專題7.7復數(shù)的運算大題專項訓練（30道）

【人數(shù)A版2019必修第二冊】

姓名：班級：考號：

I.（2023?高一課時練習）已知復數(shù)求1+2+22+?.?+22。22的值.

1+V31

【解題思路】由題知z=W叵，z2=W亙，z3=l,z+z2+z3=0,進而根據(jù)周期性求解即可.

2__2(1-技)_-1+、⑤

【解答過程】解：因為z=

l+\/3i-(l+\/3i)(l-^i)-2

2

所以Z2=(芳亙)=l-3-2>/3i=-T-V3.

所以z3=T+同.T-后=—⑸2

224

所以，Z+Z2+Z3=一二技+T二⑸+1=0,

所以1+z+z?+…+Z2022=14-674(z+z2+z3)=1

2.（2023?高一課時練習）已知非零復數(shù)Z1，Z2滿足IZ1+Z2I=|Z1-Z2],求證：（最了一定是負數(shù).

【解題思路】設Zi=Q+bi,z2=c+d\（a,b,c,d6R）,根據(jù)%+z2\=\zx-z21化簡得ac+db=0,

而方=震=舞i,根據(jù)非零復數(shù)z1,Z2則可判斷adicHO,則含是純虛數(shù)，貝晦丫是負數(shù).

（解答過程]設為=a+b\,z2=c+di（a,b,c,dGR）

\z1+z2\=ki-z2l>即|(a+c)+(b+d)i|=|(a-c)+(b-d)i|

則(a+c)z+(b+d)2=(a—c)2+(b—d)2

化簡得ac+db=0

.Z]_a+bi_（a+hi）（c-di）_bc-ad.

22

,,z2c+di（c+di）（c-di）c+d**

又be一adH0,否則Zi，Z2中至少有一個為零，

則於是純虛數(shù),???笛）2是負數(shù).

3.（2023?高三課時練習）已知z是復數(shù)，z+2i、E均為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復數(shù)（z+ai）2在復平面

2—1

上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】設2=%+死（%、yWR）,化簡z+2i、套并根據(jù)其均為實數(shù)求得參數(shù)x,?化簡（z+ai）2并

根據(jù)其在復平面上對應的點在第一象限列不等式即可求得a的范圍.

【解答過程】設z=x十yi（冗、y6/?）＞?Jz十2i=x十（y+2）i為實數(shù)，y=-2,Az=x—2i.

???白=詈=；(工一2。(2+。=!(2%+2)+：(工-47為實數(shù)，???％=4.???z=4-2i.

Z—I2-1535

V(z+ai)2=[4+(a—2)i]2=(12+4a—a2)+8(a-2)i在復平面上對應的點在第一象限，/.

(12+4a-a2>0

解得2VQ<6.

I8(a-2)>0

，實數(shù)〃的取值范圍是(2,6).

4.(2022春?陜西榆林?高二校考期中)已知復數(shù)2=步(bGR,i是虛數(shù)單位)，答是實數(shù).

1—1

⑴求的值；

⑵若亞數(shù)(m-z)2-8m在復平面內對應的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)利用復數(shù)的除法可求生，再結合其為實數(shù)可求6=-3；

i-i

(2)利用復數(shù)的乘方可求(m-z)2-8m,再由它對應的點所處的象限可求m的取值范圍.

【解答過程】(1)???z=bi,,?.空=*=(3+加)(1+」=3.+9+3)1

1—i1—i22

???笠是實數(shù)，???b+3=0,解得力=一3.

i-i

(2)由(1)知z=-3i,

:.(m—z)2—8m=(m4-3i)2—8m=(m2—8m—9)+6mi,

???復數(shù)(m-z)2-8m在復平面內對應的點在第二象限，

2

:im-8m-9<0t解得o<m<%

(6m>0

故實數(shù)m的取值范圍是(0,9).

5.(2022春?廣西桂林?高二校考期中)已知復數(shù)z=TH?一2m-15+(機？-9)i,其中mWR.

(1)若z為實數(shù)，求m的值；

(2)若z為純虛數(shù)，求捻的值.

【解題思路】(1)由題意得加2-9=0,求解即可;

(2)先由題意求得z=16i,再根據(jù)復數(shù)的除法法則化簡復數(shù)W，由此可求得答案.

【解答過程】(1)若z為實數(shù)，則爪2一9=0,解得m=±3.

(2)若z為純虛數(shù)，貝中"一"]?=(),解得m=5,??.z=16i,

故_L=的=10(1-)=8+8i.

"i+ii+i(i+i)d-i)

6.(2022?高一單元測試)設復數(shù)Zi=1-ai(aE/?),z2=3-4i.

(1)若Zi+Z?是實數(shù)，求Z1"2；

(2)若包是純虛數(shù)，求與的共擾復數(shù).

Z2

【解題思路】(1)根據(jù)Z1+Z2是實數(shù)，求得。=-4,再由復數(shù)的乘法運算即可求得Z「Z2；

⑵由含是純虛數(shù)，可得Q=/即有Zi=l+R即可得Z1的共桅復數(shù).

【解答過程】(1)解：???Z1+Z2=4—(4+Q)i是實數(shù)，

二4+Q=0,Q=-4,Zi=1+4i,

=

:.zt?z2(1+4i)(3—4i)=194-8i；

(2)解：?.?久=蕓=霖韶=生嚶也是純虛數(shù)，

Z23-4i(3-4i)(3+4i)25

所以￡+然：，，解得a=—：，

(4-3QH04

所以Z]=1+(i,

故內的共挽復數(shù)為1一白.

4

7.(2022春?重慶酉陽?高一階段練習)已知復數(shù)z=l+bi(i為虛數(shù)單位，b>0,且z2為純虛數(shù).

(1)求復數(shù)z；

(2)若復數(shù)3二白，求3的模.

1—1

【解題思路】(1)由Z2為純虛數(shù)，結合題意可求出b=l,即可求出更數(shù)Z.

(2)由更數(shù)的乘法和除法運算化簡復數(shù)3,再由復數(shù)的模長公式即可求出答案.

【解答過程】(1)

因為復數(shù)z=1+bi,Mz2=(1+bi)2=1—b2+2bi,

因為z2為純虛數(shù)，所以又因為b>0,所以"1.

(2b*0

所以z=1+i.

(2)

z_14-i_(l+i)2_2i則|O)|=1.

百一百一(l-i)(l+i)-2

8.(2023?高一課時練習)設復數(shù)3=-二+更i,求證:

22

(1>,to2,1都是1的立方根;

(2)1+3+/=0.

【解題思路】<1)寫出復數(shù)的三角形式，利用三角形式進行計算即可證明;

(2)利用復數(shù)的三角運算求出口2,進而可得1+3+32的值.

[解答過程】(1),.?3=-[+爭=cosg+isiny

???ai3=(cosy4-isiny)3=cos(3xg)+isin(3xy)=cos2兀+isin2兀=1,

(/)3=/=33)2="=i,

I3=1,

所以3,/2,1都是1的立方根;

(2)va)2—(cosy+isiny)2=C0S(2Xy)+isin(2Xy)=COSy+isiny=—1—-y>?

：?1+o)+a)2=1--+-i--——i=0.

2222

9.(2022春?重慶沙坪壩?高一期中)己知”，〃￡R,i是虛數(shù)單位，若復數(shù)4=a-i與Z2=2+/)i互為共挽復

數(shù).

(1)判斷復平面內Z2對應的點在第幾象限；

(2)計算(Q+加)2.

【解題思路】(1)根據(jù)共規(guī)復數(shù)的定義求得a,心得復數(shù)Z2,再得其對應點的坐標，從而得其所在象限；

(2)由復數(shù)的乘方法則計算.

【解答過程】(1)因為復數(shù)4=Q-i與Z2=2+hi互為共加復數(shù)，

則用2,b=l,z2=2+i,其對應的點為(2,1),

故在第一象限；

(2)(a+bi)=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.

10.(2023-ift-單元測試)已知/(z)=5—1,且f(Z]-Z2)=4+4i,若z〔=2—2i.

(1)求復數(shù)Zi的三角形式與argzi；

⑵求髓?

【解題思路】(I)求出復數(shù)zi的模和輻角土值后，可得復數(shù)Zi的三角形式；

(2)根據(jù)/(z)=5-l,/(Zi—Z?)=4+4i以及Z]=2—2i求出Z2，將z1和z2代入|六詈|可求出結果.

【解答過程】(1)因為Zi=2—2i,所以其模r=,22+(-2)2=2或,設其輻角為

則cos"&=圣sinO=^=-圣

因為復數(shù)Z1=2-2i對應的點(2,-2)在第四象限，所以argzi=p

所以復數(shù)Z1的三角形式為Z]=2近(cosr+isinj).

(2)因為f(z)=5—L所以，(Z]—Z2)=Zi—Z2—1=zt—z2-1=4+4i,

因為Zi=2-2i,所以2+2i-z2-1=4+4i,

所以&=-3-2i,所以Z2=-3+2\,

所以I鋁I=I衿*J=弓=V24+16=V4i.

\Z\+Z2112—21-3+211-1

11.(2023?高一課時練習)已知復數(shù)z=3x-(x2-x)i(xeR)的實部與虛部的差為/(x).

(1)若/(x)=8,且x>0,求復數(shù)iz的虛部；

(2)當/(x)取得最小值時，求復數(shù)*;的實部.

【解題思路】(1)由復數(shù)的實部、虛部的運算，可得/"(%)=/+2%,再結合題意可得％=2,再確定iz在

復平面內對應的點的坐標即可：

(2)先求出函數(shù)取最小值時工對應的值，再結合復數(shù)的除法運算即可得解.

【解答過程】(1)由題意可得fQ)=3x+a2—x)=/+2x,

因為/(%)=8,所以/+2x=8,

又《>0,所以x=2,即z=6—2i,

貝l」iz=i(6-2i)=2+6i,

所以復數(shù)iz的虛部為6.

(2)因為/(%)=/+2x=(%+1)2-1,所以當%=-1時，/(K)取得最小值，

此時，z=-3—2i,

則—二—咫=_(3+2i)(_2i)=fi,

l+2il+2i555

所以5^的實而為一

12.(2022春?廣西玉林.高一階段練習)已知復數(shù)Z=(I)：+3(I+D.

Z—1

⑴求Z的共規(guī)復數(shù)；

(2)若QZ+力=1-i,求實數(shù)a,b的值.

【解題思路】(1)根據(jù)更數(shù)乘方、除法的運算法則，結合共挽熨數(shù)的定義進行求解即可;

(2)根據(jù)復數(shù)相等的定義進行求解即可.

(l-i)2+3(l+i)l-2i-l+3+3i_(3+i)(2+i)_6+3i+2i-l

【解答過程】(I)z==1+i.

2-i2-i—(2-i)(2+i)-5-

所以Z的共桅復數(shù)為1

(2)az+b=1—i=磯1+i)+b=1—i=a+b+ai=1—i={0，,1]1=>a=-1,b—2.

13.(2023?高一課時練習)復數(shù)2=(1+。2+高，其中i為虛數(shù)單位.

(1)求Z及|z|；

(2)若z?++/?=2+3i,求實數(shù)a,b的值.

【解題思路】(1)首先根據(jù)復數(shù)的運算求解出復數(shù)Z,進而根據(jù)復數(shù)的模長公式求解|2|;

(2)首先將z=-l+3i代入等式，然后根據(jù)等式關系構造方程組，解方程組即可得到實數(shù)a,8的值.

【解答過程】(1)???z=(1+i)2+9=1+2i+i?+,：￡："、=2i+i(l+i)=—1+3i,

?,.|z|=V(-l)2+32=VTo.

(2)由(1)可知z=-l+3i,z=-1-3i

由z?+az+b=2+3i,得：(—1+3i)2+a(—l—3i)+b=2+3i,

_

即(-8-。+6)+(-6-3.=2+3。.??{一，6：:箕2,,解得

14.(2022秋?山東日照?高二統(tǒng)考期中)已知z是復數(shù)，z+2i(i為虛數(shù)單位)為實數(shù)，且z+Z=8.

(1)求復數(shù)z；

(2)若復數(shù)(Z+Qi)2在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)Q的取值范圍.

【解題思路】(1)設2=。+出(c,d€R),利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)為實數(shù)的條件即可得出；

(2)根據(jù)更數(shù)的運算法則和幾何意義即可得出.

【解答過程】(1)根據(jù)題意，設復數(shù)z=c+di(c,dER),

則z+2i=c+(d+2)i為實數(shù)，Bld+2=0,解得d=-2,

所以z=c-2i,z=c+2i.

又*+2=c+2i+c-2i=8,.*.2c=8,得c=4,

所以復數(shù)z=4-2i.

(2)由(1)知，(z+ai)2=(4-2i+ai)2=16—(a-2)2+8(Q—2)i對應的點在第四象限，

所以「6J解得：即一2Va<2.

(8(a-2)<0,Ia<2

所以實數(shù)a的取值范圍是(一2,2).

15.(2022.湖南.模擬預測)國際數(shù)學教育大會(ICME)是世界數(shù)學教育規(guī)模最大、水平最高的學術性會

議，第十四屆大會將在.卜?海召開，其會標如圖，包含若許多數(shù)學元素，主畫面是非常優(yōu)美的幾何化的中心

對稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫面標明的ICME—14下方的““是用中國古代八進

制的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)3744,也可以讀出其二進制碼(0)11111100也0,換算成十進制的數(shù)是〃，求

(1+i產(chǎn)及偌的值.

【解題思路】利用進位制求出九的值，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可求出結果.

【解答過程】???11111100100=1X210+1X294-1X284-1X27+1X26+1X254-0X24+0X234-

1X22+0X21+0X2°=2020.

.*.n=2020,

/.(I+i)2n=[(1+i)2]n=(2i)2020=22020i2020=22020,

'第?償)3中。….

16.已知z=1+i.

(1)設3=z?+3￡-4,求3的三角形式；

(2)如果字甲=1-i,求實數(shù)。，〃的值.

Z2-Z+l

【解題思路】(1)求出Z=1+i的共扼復數(shù)，代入3=22+3彳-4化簡，再求3,最后再整理成3的三角形

式；

(2)根據(jù):M普=l-i,得到(。十匕)十(a十2)i=1十i,列方程組即可求解.

【解答過程】(1)已知z=1+i,??.N=l-i,

a.=(14-i)24-3(1-i)-4=2i+3-3i-4=-1-i,/.3對應的點是(一1,一1),3對應的復數(shù)輻角為仇

故。<6<2",又由對應的cos。=一g,sine=-=，得到。=芋，故3的三角形式為=V2(cos—+isin—)；

22444

z2+az+b_2\+a(l+\)+b__(a+fc)+(a+2)i__.

=

?'22-Z+I2i-(l+i)+l=i=1-I，

二(Q+匕)十(Q+Z)i=(1—i)i=1+i,

???{aYU，解得代二i.

9+2=1(8=2

17.(2022春?河南鄭州?高二期中)已知復數(shù)z=l+mi(i是虛數(shù)單位,m€R),且「(3+i)為純虛數(shù)(2是z的

共軻復數(shù)).

(1)設復數(shù)2[=平，求憶小

1-1

n：2022

（2）設復數(shù)Z2=皇，且復數(shù)Z2所對應的點在第一象限，求實數(shù)Q的取值范圍.

【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結合純虛數(shù)和共規(guī)復數(shù)的定義，求出血，再結合復數(shù)模公式，即可求解;

（2）根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答過程】（1）

Vz=1+mi,

:.z(3+i)=(1-mi)(3+i)=(3+m)+(1

,:T(3+i)為純虛數(shù),

｛落入解得m=-3,

故z=l-3i,

“_-3i2i_(-3+2iXl+i)_51;

Zi-Tr-(1-ixi-i)

則|Z||=J(-g)+(?g)=W，

(2)

Vi2022=(i4)5O5i2=-l,

._a-i2022_a+1_(a+IXl+3i)_a+13a+3.

=

??Z~>--------=------=---------------------------1--------1,

2zl-3i(l-3iXI+3i)1010

???復數(shù)Z2所對應的點在第一象限,

,解得Q>-1，

故實數(shù)Q的取值范圍為（-1,+8）.

18.（2022春?浙江?高一期中）己知復數(shù)z使得z+2iWR,^-eR,其中i是虛數(shù)單位.

Z-1

（1）求復數(shù)Z的模；

（2）若復數(shù)（z+巾工在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.

【解題思路】（1）設復數(shù)z=a+bi,（a.bGR）,由復數(shù)的運算性質和復數(shù)為實數(shù)的條件，虛部為0,解方

程即可得到復數(shù)z,從而求出其模；

（2）計算災數(shù)（z+mi）2,由復數(shù)對應的點在第一象限，可得mil勺不等式組，解不等式即可得到m的范圍.

【解答過程】（1）

解：設復數(shù)z=a+bi,(a,bER),

根據(jù)題意，z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i?

所以b+2=0,即b=—2

-rjZ_(a+bi)(2+i)_2a-b2b+a.

乂口=-5—=k+二"I，

所以2b+a=0,即a=-26=4,

所以z=4—2i,則|z|=J42+(-2)2=2通；

(2)

解：由(I)可知z=4-Zi,

所以(z+mi)2=(4—2i+Tni)2=[4+(m-2)i]2=16—(m—2)2+8(m—2)i。

在復平面內對應的點為(16-(m-2產(chǎn),8(m-2)),位于第一象限,

所以8(血一2)>0且16-(m-2)2>0,解得2<m<6,即m的取值范圍為(2,6).

19.(2022秋?廣東中山?高二階段練習)己知z1=l+2i,Z2=3-4i,i是虛數(shù)單位.

(1)求2「五;

(2)設復數(shù)Z2、Z3在復平面內所對應的點分別為Z?Z?、Z3,0為坐標原點，若。、Z】、Z?、Z3所構成的

四邊形為平行四邊形，求復數(shù)為.

【解題思路】(1)由復數(shù)的四則運算法則求解

(2)由復數(shù)的幾何意義求解

【解答過程】(1)

豆=3+4i

Zi司=(1+2i)(3+4i)

=(1x3-2x4)+(1x4+2x3)i=-5+10i：

(2)

若OZ1Z3Z2為平行四邊形,則Z3=為+Z2=4-2i

若OZ1Z2Z3為平行四邊形，則Z2=Zi+z3?得Z3=Z2-Zi=2-6i

若OZ2Z1Z2為平行四邊形,則Zi=z2+z*,得ZR=Z1-Zz=-2+6i.

且茅純虛數(shù).

20.(2022秋?浙江臺州?高二開學考試)復數(shù)Zi=a-i,z2=l-2i,其中i是虛數(shù)單位,

(1)求好數(shù)21；

(2)若復數(shù)(zi+b+2)2S￡R)在復平面內對應的點在第四象限，求b的取值范圍.

等=0

【解題思路】(1)利用純虛數(shù)的定義，由，解出即可得出.

（2）利用復數(shù)的幾何意義，由題意得,解出即可得出.

【解答過程】（1）

為_a-i_(a-i)(l+2i)_(a+2)+(2a-l)i_a+2—i.

z2l-2i(l-2i)(l+2i)55

叱=0

因理為純虛數(shù)，所以

2Q-1?所以Q——2.

H0

Qi+b+2)2=(b—i)2=b2-1—2h\,

2

由已知/?-1>0

-2b<0

解得b>l,

所以實數(shù)b的取值范圍為（1,+8）.

21.（2022春?江蘇鹽城?高一期中）若復數(shù)為=1十a(chǎn)i（aeR）,更數(shù)Z2=3-4i.

（1）若zi+aeR,求實數(shù)Q的值;

(2)若a=2,求；

【解題思路】（1）利用復數(shù)的加法化簡復數(shù)4+Z2,根據(jù)復數(shù)的概念可得出關于實數(shù)Q的等式，即可求得

實數(shù)Q的值;

（2）當Q=2時，利用復數(shù)的除法可求得復數(shù)2

【解答過程】（1）

解：由已知Zi+z2=4+（a—4）i￡R,則a—4=0,解得a=4.

（2）

解：當"2時，言l+2i(l+2i"3+4i)_-S+10i

3-4i(3-4i)(3+4i)-25

22.（2022春?福建福州?高一期末）已知一1+2i是關于％的方程/+px+q=0（p,q￡R）的一個根，其中

i為虛數(shù)單位.

（1）求p,q的值；

（2）記及數(shù)z=p+qi,求愛數(shù)忘的模.

【解題思路】（1）將一l+2i代入方程，利用復數(shù)相等，得到方程，求出p=2,q=5；

（2）在第一問的基礎上得到二=濘，從而求出模長.

【解答過程】(1)

由題意得:(-1+2i)2+p(—1+2i)+q=0,

即1—4i+4i?—p+2pi+q=0,

所以-3—p+q+2pi-4i=0,

所以-3-p+q=0,2p-4=0.

解得：p=2,q=5；

(2)

z=2+5i,—,

i+ii+i

z^4+25

所^,.以1IlTilI-72+-57i-|2|l-+5i|i|-Vz~V58

23.(2022春?北京昌平?高一期中)已知復數(shù)z=(l—i)2+總.

1—21

(1)求(Z十2)2；

(2)若一mz+n=1+i(m,neR),求mn.

【解題思路】(1)根據(jù)復數(shù)的乘除法運算求解即可；

(2)根據(jù)復數(shù)相等的條件可得｛:二；，進而可得nm

【解答過程】(1)

z=(l_i)2+7^=_2i+(3：￡L=_2i+i_2=_2_i,故(z+2)2=(-i)2=-i

(2)

由(1)z=-2-i,若-mz+n=14-i則一m(—2—i)+n=1+i,即2m+n+77ii=1+i,

故I22；［11，解得｛:T=；，故加〃=-1-

24.(2022秋?山東臨沂?高二開學考試)已知復數(shù)2=蔣(i是虛數(shù)單位).

(1)求復數(shù)z的共扼復數(shù)和模；

(2)若z?+az+b=z(a,bGR).求a,b的值.

【解題思路】(1)利用愛數(shù)運算化簡z,從而求得z的共視復數(shù)以及模.

(2)根據(jù)復數(shù)相等列方程，化簡求得a,b的值.

【解答過程】⑴

3-i(3-i)(2-i)_5-5i_1

(2+i)(2-i)=~=1-lf

2+i

所以Z的共規(guī)復數(shù)5=1+i,

\z\=J1.2+(-1)2=V2.

(2)

因為z?+az+b=1+i(a,b€R),

即(1—i)2+a(l-i)+6=1+i,

也即a+b+(-2—a)i=1+i,

所以｛￡甘a：i解得｛箕：

25.(2022秋.黑龍江齊齊哈爾.高二開學考試)已知復數(shù)Zi=3+4i,z?=-2i,i為虛數(shù)單位.

(1)若z=W求z的共挽復數(shù)；

z2

(2)若復數(shù)與+az2在復平面.上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)先由復數(shù)除法運算化簡求出z,即可得出共加復數(shù)；

(2)先求出Z1+QZ2,根據(jù)象限列出不等式即可求出.

【解答過程】(1)

?Zi3+4i(3+4i)i—4+3i3.匚廠—c3.

由z='=石=/=丁=-o2+9，所以z=-2—9；

(2)

=

由題意，復數(shù)Zi=3+4i,z2一2i,則Z[+az2=3+4i+a(-2i)=3+(4—2a)i,

??,復數(shù)zi4-az2在復平面上對應的點在第一象限，

???4-2。>0解得°<2,

???實數(shù)。的取值范圍(一8,2).

26.(2022?全國?高一專題練習)已知復數(shù)z滿足z?-2z+4=0,虛數(shù)z1滿足zf+azi+b=C(a,b￡R).

⑴求|z|;

(2)若Zi+五'="+1求a的值.

ZZ

【解題思路】(1)解方程即可求解;

(2)先化簡%再根據(jù)為+/二一。可求解.

【解答過程】(1)易解得2=呼=1±遮「所以⑶=J12+(，)2=2;

(2)由O)可知‘"+五=腎+溪=(遙,展i)+(二就％J，

所以為+有=誓％中=-1,

又Z]+五=-a?所以Q=1.

27.(2022春?廣西百色,高二期末)已知復數(shù)為=(2+講，z2=4-3i.

⑴求。zl；

⑵求廣?+?+-+GT°

【解題思路】(1)先求出Z「Z2,再求0/2|；(2)先求出生二i,再利用產(chǎn)的周期性求和.

z2

【解答過程】(1)

2

由題可得:z1z2=(2+i)-(4-3i)=(34-4i)-(4-3i)=24+7i,

所以0?Z2I=V242+72=25

(2)

(2+i)2(3+4i)(4+3i).

4-3i-25-'

所以尹?+像)3+...+(^-=i+i2+i3i+j2°2。=嚕=0.

28.(2022春?上海長寧?高一階段練習)已知好數(shù)z滿足|z|二VLz2的虛部為2.

(I)求復數(shù)z；

⑵若Rez>0,設z、於、4z-z2在復平面上的對應點分別為A、3、C,求△48。的面積.

【解題思路】設7=。+4(。/￡/?),結合條件求a”即可得z：

(2)結合(1)結論，利用復數(shù)的四則運算即可得z,z2,4z-z2的對應坐標，進而求它們構成的△力8c的面

積；

【解答過程】(1)設2=a+bi(a,bWR),則|z『=小+用=2,z?=小一/+2?！?由z2的虛部為2,有

2ab=2.，｛：1;或｛；[]：即z=1+減z=-1-i.

(2)因為Rez>0,所以z=1+i,z2=(1+02=2i,4z-z2=4+2L.??點4(l,l),B(0,2),C(4,2),直線8C:

y=2,所以且A到BC的距離為1；=]BC|x1=gx4x1=2.???Z\4BC的面積為2.

29.(2023?高一課時練習)設i為虛數(shù)單位，〃為正整數(shù)，0e[0,27r).

(1)觀察(cos。+isin0)2=cos20+isin26,(cosO+isin0)3=cos30+isin38,(cos。4-isin0)4=cos46+

isin46,…猜測：(cos8+isin。)71(直接寫出結果)；

(2)