空間的點、直線與平面

?！局R梳理】

一、平面的概念

生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象.

幾何里所說的“平面”（plane）就是從這樣的?些物體中抽象出來的.但是，幾何里的平面是無限延展的,

一個平面可以將空間分成兩部分.

二、平面的畫法

在立體幾何中，我們通常用平疔四邊形來表示平面.

（1）當(dāng)平面水平放置時，如區(qū)3）,平行四邊形的銳角通常畫成45。.旦橫邊長等于其鄰邊長的_2倍:

當(dāng)平面豎直放置時，如圖（2）,平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線.

⑴（2）

（2）如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線畫出來，也

可以不畫.如圖（1）表示平面6在平面。的上面，圖（2）表示平面。在平面月的前面.

三.平面的表示

為了表示平面，我們常把希臘字母a，），等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，如平面。，平面小

也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點表示，還可以用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的

大寫英文字母表示.如圖中的平面可以表示為：平面a、平面力8C。、平面4C或平面8。.

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D

四.點、直線、平面之間位置關(guān)系

位置關(guān)系符號表示圖形表示

點A在直線，上.也稱直

A6Z—A—/

線,經(jīng)過點A

點與直線

點8不在直線/上,也稱B.

BWI

直線1不經(jīng)過點B----/

點A在平面。上，也稱平

面。經(jīng)過點A/?*Z

點與平面

B.

點8不在平面a上.也稱

B&a

平面Q不經(jīng)過點6//

五、公理1如果一條直線上有兩點在一個平面上，那么這條直線上所有的點都在這個平面上.

符號表示：Ael,Bel,且力Bdua.如圖所示：

作用：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)：②用直線檢驗平面.

六、公理2不在同一直線上的三點確定一個平面

符號表示：A,B,C三點不共線=有且只有一個平面a,使/Ga,BWa,Cea.如圖所示:

作用：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

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七、根據(jù)公理2可以得到下面的三個推論：

（1）推論1：經(jīng)過一-條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.

符號語言：若點4后直線小則力和。確定一個平面a.如圖所示：

（2）推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

符號語言：4n〃=有且只有一個平面a，使aua,bua.如圖所示:

（3）推論3；經(jīng)過兩條平行克線，有且只有一個平面.

符號語言：有且只有一個平面a,使aua,bua.如圖所示:

【考點剖析】

題型1：三種語言的轉(zhuǎn)換

學(xué)習(xí)幾何問題，三種語言間的互相轉(zhuǎn)換是?種基本技能.

要注意：（1）正確區(qū)分點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示：

（2）用圖形表示時，正確區(qū)別實線和虛線.

【典例1】如圖所示，用符號語言表示以下圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系:

①點A,8在直線。上：②直線。在平面a內(nèi)；③點。在直線方上，點C在平面a內(nèi)

【典例2】用符號表示下列語句:

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(1)點力在直線/上，/在平面a內(nèi)；

(2)平面a和平面尸的交線是直線!,直線m在平面a內(nèi)；

(3)點力在平面a內(nèi)，直線/經(jīng)過點4且直線/在平面a外:

(4)直線I經(jīng)過平面a外一點M.

題型2:點、線共面問題

公理1、2及其推論是證明點、線共面的主要依據(jù).常用的方法有：

(1)納入平面法：先由部分元素確定一個平面，再證明其他的元素也在此平面內(nèi).

(2)輔助平面法：先證明有關(guān)點、線確定平面再證明其余點、線確定平面夕，最后證明夕重合.

【典例31下面三條直線一定共面的是()

A.a,b,c兩兩平行B.a,b,c兩兩相交

C.a//bfc與4,人均相交D.a,b,c兩兩垂直

【典例4】如圖，在正方體中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)由點兒O,C可以確定一個平面；

(2)由點力，C,,為確定的平面為平面力。。蜴.

【典例5】如圖所示，在空間四邊形/14C。中，E,b分別為力￡,力。的中點，G,〃分別在8C,上,

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且8G:GC=OH:〃C=1:2.求證:

⑴E、F、G、”四點共面；

（2）EG與月尸的交點在直線4c上.

【典例6】求證：兩兩相交且交點不止一個的四條直線外b、c、d共面.

【過關(guān)檢測】

一、判斷題

1、判斷下列命題的真假（正確的打，〃，錯誤的打"X"）

（1）三點可以確定一個平面；（）

（2）一條直線和一個點可以確定一個平面；（）

（3）四邊形是平面圖形：（）

（4）兩條相交直線可以確定一個平面；（）

2、判斷下列各題的說法正確與否：

（1）一個平面長4米，寬2米;

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（2）平面有邊界;

二、單選題

3、有以下命題：

①8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；

②有一個平面的長是50m,寬是20m；

③平面是無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

4.在下列各種面中，不能被認為是平面的一部分的是（）

A.黑板面B.乒乓球桌面C.籃球的表面D.平靜的水面

5、若點4在直線b上，b在平面6內(nèi)，則點4直線b,平面6之間的關(guān)系可以記作（）

A..A^b^6B.4￡bu3C.Aubu6D.Aub￡6

6.如圖，在正方體48CD-48￡Di中，M為棱。的中點.設(shè)AM與平面B8QQ的交點為。，則（）

A.三點5，O,8共線，且。8=2。5

B.三點。I，。，8不共線，且。8=2。。］

C.三點），O,8共線，且OB=OD】

D.三點Oj,O,8不共線，且?！?Od

7、如圖所示，用符號語言可表述為（)

A.ac6=m,nca,mc\n=AB.an6=m,mnn=A

C.ar\6=m,〃ua,4um,AcznD.ac6=m,d,A^m,A^n

8.“直線/與平面。沒有公共點”是"直線/與平面。平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9、經(jīng)過空間任意三點作平面（)

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A.只有一個B.可作二個C.可作無數(shù)多個D,只有一個或有無數(shù)多個

10、A、8、C表示不同的點，n,/表示不同的直線，a,6表示不同的平面，下列推理表述不正確的是（）

A.A^l,A^a,B曰,BWanluaB.A^a,A^6,8^6,8￡cr=ar>6=直線48

C.4B,C^a,A,B,C66,且4B,C不共線=a與6重合D./0a,A￡/=ACa

11、下列命題中正確的是（）

A.過三點確定一個平面B.四邊形是平面圖形

C.三條直線兩兩相交則確定一個平面D.兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域

12、下列空間圖形畫法錯誤的是（）

13、如果點A在直線。上，而直線。在平面凌內(nèi)，點8在平面凌內(nèi)，則可以表示為（）

A.4ua,aca,8WaB.aua,8《aC.Aua,a^a,BeaD.A^a,a^a,B￡a

14.下面是一些命題的敘述語（，、8表示點，。表示直線，。、夕表示平面）。其中命題和敘述方法都正確的

是（）

A.AeatBeaf/.ABeaB.aea,aefa^\p=a

C.VAea,aca,AeaD.VAea.a（za,A^a

15.若直線上有兩個點在平面外，則（）

A,直線上至少有一個點在平面內(nèi)B,直線上有無窮多個點在平面內(nèi)

C.直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)

三、填空題

16.用集合符號表示以下各概念：

（1）點力、。在直線a上：點C不在直線a上：

（2）點A/在平面a內(nèi)：點'N不在平面a內(nèi)：；

（3）直線a在平面a內(nèi)：。平面a經(jīng)過直線/：.

17.直線，與平面a時，稱直線/與平面a相交于點力,記作：.

直線/與平面a時，稱直線/平行于平面a,記作：或.

18、用符號表示“點A在直線I上，點A在平面a外”為.

19、已知a,B是不同的平面，I,m,n是不同的直線，P為空間中一點.若aGB=l,mua,nep,mA

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n=P,則點P與直線I的位置關(guān)系用符號表示為.

20.(2021?上海市徐匯中學(xué)高二階段練習(xí))在平行六面體力8C力-44GA的所有棱中，既與共面，又與

CG共面的棱的條數(shù)為.

21.不共線的三點確定個平面.(填數(shù)字)

22.若Ae面8史面a,面a,則平面力BC與平面。的位置關(guān)系.

23.直線/和平面。相交于點4用集合符號表示_______.

24、根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系.

(1)點P與直線AB：

(2)點C與直線AB：

(3)點M與平面AC；

(4)點Al與平面AC：

(5)直線AB與直線BC；

(6)直線AB與平面AC;

25、用符號表示下列語句，并畫出圖形.

(1)平面a與6相交于直線/,直線。與明6分別相交于點45：

(2)點48在平面a內(nèi)，直線。與平面a交于點C,點C不在直線48上。

26、如圖，已知aua,bua,PGb,PQ〃。:

求正：PQua.

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27、已知直線?！?,直線/與a,b都相交，求證：過a,b,/有且只有一個平面.

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空間的點、直線與平

w【考點剖析】

題型1：三種語言的轉(zhuǎn)換

學(xué)習(xí)幾何問題，三種語言間的互相轉(zhuǎn)換是一種基本技能.

要注意：(1)正確區(qū)分點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示;

(2)用圖形表示時，正確區(qū)別實線和虛線.

【典例1】如圖所示，用符號語言表示以下圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系:

①點A,3在直線。上；②直線。在平面。內(nèi)；③點。在直線。上，點C在平面a內(nèi)

【答案】Aea,BeaauaDeb,C&a

【分析】根據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知：?Aea,Bw②aua；③Deb,Cea.

故答案為：①lea,Bsa；②aua；③。eb,Cea

【典例2】用符號表示下列語句：

(1)點力在直線/上，/在平面。內(nèi)；

(2江面。和平面夕的交線是直線/,直線”在平面a內(nèi)；

(3)點4在平面。內(nèi)，直線/經(jīng)過點兒且直線/在平面。外；

(4)直線/經(jīng)過平面a外一點M.

【答案】(1)[w/,/ua；

(2評面aCI平面4=直線/,直線"?u平面a：

(3)點A丘平面a,點/G直線I,直線平面a；

(4)點史平面a，點直線/.

【分析】利用點與直線、點與平面、直線與平面的關(guān)系直接求解.

(1)點/在直線/上，/在平面a內(nèi)，記為：AGI,lua：

(2)平面。和平面夕的交線是直線/,直線m在平面。內(nèi)，

記為：平面aCl平面4=直線/,直線加u平面a：

(3)點力在平面a內(nèi)，宜線/經(jīng)過點兒且直線/在平面a內(nèi)外，

記為：點力e平面。，點力€宜線/,直線/<Z平面a；

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（4）直線/經(jīng)過平面a外一點M,

記為：點平面a，點Me直線/.

題型2:點、線共面問題

公理1、2及其推論是證明點、線共面的主要依據(jù).常用的方法有：

（I）納入平面法：先由部分元素確定一個平面，再證明其他的元素也在此平面內(nèi).

（2）輔助平面法：先證明有關(guān)點、線確定平面再證明其余點、線確定平面方，最后證明口，夕重合.

【典例3］下面三條直線一定共面的是（）

A.a,b,c兩兩平行B.a,b,。兩兩相交

C.a//b,c與a,〃均相交D.a,b,c兩兩垂直

【答案】C

【解答】解：對于力，直線a，b，。兩兩平行，不一定得出a、b、c共面；

對于4,直線mb,c兩兩相交，不一定得。、b、c共面；

對于C,a//b,且c與“、方都相交，則a、b、c三條直線共面；

對于。，a,b,c兩兩垂直，不一定得出a、b、c共面.故選：C.

【名師點睛】本題考查了空間中的三條直線位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.根據(jù)題意分別判斷選項中的命

題結(jié)'論是否正確即可.

【典例4】如圖，在正方體力8。。-4用4"中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.

（I）由點4，O,。可以確定一個平面；

（2）由點4C,,用確定的平面為平面

【答案】（1）不正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析.

【分析】（1）由正方體的性質(zhì)知兒O,C在同一條直線上，此三點所成平面有無數(shù)個，可知正誤.

（2）由正方體的性質(zhì)知心A.G不共線且力。//4G.即可判斷小C,,4的平面.

【詳解】（1）不正確，由點40,C在同一條直線上，則不能確定一個平面，而有無數(shù)個平面.

（2）正確，由兒綜G不共線，則可確定?個平面.

又ADNBG，則Qw面/期G.

??.由點兒G，片確定的平面為面力。eg.

【典例5】如圖所示，在空間四邊形力8CQ中，E,F分別為力8,力。的中點，G,〃分別在5C,CO上,

RBG:GC=DH:HC=1:2.求證：

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（1）E、F、G、〃四點共面：

（2）EG與〃尸的交點在直線/C上.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）由平行關(guān)系轉(zhuǎn)化，可得EF//GH,即可證明四點共面：（2）由條件證明EG與〃尸的交點既在

平而48c上，又在平面4CO上，即可證明.

【詳解】證明（1）VBG:GC=DH:HC,GH//BD.

產(chǎn)分別為力R,的中點.

Z.EFHBD,EF//GH,:.E,F,G,〃四點共面.

（2）VG,H不是8C,的中點，

???EF〃GI/,且EF于GH,故EFHG為梯形.

???EG與FH必相交，設(shè)交點為M,

???EGu平面49C,FHu平面/1CQ,

???Me平面力"C,且"w平面ACD,

AMeAC,即GE與〃尸的交點在直線力C」：.

【典例6】求證：兩兩相交且交點不止一個的四條直線4、機c、d共面.

【解析】（1）無三線共點情況，如圖（1）.

設(shè)〃nd=M,b（']d=N,cC\d=P,aC\b=Q,aQc=R,Z）Dc=S.

因為〃口〃=",所以a,d可確定一個平面a.

因為Ned,?！辍ǎ訬E。，Qea,所以NQua,即6ua.同理，cua,所以a,b,c,

d共面.

（2）有三線共點的情況，如圖（2）.

設(shè)b,c,d三線相交于點K,與。分別交于點N,P,M,且K足〃，

因為KC。，所以K和〃確定一個平面，設(shè)為

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因為auB、所以NE￡.所以NKU￡,即bu￡.同理，cu。、du。.

所以a,b,c,4共面.由（1）（2）知，a、b、c、d共面.

【過關(guān)檢測】

一、判斷題

1、判斷下列命題的真假（正確的打"V",錯誤的打"X"）

（1）三點可以確定一個平面；（）

（2）一條直線和一個點可以確定一個平面；（）

（3）四邊形是平面圖形；（）

（4）兩條相交直線可以確定一個平面；（）

【答案】（1）x；（2）X；（3）x;（4）V；

【解析】（1）錯誤.不共線的三點可以確定一個平面.

（2）錯誤.一條直線和直線外一個點可以確定一個平面.

（3）錯誤.四邊形不一定是平面圖形.

（4）正確.兩條相交直線可以確定一個平面.

2、判斷下列各題的說法正確與否：

（1）一個平面長4米，寬2米；（：1

（2）平面有邊界；（）

【答案】（1）x（2）x

二、單選題

3、有以下命題：

①8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；

②有一個平面的長是50m,寬是20m；

③平面是無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B；

【解析】平面是無厚度的，故①錯：平面是無限延展的，不可度量，故②錯：平面是無厚度、無限延展的,

故③正確.正確命題的個數(shù)為1;

4.在下列各種面中，不能被認為是平面的一部分的是（）

A.黑板面B.乒乓球桌面C.籃球的表面D.平靜的水面

【答案】C:

【解析】籃球的表面是曲面，不能認為是平面的一部分；

5、若點4在直線b上，b在平面6內(nèi)，則點A,直線b,平面6之間的關(guān)系可以記作（）

A..AE6E6B.AEbu6C.Aubu6D.AubE6

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【答案】B；

6.如圖，在正方體A8CD?48QDi中，M為棱DiG的中點.設(shè)4M與平面B8Qj。的交點為0,則（）

A.三點5，58共線，且08=20?！?/p>

B.三點功，0,8不共線，旦0B=20Q

C.三點Q,。，8共線，且08=05

D.三點、叫,。，8不共線，且03=05

【答案】A

【分析】利用平面基本事實證明點。在直線8。1上，再借助平行推比例式即得.

【詳解】在正方體48C0?48iG7中，連接八5，BCi，如圖，

C.DJfCD/IAB,連8Q,平面MCQC平面64。。=6口，

因M為棱QG的中點，則Me平面/AG2,而力e平面44G%,即4Wu平面N8CQ,又。則

。三平面/

因AM與平面88QQ的交點為。，則?！昶矫?6Q。，于是得0e8〃，即仍，0,8三點共線，

顯然QM〃人8且2M='℃］于是得。5=380,即°8=20。1，

2A

所以三點5，0,8共線，且08=205.

故選：A

7、如圖所示，用符號語言可表述為（）

A.ac6=m,nc?,mc\n=AB.crc6=m,n^a,mnn=A

C.ac6=m,nca,Aum,Ac.nD.ac6=m,n^a,A^m,A^n

【答案】A

8.“直線/與平面a沒有公共點”是“直線/與平面a平行”的()

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A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】從充分性和必要性兩方面來分析即可.

【詳解】若直線/與平面。沒有公共點，那直線/與平面。只能平行，故充分條件成立：若直線i與平面。平

行，則直線/與平面。沒有公共點，故必要性也成立，所以“直線/與平面a沒有公共點〃是"直線/與平面a

平行〃的充分必要條件.

故選；C

9、經(jīng)過空間任意三點作平面（）

A.只有一個B,可作二個C.可作無數(shù)多個D.只有一個或有無數(shù)多個

【答案】D；

【解析】當(dāng)三點在一條直線上時，過這三點的平面能作無數(shù)個；當(dāng)三點不在同一條直線上時，過這三點的

平面有且只有一個；

10、A、8、C表示不同的點，n,/表示不同的直線，a,6表示不同的平面，下列推理表述不正畫的是（）

A.A^l,A^a,8￡/,BGanluaB.B@6,8￡a=ac6=直線

C.A,B,C￡a,A,B,CE0,且A,B,C不共線=覆與6重合D.Ma,A^I^A^a

【答案】D；

【解析】A是公理1,故A正確；B是公理2,故B正確；C是公理2,故C正確；當(dāng)/Ca,4三/時，也有

可能4G%如/ca=4故D不正確.

11、下列命題中正確的是（）

A.過三點確定一個平面B.四邊形是平面圖形

C.三條直線兩兩相交則確定一個平面D.兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域

【答案】D；

【解析】對于A,過不在同一條直線上的三點有且只有一個平面，故A錯誤；對于B,四邊形也可能是空

間四邊形，不一定是平面圖形，故B錯誤；對于C,三條直線兩兩相交，可以確定一個平面或三個平面，

故C錯誤；對于D,平面是無限延展的，兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域，故D正確。

【答案】D；

【解析】遮擋部分應(yīng)畫成虛線.故D錯，選D.；

13、如果點4在直線。上，而直線Q在平面a內(nèi)，點8在平面a內(nèi)，則可以表示為（）

A.AUG,aua,8￡aB.A^a,aca,B^aC.Au。,Bc.aD.A^a,a^a,B^a

【答案】B

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【解析】點4在直線。上，而直線。在平面a內(nèi)，點8在平面a內(nèi)，表示為AWa,au*BWot.

14.下面是一些命題的敘述語(4、8表示點，。表示直線，a、夕表示平面)。其中命題和敘述方法都正確

的是()

A..：Awa,Bwa,ABB.,:awa,awR,工aD/?=a

C.丁力ua,：,AeaD.'：Aea,aa.a,A^a

【難度】★★

【答案】c

15.若直線上有兩個點在平面外，則()

A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)

C.直線上所有點都在平面外D,直線上至多有一個點在平面內(nèi)

【琲度】★★

【答案】D

三、填空題

16.用集合符號表示以下各概念：

(1)點在直線。上：：點C不在直線。上：.

(2)點A/在平面a內(nèi)：:點N不在平面a內(nèi)：；

(3)直線。在平面a內(nèi)：。平面a經(jīng)過直線/：

【難度】★

【答案】Aea,Bea,C￡a；Mea,N史a、aua,Iua.

17,直線/與平面a時，稱直線/與平面a相交于點力，記作：.

直線/與平面a時，稱直線/平行于平面a,記作；或.

【難度】★

【答案】只有一個公共點力，.沒有公共點，///a，/Aa=0

18、用符號表示“點A在直線I上，點A在平面a外”為.

［答案】AWI,A住a；

19、已知a,8是不同的平面，I,m,n是不同的直線，P為空間中一點.若aGB=l,mca,nu0,m

nn=P,則點P與直線I的位置關(guān)系用符號表示為.

【答案】pel；

【解析】因為mua,nep,mCn=P,所以P￡a且pwB.又aGB=1,所以點P在直線I上，所以P￡|.

20.在平行六面體力8。。-44。1。的所有棱中，既與彳8共面，又與CG共面的棱