第四章一元一次方程

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)1:方程的概念

1.定義：含有的叫做方程.

一個(gè)式子要想成為方程，需要同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①

2.方程的解：使方程相等的值，叫做方程的解.

判斷一個(gè)數(shù)(或一組數(shù))是否是某個(gè)方程的解，只需看兩點(diǎn):

①它們是方程中未知數(shù)的值；

②將它們代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是.

3.解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

知識(shí)點(diǎn)2：等式的基本性質(zhì)

1.等式的概念：用符號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

2.等式的性質(zhì)：

(1)基本性質(zhì)］:.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：.

(2)基本性質(zhì)2：.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：,

名師點(diǎn)撥

(1)根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對(duì)等式進(jìn)行變形，等式兩力必須同時(shí)進(jìn)行完全相同的變形；

知識(shí)點(diǎn)3:一元一次方程

1.一元一次方程的定義：只含有_未知數(shù)(元)，且含有未知數(shù)的式子都是,未知數(shù)的次數(shù)都是這

樣的方程叫做一元一次方程.

名師點(diǎn)撥

一元一次方程中的“元''是指一，“次”是指的次數(shù)，一元一次方程需要同時(shí)滿足以下條件:

①是一個(gè);

②必須只含有一個(gè);

③含有未知數(shù)的式子都是____;

④未知數(shù)的次數(shù)都是—?

2.一元一次方程的解法：

步驟數(shù)學(xué)依據(jù)具體做法注意事項(xiàng)

(1)不要漏乘_____________

方程兩邊都乘以各分母的

1.去分母等式性質(zhì)2(2)分子是一個(gè)整體的，去分母后應(yīng)加

上括號(hào)

2.去括號(hào)，，去括號(hào)(1)不要漏乘括號(hào)里的項(xiàng)

（2）不要弄錯(cuò)符號(hào)

含有未知數(shù)項(xiàng)都移到方程

3.移項(xiàng)移項(xiàng)要______

—左邊，常數(shù)項(xiàng)都移到右邊

合并同類項(xiàng)

4.合并同類項(xiàng)系數(shù)相加減，其他都不變

法則

5.系數(shù)化成1________不要把分子、分母寫顛倒

名師點(diǎn)撥

解方程時(shí)，表中所給步驟是一般步驟，有些步驟可能用不到，要根據(jù)具體方程的形式而定，而且也不

一定要按照表中順序，可以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整或刪減.

知識(shí)點(diǎn)4：用一元一次方程解決實(shí)際問題

由此可得解決此類題的一般步驟為：.

名師指點(diǎn)

（1）“審”是指讀懂題目,弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，

尋找等量關(guān)系；

（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為工,但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；

（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同

一類量，單位要統(tǒng)一；

（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；

（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；

（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚.

2.常見一元一次方程應(yīng)用題類型：

（1）吁程問題

①三個(gè)基本量間的關(guān)系：

②基本類型有：

相遇（或相向）問題，A.基木量及關(guān)系：相遇路程=速度和x相遇時(shí)間

B.尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=兩地距離.

追及問題：A.基本品及關(guān)系：追及路程=速度差x追及時(shí)間

B.尋找相等關(guān)系：

第一，同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；

第二，同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離=追者走的路程.

③航行問題：A.基本量及關(guān)系：,

逆流速度=靜水速度一水流速度，

順?biāo)俣纫荒嫠俣?2x水速；

B.尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來(lái)考慮.

解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來(lái)分析.

（2）工程問題

三個(gè)基本量間的關(guān)系：:“一般把設(shè)為1”;

3.利潤(rùn)問題

常用數(shù)量關(guān)系如下：

（2）標(biāo)價(jià)=成本（或進(jìn)價(jià)）x（1+利潤(rùn)率）

（3）實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)x打折率

（4）利潤(rùn)=售價(jià)一成本（或進(jìn)價(jià)）=成本x利潤(rùn)率

注意：“商品利潤(rùn)=售價(jià)一成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時(shí)，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的

十分之幾或百分之幾十銷售.

4.方案問題

選擇設(shè)計(jì)方案的一般步驟：

（I）運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況.

（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)

論.

易錯(cuò)總結(jié)

一、正確理解一元一次方程的概念

注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知數(shù)的式子都是整式“，而整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，這個(gè)方

程中含有二2，而這一項(xiàng)含有未知數(shù)，但它不是整式，所以這個(gè)方程也就不是一元一次方程；

X

二、要熟練掌握一元一次方程的一般解法

錯(cuò)誤：對(duì)一元一次方程的5步解法掌握不熟練導(dǎo)致各種錯(cuò)誤.

注意：一元一次方程是所有方程的基礎(chǔ)，解法必須要非常熟練，而不是會(huì)就可以，每個(gè)步驟中都有易

錯(cuò)的地方.

例如：

第1步去分母中，學(xué)生最易犯的錯(cuò)誤就是去分母時(shí)，不含分母的項(xiàng)忘記乘以各分母的最小公倍數(shù)。

第2步去括號(hào)中，學(xué)生最易犯的錯(cuò)誤就是去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是減號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要改變符號(hào)。

第3步移項(xiàng)中，學(xué)生最易犯的錯(cuò)誤就是移項(xiàng)忘記改變符號(hào)，記?。核写┻^等號(hào)的項(xiàng)都要改變符號(hào)。

第4步合并同類項(xiàng)中，學(xué)生最易犯的錯(cuò)誤就是合并同類項(xiàng)的法則，系數(shù)相加減，其他都不變。

第5步系數(shù)化為1中，不能整除的，分子分母最容易寫錯(cuò)位置。

三、一元一次方程應(yīng)用

錯(cuò)誤：一元一次方程不會(huì)找等量關(guān)系.

規(guī)則：對(duì)一元一次方程的應(yīng)用題中找等量關(guān)系，首先要分清題目類型，對(duì)各種類型的基本數(shù)量關(guān)系要

非常熟練，只有熟練這些基本的數(shù)量關(guān)系，才能借助各種解題策略正確找到等量關(guān)系，解題的常用策略有：

畫示意圖，畫線段圖，列表等。

易錯(cuò)訓(xùn)練

題型01一元一次方程的概念

2.下列方程是一元一次方程的是（）

3.下列方程中，是一元一次方程的是（）

4.下列四個(gè)方程中，一元一次方程是（）

5.下列方程是一元一次方程的是（）

題型02一元一次方程的解法

1.下面解方程的過程，你認(rèn)為正確的是（）

2.解方程：

3.解方程:

4.解F列方程:

圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)谏厦娴慕忸}過程中劃出錯(cuò)誤的地方，并寫出正確的解答過

程.

題型03一元一次方程的應(yīng)用

1.在沿鐵路的公路上，甲乙兩汽車同時(shí)從A站向田站行駛.甲車每小時(shí)行30千米，乙車每小時(shí)行45千米，

兩車同時(shí)出發(fā)半小時(shí)后，一輛列車也從A站向3站行駛，列車行駛一定時(shí)間后分別趕上了兩車.列車從追

上甲車到完全超過甲車用了9秒鐘，從追上乙車到完全超過乙車用了12秒鐘.當(dāng)列車完全超過乙車時(shí)，列

車離開A站多遠(yuǎn)？（列方程解應(yīng)用題）

⑶如果王鵬家12月份所交水費(fèi)的平均價(jià)為每立方米2.9元，那么王鵬家12月份用水多少立方米？請(qǐng)你設(shè)未

知數(shù)列方程完成此問.

3.暑假期間，某校組織學(xué)生到北京研學(xué)，研學(xué)社報(bào)價(jià)每人收費(fèi)400元，當(dāng)研學(xué)人數(shù)超過50人時(shí)，研學(xué)社

給出兩種優(yōu)惠方案(只選其中一種方案)：

方案一：研學(xué)團(tuán)隊(duì)先交1600元后，每人再收費(fèi)320元：

方案二：其中5人免費(fèi)，其余每人收費(fèi)打九折.

(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示方案一和方案二各收費(fèi)多少元；

(2)當(dāng)兩種方案的收替相同時(shí)，求該校參加研學(xué)的總?cè)藬?shù).

4.為推進(jìn)我國(guó)“碳達(dá)峰、碳中和''雙碳目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項(xiàng)目.某公司計(jì)劃建設(shè)

座小型光伏發(fā)電站，若由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要3周，若由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工需要6周.

(1)若甲、乙兩工程隊(duì)全程合作施工，需要幾周完成？

(2)若由甲、乙兩工程隊(duì)先合作施工，剩下的由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，恰好用了4周完成建設(shè)任務(wù)，求甲工程

隊(duì)施工了幾周？

5.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中有一道題：“今有木，不