第十五章軸對稱圖形與等腰三角形（含熱考模型）

思維導圖

l沿T直線折疊、

定義一個圖形直線兩旁重合

軸對稱圖形

對稱軸沿著折羲的直線

各部分

對稱點對折后重合的點

城對稱兩個圖形沿一條直線折疊能夠望合

定義經(jīng)過線段中點與線段垂直的直線

垂直平分線垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

判定到線段兩個端點在垂直平分線上

距離相等的點

基礎(chǔ)性質(zhì)角平分線上的點到角兩邊的距離相等

角內(nèi)部到角兩邊

距離相等的點

角平分線判定在角平分線上

折疊法

作圖方法度塞去

軸

對點坐標(X,y)

稱與坐標系

關(guān)于x軸對稱（x,-y）

對稱點坐標

圖

關(guān)于y軸對稱（+,y）

形

與

等邊對等角

等近-------------

三線合一

等腰三角形

腰

判定等角對等邊

三

特殊圖形性質(zhì)三個角相等都等于60°

角

三個角相等

形等邊三角形

f三角形--------------

三條邊相等

判定

等腰三角胖有一個角60°

找對稱點

思路------------

平移

將軍飲馬

應(yīng)用兩點之間線段最短

領(lǐng)--------------------

垂直平分線的性質(zhì)

知識清單

1.軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱軸對稱圖形

圖形A?D

△△△

BC*F"\C

把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對

定義能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條

稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱直線就是它的對稱軸.

軸.折疊后重合的點是對應(yīng)點，也叫做對稱點.

性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.

2）兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

3）如果圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，那么交點在對稱軸上.

判定1）兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.

2）兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么對稱軸是對折重合的折痕線.

2.線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或

線段的中垂線）.

性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

幾何語言敘述：丁點P在線段AB的垂直平分線上，???PA;PB

判定：到一條線段兩個端點距熱相等的點在這條線段的垂直平分線上.

幾何語言敘述：:PA=PB,???點P在線段AB的垂直平分線上

小結(jié)：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合.

三角形垂直平分線的性質(zhì)：

1）三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三個頂點的距離相等.

2）三角形三邊的垂直平分線的交點乂稱三角形的外心.

3.角平分線的性質(zhì)與判定

性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

用符號語言表示為：VZ1=Z2,PD±OA,PE±OB

/.PD=PE

判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

用符號語言表示為：???PD±OA,PEJ_OB,PD=PE

:.NP（）D=NPOE

【補充】性質(zhì)中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”，因此在應(yīng)用時必須含有“垂直”這個條件,

否則不能得到線段相等.

4.等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)：

1）等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸，

①當腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對稱軸，

②當腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對稱軸.

2）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角“）.

3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.

【注意】“三線合?”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.

等腰三角形的判定：

1）定義法：兩邊相等的三角形是等腰三角形；

2）定理法：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊“）.

5.等邊三角形的性質(zhì)與判定

等邊三角形的性質(zhì)：

1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；

2）等邊三角形的三條邊相等；

3）三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都是60°.

等邊三角形的判定：

1）定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；

2）三個角都相等的三角形是等邊三角形.

3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

易錯辨析

序號易錯點易錯題注意事項

1軸對稱圖形與軸1-5詳見知識清單1中軸對稱圖形與軸對稱的聯(lián)系與區(qū)別

對稱的混淆

2坐標系中對稱點6-8關(guān)于誰對稱誰不變，關(guān)于原點對稱都改變.

的坐標變化錯誤

3折疊問題中隱藏9-111）折疊的本質(zhì)是軸對稱，會產(chǎn)生新的角與角的關(guān)系.

條件遺留2）解題關(guān)鍵:找到對應(yīng)相等的角.

3）折疊問題的本質(zhì)是全等變換.折疊前的部分與折疊后的部分是全

等形.

4）折痕可看作垂直平分線（對應(yīng)兩點之間的連線被折痕垂直平分）.

5）折痕可看作角平分線（對應(yīng)線段所在的直線與折痕的夾角相等）.

4利用角平分線性12-14應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)E寸，角的平分線、角的平分線上的點到角兩

質(zhì)定理遺漏垂直邊的距離兩個條件缺一不可，不能錯用為角的平分線上的點到角兩

的限制條件邊任意點的距離相等.

5垂直平分線與角15-20

平分線的混淆

1.（21-22八年級上-安徽馬鞍山-期末）下列四個互聯(lián)網(wǎng)公司logo中，是軸對稱圖形的是■）

【答案】D

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖

形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意：

C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意：

D、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

故選I）.

2.（23-24八年級上?河北唐山?期末）下列圖形中，"EC與VABC成軸對稱的是（)

【分析】本題考杳軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位詈關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所邇的線段被對

稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等.

根據(jù)成軸對稱的性質(zhì)對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】解：A、不成軸對稱，故本選項錯誤；

B、成軸對稱，故本選項正確；

C、不成軸對稱，故本選項錯誤；

D、不成軸對稱，故本選項錯誤.

故選:B.

3.（23-24八年級上-安徽蕪湖-期末）下列說法正確的是（）

A.如果兩個三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形

B.如果兩個三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形

C.等腰三角形是軸對稱的圖形，底邊上的高是它的對稱軸

D.條線段是關(guān)丁經(jīng)過該線段中點的直線成軸對稱的圖形

【答案】B

【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、對稱軸，根據(jù)如果兩個三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們

是全等三角形，但是兩個三角形全等，它們不一定是關(guān)于直線成軸對稱，即可判斷A、B,根據(jù)對稱軸是直

線即可判斷C,根據(jù)線段的對稱軸是它的中垂線即可判斷1）,熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：A、如果兩個二角形全等，它們不一定是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形，故原說法錯誤，不符

合越意；

B、如果兩個三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形，故原說法正確，符合題意；

C、等腰三角形是軸對稱的圖形，底邊上的高所在直線是它的對稱軸，故原說法錯誤，不符合題意：

D、--條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點的垂線成軸對稱的圖形，故原說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

4.124-25八年級上?安徽淮南?期中）如圖，V4AC與/XA/C關(guān)于直線"N對稱，P為MN上任一點（P

不與44共線），下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AP=\PB.MN垂直平分八4

C.NPAC=/PAC1D.直線人BA用的交點不一定在上

【答案】D

【分析】本題考查了軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)逐項判斷即可求解，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、；VA8c1與AAMG關(guān)于直線mN對稱，

AAP=A.P,該選項正確，不合題意；

B、TVA8c與關(guān)于直線MN對稱，

?,?MN垂直平分AA-該選項正確，不合題意；

C、???丫48。與△ABC關(guān)于直線MN對稱，

???/尸4C=N?AG，該選項正確，不合題意；

D、:V/W?。與△ABiG關(guān)于直線MN對稱，

???直線AB,弓用的交點一定在MN上，該選項錯誤，符合題意；

故選：D.

5.（24-25八年級上?北京?期中）如圖所示的4組圖形中，成軸對稱的是（）

a9Eb55。己己d52

【答案】D

【分析】本題主要考查了成軸對稱圖形和成中心對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這兩個概念，并

加以區(qū)分.

利用成軸對稱圖形和成中心對稱圖形的概念逐項進行判斷即可.

【詳解】解：A.選項圖形是成中心對稱圖形，不是成軸對稱圖形，故不符合題意；

B.選項圖形是成中心對稱圖形，不是成軸對稱圖形，故不符合題意；

C.選項圖形是成中心對稱圖形，不是成軸對稱圖形，故不符合題意；

D.選項圖形是成軸對稱圖形，故符合題意：

故選:D.

6.（24-25八年級下?湖南懷化?期末）某班級開展前窗花活動.小華同學將前好的兔子放在適當?shù)钠矫姘?/p>

角坐標系中.若兔子兩只耳朵上的點A（2,a）與點83,3）恰好關(guān)于），軸對稱，則的值為.

【答案】1

【分析】此題主要是考查了關(guān)于對稱軸的對稱的點的坐標特征，能夠熟記關(guān)于y對稱的兩點的橫坐標互為

相反數(shù)，縱坐標不變是關(guān)鍵.

根據(jù)關(guān)于y軸的對稱的兩點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，可得出a,6的值，再代入要求的代數(shù)式求

值即可.

【詳解】解：???點A（2,a）與點8伽3）關(guān)于y軸對稱，

2+b=0,。=3,

/.6=-2,

/.a+b=3—2=1.

故答案為：1.

7.（24-25八年級上?廣西欽州?期中）如圖是蠟燭平面鏡成像原理圖，若以平面為x軸，鏡面?zhèn)让鏋椋S

（鏡面厚度忽路不計）建立平面直角坐標系，若某時刻火焰頂尖S點的坐標是（匯-2,2）.此時對應(yīng)的虛像S'

的坐標是（3,y）,則3x+y=.

【答案】T

【分析】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征、代數(shù)式求值等知識點，掌握關(guān)于y軸對稱的點的

橫坐標互為相反數(shù)、縱坐標相等成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)點S和S'關(guān)于y軸對稱得出”=-1、>'=2,然后代入進行計算即可.

【詳解】

解：???點S和9關(guān)于y軸對稱，./-2=-3,y=2,

?'%=-1、y=2,

.,.3x+>'=3x(-l)+2=-l.

故答案為：-1.

8.(24-25八年級下?河北保定?期末)在平面直角坐標系中，已知點A(1,6),8(3,-2),點M在x軸上，

當AA7-8W最大時，點用的坐標為.

【答案】(4,0)

【分析】本題考查了軸對稱一最短路徑問題，一次函數(shù)等知識點，熟練掌握軸對稱以及一次函數(shù)求值是解

題的關(guān)鍵.作點8關(guān)于x軸的對稱點4(3,2),連接Ak并延長，交工軸于點M,點M即為所求.通過待定

系數(shù)法解得直線A9的解析式y(tǒng)=-2x+8,令戶0,代入得到0=-2x+8,計算即可求解.

【詳解】解：如圖，作點8關(guān)于x軸的對稱點

BM=BM，

:.AM—BM=AM—6MsA/T,

???當A、g、M三點共線時，有最大值.

，連接并延長，交x軸于點M,點"即為所求.

???美于X軸的對稱,

:.B[3,2),

設(shè)直線AB'的解析式為)，=履+外k。0),

代入A(1,6),B,(3,2),

得+\62=k3%++b//

k=-2

解得《

b=8

二直線AB'的解析式為J=-2x4-8,

令y=0,

代人得至|」0=—2文+8,

解得x=4,

（4,0）.

故答案為（4,0）.

9.124-25八年級上?安徽淮北?期末）如圖，將VA4C沿AO所在的直線折疊，使點/落在AC邊上的點E

處，/3=48。且那2ADE的度數(shù)是（）

A.70°B.75°C.78°I).80°

【答案】C

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明NCDE=NC是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)折疊的性質(zhì)得ZAE￡>=N8=48。，再由EC=3。得出OE=CE,從而得到NCDE=NC,然后

IIono—/CDF

由NAED=NC+NCDE得出NCDE=-ZAED=24°,即可由ZADE=————求解.

22

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：BD=DE，ZADE=ZADB,4￡D=N8=4X。，

???EC=BD

???DE=CE

：.2CDE=NC

?；ZAED=NC+NCDE

ZCDE=-ZAED=-x48°=24°

22

ZADE+ZAD3+NCDE=180°

.."Ei-°吟18。。3=78。

22

故選：C.

10.（24-25八年級上?安徽合肥?期中）在VA8C中，將NA,NC按如圖所示方式折疊，點3,C均落

在邊8C上點”處，線段力E,FG為折痕.若/4=60。，則NQH尸的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，利用折疊的性質(zhì)得出角的等量關(guān)系，再根據(jù)

三角形的內(nèi)角和定理得出角的數(shù)量關(guān)系，進行等量代換后計算出所求角度.

【詳解】解：在AA3C中，

???ZA=60°,

ZB+ZC=180°-ZA=180o-60o=120°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:

ZB=ZDHB，=NCHF,

???/DHB+NCHF+Z.DHF=180°,

JZB+ZC+ZD//F=180°,

??.Z.DHF=180°-(Z^+ZC)=l80°-120°=60°.

故選:D.

11.（23-24八年級上?湖北十堰?期末）如圖，在VA6c中，AB=AC,zJ5AC=5O°,n'54c的平分線與

A5的垂直平分線交于點0,將NC沿良'（￡在8C上，尸在AC上）折疊，點。與點。恰好重合，貝ljNCFE

等于（）

【答案】A

【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題

的關(guān)鍵.

連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出N84O,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出NABC,再根據(jù)線段垂

直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得。4=08,根據(jù)等邊對等角可得480=N84O,再求出

N0BC,然后判斷出點。在AC的垂直平分線上，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)打得。4=OC,再根據(jù)等邊對等角

求出NOC4=NQ4C,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得。尸二C尸，然后根據(jù)等邊對等角求出NC8,再利用三角形的

內(nèi)角和定理和翻折的性質(zhì)列式計算即可得解.

【詳解】解：如圖，連接（陽、OC,

又?.?W8=AC,

/.ZABC=-(1800-ZBAC)=-(I80°-50°)=65°,

22

???。。是A8的垂直平分線，

:.OA=OB,

:.ZABO=ZBAO=25°,

：.ZOBC=ZABC-ZABO=65°-25°=4(r,

AO平夕＞N力AC,A6=AC,

又I,AO=AO，

..△40段ZMOC(SAS),

：.OB=OC，

:.點。在BC的垂直平分線上，

又；。。是AB的垂直平分線，

...點O在AC的垂直平分線I'.,

：.OA=OC,

:.ZOCA=ZOAC=250,

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得0尸=6,

/.ZCOF=ZOCF=25°,

.?.NOFC=130。，

/.ZCFE=65°,

故選：A.

12.(24-25八年級上-安徽六安?期末)點尸在NAO8的平分線上，點尸到QA邊的距離等于5,點。是08

邊上任意一點，則PO的最小值是.

【答案】5

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”可

得P到08的距離為5,再由垂線段最短可得2025,由此可得答案.

【洋解】解：???點P在/的平分線上，點P到0A邊的距離等于5,

???戶到0B的距離為5,

???點。是08邊上任意一點，

APDN5,

二?戶。的最小值為5.

故答案為：5.

13.（24-25八年級上-安徽淮北-期末）在VABC中，NC=90。，A0是VAAC的角平分線，BC=3,4C=4,

AB=5.

（1）點C到AB的距離為；

（2）ZXAAO的面積為.

【答案】yT

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并求出切的長度是解題的關(guān)鍵.

（1）過點C作CELA5于E,根據(jù)三角形的面積公式列式計算卻可得解；

（2）過點。作OF_LA3于F,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得。/=OC.再根據(jù)三角形的

面積公式列式計算即可得解.

【詳解】解：（1）過點。作CE_LM于石，如圖，

/Aio/{*(..=-2CEAB=-2ACBCF

12

解得CE=《.

12

故答案為：y

（2）過點。作J_A8J?尸，如圖,

?.?AO是VABC的角平分線，DCJ-AC,DFLAB,

:.DF=DC.

設(shè)=QC=x,

貝ijBQ=3—x.

??S…=1DF.AB=[AC.BD,

4八DI422

即5X=4（3T）,

4

解得x=§,

DF=-.

3

r1CL——410

■-^ABD=-DFAB=-X5X-=~.

44JJ

故答案為：號.

14.（22-23八年級下?陜西咸陽?期中）如圖，VA8C的三邊AC、BC、A8長分別為40、50、70,其三

條角平分線交于點。，則山小%①5如。=.

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，過點。作OO,OE,。尸分別垂直于AC,A8，BC,由角平分

線上的點到角兩邊的距離相等得到8=比=。尸，進而可得到三個三角形面積的比值.

【詳解】解：如圖，過點〃作O。，OE,O/分別垂直于AC,AB,BC,垂足分別為〃，凡

,?BO平分NA3C,

OE=OF,

同理OE=Q￡>,

:.OD=OE=OF.

???VA8C的三邊AC、BC、A8的長分別為40,50,70,

S,RO\SRCO\S=[-ABOE\\-BCACOD

AAtfU^DLC/瓜CAXUO2212

=A^:/yC:AC=70:50:40=7:5:4,

故答案為：7:5:4.

15.（24-25九年級下?黑龍江綏化?開學考試）如圖，三條直線表示三條公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,

要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A.一處B.兩處C.三處D.四處

【答案】D

【分析】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊的距

離相等.根據(jù)角平分線的性質(zhì)貨物中轉(zhuǎn)站必須是三條相交直線所組成的三角形的內(nèi)角或外角平分線的交點,

而外角平分線有3個交點，內(nèi)角平分線有一個交點，即可得到答案.

【詳解】解：???中轉(zhuǎn)站要到三條公路的距離都相等，

???貨物中轉(zhuǎn)站必須是三條相交直線所組成的三角形的內(nèi)角或外角平分線的交點，

而外角平分線有3個交點，內(nèi)角平分線有一個交點，

如圖，

???貨物中轉(zhuǎn)站可以供選擇的地址有4處.

故選:D.

16.（23-24八年級上?安徽安慶?期末）如圖，三條公路乙、4、&兩兩相交，計劃建一座加洵站，滿足到

三條公路的距離相等，則可供選址的地方有（)

，2'A

A.1個B.2個C.3個I).4個

【答案】I）

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，加油站要到三條公路的距離都相等，可知加油站必須是三條相交直

線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點，而相鄰兩外角平分線有3個交點，內(nèi)角平分線的交

點有1個，據(jù)此即可求解，掌握叫佛系的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???加油站要到三條公路的距離都相等，

???加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點，而相鄰兩外角平分線

有3個交點，內(nèi)角平分線的交點有1個，

，加油站可供選址的地方有4個，

故選：D.

17.（12-13八年級上?浙江臺州?期中）如圖，有力、B、。三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個

小區(qū)之間修建一個購物超市，使赳市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）

A

a

/、、、、

o-...-o

BC

A.在AC,3C兩邊高線的交點史B.在AC,3C兩邊中線的交點處

C.在AC,3c兩邊垂直平分線的交點處I）.在NA,兩內(nèi)角平分線的交點處

【答案】C

【分析】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、8小區(qū)

距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點在線段AB的垂直平分線上.，同理到8小區(qū)、

C小區(qū)的距離相等的點在線段8c的垂直平分線上，于是到三個小區(qū)的距離相等的點應(yīng)是其交點，答案可

得.掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.

則超市應(yīng)建在AC,4C兩邊垂直平分線的交點處.

故選：C.

18.（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）已知：如圖，N84。侑平分線與的垂直平分線DG交于點〃,

DE1AB,DF1AC,垂足分別為反F.

A

（1）求證：BE=CF；

⑵若AB=8,AC=6,求BE的長.

【答案】（D見解析；

⑵BE=1.

【分析】（1）連接C。，先由垂直平分線的性質(zhì)得出再由角平分線的性質(zhì)得出止=。n，然后

由HLi正得R148I應(yīng)9□△CQF,即可得出結(jié)論；

（2）由HLi止得得出AE=",AB-BE=AC+CF,推力6E+CF=A8—AC=2,

即可得出結(jié)果.

本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握以上知識是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：連接CQ,

???。在8c的垂直平分線上，

:.BD=CD,

VDE-LAB,DF1AC,4。平分/朋。,,

???DE=DF,

ZBED=ZDFC=90°,

在RlABDE和RtACDF中,

BD=CD

DE=DF'

.?.RuBDEgRtACDF(HL),

:.BE=CF；

(2)解：在Rt^AOE和RSAOA中，

AD=AD

DE=DF'

Rt^ADE絲RtA^DF(HL),

/.AE=AF,

：.AB-BE=AC+CF,

ABE+CF=AB-AC=S-6=2,

,:BE=CF,

5E=-x2=l.

2

19.(22-23八年級上?湖北武漢?期中)如圖，N8AC的角平分線與線段8c的垂直平分線DG交十點〃,

DE±AB.DF±AC,垂足分別為點反F.

(1)求證：BE=CF；

(2)求證：AB-AC=2BE.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì).

(1)連接CO,根據(jù)垂直平分線和角平分線的性質(zhì)分別得到小)=。。,。E=?！ǎC明

RtABDE@RtACDF(HL),從而證得BE=CF；

(2)證明RtZ\AOEgRtaAO"(HL),得至ljAE=W,從而可以得到2跳：=AC.

【詳解】(1)證明：連接C。,

A

???DG垂直平分BC,

BD=CD.

?.?A。平分一小C,DE1AB,DF1.AC,

:.DE=DF,

在RtABDE和RtACDF中，

BD=CD

DE=DF'

：.RtA^DERtACDF（HL）,

;.BE=CF；

（2）證明：在R^AOE和RsA?！敝?，

AD=AD

DE=DF'

???RtAADERtAADF（HL）,

.\AE=AF,

?/AE=AB-BE,AF=AC+CFt

：.AB-BE=AC+CF,

AB-AC=2BE.

20.（21-22八年級上?安徽合肥?期末）如圖，ZABC=100°.

(1)用尺規(guī)作出的角平分線8何和線段8c的垂直平分線G”(不寫作法，保留作圖痕跡)：

⑵按下面要求畫出圖形：BM和GH交于點、。,GH交BC于點、E,連接C。并延長，交48于點用

⑶求證：FD=2DE.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線與垂直平分線的作圖步驟一次作圖即可；

（2）根據(jù)畫圖語言依次畫圖即可；

（3）由平分/A4C,可得NA3M=NC8W=50。，證明。8=DC,可得NC=ND3C=50。,

/所。=180。-100。-50。=30°,證明￡＞尸=2。7,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，射線BM、直線G"即為所求

（2）如圖，點區(qū)D,線段。尸即為所求.

（3）證明：過點。作ZZTBAB于點T.

ZABA/=ZCBM=5O°,

???DE垂直平分線段AC,DB=DC,

，ZC=NDBC=50°,4BFC=180°-l（X）°-50°=30°,

*//DTF=90。，???DF=2DT,

VDTIBA,DE上BC,BM平分/AAC,

/.DT=DE,

???DF=2DE.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，角平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)與線段的垂直平分線

的性質(zhì)的應(yīng)用，含30。的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練的作角

平分線與垂直平分線是解本題的美鍵.

重難突破

重難點01軸對稱圖形的識別

1.（24-25八年級下-重慶渝北-期末）下列漢字中屬于軸對稱圖形的是（）

A.

日B月，星，辰

【答案】A

【分析】本題考查軸對稱圖形，掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對稱圖形的定義，即可解答.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，符合題意；

B.不是?軸對稱圖形，不符合潁意：

C.不是軸對稱圖形，不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，不符合題意.

故選A.

2.（24-25七年級下-江蘇徐州?期末）正方體的下列展開圖為軸對稱圖形的是（)

【分析】此題主要是考查了軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么

這樣的圖形就叫做軸對稱圖形.根據(jù)軸對稱圖形的定義分別判斷可得出結(jié)果.

【詳解】解：由軸對稱圖形定義可知：A,B,D不能找到這樣的?條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部分

完全重合，所以不是軸對稱圖形；

C選項中的圖形能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部分完全重合，是軸對稱圖形，

故選：C.

3.（24-25七年級下?重慶南岸?期末）方格紙的格線上，有八條等長線段形成一個軸對稱圖形.圖中標示

了號碼的四條線段中，擦去其中兩條線段后，得到的圖形不?是?軸對稱圖形，則擦去的線段是〔）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖

形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，進行分析即可.此題主要考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形是針

對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；

軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條.

【詳解】解：擦去①和②，②和③，②和④，剩下的圖形是軸對稱圖形；

擦去①和③，剩下的圖形不是軸對稱圖形：

故選:B.

4.（2025八年級上?全國-專題練習）下列圖形中是軸對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】本題考查軸對稱圖形，根據(jù)一個圖形，沿某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的

圖形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，不符合題意；

C、是軸對稱圖形，符合題意；

D、不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：C.

重難點02鏡面對稱

5.（20-21八年級上?安徽淮南-期中）從鏡中看到六位數(shù)是“cQ￡Vd￡則該六位數(shù)應(yīng)該是

【答案】367295

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，實際的數(shù)字和鏡面中的數(shù)字是關(guān)于鏡面對稱的，對稱軸是一條豎直的直線，

由題中圖分析可得答案.

【詳解】解：???是從鏡子中看，

，對稱軸為豎直方向的直線，

???由圖分析可得實際數(shù)字為367295.

故答案為:367295.

【點睛】本題主要考查軸對稱的相關(guān)知識，準確的找到對稱軸，畫出相應(yīng)的對稱圖形是解題的關(guān)鍵.

6.（20-21八年級上?四川德陽?期中）如圖，在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示，這時的實

際時間應(yīng)該是（

fflE

A.8：15B.21：02C.15：20D.21：05

【答案】D

【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，分析并

作答.

【詳解】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的時刻與21：05成軸對稱，所以此時實際時刻為21：

05；

故選：D.

【點睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認真觀察，注意技巧.

7.（24-25七年級上?山東煙臺?期中）小明從鏡子里看到鏡子對面墻上的時鐘如圖所示，則實際時間

【分析】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)，根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰

好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱.

【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻成軸對稱，所以此時實際時刻為7:05.

故答案為：7:05.

8.(24-25八年級上-全國-單元測試)雨后，地上的積水猶如一塊澄澈的平面鏡，某路段監(jiān)控攝像頭在雨

后拍攝，由于位置偏離，拍攝中心聚集在了水面上，攝像頭偵測到一小轎車超速行駛，積水中倒映的車牌

為“牛3?30505”，那么該小轎車的真實車牌號為.

【答案】蘇N2020N

【分析】本題考杳了鏡面對稱，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的對稱軸；難點是作出相應(yīng)的對稱圖形.根據(jù)

成軸對稱的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由軸對稱的性質(zhì)可得，該小轎車的真實車牌號為蘇N2020N.

故答案為：蘇N-2020N.

重難點03作軸對稱圖形

9.(24-25八年級上?安徽合肥?期末)如圖，平面直角坐標系中，VA8c的頂點均在格點上.

(1)先畫出VABC關(guān)于y軸對稱的蜴G，再畫出△A4G關(guān)于/軸對稱的△A4G；

(2)點是VAAC內(nèi)一點，經(jīng)過上述兩次變換后，得到的對應(yīng)點八坐標為

【答案】(D見解析

(2)(-nt-n)

【分析】本題考查作圖一軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì).

(1)利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出兒用C的對應(yīng)點A，瓦，再利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A,

%q的對應(yīng)點4,B2tG即可；

(2)利用軸對稱變換的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解；如圖，△AMG，△&&G即為所求;

（2）解：由題意P（犯〃），則第一次對稱后（一八〃）,第二次對稱匕（-機-

P2（一）〃,一〃）.

10.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在平面直角坐標系文。>，中，A（-l,5）,B（-2,0）,C（-4,3）.

⑴畫出VA8C關(guān)于>軸對稱的△A7TC（其中4、E、C分別是A、B、C的對應(yīng)點）；

（2）在），軸上標出點尸的位置，使得以+依的值最??；

（3）填空：ZBAC=

【答案】（1）見解析

⑵見解析

⑶45

【分析】（1）根據(jù)縱坐標不變，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，確定變換后的坐標，4（1,5）,&（2,0）,。（4,3）,畫圖即

可.

（2）連接48,交y軸于點凡則點〃即為所求.

（3）根據(jù)A（T5）,8（々0）,C（-4,3）,得482=[-1-（-202+[5-0『=26,AC?=[_]_（_4）了+[5_3]2=]3,

22

3c2=[2（4）]I[03]=13,根據(jù)勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】⑴解:A（T5）,8（-2,0）,C（T,3）關(guān)于y軸的對稱點分別是A（l,5）,/2,0）C（4,3）,

則AAQC即為所求.

則點尸即為所求.

⑶解：???A（T5）,8（-2,0）,C（T3）,

???AB2=[-1-（-2）]2+[5-0f=26,AC2=[-1-（-4）]2+[5-3]2=13,BC2=[-2-（-4）];+[0-3]2=13,

/.AB2=BC2+AC2,

??.Z4CB=90°,

'/BC2=AC2,

：.BC=AC,

???ABAC=ZABC=45°,

故答案為：45.

【點睛】本題考查了點關(guān)于y軸對稱，線段和最小，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練學

握對稱，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

11.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在平面直角坐標系中，VA8C的頂點坐標為A（T1）,儀-3,2）,

。（-2,4）.

（1）將V4BC向右平移4個單位，再向下平移5個單位得到△AB。1，在圖中作出

（2）在圖中作出與△4卅G關(guān)于）'軸對稱的△4名G；

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】此題主要考查了軸對稱變換以及平移變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.

（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；

（2）直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案.

【詳解】（1）解：如圖，△ASG即為所求；

（2）解：如圖，2c2即為所求.

在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的8x14網(wǎng)格中，VA4C的

頂點都在格點上，直線/與網(wǎng)格線重合.

（1）以直線/為對稱軸，畫出NABC關(guān)于/對稱的△AB?；

（2）畫出將VA3c向左平移11個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的△&&&；

（3）選擇兩個網(wǎng)格點，利用直尺畫出線段A&的垂直平分線.（保留作圖痕跡）

【答案】（D圖見詳解；

（2）圖見詳解；

（3）圖見詳解；

【分析】本題主要考查了軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)作圖，熟練掌握軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）依據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行作圖，即可得到VA8C關(guān)于/勸稱的△44G；

（2）根據(jù)平移的方向和距離，先作出對應(yīng)點&、當、6，順次連接，即可得到△人與G；

（3）依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，找到點區(qū)F，使這兩點到點AA的距離相等，作直線所即可.

【詳解】（1）解：依據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到點A、B、C關(guān)于直線1的對稱點A、4、C,,順次連接點兒、及、

G，如圖所示,用G為求作的;

(2)解：根據(jù)向左平移11個單位，再向下平移1個單位，先作出對應(yīng)點4、層、.，順次連接，即可得

到△A.82c2,如下圖所示;

(3)解：找到點區(qū)F,使這兩點到點人人的距離相等，作直線所,

如下圖所示：直線所為求作的.

重難點04軸對稱與坐標系綜合

13.（24-25八年級上-安徽淮南-期中）若點A（a,3）和點"（T1）關(guān)于軸對稱，則點。（。力）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】此題主要考查了軸對稱的性質(zhì).根據(jù)點A（。,3）和點鞏-1力）關(guān)于>軸對稱，則縱坐標相等，橫坐標

互為相反數(shù)，求出a、b的值，即可得到答案.

【詳解】解：???點A（.3）和點3（-1/）關(guān)于y軸對稱,

/.d=1>b=3,

???點C（l,3）在第一象限；

故選:A.

14.（24-25八年級上?安徽宿州?期末）已知點見（。+1,4）和點〃式3,力-1）關(guān)于x軸對稱，則（.+力嚴，的值

為（）

A.0B.-1C.1i）.52025

【答案】B

【分析】本題考查平面直角坐標系的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標系中點關(guān)于工軸對稱，橫坐標不

變，縱坐標互為相反數(shù)，根據(jù)題意，。+1=3,1=T,求出。，b,進行解答，即可.

【詳解】解：???點町（。+1,4）和點“（3,0—1）關(guān)于x軸對稱，

d4-1=3,Z?—1=-4,

解得：。=2,Z?=—3?

2O252O252O25

/.（t/+/,）=（2-3）=（-l）=-l.

故選：B.

15.（24-25八年級上-安徽合肥?期末）在平面直角坐標系中，將點4（7,2）向右平移3個單位長度得到點

B,則點8關(guān)于y軸的對稱點。的坐標在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】此題考查的是平面直角坐標系中點的平移，軸對稱變換，掌握點的坐標平移規(guī)律：橫坐標左減右

加，縱坐標上加下減是解決此題的關(guān)健.先根據(jù)平移的特點得用點8的坐標為(2,2),再根據(jù)軸對稱變換得

出點。的坐標，最后得出答案即可.

【詳解】解：點4(-1,2)向右平移3個單位長度，橫坐標變?yōu)?1+3=2,縱坐標不變，

???點8的坐標為(2,2),

???點耳關(guān)于尸軸的對稱點C的坐標為(-2,2),

???點。在第二象限，

故選:B.

16.(24-25八年級上?安徽淮南?期末)若/+法+。=(工+5)(?—3),其中仇c為常數(shù)，則點「他,。)關(guān)于〉

軸對稱的點的坐標是.

【答案】(-2,-15)

【分析】此題考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù).

先利用多項式的乘法展開再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等確定出爪c的值，然后根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標

相同，橫坐標互為相反數(shù)”解答.

【詳解】解：V(X+5)(X-3)=X24-2X-/5,x24-/?x+c=(x+5)(x-5)

/.b=2,c=-I5,

???點產(chǎn)的坐標為(2,-15),

???點?(2,-15)關(guān)于y軸對稱點的坐標是(-2,-15).

故答案為：(-2,-15).

17.(24-25八年級上?安徽淮南?期中)已知點”(-2,3),規(guī)定一次變換是：先作點用關(guān)于V軸對稱，再

將對稱點向右平移1個單位長度，則連續(xù)經(jīng)過2024次變換后，點M的坐標變?yōu)?

【答案】(一2,3)

【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)的坐標，

先分別求出一，二，三次變換后的坐標，即可得出數(shù)字變化的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律