第2節(jié)排列與組合

知識分類落實(shí)回扣知識?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識梳理

1.排列與組合的概念

名稱定義

排列從〃個不同元素中取出按照一定的順序排成一列

組合用（"2《〃）個不同元素合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

（1）從〃個不同元素中取出加〃wm個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從幾個不

同元素中取出，〃個元素的排列數(shù).

⑵從n個不同元素中取出血mW”）個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從〃個不

同元素中取出6個元素的組合數(shù).

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

,n!

(1)A#—1)(〃2)…〃z+l)=",.,

'八，'1(nm)\

Ann(/?-1)(/?-2)〃?+l)

公式

(2)C伊”Am一Wm!

〃1

（一x.5,且特別地C9-1

-加,（〃一，〃）！

(1)0!=』；A4=〃！

性質(zhì)

（2）C#=CJF；c科尸c#+e

常用結(jié)論與易錯提醒

1.對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮

（1）以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，耳考慮其他元素.

（2）以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.

（3）先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合

數(shù).

2.排列、組合問題的求解方法與技巧

（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步；（3）排列、組合混合問

題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法

處理;(7)分排問題直排處理;(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部;(9)構(gòu)造模型；

(1())正難則反，用間接法.

診斷自測

1.判斷下列說法的正誤.

⑴所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()

(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()

(3)若組合式C方=C%則成立.()

(4)K：￡=〃a二1.()

答案⑴X(2)V(3)X(4)7

解析元素相同但順序不同的排列是不同的排列，故(1)不正確；若C力=。夕，則x

或〃一〃7,故(3)不正確.

2.從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法

種數(shù)是()

A.12B.24C.64D.81

答案B

解析4本不同的課外讀物選3本分給3位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法

為A^=24.

3.(一題多解)(選修2-3P28Al7改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參

加某項(xiàng)活動，則男女生都有的選法種數(shù)是()

A.18B.24C.30D.36

答案C

解析法一選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有C3C4=18(種)，選

出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有ClC3=12(種)，故3名學(xué)生中男女

生都有的選法有點(diǎn)a+ClG=3O(種).

法二從7名同學(xué)中任選3名的方法數(shù)，再除去所選3名同學(xué)全是男生或全是女

生的方法數(shù),即的一法一C=3O.

4.(2017?上海卷)若排列數(shù)A8,=6X5X4,則〃?=.

答案3

解析Ar=6X5X4,XWX(3個)),：.m=3.

5.如圖，有兩堆同樣的盒子，一堆3個，一堆〃(〃23且〃GN*)個，現(xiàn)需要將這

些盒子搬走，每次只能從其中一堆搬走最上面的一個盒子，若共有84種不同的搬

法，則n=.

答案6

解析因?yàn)?個盒子的這一堆可以分為連續(xù)搬走3個盒子、其中2個盒子連續(xù)被

搬走、3個盒子均分開被搬走3種情況，故有〃+l+A2+i+C&i=

(??+1)(〃+2)(〃+3)

Z=84,故〃=6.

6.用1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)共有

其中1,3,5三個數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)有個.

答案720144

解析用1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字六位數(shù)共有Ag=720(個)；將1,3,

5三個數(shù)字插入到2,4,6三個數(shù)字排列后所形成的4個空中的3個，故有

=144(個).

考點(diǎn)聚焦突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一排列問題

【例1】3名女生和5名男生排成一排.

(1)如果女生全排在一起，有種不同排法；

(2)如果女生都不相鄰，有種排法；

(3)(一題多解)如果女生不站兩端，有種排法；

(4)其中甲必須排在乙前面(可不相鄰)，有種排法；

(5)(一題多解)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有種排法.

答案(1)4320(2)14400(3)14400(4)20160(5)3()960

解析(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同五個男生

合在一起有6個元素，排成一排有Ag種排法，而其中每一種排法中，三個女生間

又有用種排法，因此共有A&A孑=4320(種)不同排法.

（2）（插空法）先排5個男生，有Ag種排法，這5個男生之間和兩端有6個位置，從

中選取3個位置排女生，有Ag種排法，因此共有Ag,Ag=14400（種）不同排法.

⑶法一（位置優(yōu)先法）因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?個男生中選2人，有Ag種

排法，剩余的位置沒有特殊要求,有A8種排法，因此共有Ag?Ag=14400（種）不同

排法.

法二（元素優(yōu)先法）從中間6個位置選3個安排女生，有A2種排法，其余位置

無限制,有A9種排法，因此共有A*Ag=14400（種）不同排法.

（4）8名學(xué)生的所有排列共At種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中宏???

符合要求的排法種數(shù)為JA420160（種）.

（5）甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置.

法一（特殊元素法）甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有A彳種；

甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個位置中任選一個，有AA種；

而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有Ag種；

其余6個人進(jìn)行全排列，有Ag種.共有AIA2.A淵.

由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有A彳+A《A&?Ag=3096（）（種）.

法二（特殊位置法）先排最左邊，除去甲外，有A3種，余下7個位置全排，有A3

種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法AkAg種，因此共有A%A3—AkAR=30960（種）.

法三（間接法）8個人全排，共A9種，其中，不合條件的有甲在最左邊時(shí)，有A3

種，乙在最右邊時(shí)，有A3種，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，

有A&種.因此共有A—2A計(jì)Ag=30960（種）.

感悟升華求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的

捆綁法

內(nèi)部排列

對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插

插空法

在前面元素排列的空當(dāng)中

定序問題對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全

除法處理排列

間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

注意：除定序問題外，有序問題變無序問題，分配問題變分組問題，含有相同元

素的排列問題也用除法.

【訓(xùn)練1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法數(shù).

⑴七人排成一排，乙在甲的左側(cè)(不必相鄰)，丙在甲的右側(cè)(不必相鄰)；

(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人：

⑶全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；

(4)全體排成一排，女生必須站在一起；

(5)全體排成一排，男生互不相鄰.

解⑴所求排列有正=7X6X5X4=840(種).

⑵分兩步完成，先選3人站前排，有A3種方法，余下4人站后排，有A4種方法，

共有A)-A1=5040(種).

(3)法一(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有AR種排列方法，共

有5XAg=3600(種).

法二(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有AE種排法，其他有

廢種排法,共有A?A?=3600(種).

(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有AW種方法，再將女生

全排列，有Ai種方法，共有A才.Al=576(種).

(5)(插空法)先排女生，有A才種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空

位安排男生,有用種方法,共有A3Ag=1440(種).

考點(diǎn)二組合問題

【例2】某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35

種商品中選取3種.

(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有種；

(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有種；

(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有種；

(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有種；

⑸至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有種.

答案(1)561(2)5984(3)2100(4)2555

(5)6090

解析(1)從余下的34種商品中，選取2種有C%=561種，，某一種假貨必須在

內(nèi)的不同取法有561種.

(2)從34種可選商品中，選取3種，有C%種或者C去一C"=C%=5984種.

???某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.

⑶從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有C』OG5=2100種.

J恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.

(4)選取2種假貨有C%C?5種，選取3種假貨有Gs種，共有選取方式CloCl5+Cl5=

2100+455=2555種.

???至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.

(5)選取3種的總數(shù)為C§5,選取3種假貨有Cis種，因此共有選取方式C主一日5=

654s-455=6090種.

???至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.

感悟升華組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型；“含”，則先將這些元素取出，

再由另外元素補(bǔ)足：“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”

與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求

解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.

【訓(xùn)練2】(1)(2018?全國I卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽,且

至少有1位女生入選，則不同的選法共有種(用數(shù)字填寫答案).

(2)(2020?新高考山東卷)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去

1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排

方法共有()

A.120種B.9()種C.6()種D.3()種

⑶從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)中取三個，所取三個數(shù)之積為偶數(shù)且

能被3整除，則不同的選取方法有()

A.55種B.61種C.64種D.70種

(4)(2021?杭州質(zhì)檢)安排A,B,C,D,E,尸共6名志愿者照顧甲、乙、丙三位老

人，每兩位志愿者照顧一位老人，考慮到志愿者與老人住址距離問題，志愿者4

安排照顧老人甲，志愿者8不安排照顧老人乙，則安排方法共有種.

答案(1)16(2)C(3)A(4)18

解析(1)可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有

12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有C3C，=4(種).根據(jù)分類加

法計(jì)數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種.

⑵先從6名同學(xué)中選1名安排到甲場館，有C4種選法，再從剩余的5名同學(xué)中選

2名安排到乙場館，有C3種選法，最后將剩下的3名同學(xué)安排到丙場館，有CS種

選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有CA?CNd=60(種)不同的安排方法.故選C.

(3)對三個數(shù)中有沒有6進(jìn)行分類：①含有6時(shí)，只需從剩下的8個數(shù)中任意選兩

個即可，即Cs=28種；②不含6時(shí)，則需要3與9.當(dāng)3與9同時(shí)存在時(shí)，需要

從剩余的3個偶數(shù)中選一個，即「{=3種：當(dāng)3與9有一個存在時(shí)，偶數(shù)可以詵

1個或2個，即C3(C}a+C3)=24種.綜上所述，不同的選取方法有55種，故

選A.

(4)當(dāng)志愿者8照顧甲老人時(shí)，剩余四人分成兩組分別照顧乙、丙兩位老人，共有

G=6(種)安排方法；當(dāng)志愿者8照顧丙老人時(shí)，剩余四人分成1,1,2的三組，

其中兩人的一組照顧乙老人，此時(shí)共有CJ&=12］種)安排方法.綜上所述.不同

的安排方法共有6+12=18(#).

考點(diǎn)三排列、組合的綜合應(yīng)用

【例3】(1)(2021.諸暨期末)將六名大學(xué)生分配到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少一名，

其中甲、乙兩人須在同一學(xué)校.則不同分配方案有種.

(2)4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).

①恰有1個盒不放球，共有種放法；

②恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有種放法；

③恰有2個盒不放球，共有種放法.

答案⑴150(2)0144②144③84

解析(1)把六名大學(xué)生分配到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少一名，有(1,1,4),(1,

2,3),(2,2,2)三種不同的分組方式.當(dāng)分組方式為(1,1,4)時(shí)，有CJ&種不

同的分配方案；當(dāng)分組方式為(1,2,3)時(shí)，有(仁+CLd)用種不同的分配方案；

當(dāng)分組方式為（2,2,2）時(shí)，有黃種不同的分配方案.綜上所述，不同的分配方

案共有CiM+（Ca+CJC3）Al+等=150種.

⑵①為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化

為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成

2,1,1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2

個盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有aaaxA?=i44（種）.

②“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個

球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“將有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰

有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.

③確定2個空盒有&種方法.

4個球放進(jìn)2個盒子可分成（3,1）、（2,2）兩類，第一類有序不均勻分組有CriA?

種方法；第二類有序均勻分組有第A3種方法.故共有C《CiClA3+哭人?=

84（種）.

感悟升華（1）對于排列組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進(jìn)行分

組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.

（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：①

不均句分組；②均勻分組；③部分均句分組，注意各種分組類型中，先按乘法計(jì)

數(shù)原理計(jì)算，再除以元素個數(shù)相同的組數(shù)的全排列.（3）對于相同元素的“分配”

問題，常用的方法是采用“隔板法”.

【訓(xùn)練3】（1）（2020?全國II卷）4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名

同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有

種.

（2）（2021?柯橋區(qū)調(diào)研）若有6個球，其中相同的黑球3個，紅、白、藍(lán)色的球各1

個，從中取4個球排成一排，則不同的排法有種（用數(shù)字作答）.

（3）（一題多解）（2021?寧波模擬）庚子年結(jié)束，辛丑年伊始，小康、小梁、小譚、小

楊、小劉、小林六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分別奔赴

四所不同的學(xué)校參加演講，則不同的分配方窠有種（用數(shù)字作答）.

答案⑴36⑵72⑶1080

解析（1）將4名同學(xué)分成人數(shù)為2,1,1的3組有色=6種分法，再將3組同學(xué)

分到3個小區(qū)共有用=6種分法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的安排方法共有

6X6=36種.

（2）當(dāng)取出的小球中有1個黑球時(shí)，有A3=24種不同的排法；當(dāng)取出的小球中有2

個黑球時(shí)，有工等=36種不同的排法；當(dāng)取出的小球中有3個黑球時(shí)，有寄=

12種不同的排法.綜上所述，不同的排法共有24+36+12=72種.

（3）法一由題意，將6人按要求先分組，共有奧管=45種方法，再將此4組分

配給四所學(xué)校，有蜀種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的分配方案共45用=108（）

種.

法二先取2所學(xué)校為2人組演的學(xué)校，有C新中方法，再讓學(xué)校選取演講人，有

dcaa種方法，故共ClClClC\=1080種.

課后鞏固作業(yè)1r分層訓(xùn)練?提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

一、選擇題

1.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.48C.60D.72

答案D

解析由題意，可知個位可以從1,3,5中任選一個，有A4種方法，其他數(shù)位上

的數(shù)可以從剩下的4個數(shù)字中任選，進(jìn)行全排列，有A?種方法，所以奇數(shù)的個數(shù)

為A、A?=3X4X3X2X1=72,故選D.

2.某外商計(jì)劃在4個候選城市中投資3個不同的項(xiàng)目，且在同一個城市投資的項(xiàng)

目不超過2個，則該外商不同的投資方案有（）

A.16種B.36種C.42種D.6（）種

答案D

解析若3個不同的項(xiàng)目投資到4個城市中的3個，每個城市一項(xiàng)，共A新中方

法；若3個不同的項(xiàng)目投資到4個城市中的2個，一個城市一項(xiàng)、一個城市兩項(xiàng)

共C3A1種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知共A1+GAN=60（種）方法.

3.（2021?北京門頭溝區(qū)一模）某學(xué)校需要從3名男生和2名女生中選出4人,到甲、

乙、丙三個社區(qū)參加活動，其中甲社區(qū)需要選派2人，且至少有1名是女生；乙

社區(qū)和丙社區(qū)各需要選派1人，則不同的選派方法的種數(shù)是（）

A.18B.24C.36D.42

答案D

解析由題設(shè)可分兩類：一是甲地只含有一名女生，先考慮甲地有C1C，種情形,

后考慮乙、丙兩地，有A彳種情形，共有&C，熊=36種情形；二是甲地只含有兩

名女生，則甲地有c芬中情形，乙、丙兩地，有A3種情形，共有C3A3=6種情形；

由分類計(jì)數(shù)原理可得36+6=42種情形.

4.（2021?杭州學(xué)軍中學(xué)模擬）甲、乙、丙、丁四個人到A,B,C三個景點(diǎn)旅游，

每個人只去一個景點(diǎn)，每個景點(diǎn)至少有一個人去，則甲不到A景點(diǎn)的方案有（）

A.18種B.12種C.36種D.24種

答案D

解析分兩類求解：①甲單獨(dú)一人時(shí)，則甲只能去&C兩個景點(diǎn)中的一個，其

余三人分為兩組，然后分別去剩余的兩個景點(diǎn)，則有CiCU?=12種；②甲與另

外一人為一組，去8,C兩個景點(diǎn)中的一個，其余兩人分別各去一個景點(diǎn)，則有

種.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總的方案數(shù)為24種，故選D.

5.（一題多解）（2021?浙江教育綠色評價(jià)聯(lián)盟適考）安排3人完成5項(xiàng)不同的工作，

每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式種數(shù)為（）

A.60B.150C.180D.240

答案B

解析法一3人完成5項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)且每項(xiàng)由1人完成，應(yīng)分成2

類：（1）1人完成3項(xiàng)，另2人分別完成1項(xiàng)，有C￡gA3=6O種安排方式；（2）1

人完成1項(xiàng)，另2人分別完成2項(xiàng)，有CJQC3G=90種安排方式，由分類加法

計(jì)數(shù)原理，知共有150種不同的安排方式，故選B.

rJ-4-r

法二將5項(xiàng)工作先分成3組再分配給3人，則有一公.'XA?=150種不同

的安排方式，故選B.

6.己知甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有

空座，則坐法種數(shù)為（）

A.10B.16C.20D.24

答案c

解析一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座.??,要求每人左右均有

空座，，在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有Ag=20種

坐法.

7.（一題多解）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類

節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B

解析法一先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)

目和相聲節(jié)目的順序有三種：”小品1,小品2,相聲”，“小品1,相聲，小品

2”和“相聲，小品1,小品2”.對于第一種情況，形式為“口，小品1,歌舞1,

小品2,口，相聲，□”，有A2GA4=36（種）安排方法；同理，第三種情況也有

36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“口，小品1,

□,相聲，口，小品2,.有ALM=48種安排方法，故共有36+36+48=

120種安排方法.

法二先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有=

144（種）,再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況，共有A%AlA3=24（種），于是符合題意

的排法共有144-24=120（種）.

8.將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，且甲、

乙在同一路口的分配方案共有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

答案C

解析一個路口有3人的分配方法有C4CLM（種）；兩個路口各有2人的分配方法

有c支3A*種）.

???由分類加法計(jì)數(shù)原理，甲、乙在同一路口的分配方案為己色與+€：支隊(duì)§=36（種）.

二、填空題

9.若7位身高均不等的同學(xué)排成一排照相，要求中間最高，依次往兩端身高逐漸

降低，共有種排法（用數(shù)字作答）.

答案20

解析先排最中間位置有一種排法，再排左邊3個位置，由于順序一定，共有CA

種排法，再排剩下右邊三個位置，共一種排法，所以排法種數(shù)為Cg=20（種）.

10.若3男3女共6名學(xué)生排成一列，同性者相鄰的排法種數(shù)有；任兩

個女生不相鄰的排法種數(shù)有（均用數(shù)字作答）.

答案72144

解析分別把3男3女各看作一個復(fù)合元素，把這兩個復(fù)合元素全排，3男3女

內(nèi)部也要全排，故有A認(rèn)認(rèn)3=72種；把3名女學(xué)生插入到3名男學(xué)生排列后所

形成的4個空中的3個，故有A*A4l44種.

II.若安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、

乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有種（用數(shù)字作答）.

答案2400

解析由題意知本題是一個分步計(jì)數(shù)問題，首先安排甲、乙兩人在假期的后5天

值班，有Ag=20種排法，其余5人再進(jìn)行排列，有Ag=120種排法，，根據(jù)分

步乘法計(jì)數(shù)原理知共有20X120=2400種安排方法.

12.（2017?浙江卷）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)

員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的

選法（用數(shù)字作答）.

答案660

解析不考慮限制條件，共有A&以種不同的選法，

而沒有女生的選法有A8C3種，

故至少有1名女生的選法有A&d-ArS=840—180=660（種）.

13.（2018?浙江卷）從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2

個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（用數(shù)字作答）.

答案1260

解析若取的4個數(shù)字不包括0,則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為Cg&A才；若取的

4個數(shù)字包括0,則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CgC，&A工綜上，一共可以組成的

沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為C5CU1+C5C1CU5=72O+54O=1260.

14.（一題多解）（2020?浙江新高考仿真卷四）將顏色分別為紅色、黃色、藍(lán)色的3

個球，放入編號為1,2,…，7的七個盒子中，每一個盒子至多放2個球，則不

同的放法有.

答案336

解析法一3個球放入編號為1,2,…，7的七個盒子中，每盒至多放2個球，

應(yīng)采用排除法.每個球放入盒子的放法各有7種，共73種，排除3個球放在同一

盒中的7種放法，則共有73-7=336種放法.

法二（1）若一個盒子中放2個球，則有ClM=126種放法；（2）若每個盒子只放1

個球，則有A3=21O種放法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，知共有126+210=336種放

法.

能力提升題組

15.（2021?浙江五校聯(lián)考）新冠來襲，湖北告急！有一支援鄂醫(yī)療小隊(duì)由3名醫(yī)生

和6名護(hù)士組成，他僅全部要分配到三家醫(yī)院，每家醫(yī)院分到醫(yī)生1名和護(hù)士1

至3名，其中護(hù)十甲和護(hù)十乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的分配方法有（）

A.252種B.540種C.792種D.684種

答案D

解析由題意知，護(hù)士的分配方案為（3,2,1）與（2,2,2）.先對護(hù)士分類：（I）

若護(hù)士的分配方案為（3,2,1）,則當(dāng)甲、乙在2人組時(shí)，有CW種分配方法，當(dāng)甲、

乙在3人組時(shí)，有GG種分配方法；（2）若護(hù)士的分配方案為（2,2,2）,則分配

方法有黃C支種4.再按分類計(jì)數(shù)原理分別將3組護(hù)士與3名醫(yī)生分配到醫(yī)院，有

Al種方法，所以共有（c?+&a+普A執(zhí)士=684（種），故選D.

16.三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數(shù)是（）

A.72B.144C.240D.288

答案D

解析第一步，先選一對夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個復(fù)合元素A,這對

夫妻有2種排法，故有dA3=6種排法；第二步，再選一對夫妻，這對夫妻有2

種排法，從剩下的那對夫妻中選擇一個插入到剛選的夫妻中，把這三個人捆綁在

一起看作另一個復(fù)合元素從有CLMCJ=8種排法；第三步，將復(fù)合元素A,