第四章一元一次方程

思維導圖

知識點1:方程的概念

I.定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

一個式子要想成為方程，需要同時滿足兩個條件：■是等式;⑵是含有未知數(shù).

2.方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值,叫做方程的解.

判斷一個數(shù)（或一組數(shù)）是否是某個方程的解，只需看兩點：

①它們是方程中未知數(shù)的值；

②將它們代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是.

3.解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

知識點2：等式的基本性質(zhì)

1.等式的概念：用符號』”來表示相等關系的式子叫做等式.

2.等式的性質(zhì)：

（1）基本性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等.

（2）基本性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為（）的數(shù)，結果仍相等.

名師點撥

（1）根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進行變形，等式兩位必須同時進行完全相同的變形：

知識點3；一元一次方程

L一元一次方程的定義：只含有?個方知數(shù)（元），且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，

這樣的方程叫做一元一次方程.

名師點撥

一元一次方程中的“元”是指未知數(shù)，"次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程需要同時滿足以下條件:

①是一個方程;

②必須只含有一個未知數(shù);

③含有未知數(shù)的式子都是整式；

④未知數(shù)的次數(shù)都是！.

2.一元一次方程的解法:

⑴不要漏乘不含分母的項

方程兩邊都乘以各分母的

1.去分母等式性質(zhì)2（2）分子是一個整體的，去分母后應加

最小公倍數(shù)

上括號

（1）不要漏乘括號里的項

2.去括號去括號法則去括號

⑵不要弄錯符號

含有未知數(shù)項都移到方程

3.移項等式性質(zhì)1移項要變號

左邊，常數(shù)項都移到右邊

合并同類項

4.合并同類項系數(shù)相加減，其他都不變

法則

5.系數(shù)化成1等式性質(zhì)2不要把分子、分母寫顛倒

名師點撥

解方程時，表中所給步驟是一般步驟，有些步驟可能用不到，要根據(jù)具體方程的形式而定，而且也不

一定要按照表中順序，可?以適當?shù)恼{(diào)整或刪減.

知識點4：用一元一次方程解決實際問題

由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、此、檢驗、般.

名師指點

（1）“審”是指讀懂題目,弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，

尋找等量關系；

（2）“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為工，但有時也可以間接設未知數(shù)；

（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同

一類量，單位要統(tǒng)一；

（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；

（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；

（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚.

2.常見一元一次方程應用題類型：

（1）夕亍程問題

①三個基本量間的關系：路程=速度x時間

②基本類型有：

相遇（或相向）問題：A.基本量及關系：相遇路程二速度和x相遇時間

B.尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程=兩地距離.

追及問題：A.基本量及關系：追及路程=速度差x追及時間

B.尋找相等關系：

第一，同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；

第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離=追者走的路程.

③航行問題：A.基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度,

逆流速度=靜水速度一水流速度，

順水速度一逆水速度=2x水速；

B.尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮.

解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析.

（2）工程問題

三個基本量間的關系；工作效率x工作時間=工作總量;“一般把總工作量設為1”；

3.利潤問題

常用數(shù)量關系如下：

（2）標價=成本（或進價）x（1+利潤率）

（3）實際售價=標價x打折率

（4）利潤=售價一成本（或進價）=成本x利潤率

注意：“商品利潤=售價一成本''中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的

十分之幾或百分之幾十銷售.

4.方案問題

選擇設計方案的一般步驟：

（I）運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況.

（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結

論.

易錯總結

一、正確理解一元一次方程的概念

注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知數(shù)的式子都是整式“，而整式包括單項式和多項式，這個方

程中含有二9，而這一項含有未知數(shù)，但它不是整式，所以這個方程也就不是一元一次方程；

X

二、要熟練掌握一元一次方程的一般解法

錯誤：對一元一次方程的5步解法掌握不熟練導致各種錯誤.

注意：一元一次方程是所有方程的基礎.解法必須要非常熟練，而不是會就可以，每個步驟中都有易

錯的地方.

例如：

第1步去分母中，學生最易犯的錯誤就是去分母時，不含分母的項忘記乘以各分母的最小公倍數(shù)。

第2步去括號中，學生最易犯的錯誤就是去括號時，括號前面是減號時，括號內(nèi)的各項要改變符號。

第3步移項中，學生最易犯的錯誤就是移項忘記改變符號，記住：所有穿過等號的項都要改變符號。

第4步合并同類項中，學生最易犯的錯誤就是合并同類項的法則，系數(shù)相加減，其他都不變。

第5步系數(shù)化為1中，不能整除的，分子分母最容易寫錯位置。

三、一元一次方程應用

錯誤：一元一次方程不會找等量關系.

規(guī)則：對一元一次方程的應用題中找等量關系，首先要分清題目類型，對各種類型的基本數(shù)量關系要

非常熟練，只有熟練這些基本的數(shù)量關系，才能借助各種解題策略正確找到等量關系，解題的常用策略有：

畫示意圖，畫線段圖，列表等。

易錯訓練

題型01一元一次方程的概念

【答案】B

【知識點】判斷是否是方程的解、判斷是否是一元一次方程

故選:B.

2.下列方程是一元一次方程的是（）

【答案】D

【知識點】判斷是否是一元一次方程

【分析】本題主要考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵.根據(jù)一元一次

方程的定義（只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1,且為整式方程）逐一判斷選項即可.

【詳解】解：A.方程中出現(xiàn)分母含未知數(shù)，不符合整式方程的要求，故排除；

x

B.方程含有兩個未知數(shù)x和丁，不符合“一元”條件，故排除；

C.方程中X的最高次數(shù)為2,不符合“一次”條件，故排除；

D.方程僅含一個未知數(shù)x,次數(shù)為1,且為整式方程，符合一元一次方程的定義；

故選D.

3.下列方程中，是一兀一次方程的是（）

【答案】B

【知識點】判斷是否是一元一次方程

【分析】此題考查了一元一次方程的定義，

根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程，逐一判斷各選項即

可.

故選:B.

4.下列四個方程中，一元一次方程是（）

【答案】D

【知識點】判斷是否是一元一次方程

【分析】本題考查一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)

為I的整式方程）逐一判斷選項.

故選:D.

5.下列方程是一元一次方程的是（）

【答案】C

【知識點】判斷是否是一元一次方程

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)

為I,且為整式方程）逐一分析選項即可，熟練掌握一元一次方程的定義是解此題的關鍵.

故選：c.

題型02一元一次方程的解法

1.下面解方程的過程，你認為正確的是（）

【答案】D

【知識點】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）一合并同類項與移項、解一元一

次方程（二）——去拈號

【分析】本題考查一元一次方程的解法.逐一分析各選項步驟的正確性即可.

故選：D.

2.解方程：

【知識點】解一元一次方程（二）一去括號、解一元一次方程（三）一去分母

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解題的關鍵.

（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即口J;

（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可.

3.解方程：

【知識點】解一元一次方程（二）一去括號、解一元一次方程（三）——去分母

【分析】本題主要考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題關鍵.

（1）先去括號，然后移項合并同類項，系數(shù)化為1求解即可；

（2）先去分母，然后去括號，移項合并同類項，系數(shù)化為1求解即可.

4.解下列方程：

【知識點】解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、解一元一次方程（三）——去分母

【分析】本題考查了一元一次方程的求解，熟練掌握一元一次方程的求解方法是解題關鍵.

（1）根據(jù)移項合并同類項，系數(shù)化為1的順序進行求解即可；

（2）根據(jù)去分母，去括號，移項合并同類項，系數(shù)化為1的順序進行求解即可.

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請在上面的解題過程中劃出錯誤的地方，并寫出正確的解答過

程.

【答案】圓圓的解答過程有錯誤，劃出錯誤的地方見解析，正確的解答過程見解析

【知識點】解一元一次方程（三）——去分母

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，去分母時，等式右邊的1沒有乘以系數(shù)6,去括號時等式左邊的

1沒有乘以系數(shù)3,-3沒有乘以系數(shù)-2,等式右邊的1應該是6,再按照去括號，去括號，移項，合并同

類項的步驟解方程即可.

【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤，劃出錯誤的地方如下：

正確的解答過程如下：

題型03一元一次方程的應用

1.在沿鐵路的公路上，甲乙兩汽車同時從A站向8站行駛.甲車每小時行30千米，乙車每小時行45千米，

兩車同時出發(fā)半小時后，一輛列車也從A站向8站行駛，列車行駛-一定時間后分別趕上了兩車.列車從追

上甲車到完全超過甲車用了9秒鐘，從追上乙車到完全超過乙車用了12秒鐘.當列車完全超過乙車時，列

車離開A站多遠？（列方程解應用題）

【答案】45.3千米

【知識點】行程問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查一元一次方程的實際應用，設列車的速度為每小時s千米，根據(jù)列車的長一定，列出方程，

求出s的值，設列車到達乙車的時間為,杪，根據(jù)列出仃駛的總路程等于乙車行駛的總路程，列出方程求出

f，再根據(jù)路程等于速度乘以時間，進行求解即可.

【詳解】解：列車的速度為每小時s千米，由題意可得：

列車到達乙車的時間為/小時，由題意可得：

答：當列車完全超過乙車時，列車離開A站45.3千米.

⑶如果王鵬家12月份所交水費的平均價為每立方米2.9元，那么王鵬家12月份用水多少立方米？請你設未

知數(shù)列方程完成此問.

【答案】（1）92.5元；

（3）50立方米.

【知識點】有理數(shù)四則混合運算的實際應用、電費和水費問題（一元一次方程的應用）、列代數(shù)式

【分析】（1）根據(jù)收費標準計算即可；

（2）根據(jù)題意列式即可；

（3）根據(jù)等量關系列出方程求解即可.

答：他上個月應交水費92.5元.

答：王鵬家12月份用水50立方米.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，列代數(shù)式，有理數(shù)運算的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，

根據(jù)題目給出的條件，由水費找出合適的等量關系列出方程，再求解.

3.暑假期間，某校組織學生到北京研學，研學社報價每人收費400元，當研學人數(shù)超過50人時，研學社

給出兩種優(yōu)惠方案（只選其中一種方案）：

方案一：研學團隊先交1600元后，每人再收費320元：

方案二：其中5人免費，其余每人收費打九折.

（1）請用含大的代數(shù)式分別表示方案?和方案二各收費多少元；

⑵當兩種方案的收費相同時，求該校參加研學的總人數(shù).

⑵85

【知識點】列代數(shù)式、方案選擇（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查了列代數(shù)式，以及一元一次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵.

（1）根據(jù)兩種方案的優(yōu)惠方法列出關于x的代數(shù)式即可；

（2）根據(jù)采用兩種方案的收費列方程求解即可.

答：當參加研學的總人數(shù)是85人時，采用兩種方案的收費是一樣的.

4.為推講我國“碳認峰、碳中和“雙碳目標的實現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項目.某公司計劃建設一

座小型光伏發(fā)電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，若由乙工程隊單獨施工需要6周.

（1）若甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要幾周完成？

⑵若由甲、乙兩工程隊先合作施工，剩下的由乙工程隊單獨完成，恰好用了4周完成建設任務，求甲工程

隊施工了幾周？

【答案】（1）甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要2周完成

⑵甲工程隊施工了1周

【知識點】工程問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系建立方程是解題的關鍵.

（1）設甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要x周完成，把工作總量看做單位'T',求出兩個工程隊的工作效

率，根據(jù)工作總量等于工作效率乘以工作時間建立方程求解即可.

（2）設甲工程隊施工了），周，分別求出兩個施工隊的工作量，二者的和為1,據(jù)此建立方程求解即可.

【詳解】（1）解；設甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要人周完成，

答：甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要2周完成：

（2）解；設甲工程隊施工了），周，

答：甲工程隊施工了1周.

5.《孫子算經(jīng)》是中國古代著名的數(shù)學著作，書中有一道題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五

寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？”譯文：用一根繩子去量一根木條，繩子多出4.5尺；將繩子對折后

量木條，木條多出1尺.問木條的長度為多少？請你用方程的方法解決該問題.

【答案】木條的長度為6.5尺.

【知識點】古代問題（一元一次方程的應用）

答：木條的長度為6.5尺.

（2）如圖所示，有一輛玩具小火車CD放置在數(shù)軸上，小火車可以沿數(shù)軸左右水平移動，當點。移動到點。時，

點D所對應的數(shù)為〃，當點。移動到點。時，點C所對應的數(shù)為。，求玩具小火車的長度；

【答案】（1）一3,9

⑵玩具小火車的長度為4

⑶點C所表示的數(shù)是3或9

【知識點】動點問題（一元一次方程的應用）、絕對值非負性、數(shù)軸上兩點之間的距離

【分析】題目主要考查絕對值和平方的非負性，解一元一次方程，理解題意是解題關鍵.

（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性求解即可：

故答案為：-3,9

???當點。移動到點。時，點。所對應的數(shù)為匕，當點。移動到點。時，點C所對應的數(shù)為。

:?玩具小火車的長度為4.

???點C所表示的數(shù)是3或9.

【答案】（1）1

⑵-3或5；2

【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、動點問題（一元一次方程的應用）

【分析】本題考查整式的加減運算，一元一次方程的應用.熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的

關鍵.

（1）結合數(shù)軸，進行求解即可；

（2）分點P在點八左側，點P在線段A8上，點P在點8右側三種情況，列出方程進行求解即可；

（3）分別表示出8尸和AP,代入計算即可得到結論.

故答案為：1;

（2）解