第13章統(tǒng)計(jì)(高效培優(yōu)單元測試?提升卷)

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)

1.若一組樣本數(shù)據(jù)5,??八的方差為2,之(-1)%=-2,尤=七+(-1)(=12..,8),則樣本數(shù)據(jù)必,%…，”

1-1

的方差為.

【答案】2.5

【分析】根據(jù)方差的定義列出v滿足的式子，結(jié)合已知條件代入即可求得，.

【詳解】

88888

￡(M一于￡g+(T)’一斤+￡(2x(-1)%—2為弁+￡((—1產(chǎn)-2乂(_1)，](?)

??,、―JI-)=1一1=1=I

一--8--8-8

￡x；+2Z(-l)X-2yE%+8+E(y)2

、，_Z=l/=!r=lf=l9

y8

￡(再-才+_8

v—=------~~--=2/=x,>(—l)'Xj=-2，

888888g

￡:+2t(-1/a-2迂X,+8+之(y)2+2x(-2)-2迂巧+8+之(x)2

..=上j-----id-----------id-------ul----=上1---------------irJ-------id----=24--=2.5"

'882

故答案為：2.5

2.某中職學(xué)校為了解全校學(xué)生國慶小長假期間閱讀古典名著的時(shí)間的情況，抽查了1000名學(xué)生，將他們

的閱讀時(shí)間進(jìn)行分組：[2,4),[4,6),[68),[8,10),[10,12].抽樣結(jié)果繪成的頻率分布直方圖如圖所示.則實(shí)數(shù)

a=.這1000名學(xué)生閱讀古典名著的時(shí)間不少于8小時(shí)的人數(shù)為.

頻率

【分析】①由直方圖中所有矩形的高度之和乘以組距為1可求解，②再由頻率分布直方圖求出時(shí)間在8小

時(shí)以上的頻率，再求人數(shù).

【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖的幾何意義，坐標(biāo)系內(nèi)的所有矩形的高度之和乘以組距為定值1,

1/20

所以(0.04+0.05+0.12+4+0.15)x2=1,得“=().14,

閱讀時(shí)間不少于8小時(shí)的人數(shù)為(0.05+0.14)x2xl000=380.

故答案為：?0.14,②380.

3.為了調(diào)查柳高高二年級歷史類班級對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱愛程度，對一教三樓的5個(gè)班級進(jìn)行問卷調(diào)查，得到

這5個(gè)班級中每班熱愛數(shù)學(xué)程度偏低的學(xué)生人數(shù)為aw，七,七,不(具體數(shù)據(jù)丟失)但已知這5個(gè)數(shù)據(jù)的方

121

差為4,平均數(shù)為——+------1的最小值(其中x+y=w，x,yeR.),且這5個(gè)數(shù)互不相同，則其最大值

x+2y3x+y5

為，數(shù)據(jù)的極差為.

【答案】10：6.

I1?

【分析】先根據(jù)題設(shè)x+y=結(jié)合一元二次函數(shù)性質(zhì)求出——------1的最小值，進(jìn)而推出這

5x+2y3x+y

5個(gè)數(shù)的和以及(內(nèi)-7)2+(/-7)，(巧-7)2+(匕-7)2+(再-7)2=2(),從而推出這5個(gè)數(shù)及其最大值和極差.

【詳解】因?yàn)閤+y=g,x/cR",所以y=g-x>0,解得

JJJ

12,12

,,------1-------1=---------1-----：----1

故"2y3x+y

+3J+L_%

55

------1--------1=----------5-----1

此時(shí)x+2y3x+y(3Y1取得最小值7,

故々+X?+*3++工5=35,

22222

(X,-7)+(x2-7)+(x3-7)+(x4-7)+(x5-7)=20,

這5個(gè)數(shù)互不相同，故(石-7『,億-7『,伍-7)2,(,5-7)2,(%-7)屋{0,1,9},

不妨令X]=4,±=6,為=7,/=8,%=10,滿足占+x2+x3+x4+玉=35,

所以這5個(gè)數(shù)中，最大值為10,數(shù)據(jù)極差為10-4=6.

2/20

故答案為：10;6.

4.如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)共分3組，分別為［510),［10,15卜［15,20).估計(jì)該樣本數(shù)

據(jù)的第60百分位數(shù)是.

【答案】14

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】由題圖知，數(shù)據(jù)落在區(qū)間［5,10)上的頻率為0.04x(10-5)=0.20,

數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,15)上的頻率為0.10x5=0.50,

所以第60百分位數(shù)是10+5x黑WJ=14.

故答案為：14.

5.為了研究某種病毒與血型之間的關(guān)系，決定從被感染的人群中抽取樣本進(jìn)行調(diào)查，這些感染人群中。型

血、力型血、3型血、力8型血的人數(shù)比為4:3:3:2,現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本量為

〃的樣本，已知樣本中。型血的人數(shù)比43型血的人數(shù)多20,則〃=.

【答案】120

【分析】計(jì)算出樣本中O型血、型血的人數(shù)，結(jié)合題意可得出關(guān)廠〃的等式，解之即可.

【詳解】因?yàn)楦腥救巳褐蠴型血、力型血、B型血、48型血的人數(shù)比為4:3:3:2,

所以‘抽取樣本量為〃的樣本中，。型血的人數(shù)為萬三

Inn

44型血的人數(shù)為

4+3+3+26

所以，rrr2^解得〃=儂?

故答案為：120.

6.近年來，加強(qiáng)青少年體育鍛煉，重視體質(zhì)健康已經(jīng)在社會形成高度共識.為了考察某校各班參加兩項(xiàng)以

上體育項(xiàng)目鍛煉小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取五個(gè)班級，把每個(gè)班級參加兩項(xiàng)以上體育項(xiàng)目鍛煉小組的人

數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)?.已知樣本平均數(shù)為九樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為2,若樣本數(shù)據(jù)各不相同，則樣本數(shù)據(jù)的80%分位

3/20

數(shù)是.

【答案】9

【分析】設(shè)5個(gè)數(shù)據(jù)由小到大分別為a,b,c,d,e,根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差求出這5個(gè)數(shù)據(jù)，然后通過百分

位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】由題意，可知樣本平均數(shù)為7,樣本的方差為4,設(shè)5個(gè)數(shù)據(jù)由小到大分別為a,b,c,d,e,

貝++c+d+0=5x7=35.(a-7)2+(h-7)2+(c-7)2+(^-7)2+(e-7)2=5x4=20.

由F5個(gè)數(shù)的平方和為20,則必為0+1+1+9+9=20.

l+l(x-7)2=9,解得x=10或4；i(x-7)2=1,解得x=6或8,

故樣本數(shù)據(jù)為4,6,7,8,10.

因?yàn)?x80%=4,所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為g(8+10)=9.

故答案為：9

7.對于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本為、Z、…、/，記這〃，個(gè)數(shù)的第2百分位數(shù)為左<99,ZeZ).若及不

在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間(兒,旦。)中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，則，"的所有可能值組成的集合為.

【答案】{50,55}

【分析】就0.9x機(jī)是否為正整數(shù)分類討論，若為正整數(shù)，則5個(gè)數(shù)分別為覆7，…，心；若不為整數(shù)，則5

個(gè)數(shù)分別為/川,…,與一，就％,s為范圍分類計(jì)算后可得小的所有可能值組成的集合.

4

【詳解】不妨設(shè)2VLK，因?yàn)椋ゲ辉谶@組數(shù)據(jù)，故0.8><m=9〃為止整數(shù)，

若0.9、〃?=而為正整數(shù)，故〃?=10左，其中左為正整數(shù)，

UrD—+X.+1D-X*+

取S-2，F(xiàn)-2，

因?yàn)樵趨^(qū)間(&,%,)中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，

故這個(gè)5個(gè)數(shù)分別為%旬故泌-(8八1)24印心5,

但當(dāng)后N8時(shí),9Ar-(8Zr+l)>7,此時(shí)…，加至少有6個(gè)，

故￡=5,6,7,

當(dāng)A=5時(shí)，…(即為》41，%&,443/44，%45，共5個(gè),符合；

4/20

當(dāng)上=6時(shí)，/*“，…，*外即為“49，演0，*51，”52，”53，”54，共6個(gè),不符合;

3A=7時(shí)，即為"57,38，*59，%＞，“6””62，%，共7個(gè),不符合:

若0.9x〃?為不是整數(shù)，故加=5/,其中/為正奇數(shù)，

設(shè)陽=IOs+5,其中$為正整數(shù)，

則0.9x〃i=9s+4.5,I[0.8x〃？=8s+4,故[0.9xm]=9s+4,

■lp-D-“Ks+4-心+5

門乂(’90一人r9s+5，-i，

因?yàn)樵趨^(qū)間(Eo,4,)中的數(shù)據(jù)有且只有5個(gè)，

故這個(gè)5個(gè)數(shù)分別為%+???,W，故9s+4-(8s+5)N4即sA5,

但當(dāng)sN8,9s+4-(85+5)之7,此時(shí)/一,…,與田至少有6個(gè)，

故$=5,6,7,

’|*=5時(shí)，/s+S，…,即為、45，￥46，%47，了48，“49，共5個(gè),符合;

當(dāng)次=6時(shí),4+5，…,“9S+4即為“S3，，54?“55，%S6，%，/8?共6個(gè),不符合:

芻1=7時(shí),工85+5/，'，*9,+4即為“，*62，工63，，64，*65，*66，?％，共7個(gè),不符合;

綜上，符合條件的〃，為50,55,

故答案為：{50,55}.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與不等式有關(guān)的整數(shù)解問題，可先根據(jù)區(qū)間中含有的整數(shù)的個(gè)數(shù)初步確定參數(shù)的范圍,

再逐個(gè)討論后舍去矛盾的情況即可.

8.在大數(shù)據(jù)時(shí)代，由于整合不同來源的數(shù)據(jù)需要以及在數(shù)據(jù)量龐大的情況下為減少計(jì)算量，實(shí)際上在計(jì)算

機(jī)中計(jì)算方差是使用遞推方法進(jìn)行計(jì)算的.先計(jì)算前面k個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)工和方差s),再計(jì)算前面片+1個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)京x和方s工，計(jì)算s工可利用遞推式：/“L/MZ)+g⑹.(不一/)2,則

/(k)g(4)=.

【答案】21

Z+1

【分析】由方差公式得1T￡(七一兀二)2,由前4+1個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：7r=kXk+K,得

次+1仁',A+,k+1

%-￡7="(二-或)，進(jìn)行代入替換求解.

5/20

【詳解】前〃個(gè)數(shù)據(jù)的方差為:

前4+1個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：二J

A+,k+1

X

得“*+iT*+I="(^?*+1~k),

則以"±加KF=得力，F(xiàn)『V%守

=￡岑—。仔(￡Yj

=白都F+坐港卜母品「同+后七力

k_kk__

因?yàn)椤礮七一匕)=2%一〉^?=片4_攵/二o,

r-lf-li-l

所以s—=W￡(%rJ+土￡("fJ+看tifJ

告底二片即1J

=言苴上清+際臼

=￡十+何一動

k

結(jié)合題意得，f(k)=-/—,g(k)=k,

k+1

故f(k)?g(k)=7"一?k=——.

k+1k+1

故答案為：￡

1+1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由前"1個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：/,得％「部=4任二-1)，進(jìn)行

數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵.

9.已知總體劃分為兩層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)、樣本方差分別為〃?，；，s；；

〃，y,S；.記總的樣本平均數(shù)為石，樣本方差為$2,則s2=1〃？s：+G一同2+〃52+(-_-yy該公

4

式可以用來解決樣本數(shù)據(jù)的最值問題.已知7個(gè)樣本數(shù)據(jù)的均值為2,方差為則這7個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位

數(shù)的最大值為.

【答案】3

6/20

【分析】設(shè)這7個(gè)樣本數(shù)據(jù)為再,*2,…，七，且2K…式與，玉，吃,巧的均值為"方差為S；：.9戶5戶6/7的

均值為1方差為將嚏=若如代入題設(shè)總體方差公式求出亍即可得解.

【詳解】設(shè)這7個(gè)樣本數(shù)據(jù)為石用，…，再，且可“1?????>，

X"2，%3的均值為嚏，方差為S；；3，孫丹，可的均值為7，方差為S；，

則色尹=2=還失"，：=#卜；+m-2）［+4［5；+（歹-2）〔上扣（針2）2+4（歹-2）］，當(dāng)且僅當(dāng)

$：=s；=0時(shí)取等號；

所以+4（7—2f<^\<y<3,

\/

-2

所以當(dāng)陽=/=.0=x=§,5=&=4=5=3時(shí)中位數(shù)可以達(dá)最大，

故答案為：3

10.對于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本用,々，…,心,記這，〃個(gè)數(shù)的第1百分位數(shù)為&（199,丘Z）.若在區(qū)間

（七,&）中的樣本數(shù)據(jù)有且只有13個(gè)，則m的所有可能值的和為.

【答案】345

【分析】分06〃,08〃是否為整數(shù)求出fo,根據(jù)在區(qū)間（幾,之）中的樣本數(shù)據(jù)有且只有13個(gè)，取得加的

范圍，然后驗(yàn)證可得.

【詳解】不妨假設(shè)演<》2<…<與，用［可表示不超過工的最大整數(shù).

著0.6加為正整數(shù)，即Y為正整數(shù)，則機(jī)是5的倍數(shù)，此時(shí)0.8冊必是正整數(shù)，

貝”二+.06,w“p_戈OMr+七Ka“

則在-區(qū)I山（以0，4）的數(shù)據(jù)為％6冽+1，X0.6掰+2?""?XMm?

所以0.8加一0.6加=13,解得m=65；

0.6m,0.8m都不是正整數(shù),則4=X…，％=電位，

則在區(qū)間（%,%）的數(shù)據(jù)為午0.642?，.6川+3，…，毛0.8司，

所以［0.8小］一［0.6m］=14,則12<0.8加一0.6加<14,

解得初=66,67,68,69,70,71,72,73,74.

7/20

綜一〃，的可能取值有65,66,67,68,69,70,71,72,73,74.

當(dāng)川=65時(shí),在區(qū)間（Eo，%）內(nèi)的數(shù)據(jù)有%,與，…，如，共13個(gè)數(shù)，滿足題意；

當(dāng)初=66時(shí)，在區(qū)間（％,%）內(nèi)的數(shù)據(jù)有孫，飛,…,如，共12個(gè)數(shù),不滿足題意;

當(dāng)加=67時(shí)，在區(qū)間記o，&）內(nèi)的數(shù)據(jù)有右，％，…，七，共12個(gè)數(shù)，不滿足題意；

當(dāng)切=68時(shí),在區(qū)間（兒，心）內(nèi)的數(shù)據(jù)有4，％，…，卬,共13個(gè)數(shù).滿足題意：

當(dāng)加=69時(shí)，在區(qū)間（％,4）內(nèi)的數(shù)據(jù)有%，%「一，/5,共13個(gè)數(shù)，滿足題意；

當(dāng)加=7（）時(shí)，在區(qū)間（兒），兒）內(nèi)的數(shù)據(jù)有%，％，…，4,共14個(gè)數(shù)，不滿足題意；

當(dāng)用=71時(shí)，在區(qū)間（&,%）內(nèi)的數(shù)據(jù)有力,%，…，⑥，共13個(gè)數(shù)，滿足題意;

當(dāng)川=72時(shí)，在區(qū)間（兒），私）內(nèi)的數(shù)據(jù)有打，%6,…，如，共13個(gè)數(shù)，滿足題意；

當(dāng)州=73時(shí)，在區(qū)間（%,%））內(nèi)的數(shù)據(jù)有打，兒6,…，物，共14個(gè)數(shù)，不滿足題意;

當(dāng)〃1=74時(shí)，在區(qū)間（％%）內(nèi)的數(shù)據(jù)有乙,右，…,0，共14個(gè)數(shù)，不滿足題意：

故用的可能取值有65,68,69,71,72,65+68+69+71+72=345.

故答案為：345

11.某果園種植了一批蘋果樹，分為力、6兩個(gè)品種，為調(diào)查蘋果產(chǎn)量（單位：kg）,采用分層隨機(jī)抽樣原

則抽取了20個(gè)樣本.現(xiàn)由于某種原因，這些原始樣本數(shù)據(jù)不可查得，已知樣本中力品種12棵，平均產(chǎn)量

為30,方差為14；8品種8棵，平均產(chǎn)量為35,方差為10,則利用已知數(shù)據(jù)可估計(jì)出這20顆蘋果樹產(chǎn)量

的總體方差為.

【答案】18.4

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義和性質(zhì)，由兩組數(shù)據(jù)的均值和方差，計(jì)算總的均值和方差即可.

【詳解】設(shè)4品種12棵產(chǎn)量為…，/，8品種8棵產(chǎn)量為乙也，…也，

則A品種平均產(chǎn)量為30得=30,解得￡>=12x30=360：

12f-i

同理以=8x35=280,則兩組合并總均值亍=“二（360+280）=32；

/=I203=1/=1/20

由力品種方差為14得s；12x30?1=14,解得%；=14x12+12x30?=10968；

123=1）J=I

8/20

8

同理Z"=10x8+8x35?=9880,

；+-20x3^卜》(10968+9880-20480>18.4；

則兩組合并總方差為

故答案為：18.4.

12.某公司為了調(diào)查員工的體重：單位：千克），因?yàn)榕畣T工遠(yuǎn)多于男員工，所以按性別分層，用按比例分

層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，已知抽取樣本中所有員工體重的方差為120,其中女員工的平均體重為50,

方差為50,男員工的平均體重為70,方差為30.若樣本中有21名男員工，則樣本中女員工的人數(shù)為.

【答案】63

【分析】由題意，知樣本中男、女員工的平均體重和方差分別為焉=70,吊=50,5；=30,s：=50,所占

權(quán)重分別為1-q和”3>0.5）,根據(jù)分層抽樣的均值和方差公式列方程求出出的值，即可求得女員工的人數(shù).

【詳解】由題意，記樣本中女員工的平均體重和方差分別為工=50,s：=50,所占權(quán)重為。（3〉0.5）,

男員工的平均體重和方差分別為工'=70,s；=30,則所占權(quán)重為1-3,

則樣本中全部員工的平均體重為產(chǎn)寂；+（1-助兀=70-20①，

依題意，方差為S2=+［一再）］+（1-69+卜一》2

=心0+（20-20①）［+（1-皿30+（-200）］

=-400rw2+420^+30=120?

化簡得40420+9=0,解得。=0.75或。=0.3（舍）.

21

所以女員工的人數(shù)為：y--x0.75=63.

故答案為：63.

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正

確選項(xiàng)）

13.已知力組數(shù)據(jù)"與，毛,L,為“〃和8組數(shù)據(jù)〃八〃W［5,+8））的平均數(shù)分別為80,90,

方差分別為15,20,若〃?=4〃，則由48這兩組數(shù)據(jù)構(gòu)成的所有數(shù)據(jù)的總體方差為（）

A.15B.32C.35D.42

【答案】B

【分析】首先計(jì)算總體平均數(shù)，再代入總體方差公式，即可求解.

9/20

【詳解】由條件可知，總體平均數(shù)N=一‘一X80+_-X90=T—X80+—」X90=82,

w+nm4-n4"+〃4〃+n

設(shè)彳組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為亍，方差為1，6組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是歹，方差是4，

所以所有數(shù)據(jù)的總體方差1=S：+（胃-三）-[$；+（了-彳）2,

=-^-x[15+（80-82）2]+^—x[20+（90-82）：]=32.

故選：B

14.在對某中學(xué)高三年級學(xué)生體重（單位：kg）的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取

部分學(xué)生進(jìn)行測量.已知抽取的男生有60人，其體重的平均數(shù)和方差分別為65,32,抽取的女生有40人，

其體重的平均數(shù)和方差分別為55,12,則估計(jì)該校高三年級學(xué)生沐重的方差為（）

A.24B.27C.48D.54

【答案】C

【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣樣本平均數(shù)公式和力差公式即可算出答案.

【詳解】記總樣本的平均數(shù)為1則x=^x65+^x55=61,

所以總樣本的方差/=粉、[32+（61-65）[+^x[12+（6l-55）1=48,

所以估計(jì)該校高三年級學(xué)生體重的方差為48.

故選：C.

15.己知樣本數(shù)據(jù)小心,……的各項(xiàng)均不為0,這組樣本數(shù)據(jù)的方差為T，寸＞0,樣本數(shù)據(jù)同小』,L小」的

方差為學(xué).設(shè)甲：s；=s；,乙：對吃,…戶,全為正數(shù)，或演一巧,…1全為負(fù)數(shù).則甲是乙的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

1n

【分析】先證明充分性，設(shè)演，￡，???，x”的平均數(shù)為〃，|演|,上|,…,同的平均數(shù)為啜

〃r=l

因?yàn)镾；=S；,所以〃2=/,|川=叭結(jié)合絕對值不等式得到充分性成立，再分對在….，全

〃1=1

為正數(shù)和全是負(fù)數(shù)兩種情況，得到必要性成立，得到結(jié)論.

【詳解】充分性：設(shè)為，對…,4的平均數(shù)為〃，閔,闖，…，聞的平均數(shù)為「

1n1n1n

21V-'2221I|22122

s[=一￡xj-,s^=~xmt=-ZX-y

n，=1nr=lnr=1

1?1n

因?yàn)閟：=$所以一\＞：一〃2=一?；一/，所以〃2=/,

ni=l〃/=1

10/20

其中卜＞0,故=L

由絕對值不等式得1〃1=6斗,卜［￡同=啜

當(dāng)且僅當(dāng)天,出，…，4同號,即修，和…，/全為正數(shù),或玉，叼，…I全為負(fù)數(shù),等號成立,

故充分性成立，

必要性：若對匕，…，。全為正數(shù)，則|七|=再，/=L2,3,顯然s；=$,

若斗,x〃…，X。全為負(fù)數(shù)，則上.|=Tj,j=l,2,3,…,”，

設(shè)斗小，…，兒的平均數(shù)為〃，則|西|,周，…，氏|的平均數(shù)為一〃，

"以3"加卜（-〃）2=垃j,

nr=ln?=1ni=1

S；=S；,必要性成立，

綜上，甲是乙充分必要條件.

故選：A

16.為了解某企業(yè)喜愛打羽毛球、打籃球和游泳的職工年齡情況，統(tǒng)計(jì)了該企業(yè)第一車間的所有職工喜愛

打羽毛球、打籃球和游泳構(gòu)成比例（每位職工必選一項(xiàng)體育活動且只選一項(xiàng)）.得到如下餅圖：

若喜愛打羽毛球的職工年齡（歲）的均值與方差分別為50,25,喜愛打籃球的職工年齡（歲）的均值與方差

分別為30,5,喜愛游泳的職工年齡（歲）的均值與方差分別為40,15.則下面結(jié)論中小走珍的是（）

A.該企業(yè)喜歡打籃球的職工人數(shù)可能多于喜歡游泳的職工人數(shù)

B.第一車間喜歡打羽毛球的職工有一些年齡比較大

C.第一車間所有職工平均年齡為39歲

D.第一車間所有職工年齡方差不超過喜愛打羽毛球、打籃球及游泳的職工的年齡方差之和

【答案】D

【分析】逐項(xiàng)分析各選項(xiàng)對應(yīng)的數(shù)據(jù)即可得到正確答案.

【詳解】選項(xiàng)A：第一車間職工喜愛的體育活動情況不等同于該企業(yè)情況，所以選項(xiàng)A說法正確；

11/20

選項(xiàng)B：喜愛打羽毛球的職工年齡（歲）的均值與方差分別為50,25,說明有些職工年齡比50大，所以選項(xiàng)

B說法正確；

選項(xiàng)C：樣本均值：丁=蓋*50+篇x30+器x40=39,所以選項(xiàng)C說法正確；

選項(xiàng)D：樣本方差：

『=焉［25+（50-3淚+前5+（30—39月+—二[15+(40-39)2]=73>(25+5+15)=45,所以選項(xiàng)D說

法錯誤.

故選：D.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17?19題每題14分，第20、21題每題18分.）

17.在對重慶市某中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用分層抽樣，抽取了一個(gè)容量為40的樣本，其中男

生18人，女生22人，其觀測數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：

男生：172.0174.5166.0172,0170.0165.0165.0168.0164.0

172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0

女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0

162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0

155.0148.0172.0162.5

⑴從身高在［74。176.0］的男生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率：

⑵利用所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識比較樣本中男生、女生的身高的整齊程度；

⑶估計(jì)該中學(xué)高一年級全體學(xué)生身高的方差（精確到0.1）.

參考數(shù)據(jù)：其中男生樣本記為王，工2,???，/，女生樣本記為必，為，…，％2,其中4gx：*29083.3,嚏=170.5,

/-I

］22_

—?25799.4,亍=160.5,170.52?29070.3,160.52?25760.3.

22f=1

【答案】（1）尸=。

。）樣本中男生的身高比較整齊：

⑶52.1

【分析】（1）身高在區(qū)間［174.0,174.5］的3名男生分別記為〃，身高在（174.5,176.0］的三名男生分別記

為d,e,利用列舉法能求出至少有1人的身高大于174.5cm的概率；

（2）分別求出男生女生身高的平均數(shù)和方差，比較平均數(shù)和方差的大小，能求出結(jié)果：

（3）利用分層抽樣的平均數(shù)與方差公式即可得解.

12/20

【詳解】(1)身高在區(qū)間［174.0,176.0］共有4名男生，其中2名男生身高位?。?74.0,174.5］分別記為4,B,

身高在(174.5,176.0］的三名男生分別記為d,e,

從身高在［174.0,176.0］中的男生中抽取2人，基本事件總數(shù)6個(gè)，分別為：

(48),(4d),(4e),(d,e)

其中至少有1人的身高大于174.5cm包含的基本事件有5個(gè)，分別為：

(40)，(4e)，(3,e),?,e),

「?至少有1人的身高大「174.5cm的概率為尸="

(2)男生身高的平均數(shù)為￡=170.5,

男生身高的方差為S：=七乞《-疔=白以2=29083.3-29070.25=13.05,

?of=|Iojr=r

女生身高的平均數(shù)為r=160.5,

女生身高的方差為3-切2=4￡城-r*25799.4-25760.3=39.1,

22r=1幺2r=l

.?.樣本中男生的身高比較整齊；

(3)把總體樣本的平均數(shù)記為彳,方差記為T,

則^=4(170.5、18+160.5x22)=165,

sYB+GT］嗡s；/于］

=(［13.05+(165-170.5)2］+卷〔39.1+(165-160.5『卜52.1,

18.某校高一年級開設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)(止手發(fā)高遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊

球、殺球以及半場計(jì)時(shí)往返跑)考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如

圖所示.

個(gè)頻率/組距

⑴由頻率分布直方圖，求出圖中，的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)：

⑵為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法(樣本量校比例分配),

13/20

從得分在［70,90)內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求兩人得分分別來自［70,80)和［80,90)的

概率：

(3)現(xiàn)已知直方圖中考核得分在［70,80)內(nèi)的平均數(shù)為75,方差為6.25,在［80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85,方差為

0.5,求得分在［70,90)內(nèi)的平均數(shù)和方差.

【答案】⑴1=0.030,85

(2)T

⑶得分在［70,90)內(nèi)的平均數(shù)為81,方差為26.8.

【分析】(1)首先根據(jù)頻率和為1求出1=0.03,再根據(jù)百分?jǐn)?shù)公式即可得到答案；

(2)求出各自區(qū)間人數(shù)，列出樣本空間和滿足題意的情況，根據(jù)古典概型公式即可：

(3)根據(jù)方差定義，證明出分層抽樣的方差公式，代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)由題意得：10x(0.01+0.015+0.020十/十0.025)=1,解得y0.03,

設(shè)第60百分位數(shù)為x,貝lJ0.01xl0+0.015xl0+0.02xl0+0.03xa-80)=0.6,

解得x=85,第60百分位數(shù)為85.

Q12

(2)由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在［70,80)的有5x元=2人，設(shè)為力、B,在［80,90)的有5x元=3

人，設(shè)為。、b、c.

則樣本空間為C={(48),(4。),(43,(40(5,a),(8,b),(8,c),(“>),(%),(b,c)}/(C)=10.

設(shè)事件“一兩人分別來自［70,80)和［80,90),則歷={(40(4,辦(力?,(8,*(8向,(8?},〃(")=6,

“c/i八”(M)63

因此P(M)=——---=—=—,

”(C)105

3

所以兩人得分分別來自口0,80)和［80,90)的概率為〒

(3)由題意知，落在區(qū)間［70,80)內(nèi)的數(shù)據(jù)有40x10x0.02=8個(gè),

落在區(qū)間［80,90)內(nèi)的數(shù)據(jù)有40X10x0.03=12個(gè).

記在區(qū)間［70,80)的數(shù)據(jù)分別為再平均分為亍，方差為$；；

在區(qū)間［80,90)的數(shù)據(jù)分別為為加外,…,加,平均分為9，方差為學(xué)：

這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為彳，方差為s2.

上曠*,八一”2幺”，八二口一1白-1vnil_8x+12v8x75+12x85O1

由題意，x=75,y=85,sx=6.25,5,=0.5,且％=7；2用，則2=---^-=-----------=81.

o/=|12JT2020

14/20

根據(jù)方差的定義，$2=：￡（占一刃，之（匕￡，「尸產(chǎn)z一）

/U「=iy=1J2U|j=l7=1

=[匠（大一才+￡（X書+2行-0力X,-1）+2已時(shí)+*y-Z）2+2。二z）去力二｝

由E（x/-^）=Ex/~&F="E（%-尸）=力廠i2?=o,

i=l/=1j=l

可得/=:之（x[埒+火年-打+￡1廠廠）2+￡。二Z丁

ZULf=）/=]y=i

=點(diǎn)〔阮+妒一力2+125；+12（7-Z）2]

=][$;+叵一寸]+1[^+（歹一刃1

=-[6.25+（75-81）2]+-[0.5+（85-8以]=26.8

故得分在[70,90）內(nèi)的平均數(shù)為81,方差為26.8.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是充分利用方差定義，推導(dǎo)出分層抽樣的方差計(jì)算公式即可.

19.某校舉行了數(shù)學(xué)、英語兩門學(xué)科競賽，兩門學(xué)科競賽前10名成績的莖葉圖如下：

數(shù)學(xué)競賽前10名分?jǐn)?shù)英語競賽前10名分?jǐn)?shù)

86420014001234

8642136789

⑴分別求出數(shù)學(xué)、英語競賽前10名分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)：有一名同學(xué)的數(shù)學(xué)與英語競賽成績均在前10名，但是老師卻將其數(shù)學(xué)與英語競賽成績統(tǒng)計(jì)

反了，己知正確的數(shù)學(xué)競賽前10名分?jǐn)?shù)的平均分為141,標(biāo)準(zhǔn)差為J萬.

（i）求正確的英語競賽前10名分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差；

（H）為了便于成績分析，對數(shù)學(xué)競賽前10名的正確分?jǐn)?shù)進(jìn)行"M分?jǐn)?shù)”轉(zhuǎn)換，要求如下：轉(zhuǎn)化前后名次不

變，且10個(gè)“M分?jǐn)?shù)”的平均分為50、標(biāo)準(zhǔn)差為10.請你給出一個(gè)滿足要求的線性轉(zhuǎn)換公式：>=履+〃（其

中，x表示數(shù)學(xué)競賽分?jǐn)?shù)，N表示數(shù)學(xué)競賽分?jǐn)?shù)對應(yīng)的“M分?jǐn)?shù)"，〃為常數(shù)），并證明.

【答案】（1）數(shù)學(xué)、英語競賽前10名分?jǐn)?shù)的平均數(shù)分別為140、140；標(biāo)準(zhǔn)差分別為2"，";

15/20

(2)(i)正確的英語競賽前10名分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為而：

(ii)%=也叵，“=50-141°后,證明見解析.

1717

【分析】(1)根據(jù)莖葉圖給出的數(shù)據(jù)、利用平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差公式直接計(jì)算；(2)(i)由數(shù)學(xué)平均分的差異說

明該同學(xué)正確的成績應(yīng)該是數(shù)學(xué)比英語多10分，找到可能的數(shù)據(jù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差驗(yàn)證；(ii)給定線性轉(zhuǎn)換公

T、10歷1410VF7訐嶼注

y=--------x+c5n0----------------，開芍euh.

1717

【詳解】(1)設(shè)數(shù)學(xué)、英語競賽前10名的平均分分別為［、與，標(biāo)準(zhǔn)差分別為母、與，

—1z、

則%=m(140+140+142+144+146+148+132+134+136+138)=140,

5,=^(0+0+4+16+36+64+64+36+16+4)=瓜=26

一1

“2=—(140+140+141+142+143+144+136+137+138+139)=140,

%=J)。10+山49I16+16+9卜411)=&

(2)(i)因?yàn)檎_的數(shù)學(xué)競賽前10名的平均分為141,所以正確總分比錯誤的總分多了10分,

所以該同學(xué)數(shù)學(xué)成績與英語成績相差10分，由莖葉圖，可能是英語132分?jǐn)?shù)學(xué)142分統(tǒng)計(jì)反了；也可能是

英語134分?jǐn)?shù)學(xué)144分統(tǒng)計(jì)反了;

若英語132分?jǐn)?shù)學(xué)142分，則e=+1+1+9+25+49+1+49+25+9=/17：

若英語134分?jǐn)?shù)學(xué)144分，則瓦=,需(1+1+1+9+25+49+81+9+25+9=v/Tl：

所以是英語132分?jǐn)?shù)學(xué)142分統(tǒng)計(jì)反了.

所以英語正確的平均分Z=A(14°+140+141+132+143+144+136+137+138+139)=139,

英語正確分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差邑+1+4+49+16+25+9+4+1+。=771；

(ii)設(shè)轉(zhuǎn)換公式為丁=燈+〃,則50=1414+〃，

1io,

所以10=｛正自(例+〃-50)‘，將〃=50-14味代入,

得=叫丁柝,所以?、鑊,〃=5。-皿力

710仟，1717

即滿足要求的線性轉(zhuǎn)換公式為：)，=應(yīng)2》+50-巴5叵，下面證明

1717

因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)''轉(zhuǎn)換之前的10個(gè)正確分?jǐn)?shù)的平均分是1=141,標(biāo)準(zhǔn)差為』=后,

16/20

則轉(zhuǎn)換后的平均分，=納叵、141+50-四亞=50;

1717

因?yàn)?—Of=(唁x+50-噌Ii］=錚141)2,

所以轉(zhuǎn)換后的標(biāo)準(zhǔn)差s=，與s：=樗X17=10,

即轉(zhuǎn)換公式尸回亙x+50-巴5叵滿足條件得證.

'1717

【點(diǎn)睛】利用轉(zhuǎn)換公式建立新舊數(shù)據(jù)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系，確定左，〃的取值是關(guān)鍵.

20."綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生〃的理念越來越深入人心，現(xiàn)已形成了全民自覺參與,

造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)達(dá)展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理

和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn).現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出100人，并將這100

人按年齡分為第1組［25,35),第2組［35,45),第3組［45,55),第4組［55,65］,如圖所示.

⑴求。的值，并估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù);

(2)現(xiàn)從年齡在［35,45)及［45,55)的人群中按分層抽樣抽取5人，再從中選2人作為生態(tài)文明建設(shè)知識宣講員,

求這兩人來自同一組的概率;

⑶從年齡在［35,45)及［45,55)的人群中按分層抽樣共抽取50人,在抽取的人中年齡在［35,45)的平均數(shù)為

40,方差為14,年齡在［45,55)的平均數(shù)為50,方差為24.

(i)已知總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:

,記總的樣本平均數(shù)為樣本方差為一.證明：

(ii)用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中年齡的平均數(shù)和方差.

【答案】⑴。=。.03,平均數(shù)為50；中位數(shù)為與

17/20

（3）（i）證明見解析

（ii）z=46，s2=44

【分析】（1）根據(jù)頻率分布圖的頻率之和為1，計(jì)算即可求得進(jìn)而利用平均數(shù)與中位數(shù)的意義求解即可;

（2）按分層抽樣從抽取的5人中任抽2人，列舉出所有基本事件，再利用古典概型概率公式計(jì)算即可求解.

（3）（i）利用方差的意義計(jì)算即可證明結(jié)論；

（H）利用（i）的結(jié)論計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）由題意可得（0.01+0.02+a+0.04）xl0=l,解得”0.03,

所以平均數(shù)為（001x30+0.02x40+0.03x50+0.04x60）xl0=50；

g］^j0.01x10+0.02x10<0.5,0.01x10+0.02x10+0.03x10>0.5,

所以中位數(shù)在［45,55）內(nèi)，中位數(shù)為45+*"xl0=3：

（2）由在［35,45）及［45,55）的人群中按分層抽樣抽取5人，因?yàn)閮山M頻率之比為2：3,

所以在［35,45）內(nèi)抽取/2人，記這兩人為44.在［45,55）內(nèi)抽取了3人，記這三人為。也叫

從中選2人有（48）,（4a）,（46）,（4c）,（8M）,（6,b）,（8,c）,（a,6）,（a,c）,（b,c）共10種取法,

其中這兩人來自于同一組的取法有（48）,（凡方）,（04）,伍，3共4種取法,

所以這兩人來自同一組的概率為54=：2；

（3）（I）F=+占+…+4）+（凹+H+-+”）］

又因?yàn)榱?工（芭+9+…+x”J，所以西+x,+,,,+/=nix,

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同理可得%+為+~+紇=〃9，

所以5=——（mx+fiv）=?x+—--y,

m+nm+nm+n'

s；='［（陽一?+（%2一寸—寸］=^（孑R,所以魯（毛一寸=暗,

同理可得￡（乂-刃;武，

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根據(jù)方差的定義可得熹［（1「可2+&-才+…+（4一可2十（必一刃2十（為一刃+（匕一刃［,

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