋物線、=一/+4%上，且橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)

8與點(diǎn)4關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線力B與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,1).

⑴求線段48的長(zhǎng)：

（2）點(diǎn)P為線段力8上方拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)APBE的面積最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，并求出最大面積;

⑶在（2）的情況下，過(guò)點(diǎn)P作48的垂線交48于點(diǎn)，，點(diǎn)F在y軸上一點(diǎn)，求P4+，/+#0的最小值.

35.（2025?吉林松原?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=。/+2%+。（。。0）與》軸交于點(diǎn)

人田，與y軸交于點(diǎn)。，連接BC,OA=1,對(duì)稱(chēng)軸為x=1,點(diǎn)。為此拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

⑵若連接C0，則4BCD=°

⑶點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE,求△8CE面積的最大值.

⑷點(diǎn)?在拋物線的對(duì)稱(chēng)釉上，平面內(nèi)存在點(diǎn)。，當(dāng)以點(diǎn)8,&P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。

的橫坐標(biāo).

36.(24-25九年級(jí)上?天津?階段練習(xí))如圖，拋物線￥二。工2+加一6交無(wú)軸于4(_2,0),8(6,0)兩交7軸于點(diǎn)

C，點(diǎn)Q為線段9C上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式;

（2）求QA+Q。的最小值；

⑶過(guò)點(diǎn)Q作