反比例函數(shù)存在性問題專練

一.解答題（共8小題）

L

1.如圖，一次函數(shù)）=2i+4的圖象與x軸，y軸分別交于A,B兩點，與反比例函數(shù)x>0）

的圖象交于點C，過點8作x軸的平行線與反比例函數(shù).y=1（kWO,x>0）的圖象交于點。.連接CD

（1）求A,3兩點的坐標；

（2）若△BCD是以8。為底邊的等腰三角形，求&的值.

2.如圖，一次函數(shù)），=匕+》的圖象與反比例函數(shù)產(chǎn)費的圖象交于4（-2,1）,B（1,兩點.

（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

（2）連接。8,在x軸上取點。，使8c=8。，求△OBC的面積；

（3）戶是），軸上一點，且aOB尸是等腰三角形，請直接寫出符合條件的所有P點坐標.

3.如圖，一次函數(shù)y=義％-1的圖象與反比例函數(shù)y=。的圖象交于A,B兩點,與x軸交于點C,與），

軸交于點。，已知點〃的坐標為（-2,-2）.

（1）求點A坐標及反比例函數(shù)的表達式；

（2）求aOAB的面積；

(3)在y軸上存在一點P,使△PQC與△A。。相似，求P點的坐標.

4.如圖，四邊形0A8C是平行四邊形，O為坐標原點，點C在/軸的負半軸上，。4=V5,lan/A0C=2,

點A在反比例函數(shù)y=。的圖象上，點。是線段與反比例函數(shù)圖象的交點，點。的橫坐標是-2.

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)求△4。。的面積；

(3)在％軸上存在一點P,使得是以4。為直角邊的直角三角形，求點P的坐標.

5.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù).y=H+2的圖象分別與x軸，y軸交于點4點C,與反比例函

數(shù)y=?QVO)的圖象交于點B(-2,3).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)點。(-6,〃)是反比例函數(shù)y=￡圖象上一點，連接8。，CD,直接寫出△8CO的面積；

6.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，。4=2,點8在反比例函數(shù)y=

9(k>0)的圖象上，AOBA為等邊三角形,延長與反比例函數(shù)y=9的圖象在第三象限交于點C,連

接C4并延長與反比例函數(shù)y=[的圖象在第一象限交于點D.

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)求點。的坐標及△04。的面積；

(3)在x軸上是否存在點Q,使得以A,D,Q為頂點的三角形與△A8C相似，若存在，請直接寫出Q

點坐標；若不存在，請說明理由.

7.如圖，在平面直角坐標系工0)，中，一次函數(shù)y=-x+〃的圖象與反比例函數(shù)y=-?的圖象交于點A(-

2,6),與y軸交于點8,與x軸交于點C.

Q)求〃的值和點B的坐標；

(2)如果點P是該反比例函數(shù)圖象上一點，且點P的橫坐標小于-2,聯(lián)結(jié)BP、PC,當APBC的面

積等于10時，求點尸的坐標：

(3)如果點。在該反比例函數(shù)的圖象上，點。在x釉上，當以A、B、D、。為頂點的四邊形為平行四

8.如圖，一次函數(shù))，=x+2與反比例函數(shù),，=[(ZW0)的圖象相交于A(〃，4),B兩點，連接04,OB.

(1)求這個反比例函數(shù)的表達式；

(2)求△408的面積;

(3)若點"在第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上，點N在工軸上方且在一次函數(shù))，=1+2圖象上，若以0,

B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標.

參考答案與試題解析

一.解答題（共8小題）

1.如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x軸，），軸分別交于A,B兩點，與反比例函數(shù)），=?x>0）

的圖象交于點c,過點8作X軸的平行線與反比例函數(shù)產(chǎn)與（kWO,x>0）的圖象交于點O.連接CD.

人

（1）求A,8兩點的坐標；

（2）若△8C。是以8。為底邊的等腰三角形，求女的值.

【解答】解：（1）在），=2A+4中，令y=0得法+4=0,

解得x=-2,

???點4的坐標為（-2,0）,

在y=2v+4中，令x=0得y=4,

???點B的坐標為（0,4）；

（2）過點C作CE_L8。，垂足為E,如圖：

是以8。為底邊的等腰三角形,

:,CB=CD,

?：CE工3D,

,BE=DE,

4

在y=人丫中?令y~得*-v=4,

k

：,D(-,4),

4

：.BE=DE=^,

在尸5中，令x=匏產(chǎn)8,

k

：.C(-,8),

8

???點C在?次函數(shù)尸=2A+4的圖象上，

8=2x:+4,

解得k=16,

，&的值為16.

2.如圖，一次函數(shù),=履+〃的圖象與反比例函數(shù)產(chǎn)段的圖象交于A(-2,1),B(l,〃)兩點.

(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)連接08,在x軸上取點C,使BC=B0,求△0BC的面積；

(3)。是)，軸上一點，且△08P是等腰三角形，請直接寫出符合條件的所有〃點坐標.

【解答】解：⑴將代入產(chǎn)？得

(-2,1)人1=一號乙

解得m=2,

將(1,〃)代入產(chǎn)一。得〃=?2,

X

???點4坐標為(1,-2),

將(-2,1),3,-2)代入尸質(zhì)得已：匚江藍

解得c:I:

?'?y=-x-],

???反比例函數(shù)解析式為,，=一次函數(shù)解析式為），=-x-I；

（2）作軸于D,

?:BO=BC,

,OD=DC.

：.D（1,0）,C（2,0）,

ASAOBC=*x2X2=2；

（3）設(shè)點P（0,m）,而點8、。的坐標分別為：（1,-2）、（0,0）,

8尸=1+（m+2）2,BO2=5,PO1=nr,

當8P=30時，1+（加+2）2=5,解得：〃[=-4或0（舍去0）：

當BO=P。時，同理可得：±75；

當8P=P。時，同理可得：m=-1；

x軸交于點C,與

軸交于點D,已知點B的坐標為（-2,-2）.

（I）求點A坐標及反比例函數(shù)的表達式；

（2）求△OAB的面積；

（3）在），軸上存在一點P,使△POC與△AOO相似，求。點的坐標.

【解答】解：（I）???點4（-2,-2）在反比例函數(shù)y=?的圖象上，

:?k=（-2）X（-2）=4,

???反比例函數(shù)的表達式為：y=\

[y=-1

解方程組：｛,

v=x

得弋曾憂。

，點A的坐標為（4,1）,反比例函數(shù)的表達式為y=±

人

（2）過點A作A￡J_），軸于點E,過點B作BFVx軸于點F,AE,BF的延長線交于點H,如圖1所示:

則N"EO=NEOF=/O/77=90°,

???四邊形EOF”是矩形，

??,點A(4,1),點B(-2,-2),

：.AE=4,OE=F//=\,BF=2,OF=E/1=2,

1,BH=BF+HF=3,AH=AE+EH=6,

11

:.S“BH=部H?AH=掾x3x6=9,

根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得：SMOE=S.BOF=1X4=2,

又???S地形EOFH=O￡XOF=1X2=2,

:?SAOAB=SW\BH-S儕形EO/77-SAXOE-SABOF=9-2-2-2=3；

(3)過點A作AM〃y軸交x軸于點M,如圖2所示:

?"M=l,0M=4,

對于一次函數(shù)y=(1/2)x-1,當x=0時，y=-1,y=0時，x=2,

???點C(2,0),點。(0,-1),

/.OD=\,OC=2,

：.OD=AM=lfMC=OM-OC-4-2=2,

：?OC=MC=2,

在RlZ\ACM中，AM=\,MC=2,

由勾股定理得：AC=y/AM2+MC2=A/5,

在RtaOCO中，OC=2,。。=1,

由勾股定理得：CD=yJOC2+OD2=V5,

：,CD=CA=V5,

：,AD=CD+CA=26，

??“軸上存在一點P，使與△AOO相似，

???有以下兩種情況，

①當/。尸。=/。。4時.，如圖3所示：

:、△PDCSXOCA,

PDCD

?■—,

ODAD

?絲_正

’7二南

：.PD=L

乙

：,OP=OD-PD=1-1=|,

???點。的坐標是（0，|）；

②當NQCP=NQO4時，如圖4所示:

乂，：4PDC=NADO,

:ZDCSADO,

PDCD

?■——.

ADOD

?_立

2A/51

???-￡>=10,

：.OP=PD-OD=\0-1=9,

，點P的坐標是（0,9）,

綜上所述：點尸的坐標是（0,—》或（0，9）.

4.如圖，四邊形OABC是平行四邊形，O為坐標原點，點C在x軸的負半軸上，04=次，tan/AOC=2,

點A在反比例函數(shù)y=，的圖象上，點。是線段8c與反比例函數(shù)圖象的交點，點。的橫坐標是-2.

人

（1）求反比例函數(shù)的表達式；

（2）求△AO。的面積；

（3）在x軸上存在一點P,使得△AOP是以AO為直角邊的直角三角形，求點尸的坐標.

【解答】解：(1)過點A作x軸的垂線，垂足為G,如圖,

「tanNAOC=2,

???AG=20G,

，：0A=炳,

：,OG1+AG1=OA1,UP0G2+(20G)2=(V5)2,

解得OG=1,AG=2,

(-I,2),

???點A在反比例函數(shù)y=一名圖象上，

"=1X2=-2,

，反比例函數(shù)的表達式為產(chǎn)--

(2)???點D在反比例函數(shù)y=-稱的圖象上，點。的橫坐標是?2,

.21

??尸-Z2=1?

???。(-2,1),

????！?1,OE=2,

過點。、8分別作x軸的垂線，垂足分別為樂F,如圖，

C.DE//BF,

???四邊形。4BC是平行四邊形，

：,OA=CB,/AOG=NBCF,

VZAGO=ZBFC=90Q,

:?△AOGqABCF(A4S),

:?BF=AG=2,CF=OG=\,

■:DE//BE、

:.ACDESACBF,

DECECD

BF~CF~CB'

*1CE

??

21

??,CE=g,

13

???OC=OE-C￡=2-尹云

AC(7.5,0),B(9.5,4),

???△OAO的面積二1x平行四力形0ABe的面積=20c?BF=|x|x2=

(3)設(shè)P(〃?，0),

VA(-1,2),。(?2,1),

根據(jù)兩點間的距離得AD=7((-1-(-2)]2+(2-I)2=V2,AP=V(m+l)2+(0-2)2,DP=

J(m+2尸+(0—1)2.

①當AP為斜邊時，AD1+DP1=AP2,即(〃?+2)2+22+2=(/??+1)2+22,

解得m=-1?

:.P(-1,0)；

當。P為斜邊時，AD1+AP1=DP2,即(m+1)2+22+2=(w+2)2+l2,

解得〃?=3,

：.P(3,0).

綜上所述：點尸的坐標為(一搟，0)或(3,0).

5.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù))，=履+2的圖象分別與x軸，y軸交于點4,點C,與反比例函

數(shù)'=￡(%V0)的圖象交于點B(?2,3).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)點。(?6,〃)是反比例函數(shù)y=￡圖象上一點，連接B。，CD,直接寫出△8CO的面積；

(3)點尸在)，軸上，滿足△朋B是以A8為斜邊的直角三角形，請直接寫出點P的坐標.

【解答】解：(1)???一次函數(shù)y=K+2的圖象與反比例函數(shù)y=f(x<0)的圖象交于點8(-2,3),

將點B的坐標代入得：

，3=?2A+2,3=今

解得：tn=-6,

：?一次函數(shù)為y=-2%+2,反比例函數(shù)為y=-%

(2)△3CO的面積為4；理日如下：

???一次函數(shù)y=％+2的圖象分別與x軸、)，軸交于點A、點C,

當)=0時，得：

-3+2=。，

解得：x=4：

當x=0時，y=2,

?"(4,0),C(0,2),

???點。(-6,〃)是反比例函數(shù)y=—3圖象上一點，代入得：

.*.n=--，=1,

一6

:.D(-6,1),

如圖，過點8作8凡Lx軸，交直線。。于點E,

設(shè)直線CO的解析式為)，=〃”--〃，將點C,點D的坐標分別代入得:

(n=2

t—6m4-n=1*

(n=2

解得：L-1*

lm-6

???直線CD的解析式為y=1x+2,

,:點、B(-2,3),"JLx軸,

工點E的橫坐標為-2,

當x=-2時，得：y=1x(-2)+2=1,

???E(-2,1),

54

???8E=3一曠習(xí)

14

-X-X6-4

/.△BCD的面積=-[0-(-6)]23

(3)點P的坐標為(0,當里)或(0,與尹).理由如下：

設(shè)P(0,/),

VA(4,0),B(-2,3),

：,PA2=r+\6,PB2=(z-3)2+4,AB2=(-2-4)2+(3-0)2=45,

當NAP3=90"時，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2,

AA16+(/-3)2+4=45,

整理得：尸-3/-8=(),

解得：“亙"或”互興，

故點尸的坐標為(0,--y--)或(0,--.

6.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，04=2,點8在反比例函數(shù)y=

］（憶＞0）的圖象上，AOBA為等邊三角形,延長80與反比例函數(shù)y=5的圖象在第三象限交于點C,連

接。并延長與反比例函數(shù)y=［的圖象在第一象限交于點D.

（1）求反比例函數(shù)的表達式；

（2）求點D的坐標及△0AZ）的面積；

（3）在x軸上是否存在點Q,使得以A,D,。為頂點的三角形與△A8C相似，若存在，請直接寫出Q

點坐標；若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）作8凡Lx軸于點F,

:△OBA為等邊三角形，0A=2,

A0B=2,0F=AF=1,

???BF=yj0B2-0F2=遍，

工點8的坐標為（1,V3）,

???點B在反比例函數(shù)y=。（女＞0）的圖象上,

人

：?k=1X＞/3=y/3,

???反比例函數(shù)的表達式為y=§；

（2）???延長BO與反比例函數(shù)y=5的圖象在第三象限交于點C,

???點C與點8關(guān)于原點對稱，

???點。的坐標為（一1,一百），

\*OA=2,

???點A的坐標為（2,0）,

設(shè)直線AC的解析式為）=心也，

?—k'+b=-V3

?、2N+b=0

解味2廳

[b=~—

???直線AC的解析式為y=孚.T一竽，

詫十包6V326

聯(lián)立得一=-x--T-?

X33

解得x=3或x=-l（舍去），

經(jīng)檢驗，x=3是原方程的解，

???點。的坐標為（3,弟，

]

:?SAOAD=2X0AXlyd=_3_-

（3）是，理由如下：

???△0孫為等邊三角形，點C與點8關(guān)于原點對稱，

：.OA=OB=OC,N8QA=NBAO=60°,

1

：.Z.OAC=Z-OCA=^/.BOA=30°,

???N84C=90°,

當DQ_Lx軸時，

NOAQ=NOAC=30°=ZBCA,NOQ4=N8AC=90°,

???△。。4s△BAC,

???點。的坐標為（3,冬，

???點。的坐標為（3,0）；

當QQ_LA。時，

ZDAQ=ZOAC=30°=ZBCA,NQOA=N84C=90°,

：./\QDA^/\BAC,

??,點。的坐標為⑶圣，點A的坐標為（2,0）,

._2/3

??AD=3，

?二。一4。一4

4

2+

=--10不

3

，點。的坐標為（晝,0）,

綜上，點。的坐標為（3,0）或（學(xué)，0）.

7.如圖，在平面直角坐標系xQy中，一次函數(shù)y=-x+8的圖象與反比例函數(shù)y=-〒的圖象交于點A(-

人

2,6),與y軸交于點8,與x軸交于點C.

(1)求〃的值和點8的坐標；

(2)如果點P是該反比例函數(shù)圖象上一點，且點P的橫坐標小于-2,聯(lián)結(jié)8P、PC,當△/>8c的面

積等于10時，求點P的坐標；

(3)如果點。在該反比例函數(shù)的圖象上，點。在入軸上，當以A、B、。、。為頂點的四邊形為平行四

【解答】解：(1)將點A的坐標代入一次函數(shù)表達式得：6=2+。,

解得：b=4,

則一次函數(shù)的表達式為：y=-x+4,

則點B(0,4)；

(2)由函數(shù)y=r+4知，點C(4,0),

設(shè)尸C交y軸于點H,

x

設(shè)點P(m，

設(shè)直線PC的表達式為：y=k(x-4),

將點P的坐標代入上式得：一胎二%(6-4),

則仁限餐'

則直線PC的表達式為：y=+巾)(-V-4).

48

則點H(0,———-),

x4JX

則△P8C的面積=；xBHX(.re-xp)=1l-yn(^-4)(4-W=1。，

解得：〃?=3(舍去)或-4,

即點尸(-4,3)；

(3)設(shè)點3(r,一苗)、Q(X，0),