第曷函數(shù)與二次函數(shù)

［考試要求］1.(1)了解事函數(shù)的概念；(2)結合函數(shù))，=x,>=第\尸

y=<的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次

函數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.

［走進教材?夯實基礎］回顧知識?激活技能

◎梳理-必備知識

i.幕函數(shù)

⑴事函數(shù)的定義

一般地，形如y=K(a￡R)的函數(shù)稱為塞函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種基函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較

函數(shù)y=vy=xTy=x~]

**令

圖象

定義域RRR

值域RR皿訓”廿01

非奇非偶

奇偶性童函數(shù)假函數(shù)童函數(shù)意函數(shù)

函數(shù)

性

在(一8,0|

質(zhì)在R上在(一8,0)

上單調(diào)遞減；在R上單在［0,+8)

單調(diào)性單和(0,+8)

在(0,+8)調(diào)遞增上單調(diào)遞增

調(diào)遞增上單調(diào)遞減

上單調(diào)遞增

公共點(1,1〕

2.二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：fix)=cur+bx~\~c((77^0)；

(2)頂點式：fix)=a(x—m)2+W0)；

⑶零點式：/U)=—月)(x—X2)(。W0).

3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

解析式/U)=aF++c(a>0)貝x)=ax1+Z?x+c(〃V0)

圖象

定義域RR

Aac—b14〃c一

值域

-417_

在工￡(-8,一/上單調(diào)遞減;

在在(-8,七上單調(diào)遞增;

單調(diào)性

一J,+8)上單調(diào)遞增在XW［-5，+8)上單調(diào)遞減

在

函數(shù)的圖象關于直線尸一/J對稱

對稱性

提醒：二次函數(shù))，=加+汝+d4/0)的系數(shù)特征

(1)二次項系數(shù)。的正負決定圖象的開口方向.

(2)—我的值決定圖象對稱軸的位置.

(3)c的取值決定圖象與y軸的交點.

(4)d=b2—4ac的正負決定圖象與x軸的交點個數(shù).

［常用結論］

1.幕函數(shù))=f在(0,+8)上的三個重要結論

(1)當1>0時，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)當aVO時，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(3)當x￡(O,l)時，a越大，函數(shù)值越小，當工￡(1,+8)時，a越大，函數(shù)

值越大.

2.根與系數(shù)的關系

二次函數(shù)大幻=加+區(qū)+。3=0),當/=/一4訛>0時，其圖象與x軸有兩

個交點0),M2(X2,O)f這里的X】，X2是方程犬刈=0的兩個根，且

xi+x2=—

|MIM2|=|XI—X2|=

加上巧

◎激活-必備技能

一、易錯易誤辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)是嘉函數(shù).()

(2)當〃>()時，幕函數(shù)y=爐在(0,+8)上是增函數(shù).()

(3)二次函數(shù)y=ox2+bx+c(x￡R)不可能是偶函數(shù).()

(4)二次函數(shù)y=a*+云+0(工￡儂，b])的最值一定是一元一.()

[答案](1)X(2)7⑶X(4)X

二、教材習題衍生

I.已知幕函數(shù)y=/(x)經(jīng)過點(3,仍)，則加)()

A.是偶函數(shù)，且在(()，+8)上是增函數(shù)

R.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

D[設賽函數(shù)的解析式為)，=K,將點(3,市)的坐標代入解析式得￥=黃,

解得cc=5，y=x~Tf故選D.]

2.若事函數(shù))，=/沁的圖象過點(4,2),則累函數(shù)》=*1)的圖象是()

：.fix)=xif則危)的圖象如C中所示.]

3.己知函數(shù)人x)=f+4ax在區(qū)間(-8,6)內(nèi)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是

()

A.B.

C.a<—3D.—3

D[函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是X=-2a,

由函數(shù)在區(qū)間(一8,6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(-8,6)應在直線X=一2〃的左

側，所以一2〃26,解得〃W—3,故選D.]

4.函數(shù)式￥)=/—2%(工￡。3])的值域是________.

[—1,3][Vg(x)=jr-2A=(A—I)2—1,x￡。3],

工當工=1時，g(x)min=g(l)=-l,

又g(0)=0,g(3)=9—6=3,

??g(A?)max=3,

即g(x)的值域為]

[細研考點?突破題型]更難解惑直擊高考

□考點一幕函數(shù)的圖象及其性質(zhì)4題組通關

令通性通法與鬲函數(shù)有關問題的解題思路

(1)若號函數(shù))，=K(a￡Z)是偶函數(shù)，則a必為偶數(shù).當。是分數(shù)時，一般將

其先化為根式，再判斷.

(2)若嘉函數(shù)丫=公在(0,十8)上單調(diào)遞增，則2>0；若在(0,+8)上單調(diào)

遞減，則aVO.

(3)在比較累值的大小時，必須結合暴值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其

單調(diào)性進行比較.

1.(多選)已知a《｛—1123),則使函數(shù)》=非的值域為R,且為奇函數(shù)的

所有a的值為()

A.1B.-1

C.3D.2

AC[當a=-1時，>=入門=1，為奇函數(shù)，但值域為｛x|xWO｝,不滿足條件.

當a=\時，y=x為奇函數(shù)，值域為R,滿足條件.

當a=2時，為偶函數(shù)，值域為｛x|x20｝,不滿足條件.

當a=3時，y=/為奇函數(shù)，值域為R,滿足條件.故選AC.]

2.當X￡(O,+8)時，帚函數(shù))」(M十〃7—1)(5〃廠3為減函數(shù)，則實數(shù)加的

值為（）

A.-2B.1

.一l±\j5

C.1或P一2D.mW—5^-

B［因為函數(shù)），=（加+"7—l）x—5〃「3既是源函數(shù)又是（0,+8）上的減函數(shù),

卜/+機—1=1,

所以.?—解得，"=L1

1—5/7?-3<0,

3.若8=|｝尸，c=（0+,則a,c的大小關系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

D［因為y=x彳在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以號>/?=（§號，因為y=

映是減函數(shù)，

所以bVaVc.]

4.若（a+l）+v（3-2a）+,則實數(shù)〃的取值范圍是

—1,［易知函數(shù)y=jr9的定義域為［0,4-°°）,在定義域內(nèi)為增函數(shù),

卜+120,

所以《3—2。20,解得一lW〃v|j

〔〃+1<3~2a,

點評：比較大小時，若底數(shù)相同，可考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.若指數(shù)相同，

可考慮募函數(shù)的單調(diào)性，有時需要通過化簡，使底數(shù)（指數(shù)）相同.如本例T3,也

可化簡為。"=層）=再通過y=x+的單調(diào)性比較大小.

□考點二求二次函數(shù)的解析式'例題對講

全通性通法求二次函數(shù)解析式的策略

［典例1］已知二次函數(shù)7U）滿足42）=-1,人-1）=-1,且負刈的最大值是

8,試確定此二次函數(shù)的解析式.

［解］法一：（利用二次函數(shù)的一般式）

設7U)=av2+bx-\~c(aW0).

‘4〃+2/?+。=-1,

^=—4,

a—b-\-c=—\,

由題意得q解得qZ?—4,

4。(——護

~=8,、c=7.

故所求二次函數(shù)為於）=—+4x+7.

法二：（利用二次函數(shù)的頂點式）

設?r)=〃(x—/〃)2+〃(〃W()).

v/（2）=/（-i）,工拋物線對稱軸為X=2±￡_J）=1

/.w=2，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,工〃=8,

vy(2)=-l,.-.^2-112+8=-1,解得。=一4,

2

：.J(X)=-4\X~2|+8=-4P+4X+7.

法三：（利用零點式）

由已知Kx)+l=0的兩根為xi=2,X2=—1,

故可設fix)+1=。伏一2)(x+1),

即7U)=加一ax—2a—1.

又函數(shù)有最大值加ax=8,即%言產(chǎn)二巨=8

解得a=~4或〃=0（舍去）,

故所求函數(shù)解析式為兀T）=—4,F+4x+7.

點評：求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用

的解析式不同，其方法也不同.

［跟進訓I練］

1.已知二次函數(shù)/氏)的圖象的頂點坐標是(-2,-1),且圖象經(jīng)過點(1,0),

則函數(shù)的解析式為段)=.

品+方一卷［法一：(一般式)設所求函數(shù)的解析式為於)=加+云+°3=0).

--2a=-2/

、4

由已知得(4ac-B_解得1b

4a~

S+ZJ+C=0,c=-

所以所求解析式為?￥)=*+$--.

法二：(頂點式)設所求函數(shù)的解析式為J(x)=a(x-/i)2-l-k.

由已知得?r)=〃Q+2)2—1,

將點(1,0)代入，得。=/，所以於)=/X+2)2—1,

5

-

即7U)=y2+y

9-

2.已知二次函數(shù)/U)的圖象經(jīng)過點(4,3),它在x軸上截得的線段長為2,并

且對任意x￡R，都有「2—x)=/(2+x),則函數(shù)的解析式凡T)=.

x2—4x+3「?7(2一月=,2+_￥)對］￡11恒成立，

圖象的對稱軸為x=2.

又???/(>)的圖象被x軸截得的線段長為2,

???於)=0的兩根為1和3?

設於)的解析式為八%)=4(1一i)a—3)(。#0).

又二/㈤的圖象經(jīng)過點(4,3),

，3〃=3,a=1.

，所求yu)的解析式為次幻=(了一1)。一3),

即凡一4x+3.］

□考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)［多維探究

考向1二次函數(shù)圖象的識別

畬通性通法識別二次函數(shù)圖象應學會“三看”

一看,看二次項系盤的符號，它確定二次函數(shù)圖象的

符號口開口方向

二看:看對稱軸和最值，它確定了二次函數(shù)圖象的具

對稱軸二體位置

:看函數(shù)圖象上的一些特殊點，如函數(shù)圖象與

三看

T,軸的交點、與工軸的交點，函數(shù)圖象的最高

特殊點

:點或最低點零

[典例2—1](1)一次函數(shù)y=〃無+〃與二次函數(shù)y=or2+/zx+c?在同一坐標系

中的圖象大致是()

(2)如圖所示的是二次函數(shù))，=加+云+c圖象的一部分,

且過點4—3,0),對稱軸為直線x=—l.給出下面四個結論：

①/>4〃c：@2a-b=\；③。一b+c=()；?5a<b.

其中正確的是()

A.②@B.①④

C.(2X3)D.①③

(1)C(2)B[(1)若。>0,則一次函數(shù))，=公+/?為增函數(shù)，二次函數(shù),，=&F

+Z?JV+C的圖象開口向上，故排除A;若4V0,一次函數(shù)y=ov+b為減函數(shù)，

二次函數(shù)的圖象開口向下，故排除D;對于選項B,看直線可知

a>0,Z?>0,從而一SV0,而圖中二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側，故排

4a

除氏故選C.

(2)因為圖象與x軸交于兩點，所以。2—4函>0,即/>4ac,①正確.

因為對稱軸為直線1=一1,所以一卷=一1,即2〃一人=(),②錯誤.

結合圖象，當x=-1時，y>0,即〃一/?+(?>(),③錯誤.

由對稱軸為直線x=—1知，/?=2〃.又函數(shù)圖象開口向下，所以1V0,所以

5a<2af即5〃V〃，④正確.]

點評：對于判斷兩個函數(shù)的圖象在同一坐標系中的題目，可假設一個圖象正

確，然后判斷另一個圖象是否正確.如本例T(i).

>考向2二次函數(shù)的單調(diào)性

命通性通法二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略

(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向

或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解.

(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)

的對稱性轉化到同一單調(diào)區(qū)間上比較.

[典例2—2](1)函數(shù)兀0=五+(〃-3次+1在區(qū)間[—1,+8)上是單調(diào)遞減

的，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-3,0)B.(―8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

(2)二次函數(shù)兒0=加+法+以工e咫的最小值為JU)，則也)，/(一|)，/(/)

的大小關系是()

A./V2)</

(1)D(2)D口)當。=0時，/U)=-3i+l在LI,+8)上遞減，滿足題意.

3-ci

當。#0時，yu)圖象的對稱軸為—,

由人X)在[―1,+8)上遞減知

〃V(),

<3—〃解得一3W〃V0.

牙—1,

綜上，。的取值范圍為［-3,0］.

(2)'??二次函數(shù)<x)=aF+Zu+c(x￡R)的最小值為川)，

函數(shù)的圖象開口方向朝上，對稱軸為直線文?=］.

???一|一1>|V3-1|>|V2-1|,

???/他)〈/他)句、一|),故選D.］

［母題變遷］

將本例(1)改為“若函數(shù)/氏)=加+(。-3)小+1的單調(diào)減區(qū)間是［-1,十

8)”，則實數(shù)。=.

6<0,

-3［由題意知卜一。解得。=-3］

后=f

>考向3二次函數(shù)的最值問題

⑨通性通法二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路

(1)類型：

①對稱軸、區(qū)間都是給定的；

②對稱軸動、區(qū)間固定；

③對稱軸定、區(qū)間變動.

(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，“三點”是指區(qū)間

兩個端點和中點，“一軸”指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分

類討論的思想解決問題.

［典例2—3］求函數(shù)人工)=/+2公+1在區(qū)間上的最值.

［解］JW=(x+a)?+1—a2.

①當一〃<一1,即時，函數(shù)兀Y)在區(qū)間［-1,2］上是增函數(shù)，

**=￡-1)=2—2a,./(X)max=.八2)=4。+5.

②當一即一;Vg時，函數(shù)作)在區(qū)間上先減后增，，

/U)min=/(—〃)=1一次，A?mux=A2)=44+5.

③當;W-〃W2,即一時，函數(shù)/0)在區(qū)間上先減后增，

/（X）min=4一。）=1—/,/U）max=J1—1）=2—2〃.

④當一。>2,即aV—2時，函數(shù)在區(qū)間［―1,2］上是減函數(shù),

=/(2)=4G+5,y(X)max=f(-1)=2—2(1.

2~2afa>1,

綜上知，?r)min=v1——2WaWl,

、4a+5,aV—2,

14a+5,a>一

y(X)max=vj

2—2a,g.

點評：對稱軸分區(qū)間討論，書寫結論時要注意合并區(qū)間.

卜考向4與二次函數(shù)有關的恒成立問題

令通性通法

1.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關鍵

(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).

(2)兩種思路都是將問題歸結為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看

參數(shù)是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是：火X)恒成立Oa//a)max,叵成

立=4Wy(X)min.

2.am+/?x+cV()m>0)在區(qū)間上恒成立的條件.設J(x)=d+bx+c,

則

l/(n)<0.

[典例2—4](1)已知函數(shù)?￥)=『+/〃/—1,若對于任意x￡[m,m+1],都

有4r)VO成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.

(2)已知函數(shù)7W=f+2r+l,於)>u+>在區(qū)間[-3,一1]上恒成立，則女

的取值范圍為.

(1)(一半，o](2)<—8,1)[(1)作出二次函教,/U)的草圖如\'/

'-)\,7+1/1

圖所示，對于任意工￡加，w+1],都有?v)VO,

加)VO,

貝|有<

y(w+i)<o,

zn2+/n2—1<0,

(〃？+l)2+〃?(〃z+1)—1VO,

解得一乎V"?V().

(2)由題意得f+x+l＞2在區(qū)間[-3,-1]上恒成立.

設g(x)=f+x+l,xG[—3,-1],

則g(x)在[-3,一1]上單調(diào)遞減.

g(X)min=g(—1)=1.

???AV1.故％的取值范圍為(一8,1).]

[跟進訓練]

1.己知。兒＞0,則二次函數(shù)次幻=加+法+c的圖象可能是()

D[A項，因為〃V0,一方＜(),所以bV().又因為〃A＞(),所以c＞(),而

,A0)=c＜0,故A錯.B項，因為々VO,-^＞0,所以力＞0.又因為曲