拓展專題04抽象函數(shù)的八大?？伎键c

考點01抽象函數(shù)的定義域（共7小題...............................................................1

考點02抽象函數(shù)求值（共4小題）...............................................................3

考點03求抽象函數(shù)的值域（共4小題）...........................................................5

考點04抽象函數(shù)的解析式（共5小題）...........................................................8

考點05抽象函數(shù)的單調(diào)性（共3小題）..........................................................10

考點06抽象函數(shù)的奇偶性（共5小題）..........................................................12

考點07抽象函數(shù)的對稱性（共7小題）..........................................................17

考點08抽象函數(shù)的周期性（共6小題）（拓展）..................................................21

考點專練

考點01抽象函數(shù)的定義域（共7小題

1.（25-26高三上?重慶?階段練習）已知函數(shù)/（X）的定義域為[0,6],則g（x）=/C2的定義域為（）

A.[0,1）B.（1,2]

C.[0,l）5L2]D.[0,l）U（l,18]

【答案】C

【分析】利用抽象函數(shù)定義域可得/（3力的定義域，結(jié)合分母不為零可得答案.

【詳解】因為/（x）的定義域為[0,6],所以/（3x）的定義域為[0,2],

因為x-lwO,所以8（力=當以勺定義域為[0,1）51,2].

故選：C

2.（25-26高一上?吉林?期中）已知函數(shù)/（X）的定義域為則函數(shù)g（x）=/圖+/卜-2）的定義域為

（）

A.（0,2）B.（1,2）C.（2,3）D.（-1,1）

【答案】B

【分析】依題意有5V,解不等式即可.

-1<x-2<\

1/27

【詳解】函數(shù)/(X)的定義域為(-1,1),則對于函數(shù)g(x)=/(升/(—),

,X.

-1V-<1

應有12,解得l<x<2,

-I<x-2<1

故g(x)的定義域為(1,2).

故選：B.

3.(24-25高一上?遼寧鞍山?期中)已知函數(shù)/(x+1)的定義域為[-1,3],則/'(/)的定義域為()

A.[-2,2]B.[0,4]C.[1,9]D.[0,8]

【答案】A

【分析】通過中間函數(shù)/*)過渡，即求出/(幻的定義域后可求.

【詳解】在V=/(x+l)中，xe[-l,3],.?.X+1G[0,4],

???/(x)的定義域是[0,4],

故在/(/)中?4,解得一24xK2,

???/(/)的定義域是卜2,2].

故選：A.

4.(24-25高一上?貴州畢節(jié)?階段練習)已知函數(shù)/“)的定義域為[()[)，則函數(shù)/(1-x)的定義域為()

A.[0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[-l,0)U(0,l]

【答案】B

【分析】由0Wl-x<1即可求函數(shù)/。-x)的定義域.

【詳解】因為函數(shù)/(戈)的定義域為[()』)，

所以OWI<1,解得0<x"

故函數(shù)〃l-x)的定義域為(05.

故選：B

5.(23-24高一卜?福建龍巖?期末)若某函數(shù)/(x)的圖象過點(4,2).則》=里工1的定義域是()

f\x)

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【答案】B

【分析】設/(可=)°,根據(jù)呆函數(shù)/(幻的圖象過點(4,2)求出Q的值，即可求出/。)的定義域，再根據(jù)抽

象函數(shù)定義域的求法即可得解.

【詳解】設〃》)二/，依題意可得4〃=2,解得a=；，所以=

2/27

所以/(X)的定義域為[0,+8)，

對“與*有尸產(chǎn)，解得0X2,

/⑴[x>0

即函數(shù)，=管詈的定義域是(。,2].

故迄B

G.(25-2G高一上?全國?課后作業(yè))已知/(x)的定義域為(1,3),貝/(xi的定義域為.

【答案】圖

【分析】由抽象函數(shù)的定義域求法，可得出關(guān)了X的不等式組，由此可解得所求函數(shù)的定義域.

【詳解】因為函數(shù)/(X)的定義域為(1,3),

[[J<3

所以對于函數(shù)有,

⑴I2)1<"<3

2

解得卜舊，

故函數(shù)小]+/「+"的定義域為(杲.

⑴I2)<32)

7.(24-25高一上?江西贛州?期末)若函數(shù)/(2刀-1)的定義域為(0,2),則函數(shù)/")的定義域為.

【答案】(T3)

【分析】由函數(shù)/(2工一1)的定義域為(0,2),可得一l<2x-l<3,即/")的定義域為(T3).

【詳解】??,函數(shù)”2x7)的定義域為(0,2),

0vx<2,則0<2xv4,

?t-1<2x—1<3,

???函數(shù)/(4)的定義域為(-1，3).

考點02抽象函數(shù)求值(共4小題)

8.(2025?陜西西安?模擬預測)已知卜｝表示不小于x的最小整數(shù)，如｛3.2｝=4,｛-3.2｝=-3,已知定義在R

上的函數(shù)滿足Vx,yeR,.f(x+f(y))=f(f(x))+y,且/(0)=；,則｛/(2025)｝二()

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】C

【分析[根據(jù)給定條件，利用賦值法探討求得函數(shù)解析式，再按定義求得結(jié)果.

【詳解】定義化K上的函數(shù)滿足”,VWRja+/(y))=/(/(x))+y,

3/27

取x=O,”R,得/(/⑺)=/(/(0))+y,M/(/(x))=/(/(O))+x,

取y=O,xeR,得〃x+/(O))=/W)),于是/(x+/(O))=/(/(O))+x,

而f(O)=g，則/(x+f=/(g)+x,

當工=一；時，/(0)=/(1)-1,

因此/(3=1，/(x+l)=l+x,

則f(x)=/[(x-g)+；]=l+(x-J=x+g,

所以/(2025)=2025+；,{/(2025)}=2026.

故選：C

9.(2025高三?全國?專題練習)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)+d/(￡)=0,

f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy,則/(6)等于()

A.33B.32C.31D.30

【答案】D

【分析】先令y=-x和x=o代入已知等式可得/(o)=o,進而得到①；再結(jié)合已知等式得到②，解方程組

①②得到/(X)解析式可得.

【詳解】令，=一》，則/(X)+/(T)=/(0)+2/,

令二=0,貝1」2/(0)=/(0)+0,則/(0)=0,J9f^/Cv)+./(-x)=2x2(l).

3

又因為/(力+?出=0,所以川B=-/(x),(-x)y|l0=/(x),所以-f(x)+f(f)=2x②.

①一②，得2/。)=2/—2x,所以〃x)=x2—x.所以/(6)=3O.

故選：D.

10.(2025高三?全國?專題練習)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(。)=1,對任意XJWR,有

2025

f(^+l)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則石/⑴山+鼠()

20252024八2023-2023

A.----B.----C.----D.----

4054202540502024

【答案】A

【分析】由賦值法可令x=y=0,求得/(1),再令y=o,求得/(x)的解析式，運用數(shù)列的裂項相消法求和,

4/27

計算可得所求和.

【詳解】在/3+1)=〃"(力/(力T+2中,令x=y=O,得/⑴=/(0)/(0)-/(0)—0+2=2；

令尸0,得/(1)=/(X)/(O)—/(O)7+2=/(X)7+1,所以/(X)=X+1.

…]]_J_____1_

所以/(x)/(x+l)-(X+l)(.V+2)-A+l,T+T，

rriilv1111111112025

tr/(/)/(/+1)233420262027220274054.

故選：A.

11.(24?25高三上?江西?階段練習)已知函數(shù)“X)滿足〃X+1)=/(勸+2，+3,且/(1)=1,則/口000)=()

A.2泗+2995B.2加+2996C.2,000+2995D.2,(KK,+2996

【答案】D

【分析】結(jié)合題意，令y=l可得/(》)=2'+3,進而利用累加法及等比數(shù)列的前〃和公式求解即可.

【詳解】由/(x+l)=/(x)+2^+3,

則f(x+l)-/(x)=2'+3,

貝IJf(2)-/。)=2+3,/(3)-/(2)=2?+3,…1()()0)-/(999)=2"?+3，

將以上各式相加得

/(10()())-/(1)=2+224----+2"9+3X999+3x(1000-1)=2'000+2995,

所以/(1000)=2'000+2995+/(1)=2'000+2996.

故選：D.

考點03求抽象函數(shù)的值域(共4小題)

12.(24-25高三下?湖南長沙?階段練習)已知函數(shù)丁=/(力的定義域和值域分別為[-1,1]和[5,9],則函數(shù)

y=/(x+i)的定義域和值域分別為()

A.[0,2]和[6,10]B.[-2,0]和[6,10]

C.[0,2]和[5,9]D.卜2,0]和[5,9]

【答案】D

【分析】令—14X+1W1,求得—24xK0,得到N=/(x+l)的定義域為卜2,0],再結(jié)合函數(shù)圖象變換，得到

y=/(x+1)與函數(shù)j，=/(x)的值域相同，即可得到答案.

【詳解】由函數(shù)1=/(力的定義域和值域分別為卜1川和[5,9],可得和/㈤e[5,9],

令-1WX+1W1,解得—24xW0,所以函數(shù)y=/(x+1)的定義域為卜2,0],

又由函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移1個單位，得到y(tǒng)=/(x+i)的圖象，

5/27

所以函數(shù)y=/（x+i）與函數(shù)y=/G）的值域相同，即〃x+i）w[5,9].

故選：D.

13.（24-25高一上?遼寧大連?階段練習）若函數(shù)y=/（x）的值域是；,4，則函數(shù)尸（x）=〃2x+l）+花西

的值域是（）

1J「、171「-51r117'

A.—,4B.2,—C.2,—D.—,—

|_2」L4JL2j124」

【答案】B

【分析】由給定條件求出/（2x+l）的值域，換元借助對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.

【詳解】因為函數(shù)N=/（x）的值域是；，4,

所以函數(shù)/（2x+l）的值域是；,4,

令/（2xr）=ze；,4,則尸（x）=g（O=f+L

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)g〃）=，+；在上單調(diào)遞減，在0,4]上單調(diào)遞增，

而g（￡）=3，g⑴=2，g（4）=?，

「17~1「17一

則g（f）￡2,-,即函數(shù)/（X）的值域是2,—.

故選：B.

14.（2025高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/（X）的定義域為R,值域為則函數(shù)y=/（x+l）的值域

為.

【答案】[—2,3]

【分析】函數(shù)k/（x+1）可由/（工）的圖象向左平移得到，由此知尸/G+1）的值域.

【詳解】因為函數(shù)N=/（x+l）的圖象可看作由/（X）的圖象向左平移一個單位得到的，故值域不變，

所以函數(shù)歹=/*+1）的值域為[-2,3].

15.（23-24高二下?河北保定?期末）已知函數(shù)/（X）的定義域和值域均為[-3,3]，則函數(shù)g（x）=2/（2x+l）

的定義域和值域分別為.

【答案】卜25，卜6,6]

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域的求法及函數(shù)值域的概念求解即可.

【詳解】由函數(shù)/（x）的定義域和值域均為[-3,3],

所以g（x）=2/（2x+l）要有意義，則需-3K2X+1K3,解得—24x41,

6/27

所以函數(shù)g(x)的定義域為[-2,1],

因為-342X+Y3,所以—34/(2x+l)W3,

所以g(力=2/(2)+1)e[-6,6],即值域為卜6,6],

16.(24-25高二下?浙江麗水?期末)已知定義在R上的函數(shù)八對的值域是[L2],則函數(shù)y=/數(shù)+3)+1的值

域是.

【答案】[2,3]

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的關(guān)系，結(jié)合值域的定義分析即可

【詳解】函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移3個單位得到y(tǒng)=/(x+3)的圖象，

因此函數(shù)y=/(x+3)的值域為[1,2],

則函數(shù)丁=/8+3)+1的值域是[2,3].

17.(2025?山東聊城?模擬預測)已知偶函數(shù)/(x)的定義域為R.且/(x+y)=/(x)+/3+2xy,則

的值域為.

【答案】[0，+8)

【分析】令x=y=o可得出/(0)=0,令y=-x結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)/(X)的解析式，由此可得出

函數(shù)“X)的值域.

【詳解】對〃x+r)=/(x)+/(l)+2?,令x=y=0,Rlj/(o)=2/(o),解得〃0)=0：

對f(x+y)=/W+/(>')+2孫，令曠=一》，則/'(O)=/(x)+/(-x)-2/,

乂f(x)為偶函數(shù)，f(-x)=f(x),故2/(x)-2/=0,解得

又〃力=/20,故其值域為[0,+8).

18.(24-25高三下?重慶?階段練習)已知/(x)滿足/(x-j，)/(y)=2/(x),/a)H。，且/(1)=4,則

/(2—x)+/(x)的值域為

【答案】區(qū)內(nèi))

【分析】根據(jù)題意，令V=0,求得/'(。)=2,再令x=2,y=l,求得"2)=8,令x=2,可得

/(2-yW)=2/(2)=16,即/(2T)/(X)=16,再令x=2y,得到/(力>0,結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/⑺滿足y)/U)=2/(x)J(x)wO,且/⑴=4,

令尸0,可得/(x)可0)=2/(江因為/(x)w0,可得〃0)=2,

再令x=2,y=l,可得八1)/⑴=2/(2)=16,所以/⑵=8,

令1=2,可得/(2—y)/(y)=2/(2)=16,即/(2—x)/(x)=16,

再令x=2y,可得2/(2j，)=/(y)/(j，)，所以/(4)=；[/(；)?>0,

7/27

則〃27)+/(x)N27/(27)/目=8,

當且僅當/(2-x)=/(x)=4時,等號成立,

所以/(2-x)+/(x)的值域為由位).

19.(2025?浙江溫州?二模)函數(shù)/")滿足：①/⑴=|②五”R,2'/(y)-2)'/(x)N(4'—4))/(x)/(j，).則

/?的最大值等于.

【答案】：

【分析】交換'J可得2"(力-2'/(x)44'-4，)/(x)/(y),進而可得

2了()，)-2，/")=(4，-4，)/(4)〃力再令了=1可得/(力=總，最后根據(jù)基本不等式可得答案.

【詳解】Vx,yeR,2、/(y)—2，/('"(4'一4，)/")/(#①.

則交換X/可得，2'/(x)-2V(>)^(4'-4l)/(x)/(y),

化為2"3-2"344'-4『)小)/3②

由①②可得—2>/(x)=(4<4')/(x)/(y)③，

③中令),=1可得2，/(1)-2/3=(4'-4)/(力八1)=^2'-2/3=(4，-4)/(力乂不

JJ

f(x]=1,?<1J

化簡可得一4、+1-2，+~1_-2丘廷-2,當x=0時等號成立，

所以/(》)的最大值等于[

考點04抽象函數(shù)的解析式

20.(2025?重慶?模擬預測)設定義域為R的函數(shù)/(》)滿足：VA,yeR都有/卜+/(歹))=/(/1))+y且

/(0)=。(°為常數(shù))，則函數(shù)/卜)=.

【答案】x+4

【分析】運用賦值法可求解.

【詳解】由/(x+/(y))=/(/"))+y①，

在①中，令x=0可得/(/3)=f(/(0))+y②，

在②中，令y=/(〃?)，則/(/(/(〃?)))=/(/(()))+/(〃?)③，

由②可得，/'(/(/(〃，)))=/(/(/(0))+陽)④，

由①可得，/(/(/(0))+〃?)=/(/何))+/(0)⑤，

8/27

由②可得，/(/(叫+/(())=/(”。))+〃?+/(())⑥，

則由③④⑤⑥可得，/(/(o))+/W)=/(/(o))+〃?+/(o),即/⑹=，〃+/(o),

因"0)=4,貝lJ〃X)=X+4.

21.(2025高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(》)的定義域為R,且滿足〃x)+/U)=/(x+刃-2x^2,/⑴=2,

若iwN?，則函數(shù)/3)的解析式為.

【答案】J\X)=X2-X+2

【分析】根據(jù)/3+/(刃=./+用-2號+2,令y=1,得/(x+l)-/(x)=2x,依次可得〃x)-/(x-l)=2(x-l),

L,/(2)-/(1)=2,累加可得函數(shù)解析式.

【詳解】函數(shù)/⑸的定義域為R,且滿足/(x)+/U)=/a+，)-2孫+2,

取『=1，得/(x+1)—/*)=2x,所以/(x)-/(x-l)=2(x—l),

/(.Y-1)-/(.V-2)=2(X-2),L,/⑵一/⑴=2,

以上各式相加得f(x)=x2-x+2.

22.(2025高三?全國?專題練習)設/(幻是定義在R上的函數(shù)，/(0)=0,且滿足對任意x,J,等式

f(2y+x)=f(x)+6y(2x+2y+1)恒成立，則/1)的解析式為.

【答案】/(x)=3x(x+l)

【分析】根據(jù)題設，進行賦值x=0即可求解.

【詳解】???/(x)是定義在R上的函數(shù),/(0)=0,

且對任意X,yf/(2y+x)=/(》)+6j，(2x+2y+l)恒成立，

令I(lǐng)=0,得f(2y)=令0)+6y(2y+1)=3?2y(2y+1),

則/1(x)=3x(x+l),

此時/(2y+x)=3(2y+x)(2y+x+l)=12y2+6xy+6y+6xy+3x2+3x=12y2+12xy+6y+3x2+3x,

Ifi]/(x)+6_y(2x+2y+\)=3x(x+l)+6y(2x+2y+1)=3x2+3x+12xy+i2y2+6y,

則/(2y+x)=f(x)+6y(2x+2^+1),滿足題意,

所以〃x)=3x(x+l).

23.(2025高三?全國,專題練習)設x，0,函數(shù)/(x)滿足2/*)10',函數(shù)的解析式為.

【答案】/(x)=|xlOT-|xlO^

【分析】利用已知條件重新構(gòu)造一個方程聯(lián)立方程組解出即可.

(1、

【詳解】由工工0,2/(x)+/-=10\①

\x)

\11

將工換成；得：2/(；)+/(x)=10',②

9/27

①x2-②得：3/(x)=2xl0T0；，

211

即/(X)=§X10'-§X10T,

24.(24-25高二下?浙江?期末)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x-#=/("-/(力-1且/(x)是一個增函數(shù),

請寫出滿足條件的一個函數(shù)/(》)=.(寫出一個即可)

【答案】2x7(只需符合/(力=履-1(%>0)即可).

【分析】令g(x)=/(x)+i,可得g(x-y)=g(x)-g(y)，推導出函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，然后驗證

g(x)=Ax(攵>0)滿足題設條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】因為定義在R上的函數(shù)“X)滿足f(x-y)=/(x)-/(y)-l,

則/'(x-y)+i=/'(x)+i-[/(y)+i]，

令g(x)=/(x)+i,可得g(%-y)=g(x)-g(y)，

令y=x可得g(o)=g(x)g(x)=o,

由題意可得8(.”"=8(?)-83=~(4司一^0]=一4X-)),

令E=x-y,則g(T)=-g(。，則函數(shù)g(/)為奇函數(shù)，

函數(shù)/(%)為增函數(shù)，則函數(shù)g(x)=/W+l為增函數(shù)，

可取g(x)=/(x)+l=h(%>。)，

貝iJg(x-y)=A(x-y)=h-0=g(x)-g(y),滿足要求，

故〃力=h-1(%>0)滿足題意.

考點05抽象函數(shù)的單調(diào)性

25.(24?25高一上?福建泉州?期中)已知函數(shù)/(x-1)在R上單調(diào)遞增，則+2、)的單調(diào)減區(qū)間為()

A.(一8,-1)B.(一叫一2)C.(T+8)D.(0,+8)

【答案】B

【分析】由函數(shù)/(X-1)在R上單調(diào)遞增，則/(X)在R上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”求

出函數(shù)g(x)=G7^在定義域內(nèi)的遞減區(qū)間即可.

【詳解】因為函數(shù)/(x-1)在R上單調(diào)遞增，所以/(X)在R上單調(diào)遞增，

設g(x)=Vx2+2x=^(x+1)2-1?

由、+2xN0,解得為4-2或xNO,

所以g(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減,

10/27

所以/卜密+2x）的單調(diào)減區(qū)間為（YO,-2）.

故選:B.

26.（24-25高一上?遼寧?期中）設函數(shù)/（x）在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

B.y=4。在R上為減函數(shù)

A.J=在R上為增函數(shù)

X

1

c.'二一‘荷在”上為增函數(shù)D.y=-/（,在R上為減函數(shù)

【答案】D

【分析】利用特殊函數(shù)/（x）=x排除A、B、C,即可得答案.

【詳解】由題設，〃幻=》滿足要求，則y="D=l為常數(shù)函數(shù)且定義域不是R,排除B,

X

,\,11

y=M（x）=廠、歹=-/荷=-；在R上不是單調(diào)函數(shù)，且后一個函數(shù)定義域不為R,排除A、C,

若函數(shù)/（x）在R上為增函數(shù)，則V=-/（x）在R上為減函數(shù)，D對.

故選：D

27.（25-26高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習）己知函數(shù)/（X）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則

y=/（7-r+3x-2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】宗32

【分析】先確定困數(shù)y=f十3、—2）的定義i或,再根據(jù)亞合函數(shù)的單調(diào)性即叮求得答案.

【詳解】設g(x)=J-x?+3x-2,+3x-2>0?P!1]1<x<2,

即函數(shù)g(x)=V-X2+3X-2的定義域為[L2],

結(jié)合題意知3=/（，-3+3》-2）的定義域為［1,2］；

函數(shù)/W是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，

故要求y=/（J-、+3x-2）的單調(diào)遞增區(qū)間,即求g（x）在［1,2］上的單調(diào)遞減區(qū)間,

而y=一一+3戈一2在（g,+8上單調(diào)遞減，

故g（x）在［1,2］上的單調(diào)遞減區(qū)間為-,2,

則丁=3-*+3.”2）的單調(diào)遞增區(qū)間為1,2.

11/27

考點06抽象函數(shù)的奇偶性

28.侈選)(24-25高一上?陜西榆林?期末)設函數(shù)/(X)的定義域為R,3%wR,/(.%)工0,若DxwR,

/卜)二|/(一》)|，則()

A.VxeR,/(-v)>0B./(x)是偶函數(shù)

C./(K)在R上單調(diào)D./(x)可能是奇函數(shù)

【答案】AB

【分析】根據(jù)絕對值得意義可判斷A,根據(jù)偶函數(shù)定義及性質(zhì)判斷B、C,利用反證法可判斷D.

【詳解】因為心wRJ(x)=|/(r)|，所以VxwR,/(x)?0,故A正確；

由VxwRJ。"。得V(T)=|/(X)|=/(X),所以/⑴是偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)/(X)在R不上單調(diào)，故B正確，C錯誤；

若『(X)是有函數(shù)，結(jié)合選項B知eR,所以一/。)=/(x),

/(r)=/(x)'

即力￡RJ(X)=0,這與加eR,/(Xo)wO矛盾，故D錯誤.

故選：AB.

29.(24-25高三上?河北邢臺?階段練習)已知函數(shù)/("的定義域是R,則下列命題中不正確的是()

A.若/(x)是偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則g(/(》))是偶函數(shù)

B.若/(力是偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則/(g(x))是偶函數(shù)

C.若/(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，則/(/(X))也是單調(diào)遞減函數(shù)

D.若/(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，則/(/"))也是單調(diào)遞增函數(shù)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷A,B；舉反例判斷C；根據(jù)單調(diào)性的定義判斷D.

【詳解】對于A,令洋功=g(/。)),

則h(-x)=g(/(-x))=g(/(x))=A(x),

所以A(x)為偶函數(shù)，即g(/(x))是偶函數(shù)，故A正確：

對于B,令加(x)=/(g(x)),

則M(-X)=/(g(-x))=/(-g(x))=/(g(x)),

所以聞外是偶函數(shù)，即f(g(x))是偶函數(shù)，故B正確；

對于C,取/(x)=-x,則/(X)在R上單調(diào)遞減,

則〃/'(x))=/(r)=x，在R上單調(diào)遞增，故C錯誤；

12/27

對于D,因為/(力是單調(diào)遞增函數(shù),

任取司戶2GR,且再<吃，

則/(陽)<〃&)，

所以/(/3))<(/(/))，

所以/(/('))也是單調(diào)遞增函數(shù)，故D1E確.

故選：C.

29.(2025高三?全國?專題練習)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(X),滿足Wx,yeRtf(xy)=f(x)f(y),

則下列說法不正確的是()

A./⑴=1B./(4)可能是單調(diào)遞減函數(shù)

C./(x)為奇函數(shù)D.若/⑻=2,則/(2”)=2之

【答案】B

【分析】由單調(diào)函數(shù)性質(zhì)，奇函數(shù)定義結(jié)合賦值法可判斷各選項正誤.

【詳解】因/(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，則也，y,時/(x)工/?(?.

對于A,令x=y=l,則/(l)=/2([)n/(])=i或/(])=o,

若/⑴=0,則對皿，取“1,都有/(力=0,不滿足單調(diào)函數(shù)性質(zhì)，

故了(1)/0n/(l)=l,故A正確；

對于B,令x=y=0,貝iJ/(O)=/2(O)=/(O)=?；?(。)=1

由/⑴=1，則/(。)=1舍去，得,(0)=0,

因〃1)>/(0)，結(jié)合/(X)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，則/W只能是單調(diào)遞增函數(shù)，故B錯誤：

對于C,令x=y=-l,則/⑴=f2(_i)=]n/(_])=_]或/㈠)=i(舍)，

則/(-1)=-H取尸T=Vx,/(-x)=-f(x),

則必-x)=0,乂/(x)定義域為R,則/(x)為奇函數(shù)，故C正確：

對于D,令y=2,x=2,則/(4)=/(2),

令丁=2,x=4,則/⑻=〃4)〃2)=/3(2)=2n/(2)=2；，

則/(2)=/(2)/(2°7)=/2(2)/|：2"-2)=~=/”2卜2.故D正確.

故選：B

30.(24-25高一下?云南昭通,期末)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(0)工0,若/(月/3-/3)=工+外

則()

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A./(!)=-!B./(-I)=lC./(x)為增函數(shù)D.7(x)為奇函數(shù)

【答案】C

【分析】利用賦值法求出/(o)、/(l)及/(-1)的值，從而判斷AB；令y=l,結(jié)合〃1)的值，可得/(x)=x+l,

從而判斷CD.

【詳解】對于A,令x=y=O,則〃0)[/(0)-1]=0,

又因為/(。)工0,所以/(。)=1，

令i=l,y=0,則/⑴?〃())—〃0)=1,解得/(1)=2,故A錯誤；

對于B,令x=T,y=O,則/(一1)/(0)-/(0)=-1,又=

解得/(-1)=0,故B錯誤；

對于C,令y=l,則有/(x)/(D-/(x)=x+l,

乂因為/⑴=2,所以/(x)=x+l,

所以函數(shù)｝=/(')為單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確；

對于D,由C可知/(x)=x+l,為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：C.

31.(24-25高一下?江西宜春?階段練習)已知函數(shù)/(X)滿足任意的實數(shù)〃?，〃eR,都有

/(加+〃)=/("[)+/(〃)-4,且當x>0時,/(x)>4.

⑴求/(0)的值，并證明：/(幻-4是奇函數(shù)；

(2)判斷/(x)在(e,+8)上的單調(diào)性并證明：

⑶若關(guān)于x的不等式/(9')+/(-2〃/-"3)>8對任意的》引01]恒成立，求”的取值范圍.

【答案】⑴/(0)=4,證明見解析

⑵在(-8,”)上單調(diào)遞增，證明見解析

叫C

【分析】(1)用特值法可求出/(。)的值，再利用奇函數(shù)的概念艮1可證明；

(2)利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可:

(3)題設不等式恒成立可化簡為/(9'-2/一機.3，)>4=/(0)對任意的xe[O內(nèi)恒成立，再利用換元法求出

函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用二次函數(shù)的圖象的單調(diào)性結(jié)合定義域即可求解.

【詳解】(1)因為函數(shù)滿足任意的實數(shù)萬，〃wR,都有/(〃?+〃)=/(m)+/(〃)—4,

令川=〃=0,則〃0)=/(0)+/(0)-4,所以/(0)=4.

令m=-x,n=x,則f[-x+x)=/(-x)+/(x)-4=/(0)=4,

所以/(T)—4=一/(幻+4=4/W-4],所以/(x)—4是奇函數(shù).

14/27

（2）/（X）在（-8,+＜?）上單調(diào)遞增.

證明：設4，與《^^且王〉々，所以

/（再）-/（5）-%2+入2）7'（占）=/-5）-4-/（%）=/-4,

又々＞占，所以王一￡＞（）,所以/（X「±）＞4,所以/（%）-/（與）＞0,即/（須）＞/（々），所以/（X）在

（-03,a）上單調(diào)遞增.

（3）關(guān)于X的不等式/.（叫+/（-2/-m3）＞8對任意的》6[0,1]恒成立，即關(guān)于.丫的不等式

/出一2雄一〃[3）＞4=/（0）對任意的x€[0,1]恒成立,

由（2）可知〃x）在（Y0,+00）上單調(diào)遞增,

令f=3，，yi,3],所以Vre[l,3],尸一加一2加2＞0,

令g（/）—2〃/,t^[1,3],

當獰,即〃T2時，g"）在口,3]上單調(diào)遞增，

所以g"）min=g（l）=l-W-2/H2＞0,解得一1＜小＜g，

當即2＜?。?時，g"）在l,g上單調(diào)遞減，在g,3上單調(diào)遞增,

所以g（，）min=g（g）=2--~2—2M2=-"2＜0,不符合題意；

\27424

當.3,即〃此6時，g”）在口,3]上單調(diào)遞減，

所以8。）111訪=8（3）=9-3〃?-2〃尸＞0，解得一3〈機＜3，與加之6矛盾，不符合題意.

（1、

綜上，機的取值范圍是-1,-.

\z）

32.（24-25高一下?安徽?開學考試）已知定義在（-1，1）上的函數(shù)滿足下列兩個條件:

/\

①對任意X，y?T，l）,都有/（x）+/'（y）=//:

11十工1，

②對任意e（-1,1）且x+y工0,都有＜0.

x+y

請解答下列問題：

（1）求/⑼的值;

（2）判斷/（X）的奇偶性及在定義域內(nèi)的單調(diào)性并證明；

（3）證明：對任意正整數(shù)〃，…—?

⑸UUUz-+3/7+1；

15/27

提示：?,/r+3/2+l=(/?+l)(n+2l-i；-TT=-.

'八>(“+1)(〃+2)n+1n+2

【答案】⑴/(o)=o

(2)奇函數(shù)，/(x)在上單調(diào)遞減，證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)賦值法令x=J，=O,可求得/(0);

(2)通過賦值令y=-x,可得/(x)是奇函數(shù)，可得

/(再)?/(X2)=/(xJ+/(f)="xJ4/(：).[$+(_/)],再結(jié)合條件即可證明單調(diào)性：

X|+(-刈

(3)根據(jù)題H中提示將J化簡為/(一、]-/(一二],再消項求和，根據(jù)單調(diào)性判斷

\n~+3n+\JV+17l〃+2j

/(一一二)>。，得證.

【詳解】(1)令x=N=0得：2/(0)=/(o),.?./(o)=o；

(2)令y=T得:f(x)+f(-x)=/(o)=0,/.f(-x)=-f(x),

??J(x)是奇函數(shù)，在(-U)上單調(diào)遞減.

下面證明：任取叱當?-1,1)且為<%，

-'?/(-Vl)-/(-V2)=fM+f(~X2)=；)?[再+(一吃)]>

X]十(一工2,

f(x.)+f(―X,)

-1vX]v/<1,?'.一1v-A\<—x<1,PIM十(-A7)^0,貝U—'i，/-、、./<0

士+(f)

W^-x2<0,M/(X,)-/(X2)>0,

.??/(可在(-1,1)上單調(diào)遞減；

???/({H撲…

=也卜(介［佃-科卜十［/(篇h

16/27

述卜焉上加D

由⑴、(2)知/(x)在(—1,1)單調(diào)遞減，/(0)=0,

.?.當xe(_l,O)時，/(x)>/(0)=0,-1<--!-<0,則/(--—)>0

〃+2n-2

?,得+小京》唱得正

考點07抽象函數(shù)的對稱性(共7小題)

34.(25-26高三上?黑龍江綏化?開學考試)已知函數(shù)/(X+1)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x)在區(qū)間［1,+4

上單調(diào)遞增，/⑴，”2)的大小關(guān)系是()

A./(-1)</(1)</(2)B./(1)</(2)</(-1)

C./(1)</(7)<八2)D./(2)</(1)</(-1)

【答案】B

【分析】由題意知y=/(x)關(guān)于工=1對稱，/(-1)=/(3),再由y=/(x)在［1,”)上單調(diào)遞增可判斷大小

關(guān)系.

【詳解】因為函數(shù)/(x+1)是定義在R上的偶函數(shù)，所以對VxeR,/(r+l)=/(x+l),

所以V=/W關(guān)于直線x=l對稱，所以/(-1)=/(3),

又因為尸/⑴在［1，+8)上單調(diào)遞增，所以/(1)</(2)<八3)=上(-1).

故選:B

35.(2025?黑龍江大慶?一模)已知函數(shù)/(》)的定義域為R,/(l+、)=/(3-x),且/(外在［2,+x)上單調(diào)遞減,

則不等式/(2X-3)>〃3)的解集是()

A.S，3)B.(—2)C.(3,-KO)D.(2,3)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱性及單調(diào)性求解函數(shù)不等式.

【詳解】由函數(shù)/(工)的定義域為RJ(l+x)=/(3-x),得函數(shù)〃由的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

又函數(shù)/(『)在［2,+00)上單調(diào)遞減，則不等式/(2x—3)>/⑶o|2x—3-2|v|3—2|,

即-Iv2x-5<1,解得2Vx<3,所以所求不等式的解集為(2,3).

故選：D

36.(25-26高三上?黑龍江?開學考試)已知定義在R上的函數(shù)八力滿足"x+2)=/(2-x),且

%/2?9,2收工七)，都有&一再)則f(0)J(3)J⑺的大小關(guān)系是()

A./(0)</(3)</(n)B./(3)</(n)</(0)

c./(0)</(7T)</0)D./(7r)</(^)</(0)

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【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)/("的圖象關(guān)于x=2對稱，且在[-8,2]上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，即可求解.

【詳解】由函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x),可得函數(shù)由(力的圖象關(guān)于x=2對稱,

又由％,占e(-勿,2](x尸x2),都有(司一馬)[/($)-/(9)]<°，

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得函數(shù)/(x)在(—,2]上單調(diào)遞減，

結(jié)合對稱性知：函數(shù)/")在(2,+力)上單調(diào)遞增，

因為3<兀<4,所以/(3)</(兀)</(4),

又因為/(4)=/(0),所以/(3)</(兀)</(0).

故選：B.

37.(25-26高一上?河北?期中)函數(shù)/(x)的定義域為R,對任意的勺毛?l，+8)(x尸￡)，有

<0,且困數(shù)為偶函數(shù),則()

“2—*1

A./(1)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(1)

C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(-2)

【答案】B

【分析】由條件推出/(X)在口，+8)上單調(diào)遞減，乂由函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)，推出/W的圖象關(guān)于直線x=l

對稱，由對稱性和單調(diào)性即可得/(-2),/(1),/(3)的大小關(guān)系.

【詳解】因為f(x)的定義域為R,

且對任意的西，々￡[1,+8)(工尸々)，有"")<0,

X2~*X\

設馬<』2,則有/(%)>/(%2)，所以<(%)在[L+8)上單調(diào)遞減.

又因為函數(shù)/(X+1)為偶函數(shù)，即/(X+1)=/(17),

所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，所以/(-2)=/(4),

則〃?2)=/(4)</(3)<〃1).

故選:B.

38.(25-26高三上?湖南?開學考試)定義在R