重難點(diǎn)專訓(xùn)01集合中的含參問(wèn)題及新定義問(wèn)題

解題方法及技巧提煉................................................................1

題型通法及變式提升................................2

題型一：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù).........................................................2

題型二：利用集合間的關(guān)系求參數(shù).............................................................2

題型三：交、并、補(bǔ)運(yùn)算求參數(shù)...............................................................4

題型四：定義新喻.........................................................................6

題型五：定義WSW.............................................................8

題型六：定義觸質(zhì)........................................................................13

重難專題分層過(guò)關(guān)練...............................................................16

鞏固過(guò)關(guān)...................................................................................21

創(chuàng)新提升.........................................................................28

解題方法及技巧提煉＜＜＜、

根據(jù)元素與集合關(guān)系求參數(shù)：

首先依據(jù)“元素屬于集合”的條件，結(jié)合集合元素的確定性，列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，解出參數(shù)

的所有可能取值；

接著根據(jù)集合元素的互異性，檢驗(yàn)這些取值是否會(huì)使集合中出現(xiàn)重復(fù)元素，若有則排除；過(guò)程中若參

數(shù)對(duì)應(yīng)不同元素歸屬情況，需用分類討論思想逐一分析，確保不遺漏每種可能性，最終得到符合條件的參

數(shù)值。

利用集合間關(guān)系求參數(shù)：

若集合是連續(xù)數(shù)集，先將集合表示在數(shù)軸上，根據(jù)包含關(guān)系（如子集、真子集）確定區(qū)間端點(diǎn)的不等

關(guān)系，注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)，避免漏判；

若集合是不連續(xù)數(shù)集，依據(jù)包含關(guān)系的定義，列出元素對(duì)應(yīng)等式，同時(shí)運(yùn)用分類討論思想，考慮空集、

集合相等或部分包含等情況，排除矛盾解.，最終得到符合條件的參數(shù)值。

交、并、補(bǔ)運(yùn)算求參數(shù)：

通常借助數(shù)軸直觀呈現(xiàn)集合范圍，結(jié)合運(yùn)算性質(zhì)建立不等關(guān)系。

需特別注意空集情況，若涉及集合間包含、相交等關(guān)系，要考慮空集是否符合條件，避免遺漏。同時(shí),

關(guān)注不等式等號(hào)的取值：在補(bǔ)集運(yùn)算中，需判斷原集合端點(diǎn)的等號(hào)能否傳遞到補(bǔ)集，且始終牢記補(bǔ)集是全

集的子集，確保運(yùn)算結(jié)果在全集中，最后通過(guò)驗(yàn)證確定參數(shù)的最終范圍。

集合新定義問(wèn)題：

核心是緊扣新定義本質(zhì)：先逐句分析新定義的規(guī)則、限制條件（如元素構(gòu)成、運(yùn)算方式、特殊規(guī)定），

明確其具體含義，避免因理解偏差出錯(cuò)，這是解題的基礎(chǔ)。

若定義較抽象，可通過(guò)舉簡(jiǎn)亙例子（如用具體數(shù)字、集合代入定義），將抽象規(guī)則轉(zhuǎn)化為直觀應(yīng)用，

幫助快速把握定義核心邏輯。

同時(shí)要善用集合基本性質(zhì)（如元素的確定性、互異性、無(wú)序性，或集合間的包含、交并補(bǔ)關(guān)系），結(jié)

合新定義規(guī)則推導(dǎo)，確保解題過(guò)程既符合新定義要求，又不違背集合基本規(guī)律，最終驗(yàn)證結(jié)果是否滿足所

有條件。

題型通法及變式提升<<<、

題型一：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

典例1-1.設(shè)集合/W={2,3,/一3a,〃+[+7N={a-1,3},已知4iM且4任N,則〃的取值集合為,

【答案】{-2}

，2

【詳解】因?yàn)?=2,3,tz2+—+7*,N={a-1,3},41/3且4任汽，

若/-3。=4,解得a=4或a=-1,

223

當(dāng)〃=4時(shí)，此時(shí)“+—+7=丁，

a2

此時(shí)N={3,3},不滿足集合元素的互異性，舍去；

22

當(dāng)〃=一1時(shí)，此時(shí)a+—+7=—1+—+7=4,

a-1

此時(shí)M={2,3,4,4},不滿足集合元素的互異性，舍去；

2

若〃+—+7=4,,解得〃=一|或。=-2,

a

前面已經(jīng)分析a=-l不滿足要求，

當(dāng)〃=一2時(shí)，U：匕時(shí)a2-3a=（-2）2-3x（-2）=1（）,

此時(shí)集合M=[2,3,10,4},N={-3,3},滿足集合元素的性質(zhì)，

綜上，a=-2,所以。的取值集合為{-2}.

故答案為:{-2}.

典例1-2.設(shè)集合人={（乂），）卜一），21,〃%+）,>3,_￥一@《2},則1）

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,（2,1）eAB.對(duì)任意實(shí)數(shù)小（2J）史A

C.當(dāng)且僅當(dāng)。>1時(shí)，（2,l）w4D.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2,1）任A

【答案】C

【詳解】對(duì)A,若a=-2,則A={(x,y)k-)，Nl,4x+y>3,x+2y42},

將(2,1)代入不全部滿足,此時(shí)可知(2不羊A,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,當(dāng)a=2時(shí)，則4={(x,y)|x-”l,4x+y>3,x-2y42},

將(2,1)代入全部滿足，此時(shí)可知(ZDwA,故B錯(cuò)誤;

2-a<2

對(duì)C,若(2,l)eA,<2/+1>3,解之可得所以C正確；

2-1>1

對(duì)D,當(dāng)。=；，則4={(x,)，)|x-yNL?+y>3,x-1K2,,將(2,1)代入不全滿足，

所以(2,1)2A,故D錯(cuò)誤.

故選：C

變式1」.若集合A={xwN[a<l嗚x<4}的真子集個(gè)數(shù)為15,寫出一個(gè)滿足條件的〃的取值.

【答案】log2H(答案不唯一)

【詳解】設(shè)集合A中元素個(gè)數(shù)為了，由集合A的真子集個(gè)數(shù)為15可得，

a4

2'-1=15,解得y=4,由a<k)g2K<4,xeN”可得，log22<log2x<log22,xeN",

即2*vx4=16,xeN”,所以即log?11^”隰設(shè),

故可取a=log211(答案不唯一，滿足logJTa<log212均可).

故答案為：log/1(答案不唯一)

變式1-2.已知集合A=%+l]U[/+3/+6],其中f>0.若存在正數(shù)義，使得對(duì)任意aeA,都有ZwA,

則J的值是_.

3

【答案】§

【詳解】因?yàn)?/A,則只需考慮下列三種情況:

J111

因?yàn)椤?gt;(),。七以"+1]=[/+3/+6],則一w

/+6r+37+\91

A22A

又因?yàn)榱x>。，則2^

/+6'/+3r+lt

——>t—>/+3

因?yàn)?A，則.，6且/+1

—</+1—</+6

r+3

f(/+6)444(+6)

可得

(/+1)(/+3)<2<(/+!)(/+3),

所以，幾=（+6）=（/+1用+3）,解得/='，

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用集合與元素的美系求解參數(shù)的取值問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠通過(guò)r的取值

范圍，得到。與生所處的范圍，從而能夠利用集合的上下限得到關(guān)于義的等量關(guān)系，從而構(gòu)造出關(guān)于/的

a

方程求解.

題型二：利用集合間的關(guān)系求參數(shù)

典例2-1.已知讓卜尸+以=。},*卜上2+2（4+1）4+/_]=0},若BqA,則。的取值范圍為

【答案】{司a4T或。=1}

【詳解】集合B中含有參數(shù)，所以先考慮A是否為空集.

因?yàn)锳={x|V+4.—0}={-4,0},

所以，若3為空集,則△=4（。+1）2-4（/-1）=8〃+8<0,解得av—1；

若8為單元素集合，則△=4（。+1）2-4（/一1）=8。+8=0,解得a=-1,

將〃=—1代入方程12+2（4+1）_￥+/-1=0,得.—=0,解得x=0,

所以8={0},符合要求；

若8為雙元素集合，則△=8a+8>0,即。>一1,

,、[f/2—1=0

此時(shí)8=A=<0,即Q/八2?八，解得a=L

16-8（4+1）+4-1=0

綜上所述，〃的取值范圍為同或〃=1）.

故答案為：{同。<一1或〃=1}.

典例2-2.若。=[-1,間，A={y|y=x2,xw。},B={y\y=x+\,xeQ},且A=3,求〃？的值.

【答案】,〃=0或/〃="石.

2

【詳解】由于。所以6={），|y=K+l,xeQ}=[（U+/H，

當(dāng)〃7<0時(shí)，A={y|），=x2,xeQ}=["/,l],

若4=8,則解得〃?=0,

777+1=1

當(dāng)()</〃K1時(shí)，4=b|y=￡0}=[0,1],

若A=4,則〃?+1=1,此時(shí)不存在,

當(dāng)“A1時(shí)，A={y|y=eQ}=[(),〃/],

若A=8,則/…1,解得昨W

綜上可得…或…w

變式2-1.若xwA是xeB的必要不充分條件，a^/\=｛x|x2-4.r>0）,B=fr|2?-10<x<67+l|,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

【答案】[ZE）.

【詳解】不等式/-布>0的解集為｛也<?；騲>4｝,所以4=｛小<?；騲>4｝,

因?yàn)閤wA是xwB的必要不充分條件，所以3是A的一個(gè)真子集,

2?-10<t?+l、[2a-10<a+1

所以a+l42〃-10或或V

i?+i<o[2^-10>4

所以〃之11或“K-1或7K〃<11,所以〃4一1或〃27,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是（fl]L[7,y）.

故答案為：P，+8）.

變式22若｛0,1｝為集合A=恒,除乂中+￡|的一個(gè)子集，則A中最大元素的最大值為

)

A.1B.IgHC.lg（5-2>/6）D.lg（5+2?）

【答案】B

【詳解】因?yàn)椋?,1｝為集合人=.也居他），,但卜+￡|｝的一個(gè)子集，

所以lgx,lgy/g卜+?）中有一個(gè)等于0,有一個(gè)等于1,

若lgx=0,lgy=l,則x=l,y=10,此時(shí)恒1+?=1g11>1,

glgx=1,lgy=0,則x=IO,y=l,此時(shí)lg(x+2]=lg(10+<]g11,

Ix)\10；

若lgx=0,lgx+2=1,則x=l,y=9,此時(shí)lgy=lg9vigil,

IX)

若電)，=0,但=+斗1,則)，=1,刀+_1=10,得x<U,所以Igxvlgll,

kX)X

若lgy=l,小+?)=0,則y=io,x+3=l,由X+12=1得/_丹]0=0,方程無(wú)解，所以此種情況不存

XX

在，

z、

若lgx=l,lgx+上=0,則工=10,10+上=1,得y=-90<0不合題意,

Ix)10

綜上，A中最大元素的最大值為IgU.

故選：B

題型三：交、并、補(bǔ)運(yùn)算求參數(shù)

典例3」.設(shè)集合A=卜,2-3》+240},/?=*,2+〃<。}.

(1)當(dāng)a=-4時(shí)，求Acb和AB,

(2)若(QA)C8=8.求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)4CB={M1WX<2},人=[卜2<xK2}

(2)a>-1

【詳解】(1)A={X|X2-3X+2<0}={X|1<X<2},

當(dāng)a=T時(shí)，B=[x\-2<x<2}t

所以4c3={x|lKX<2},AD4=，：X|-2vx?2}；

(2)相={小>2或x<l},

因?yàn)?QA)c8=8,所以

當(dāng)4之0時(shí)，4=0=\A,

當(dāng)〃<0時(shí)，B=|x-4~a<x<,

則J-aW1或—yj—ci22,

解得一1?。<0或無(wú)解，

綜上所述，?>-1.

典例3-2.已知集合A={x|-3<x<0},B={Rm-l<x<l+m].

⑴若(0A)13=0,求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

(2)若集合Ac3中僅有一個(gè)整數(shù)元素，求AB.

【答案】⑴-24〃”一1

(2)答案見(jiàn)解析

【詳解】(1)由題意A={乂-3Vx<()},/《={削〃?一1<x<1+/〃},

知1A={x|xW-3或x之0},4*0.

m-\>-3

因?yàn)?%人)cB=0,故<解得一2</”《一1；

m+\<0

(2)A={x|—3<x<0}中的整數(shù)元素為-2,-1,

而集合4C/M中僅有一個(gè)整數(shù)元素，

當(dāng)該整數(shù)元素為-2時(shí)，

此時(shí)一3</〃上一2,則AD4={R/?-1<X<0}；

當(dāng)該整數(shù)元素為一1時(shí)，-2<m-\<-\<rn+\,

此時(shí)一加<0,則4uB={x|-3<xv1+〃?}.

變式3-1.已知集合A=rt2Y43=卜卜2-(八3)3+3%<。}.

(1)求集合A,并寫出當(dāng)xeZ時(shí)集合A的真子集的個(gè)數(shù)；

(2)若8c@4)=8,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

【答案】⑴A={x|-3W2},真子集有63個(gè)

⑵[2什)

【詳解】(1)-=2-3<2A<22=4,解得-34XM2,所以A={X|-34XM2}.

當(dāng)xcZ時(shí)，A={-3,-2,-l,0,l,2},共6個(gè)元素，真子集有2-1=63個(gè).

(2)由(1)得4={工|一3￡工42},所以々A={x|x<-3或x>2}.

x2-(Z+3)x+3R=(x-3)(x-Q<0,

當(dāng)止=3時(shí)，8=0,滿足8C&A)=8.

當(dāng)上<3時(shí)，B={x\k<x<3}t

要使Bc(4A)=8,則需掄2,所以2a<3.

當(dāng)人>3時(shí)，B={x[3<x<k},滿足8c(4八)=8.

綜上所述，k的取值范圍是[2,位).

變式3-2.己知集合A={(x,y)|or+y=lx,yGR},8={(x,y)|r+ay=lx,yGR},

C={Cv,y)|x2+y2=lx.yeR}.

(1)若(AB)。為含兩元素的集合，則實(shí)數(shù)〃=.

(2)(A\JB)。為含三個(gè)元素的集合，則實(shí)數(shù)〃=.

【答案】0或1-1±V2

【詳解】解：(1)中，由(AJWCIC中含有兩個(gè)元素的集合，

①如圖⑴所示，當(dāng)直線or+y=l和x+a.v=1與圓/+/=|各有一個(gè)交點(diǎn)，

且不重合時(shí)，則滿足條件，此時(shí)J^二l,解得〃=（）；

②如圖（2）所示，直線or+y=l和工+0=1重合，且與圓V+丁=］有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),

則滿足條件，此時(shí)。=1,此時(shí)x+y=i與圓/+/=］有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，

圖⑴圖⑵

（2）由（AJB），C中含有三個(gè)元素，顯然。工0且。工1,

此時(shí)直線依+y=1和。=1與圓?+/=1必須交于三個(gè)點(diǎn)，

即兩直線有?個(gè)交點(diǎn)在圓f+丁=|上，且兩直線與圓還各有?個(gè)交點(diǎn),

因?yàn)橹本€以+y=1和x+a.y=1關(guān)于直線.V=%對(duì)稱，

所以三個(gè)交點(diǎn)分別為（0,1）,（1,0）,（正，也）或（0,1）,（1,0）,（_立,-避）,

2222

圖(3)圖(4)

題型四：定義新概念

典例4-1.（多選）非空數(shù)集AqR,同時(shí)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：（I）若a力wA,則必金4；（2）若aeA,

則稱A為一個(gè)“封閉集”，以下說(shuō)法正確的是（）

a

A.若A為一個(gè)“封閉集”，則SA

B.若A為一個(gè)“封閉集”，且。力€4，則fwA

b

C.若AB都是“封閉集"，則AC6是“封閉集”的充要條件是或

D.若AB都是“封閉集”，則A18是“封閉集”的充要條件是A土8或8±A

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?為一個(gè)“封閉集”，所以由定義可知若awA,則那么ax'=l€A,A正確.

aa

對(duì)于B,因?yàn)锳為一個(gè)“封閉集”，仇〃￡八，所以JwA,所以fwA,B1E確.

bb

對(duì)于C,不妨取“封閉集”人二舊2；,4$,8,…}，八舊公嗎,27,.},

則Ac8={l卜也是“封閉集”，顯然或不成立，C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,充分性：A3都是“封閉集”，

若AqB或則45=8或Al，8=A,則A8是“封閉集”.

必要性：若AI8是“封閉集"，令A(yù)B=C,

假設(shè)A=8或BqA不成立，則存在aeAa仔a。仔A,同時(shí)aeCAeC,

因?yàn)锳B=C是“封閉集"，所以abeC,-!7cC,

ab

分兩類情況討論，

若而￡A,又當(dāng)aeA時(shí)，—GA,所以=〃cA,這與假設(shè)矛盾，

aa

若而乂當(dāng)〃?4時(shí)，-J-eB,所以4/?X?=4€8,這與假設(shè)矛盾，

bb

故假設(shè)不成立，原結(jié)論A4是“封閉集”，則Aq8或3aA成立，即必要性成立.D正確.

故選：ABD.

典例4-2.若非空數(shù)集A滿足Vx,ycA,都有x+)，任A,則稱集合A為無(wú)和集.

⑴判斷集合A={1,3,5,7},8={5,6.7,8,9,10}是否為無(wú)和集，直接寫出結(jié)論；

⑵給定正整數(shù)〃之5,集合48滿足AJ8={1,2,,〃},且人口8=0,求證：集合4A不可能都是無(wú)和集;

(3)給定正整數(shù)〃23,集合Aq{l,2,,〃},且A為無(wú)和集，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值(用含〃的表達(dá)

式表示).

【答案】(1)A是，8不是

(2)證明見(jiàn)解析

(3)當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)的最大值為

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)的最大值為羅

【詳解】(1)集合A是無(wú)和集，

集合8不是無(wú)和集.

(2)假設(shè)48都是無(wú)和集,日AU5={1,2,，川,A。歸=0.

因?yàn)?+1=2,所以1和2不能屬于同一集合，

不妨設(shè)lwA,2eB,乂因?yàn)?+2=4,所以4位8,

則4GAi+4=5,所以5足A，則5c4,

此時(shí)如果3eA,則1+3=4,則A不是無(wú)和集，

如果3w3,則2+3=5,

則8不是無(wú)和集，，假設(shè)矛盾，

所以集合4B不可能都是無(wú)和集.

(3)當(dāng)集合A是由{1,2,3,,痔中所有偶數(shù)組成的集合時(shí)，不符合無(wú)和集的定義,

則可設(shè)集合4是由{1,2,3,?,〃}中所有奇數(shù)組成的集合，

易知集合4是無(wú)和集.

卜而說(shuō)明4是集合A元素個(gè)數(shù)最多的情況.

假設(shè)加任意一個(gè)偶數(shù)機(jī)到集合A中，由J-777=1+(/7?-1),

因此1和帆-1中有一個(gè)不屬于集合人，即集合A中的奇數(shù)至少減去一個(gè)，

則元素個(gè)數(shù)不會(huì)比4中元素個(gè)數(shù)多.

故當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)的最大值為微；當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)的最大值為等.

變式4-1.已知集合S=[0,1,2,…，5"}(〃wN"),集合7qS,記T的元素個(gè)數(shù)為|丁|.若莫合丁中存在

三個(gè)元素。，三c(a<b<c),使得c+2a>3〃，則稱丁為“理想集”.

(1)若刀=1,分別判斷集合(={0,2,3,5},7；={0,1,2,5}是否為“理想集”，并說(shuō)明理由;

⑵若〃=1,寫出所有的“理想集”的個(gè)數(shù)并列舉；

(3)若1乃=4〃+2,證明：集合■必為“理想集”.

【答案】(1)0不是“理想集”，乃是“理想集”，理由見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

【詳解】(I)(不是“理想集”，?是“理想集”.

由題意，令a=0,b=2,c=3,則3+2x0<3x2；

令〃=0,Z?=2,c=5,則5+2x0v3x2；

令〃=0,b=3、c=5,則5+2x0v3x3；

令〃=2,b=3,c=5,則5+2x2=3x3；所以:不是“理想集”.

令〃=1,b=2,c=5,則5+2xl>3x2,所以4是“理想集”.

(2)共16個(gè)“理想集”.

若〃=1,有S=[0,2,3,4,5}.

當(dāng)17'|=3時(shí)，若a—0,則〃之1,由c+2cz>3〃可知c>的之3,

故3,c)=(l,4)或(1,5)；

若〃=1,則Z?22,由c+2^>3Z?叮知c+2>3b26，則4vcW5,故S,c)=(2,5),

故含有三個(gè)元素的“理想集”7={0,1,4},{0,1,5}或{1,2,5},共3個(gè).

當(dāng)|丁|=4時(shí)，T={0,1,2,4},{0,1,3,4},{0,1,2,5},{(),1,3,5},{0,1,4,5},{I,2,

3,5}或［1,2,4,5},共7個(gè).

當(dāng)|丁|=5時(shí)，/={0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},{1,2,3,

4.51.共5個(gè).

當(dāng)|7>6時(shí),T={0,I,2,3,4,5},共1個(gè).

綜上所述，所有“理想集''了的個(gè)數(shù)為16個(gè)分別為：{0,1,4},{0,1,5},{1,2,5},{0,1,2,4},

{0,1,3,4},{0,1,2,5},{0,1,3,S},{(),1,4,5},{1,2,3,5},{1,2,4.5},{0,1,

2,3,4),［0,1,2,3,5),{0,I,2,4,5},{0,1,3,4,5},{1,2,3,4,5},{0,1,2,3,

4,5).

(3)證明：若|7|=4〃+2,記7={%,x2,…，Xg}且0工玉2K5".

利用反證法，假設(shè)對(duì)于丁中任意三個(gè)元素。，b,c(a<b<c),均有c+為《你，

則3%+［之%>+2+2/,/=1,2,…，4n.

記*=%+2f>0,于是加則)"令

因此1—(獷鳥…西了(韻”(夕-0)=(韻<1,矛盾.

3oIo1

故集合了必為“理想集

變式42已知集合”={%,七產(chǎn)”}(〃之4),其中％匕4，i=12,若存在M的非空子集人，滿足

2Wcard(A)W〃-2(card(A)表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù))，且A中所有元素之積與aA中所有元素之

和相等，則稱M為“積和集合

⑴若M={-1,2,3,7},判斷M是否為“積和集合”；(結(jié)論無(wú)需證明)

⑵若M={1,2,4M}是“積和集合”，寫出。的所有可能取值：

(3)若例={-2,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19},判斷M是否為“積和集合”，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)是；

(2)-2,6,7

(3)不是，理由見(jiàn)解析.

【詳解】(1)注意至U2x3=—1+7,則取4={2,3},?/={—1,7}滿足題意.

則/是“積和集合”；

(2)由題可得card(A)=2,若4={1,2},則lx2=4+〃na=-2,符合；

若人={1,4},則1x4—2十a(chǎn)na—2,不滿足集合互異性，排除；

若4={1,〃},則a=2+4na=6,符合；

若4={2,4},則2x4=l+ana=7,符合；

若從={2,〃},則24=1+404=(。不為整數(shù)，不滿足題意，排除；

若從={4,々},貝114〃=1+2=〃=：,。不為整數(shù)，不滿足題意，排除；

綜上，。的所有可能取值為-2,6,7；

(3)設(shè)54=8,集合4中全體元素乘積為口4，全體元素和為Z4

假設(shè)M為“積和集合”,則口A=2-2<card(A)<9.

因±A+Z8=1>，則口4+￡4=》/

注意到2歷=-2+("，*°=98,則口4+￡4=98.

若-2$A，則口從<0=>工心?>，這與題意不符，則一2任A,

故Aq{l,3,5,7,9,ll,1315,17』9},“人>°，匯4>0.

若card(A)=2,設(shè).={〃同，則riA+EA="+a+b=98=(a+l)(b+l)=99.

注意到。，〃均為奇數(shù)，則。+1,方+1為偶數(shù)，則W+D3+1)為偶數(shù)，這與(。+。(。+1)=99矛盾，則不存

在滿足card(A)=2的集合4

若card(4)=3,設(shè)4={。,6,(?}.

若lw{a,b,c},設(shè)a=l,則riA+ZA=Z?c+/?+c=97=(c+l)3+l)=98,

注意到98=2x7?,則(c+L6+1)可為(1,98),(249),(7,14),(14,7),(49,2),(98,1).

則(c?⑼為(0,97),(1,48),(6,13),”6),(48,1),(97,0),均不滿足題意；

若壓加也耳，則[JA23x5x7=105=>Z4<0,不合題意，

則不存在滿足card(A)=3的集合A：

若card(A)=4,Ix3x5x7=105=>ZA<0?不合題意，

則不存在滿足card(A)=4的集合A；

若card(A)=5,]^[A>1x3x5x7x9=945,不合題意，

則不存在滿足card(A)=5的集合4；

類似以上分析，可得當(dāng)card(A)=6,7,8,9時(shí)，均不合題意.

綜上可得，M不是“積和集合

題型五:定義新運(yùn)算

典例5-1.(多選)群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，群的定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“?”是G上的一個(gè)

代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對(duì)任意的“OwG,有Z/wG；②對(duì)任意的有

(?Z?)c=a(/?c)；③存在eeG,使得對(duì)任意的aeG,有ea=ae=a,e稱為單位元；④對(duì)任意的

aeG,存在bcG,使ab=ba=e,稱。與〃互為逆元.則稱G關(guān)于“,”新構(gòu)成一個(gè)群.則下列說(shuō)法正確

的有()

A.G={T[,-i,i}(i為虛數(shù)單位)關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

B.有理數(shù)集Q關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群

C.G=,+瓶|〃力eZ}關(guān)于數(shù)的除法構(gòu)成群

D.正實(shí)數(shù)集R，關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于入選項(xiàng)；

因?yàn)镚={-l』,-i,i},可以計(jì)算里面任意兩個(gè)元素的乘積結(jié)果都屬于集合G.

因?yàn)閿?shù)的乘法滿足結(jié)合律，對(duì)于復(fù)數(shù)也不例外.

存在e=leG,對(duì)于DowG,當(dāng)〃二一1時(shí)，==-1.

當(dāng)〃=i時(shí)，lxi=ixl=i;當(dāng)〃=一時(shí)，lx(-i)=(-i)xl=-i.

集合G也滿足逆元，關(guān)于數(shù)的乘法能夠構(gòu)成群，所以A選項(xiàng)正確.

對(duì)于R選項(xiàng)：

對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)，它們的和仍為有理數(shù)；有理數(shù)的加法也滿足結(jié)合律.

存在e=OeQ,對(duì)于DawQ,有0+。=。+0=〃.

對(duì)于任意的awQ,存在B=_〃eQ,使得4+(_4)=(_4)+a=0.

所以有理數(shù)集Q關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群，B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)：

取a=0,b=l,a+6b=啦,空普無(wú)意義，不滿足對(duì)任意的〃力eG={a+/H〃/eZ},

有竺叵eG(cwG)，所以不滿足封閉性，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C

對(duì)于D選項(xiàng)：

任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積仍然是正實(shí)數(shù)；實(shí)數(shù)的乘法滿足結(jié)合律.

對(duì)于任意的aeR+,存在人=，eR+使得

aaa

滿足ah=ba=?.所以D詵項(xiàng)正確.

故選：ABD.

典例5-2.設(shè)集合A是一個(gè)點(diǎn)集，對(duì)A定義一個(gè)新運(yùn)算③，若集合A中元素〃，與〃滿足

〃=(c,d),則〃?€)〃=1/x(c+d)力+d).

⑴求(2,1)二(3,2)；

(2)已知ae4,若“a=(乂月”是“對(duì)于任意夕，夕區(qū)。二夕都成立”的充要條件，求。.

【答案】(1)(10,3)

⑵a=(l,0).

【詳解】(I)(2,l)?(3,2)=(2x(3+2)/+2)=(10,3)

(2)必要性:

若尸<S)a=/，設(shè)/?=(〃?),

則乃即為(P(x+))，/+>)=(〃,，/),

加P'則產(chǎn)。,

叫

q+y=q，

若P=O,則xwR,a=(x,0)；

若"0,則x=l,y=。，a=(l,0).

充分性：

若以=?()),則滿足夕③a=〃的夕只能是夕=(0,夕)，不符合任意性;

若a=(1,0),此時(shí)/78a=/?,即為(〃(1+0)國(guó)十。)=(〃,“)恒成立.

綜上，?=(1,0).

變式5J.集合M,N,S都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算：MN(S=

{x|x￡(McN)5NcS)5Sc〃)且xwMcNcS}.假設(shè)集合4={小<工<。},8={x|cc<d},

C={x|e<x</|,其中實(shí)數(shù)a,b,c,d,e,f滿足：.計(jì)算

A0BeC=.

【答案】{x|c<x?e或bKx<d}

［詳解］因?yàn)閍<c、<e<。</?<，/</,

所以Ac5={x|cvx<〃},BcC={x|evxvd},CcA={x|evx</?},

Ac8cC={x［e<xv〃},

團(tuán)c

0bd

故ABQC=[x\c<x<e^b<x<d].

故答案為：{》京<446或》4》<4}.

變式5-2.對(duì)于集合A,B,定義運(yùn)算“V"：AV8={x|xeA,xe8兩式恰有一式成立},同表示集合A

(1)設(shè)4={1,2,3,5,6},B={1,2,4},在圖1的韋恩圖中填入集合A,B,并求AV8：

(2)設(shè)A={Xx=2k/eN』4xWI00},8={巾=3%/eN,1W100},求|村四；

(3)對(duì)于有限集合A,B,C,證明|A▽到+|次。2|47。，并求當(dāng)集合A,。是確定集合時(shí)，使該式取等

號(hào)的集合8的數(shù)量(用含A,。的式子表示).

【答案】(1)韋恩圖見(jiàn)解析，AVB={3,4.5,6}

⑵|四同=51.

(3)證明見(jiàn)解析，集合8的數(shù)量為22c個(gè).

(2)|4|=與=50,忸|=［與］=33,\AnB\=等=16

|AVB|=|4|+|B|-2|AnB|=50+33-32=51.

(3)畫出韋恩圖，如圖2,將A、BJC劃分成7個(gè)集合加，S2,…，S?

A

圖2

則|A▽目=國(guó)+閭+悔|+國(guó)

W=W+|55|+|S4|+|S7|

|加。=圖+國(guó)+圖+閭

故|AV@+|BVC|TAVq=2圖+2岡20不等式成立

當(dāng)且僅當(dāng)巳=Ss=0時(shí)，上式取等號(hào).

，=0等價(jià)于（AcC）q8,S$=0等價(jià)于Bu（AuC）,

故當(dāng)且僅當(dāng)（AcC）q8q（4uC）取等號(hào).

故此時(shí)，如圖3,集合4=S?S3Sfi,其中易=4C是確定的集合

邑$6是AVC的子集，所以滿足要求的集合3的數(shù)量為2Mq個(gè).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于理解新定義，只有理解了定義，方可順利得解.

題型六：定義新性質(zhì)

典例6-1.己知集合4={4，%，。3，M“}UN,其中〃eN且〃"Oyv/va3V若對(duì)任意的

x,yeA（x。），），都有人-），|2手,上eN,Z>0,則稱集合A具有性質(zhì)根.

K

⑴若集合A={12〃}具有性質(zhì),求。的最小值;

（2）已知集合A具有性質(zhì)A/、，求證：

①對(duì)任意的i￡{2,3,,〃}都有―-----^―；

4-iai1，

(3)已知集合A具有性質(zhì)A/”，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)6

⑵①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

(3)7,理由見(jiàn)解析

【詳解】(I)集合A={l,2,a}具有性質(zhì)%,則對(duì)任意的都有人一引之三，即嚓之；,

1

丁Y

?一蚱3?!，解得且aeNL可得〃的最小值是6.

2a3

（2）①由題意，|%-旬之芻JL（i=2,3,...,〃），又qva2V<4,

之與詈.（，=2,3,...,〃）,可得」----之9（’=2,3，…,〃）,

154_]%

②由①可得+f—1>〃-1

（q出）1%%）1%?4J4-15

1/I-1〃一11ft-i

(3)由(2)知，一>“，乂。招1,可得因此〃<16,同理，->*，

41515q15

又”之，,卜曾，則15>i(〃-i),(i=l,2,3,也均成立.

當(dāng)〃28時(shí)，取i=4,則i(〃—i)=4(〃-4)216>15,可知〃W7.

又當(dāng)〃W7時(shí)，i(〃-=^-<15,則〃<7^,即〃47.

因此集合A中元索個(gè)數(shù)的最大值為7.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二間，根據(jù)定義得‘-一,之六，(，=2,3,...,〃)為關(guān)鍵：第三問(wèn)，應(yīng)用放縮法確定

〃v16,同理得到i(n-i)<15恒成立為關(guān)鍵.

典例6-2.已知集合人={49，，4}(044<生<<。"，〃￡川,北3))具有性質(zhì)？：對(duì)任意

i,川WiWjW〃)必+a}與ara.t至少一個(gè)屬于A.

⑴分別判斷集合。={0,2,4}與D={1,2,3}是否具有性質(zhì)R并說(shuō)明理由;

(2)A={q,%,%}具有性質(zhì)P,當(dāng)〃2=4時(shí)，求集合A；

⑶記/(〃)=---------------,求/(2024)

4+。2+

【答案】(1)C具有性質(zhì)。不具有性質(zhì)/);

(2)A={0,4,8}

【詳解】(1)集合C={0,2,4}中，因?yàn)?+2eC0+4eC,4—2eC,

0±0=0GC,2+2=4€C,2-2=0GC,4-4=0eC,所以集合C具有性質(zhì)戶.

集合。={1,2,3}中，因?yàn)?+3=6《。,3-3=。任。，所以集合。不具有性質(zhì)P.

(2)因?yàn)?<“2<4，且4={4,〃2M3}具有性質(zhì)〃，所以-6=0cA,

則4=。，又因?yàn)樯?。3>%，所以生+生史A,則生一生6人，

由集合的互異性知%-%=4,而出=也所以，%=8.故4={(),4.8}.

(3)因?yàn)锳={qM，，?！皚(0工。<。2V<q,,〃eN',〃23)具有性質(zhì)?，

所以則/一勺=014,則4=0.

又因?yàn)镺Mq所以04a<a"-q

又因?yàn)?+4T>4(，=1,2,，〃一1),所以凡史A,則為一a-eA,

所以4=見(jiàn)一心，生=4—%，a、=%—*，…，勺=4-4?

所以4+出+/+?,+%=(4-4)+(4-%T)+(《=4?2)+,?+(/-4)，

即4+/+%++為=］見(jiàn)，

",限4_4二2

所以八尸4+%+生+.?+可一|一，則

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與集合新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略

1、通過(guò)給出一個(gè)新的集合定義或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱

讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:

2、遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”,

逐條分析?、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決；

3、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.

變式6-1.已知數(shù)集八={4，々2M3也}(1=4<。2<%<<。”,”22)具有性質(zhì)〃：對(duì)任意的％(2WZW〃)，

BiJ(\<i<j<n),使得4=4+%成立.

(1)分別判斷數(shù)集{1,2,3,5}與{1,2,5,7}是否具有性質(zhì)戶,并說(shuō)明理由;

(2)求證：%--4-2----42K2.

【答案】(1){1,2,3,5}具有性質(zhì)產(chǎn)，{125,7}不具有性質(zhì)產(chǎn),理由見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】⑴對(duì)于數(shù)集{123,5},若具有性質(zhì)P,貝U2必W4,1</^J<4,

因?yàn)?=1+1,即〃2=4+q,

3=1+2,即％=4+%，

5=2+3,即《=%+/，

所以{123,5}具有性質(zhì)產(chǎn)；

對(duì)于數(shù)集{125,7},若具有性質(zhì)P,則2”44,1</<J<4,

因?yàn)?wl+l,即生=6+6，5W1+2,即a3Hq+4，

542+2,即％。陰+。2，5*1+7,即6*6+/,

5/1+5,即。3X4+/，5工2+5,即/*生+&，

5工2+7,即。3工生+4，5r5+5,即。3聲。③+/，

5。5+7,即6H/+a，5H7+7,即/工/+%，

所以{1,2,5,7}不具有性質(zhì)尸.

(2)因?yàn)榧?={7出,…具有性質(zhì)產(chǎn)：

即對(duì)任意的2(2K&K〃)，4/使得%=4+4成立,

又因?yàn)?=%<…</，〃22,所以,

所以4=《+%42aJ,

即%42%_|，an_1<2atl_2,a?_2<2aH,3,，%W2a2M??2q，

將上述不等式相加得：/+，*++a2<???_)+2^_2++2/+2%,

所以凡K%+4-2++a2+2q，

因?yàn)?=1,所以凡Ka,i+。吁?++4+2,

故勺一%-J-~aiW2.

變式62已知集合4={q,%L，4}(AN2),其中q為整數(shù)(i=1,2,…白),由A中元素可構(gòu)成兩個(gè)點(diǎn)集產(chǎn)

和Q:P={(x,y)|xeA,ywA,x+)，e4},Q={(x,y)|x￡AyeAx-ywA},其中產(chǎn)中有機(jī)個(gè)元素，Q中有〃

個(gè)元素.新定義1個(gè)性質(zhì)G：若對(duì)任意的xcA,必有-XgA,則稱集合A具有性質(zhì)G.

⑴已知集合5={0,2,4}與集合7={-1,2,3},判斷它們是否具有性質(zhì)G,若有，則直接寫出其對(duì)應(yīng)的集合

P，。；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵集合A具有性質(zhì)G,若A=IOO,求：集合。最多有幾個(gè)元素？

(3)試判斷：集合A具有性質(zhì)G是"?=〃的什么條件，并證明.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)4950

(3)充分不必要條件，理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)由于OeS,不符合定義，故S不具有性質(zhì)G；

集合了具有性質(zhì)G,對(duì)應(yīng)集合尸={(T3),(3,-1)},0={(2,-1),(2,3)}；

(2)山題意可知集合人的元素構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(勺勺/八K,i外外,共有公個(gè)，

因?yàn)?2A,所以共有A個(gè)，

又因?yàn)閍eA時(shí)，-a/A,所以(qqJwQ時(shí)，㈤⑼)任Q,

所以集合。的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)巨人=4950個(gè)，

2

取A={12,?,100},則Q中元素?的個(gè)數(shù)為4950個(gè)，

故。中元本的個(gè)數(shù)最多49so.

(3)充分不必要條件，理由如下：

當(dāng)集合A具有性質(zhì)G時(shí)，

①對(duì)于(4〃)€2，根據(jù)定義可知：+

乂因?yàn)榧螦具有性質(zhì)G,則(ci+〃M)e。，

如果(，力)，(c,d)是P中的不同元素，那么。=。，。="中至少有一個(gè)不成立，

于是〃=〃，“+b=。+4中至少有一個(gè)不成立，

故(〃十b,b)和(c十Ud)也是。中不同的元素，

可見(jiàn)尸的元素個(gè)數(shù)不多于。的元素個(gè)數(shù)，即〃74〃，

②對(duì)于(a,〃)wQ,根據(jù)定義可知：aeAJ^AM-beA,

又因?yàn)榧螦具有性質(zhì)G,則(CL/"7)CP,

如果(。力)，(cd)是。中的不同元素，那么4=。，〃=〃中至少有一個(gè)不成立，

于是b=d,a-Z?=c、-d中至少有一個(gè)不成立，

故S-力力)和(c-4")也是d中不司的元素，可見(jiàn)。的元素個(gè)數(shù)不多于”的元素個(gè)數(shù)，即〃工〃?,

由①②可知相二〃.

若A={-1,123}，則尸={(—1,2),(2「1),(—1,3),(3,-1),(11),(1,2),(2,1)},,

Q={(L2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,-1),(3,1),(2,-1)},

滿足〃?=〃，而集合A不具有性質(zhì)G.

所以集合A具有性質(zhì)G是機(jī)=〃的充分不必要條件.

???重難專題分層過(guò)關(guān)練<<<

鞏固過(guò)關(guān)

己知集合（乂力=

1.A==a-\-,8={(x,y)(cJ-1卜+(。-1)),=3}若Af8=0,則。為所有取值

X—3

是（）

44