第4節(jié)數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題

考試要求1.掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法：公式法、累加法、累乘法.2會(huì)利用構(gòu)

造法轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列(等差、等比數(shù)列或可利用累加、累乘求解的數(shù)列)求解.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一形如a”+i=pa“+/(〃)型

角度1%+i=pa〃+q(p￥O,1,gWO)

例1已知數(shù)列｛四｝中,4]=1,即+[=3即+4,求數(shù)列｛々”｝的通項(xiàng)公式.

解設(shè)C7〃+]+/=3(4〃+。，

即斯+1=3?！?2f,

又?！?1=3%+4,

根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，解得1=2,

故%+|+2=3(4+2).

令為=%+2,則仇=《+2=3,

p.1_〃"+1?2

.ri-=3,

bn+2

所以仍〃｝是3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

所以幾=3X3”T=3〃，

即知=3”-2.

角度20H.i=pQ〃+q〃+c(pWO,1,qWO)

例2己知田=1,當(dāng)〃22時(shí)，%=L”_I+2〃-1,求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

2

解設(shè)即+p〃+q=；[a，L]+p(〃-l)+q],

1111

即nri知=丁，一—^〃一^一丁,

與原式比較，對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得

!解得

/?=~4,

q=6.

一冊(cè)一于=一1，

首項(xiàng)—4+6=3,

所以｛-6｝是3為首項(xiàng),9公比的等比數(shù)列,

所以斯一4〃+6=36J

,3

所以an=---+4〃-6.

2"-1

角度3斯+i=p斯+/（。#0，1，q#0，1）

51/Ij+i

例3已知數(shù)列｛〃“｝中〃[=一，an+\=-an-\-[-,求｛〃“｝的通項(xiàng)公式.

6312/

解法一構(gòu)造數(shù)列

/I1rA

*+電)寸

化簡(jiǎn)成原式結(jié)構(gòu)得%+]=?”一$￡

對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得丸=一3,

/Ir/IJ2

設(shè)幾=a〃一3gJ,力=田_3￡I

所以數(shù)列阿是以一|為首項(xiàng)1為公比的等比數(shù)列，則“哪J

2

所以%=一

2〃3"

法二將為+]=；a“+g/1兩邊同乘2〃+1,

2

得2“十】”〃+]=?2〃”“)+1.

令b〃=2%a〃,則6+i=也+1,又回到了構(gòu)造一的方法，根據(jù)待定系數(shù)法，

3

/口

得兒+1—3=2|（卅—3）,

所以數(shù)列的「3｝是首項(xiàng)為

54

b\-3=2義一一3=——,

63

2

公比為-的等比數(shù)列，

3

?42八

所以九-3=-一?卜|,

3|3）

即“3-k|/,

圻1、/_bn_32

所以an--------.

2”2”3〃

法三將?！?i=；%+（；J?兩邊分別除6/,得3"|為+|=3〃知+6

〃+1

「，

令6=3〃”〃，則6〃+1=乩+卜

所以6〃一兒_|=￡/b.i一'"2=g)，,,,電一"二.J.

將以上各式疊加，得

312.31

…=6/+??,+&1r

「，553

又6]=3〃|=3X-=—=]+—,

622

33i21HJ

所以b〃=i+a+k?H—?

3〃2n3〃

感悟提升L形如%+i=姐〃+歡。關(guān)0,1,6區(qū)0)的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)

造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等

差數(shù)列或等比數(shù)列.

2.遞推公式冊(cè)+]=扇?〃+4的推廣式斯+]=扇?〃+4X/?(aW0,1,付0,7W0,1),

兩邊同時(shí)除以V+i后得到文」=巴3+々轉(zhuǎn)化為，-]=妹〃+々awo,1)的形式，

y1'yy,1yy

通過(guò)構(gòu)造公比是k的等比數(shù)列/為一/"、)求解.

Iy(1~k)j

訓(xùn)練1⑴己知數(shù)列｛斯｝滿足%1=2%+小?|=2,則%=.

答案2〃+i一〃一1

解析令a〃+i+x(〃+l)+y=2(a〃+x〃+y),

即an+\=2an+y—J,

與原等式比較得，x=y=\,

a”+i+（〃+1）+1

所以-----------------=2

如+〃+1

所以數(shù)列｛?！?〃+1｝是以由+1+1=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以a〃+〃+l=4X2〃T,即即=2〃+i—〃一1.

(2)(2024?河南名校聯(lián)考)若數(shù)列｛斯｝滿足卅=2,%+i—2%=南7,則數(shù)列｛%｝的通

項(xiàng)公式an=.

答案2〃T+3”7

解析因?yàn)椤ā?[—2%=3〃-1

即如+1,

3〃一?33〃-2

所以券

。〃+12

所以^-----=-.

斯_?3

記3

因?yàn)椤?=2,所以上--3=3,

3「2

故￡一31是以3為首項(xiàng)，白為公比的等比數(shù)列,

A/3

所以13號(hào)

所以冊(cè)=2〃T+3〃T.

考點(diǎn)二相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列(形如斯+產(chǎn)pa〃+外LD型

例4已知數(shù)列｛%｝滿足a】=1,々2=2,且an+i=2a〃+3a〃-n*),則數(shù)

列｛斯｝的通項(xiàng)公式?！?.

小q3〃一(—1)〃

答案------------

4

解析法一因?yàn)閍〃+]=2a〃+3a〃_|(〃22,〃￡N*),

設(shè)bn+1+a”，

bn斯+i+〃〃3(a〃+a〃-1)-

所以一=------=------------=3,

bn-\an-\-an-\an-\-a?-\

又因?yàn)槌?。2+。1=3,

所以出〃｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

所以兒=a〃+i+a“=3X3"T=3〃，

從而怨斗1a?_\

3”+i33〃3,

不妨令’,號(hào)即

h

故^--=—7|

+1434

1

1

即一,

3

\_a\_\_1

又因?yàn)?

43412,

所以數(shù)列，c“一口是首項(xiàng)為,，公比為一，的等比數(shù)歹4,

（4/123

工3〃一（-1）w

從而a=----------------.

n4

法二因?yàn)榉匠?=2x+3的兩根為一1,3,

可設(shè)?！?”（一1尸+。2?3〃7,

由。］=1,42=2,

13

解得5=一,0=一,

44

3”—(―1)n

所以斯

4

感悟提升可以化為4“+1—勺?！?%2（?！ㄒ?1），其中Xl，M是方程px一1=0

的兩個(gè)根，若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)歹U｛即一若1不是方程的根，則

需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列｛斯｝.

訓(xùn)練2若X=1是函數(shù)人工）=4〃+1/—0/3—%+2x+l（〃￡N*）的極值點(diǎn)，數(shù)列｛%｝滿

足?=1,敢=3,則數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為=.

答案3〃T

32

解析/（X）=4?！?\x—3attx—al>+2,

?**/(1+]—3a?—2=。,

即為+2—%+|=3(?！?]-?！?，

???數(shù)列｛斯+1—斯｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,

??.%+i—Q〃=2X3"T,

則2T------h〃2-m+m

=2X3M-2+-+2X30+1

=2X(3〃-2+3〃-3+???+3i+3O)+i

[_3〃一'

=2X------+1

1-3

=3"-1-1+1=3〃一1.

考點(diǎn)三倒數(shù)為特殊數(shù)列（形如斯+|=上。型）

ratl-rs

例5已知在數(shù)列｛斯｝中，〃]=2,即+]=—2—,則。〃=________.

%+3

解析V—=3—+1,

斯十1an

2

2X3w-,-l

]v1r

感悟提升兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為——=一―+-的形式，化歸為4+]=pb〃+q型,

an+\panp

求出工的表達(dá)式，再求為.

an

訓(xùn)練3（2024?福州質(zhì)檢）在數(shù)列｛%｝中,若41=1,即+1=———,則%=

2斯+1

答案

2/?-1

解析取倒數(shù)，得一二=,+2,即工一，=2,

Cln+\?！?1?！?/p>

所以數(shù)列U)是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，且上=1+2(〃-1)=2〃-1,

I(injan

所以a=---.

n2〃一1

■課時(shí)分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.己知數(shù)列｛6｝滿足a〕=2,?！?]=2%+1,則1的值為()

A.15B.23C.32D.42

答案B

解析因?yàn)椤ā?]=2。〃+1,

所以*+】+1=2(%+1),

所以｛為+1｝是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以%+1=3?2〃T,

所以%=3?2〃T—1,所以可=23.

2.在數(shù)列｛〃,,｝中，內(nèi)=5,且滿足上之一2=」^,則數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為()

2/2—52/z—7

A.2〃一3B.2〃一7

C.(2〃-3)(2〃-7)D.2/Z-5

答案C

斯+i

解析因?yàn)?/p>

2?-5

如+1rm

所以又——=-1,

2/7-52-7

所以數(shù)列是以一1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列,

⑵一7)

所以‘一=-1+2(〃-1)=2〃-3,

2〃-7

所以為=(2〃-3)(2〃-7).

3.已知數(shù)列｛念｝滿足：回=1,呢+尸2斯+2",〃￡N*,則。4等于()

A.64B.56C.32D.24

答案C

解析由知+]=2〃“+2”得勺一3=1,

2〃+i2〃2

???數(shù)列作）是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

12〃/22

a1,1n

ltl)X-=-,

2〃222

.??斯=〃2"一|,??.44=4X24T=32.

4.已知數(shù)列｛。〃｝滿足：川=。2=2，斯=3%一[+44“_2(〃23)，則。9+。10=()

A.47B.4*C.49D.410

答案C

解析由%=3%_|+4〃〃_2(〃N3),

得an^ran-1=4(^_?+a?-2),

即4〃+0'?-=4(〃23),又力+。2=4,

Cln-\+Cln-2

所以數(shù)列｛斯+斯+1｝是等比數(shù)列，公比為4,首項(xiàng)為4,

所以。9+。10=49.

5.在數(shù)列｛%｝中,若〃i=3,0f+1=晶，則斯等于()

A.2〃TB.3GC.23〃TD.32”T

答案D

解析由〃i=3,冊(cè)+i=。得知a〃>0,

對(duì)知+1=。與兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得，

log3aw+i=21og3aw,則教列｛log3%｝是以bg3a1=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

則log3a〃=l?2"-i=2"T,即a〃=32"-L

6.設(shè)數(shù)列㈤｝的前〃項(xiàng)和為Sn,若a=2%—2〃+1,則與()=()

A.2l,-23B.2,0-19

C.3X2,0-23D.3X29-19

答案C

解析當(dāng)〃=1時(shí)，$=。1=2田一2+1,

解得^]—1.

當(dāng)〃22時(shí)，S〃_|=2a“_]—2〃+3,

所以a?=S?—Sn.\

=2斯一2〃+1-2〃+3),

-

即cin—2an-1H2,

所以〃“+2=2(〃"|+2),①+2=3,

所以數(shù)列｛斯+2｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，則為+2=3X2"T,

從而S〃=3X2〃-2〃一3,故So=3X2】。一23.

7.(2024?杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列｛斯｝滿足=3,?！?]=即+2]〃〃+1+1,則t7io=()

A.80B.100C.120D.143

答案C

解析因?yàn)?〃+1=4〃+2&〃+1+1,

所以4〃+]+1=(，4〃+1戶+2，〃〃+1+1,

即%+]+1=(&〃+1+1)2,

等比兩邊開(kāi)方可得J斯M+1=QTT+1,

即Ja”+i+1-+1=1?

所以數(shù)列｛、/肝T｝是首項(xiàng)為歷7=2,公差為1的等差數(shù)列，

所以7^1=2+(〃-1)X1=〃+1,

2

所以an=n+2nt

所以30=1()2+20=120.

8.（多選）已知數(shù)娛｝滿足「1,…則下列結(jié)論正確的是（）

A.g+3,為等差數(shù)列

B.｛%｝的通項(xiàng)公式為a〃=—；—

2「1一3

C.｛斯｝為遞減數(shù)列

D.f-/的前〃項(xiàng)和北=2”+2—3〃-4

答案CD

an

解析因?yàn)?+1=

2+3?！?/p>

12+3?！?.

所以---=-----=—+3,

dnCln

\\|

所以——+3=2/—+3,且一+3=4W0,

an+\\at,）a\

所以/■+3）是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即,+3=4X2〃—,

Ia?ja?

所以"l=2〃+i—3,可得知=_J,故A,B錯(cuò)誤；

an2"|一3

因?yàn)椋?2〃+i—3單調(diào)遞增,

an

所以an=—!——單調(diào)遞減，

2?,—3

即｛。力為遞減數(shù)列，故C正確；

｛一/的前〃項(xiàng)和7j,=(22—3)+Q3—3)+…+(2"-1—3)=(22+23+,,,+2/,+1)—3/?

1—2〃

=22X-----3〃=2〃+2—3〃-4.故D正確.

1-2

9。。24.東北三省三校球考）已知數(shù)列?。凉M足*=彘’則數(shù)列媼的

通項(xiàng)公式為

2

答案

〃+2

解析因?yàn)閍n+]=

34”+2

1?！?21+1

所以

斯+】2。〃2an

111

即

an+Ian2

31

所以數(shù)列是首項(xiàng)為公差為一的等差數(shù)列,

斯22

3?1〃+2

所以一一十4〃-1）=------

an222

2

所以。尸六?

10.（2024?四川名校聯(lián)考）已知數(shù)歹ij｛斯｝中，々[=1,也=3,即+2=3斯+1—2%，則斯=

答案2〃一1

解析由題知?！?2—%+1=2（。〃+]—4“）,

因?yàn)間—0=2,所以｛冊(cè)+]—即｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以4+]一

斯=2〃,

當(dāng)〃才2時(shí)，%=（%-%_]）+（如_[-劭_2）3-----卜（"一01）十4=2"一|十2”-2T------卜2+

1~2n

i=--------=2'T,

1-2

顯然〃=1時(shí)滿足上式，所以%=2〃-1.

a，，+

11.（2024?河南名校聯(lián)考）已知數(shù)列｛%｝滿足m=2,log43a,；-L-=log25-logs3-

logj32

斯+1即，則。8

答案—

29

解析由10臼3七八log251og53{an可得-log23-6f?—log2-731=

10g62

1唯5■警2%臼,

loga5

即-log3t7?--log3a?4-1=log3-a?1斯,

22222+

???斯一％+1=2恁恁+1，

結(jié)合=2可知ag+iWO,

11

——=2

4"+1an

則Q

是公差為2的等差數(shù)列，

4〃a\2

,,1134〃-3

故一=一+(〃-1>2=2〃一一=-----

an222

小22

則a=-----,故恁=一.

n4/7-329

12.已知S〃是數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，為+[—3斯+2Q〃T=1,田=1,例=4，則數(shù)列

｛斯｝的通項(xiàng)公式a〃=

答案2〃+i一〃一2

解析因?yàn)??！?1—3%+2a,t-i=l,

所以an+\—an=2(an—a,t.i)+1,

?a+\-a+1-

因m此--n-----n-=2,

an-afl-\-r\

因?yàn)?|=1,。2=4,所以。2一。1+1=4,

故數(shù)列｛斯+1—斯+1｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列，所以冊(cè)+]—%+1=4-2〃-

|=2"+】，

即許+i—a〃=2"+i—1,

所以當(dāng)〃22時(shí)，

41=22-1,e-42=23—1,

。4-“3=24-1,…，斯一〃“_]=2"-1,

22(\~2n~[)

以上各式累加可得a-ci]=(22+234+,,,+2/;)—(/?-1)=-----------------—(〃-1)=

fl1—2

2八+1—4—(〃-1)=2"+】一〃一3,

因?yàn)椤?=1,所以斯=2〃+i-2,〃22；

又。]=1符合上式，

所以?！?2"+1-2.

【B級(jí)能力提升】

13.(多選)已知數(shù)列｛2｝滿足由=1,4〃1=3%一〃+4,則下列結(jié)論正確的是()

13

A.43=一

8

C.｛%+〃-8｝是等比數(shù)列

D.｛斯+2｝不可能是等比數(shù)列

答案ACD

解析,**<71=1?4?！?]=3。〃一〃+4,

313

***Cl2=~i。3=---?故A正確，B錯(cuò)誤；

28

,?*4a?+1=3。〃—〃+4,

31?

???！?1=—%—一〃+1,

44

31333

.?.%+i+(〃+1)—8=—4——〃+1+(〃+1)—8=一?！?—〃-6=，?！?〃一8),

44444

又+1—8——6,

,3

，數(shù)列｛%+〃-8｝是首項(xiàng)為-6,公比為-的等比數(shù)列，故C正確；

4

,7,29

???。1+2=3,念+2=-，的+2=一,

28

顯然52+2）2中（。|+2）（的+2）,

???｛斯+2｝不可能是等比數(shù)列,故D正確.

14.（2024?武漢質(zhì)檢）將一些數(shù)排成如圖所示的倒三角形，其中第一行各數(shù)依次為1,

2,3,…，2025,從第二行起，每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，最后

一行只有一個(gè)數(shù)〃，則”等于()

123???202320242025

357…40474049

812—8096

M

A.2025X22022R.2026X22023

C.2025X22°23D.2026X22024

答案B

解析記第〃行的第一個(gè)數(shù)為斯，

則。2=3=2。］+1,。3=8=2。2+2,

。4=20=2。3+4,…，%=2%_|+2〃-2,

券=卷+1'即宸隹以會(huì)=2為首項(xiàng)'I為公差的等差數(shù)列.

.??一=2+(〃-1)X1=〃+1,

2?-2

???〃〃=(〃+1)X2〃-2,

又每行比上一行的數(shù)字少1個(gè)，

???最后一行為笫2025行,

色025=2026X22023.

15.已知數(shù)列｛〃“｝滿足①=2,生=6,且a”+2—2a〃x+a〃=2,若[x]表示不超過(guò)x的

2?3220252

最大整數(shù)(例如口.6]=1,[-1.6]=-2),則/-]+[-]+???+[?-----]=

[a\J[ai][672024J

答案2025

解析由題設(shè)，(%+2—。〃+1)—(即+1—。〃)=2,

。2一。1=4,

故｛0用一斯｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,

則0f+1一。“=2〃+2