專題4」幾何圖形（舉一反三講義）

【滬科版2024]

題型歸納

【題型1幾何體及其構(gòu)成】

【題型2幾何體中的點、棱、面】

【題型3點、線、面、體間的關(guān)系】

【題型4正方體的展開圖】

【題型5截一個幾何體】

【題型6幾何圖形中規(guī)律探究】

舉一反三

知識點1立體圖形的相關(guān)概念

定義：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都

在同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形.

立體圖形除了按照柱體、錐體、球分類，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①

有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒有曲面：棱柱、棱錐等.

知識點2點、線、面、體的關(guān)系

定義：①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點.

②點動成線，線動成面，面動成體.

③點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界.

知識點3正方體的展開圖

定義：正方體是特殊的棱柱，它的六個面都是大小相同的正方形，將一個正方體的表面展開,

可以得到11種不同的展開圖，把它歸為四類：一四一型有6種：二三一型有3種；二二二

型有一種；三三型有1種.

試卷第1頁，共8頁

m物并見的用

141型

E一r~n一r~n一：r~n,

231型：222型33型

拓展:

正方體展開圖口訣：

①一線不過四；田凹應(yīng)棄之；

②找相對面：相間，端是對面：

③找鄰面：間二，拐角鄰面知.

【題型1幾何體及其構(gòu)成】

[例1]（24-25七年級上?寧夏銀川?階段練習(xí)）

1.將下圖中的立體圖形分類.

柱體「錐體_；球體

【變式1-1]（24-25七年級上?福建漳州?期末）

2.謎語是我國民間文學(xué)的一種特殊形式，古時稱“度辭或“隱語”.謎語：“正看三

條邊；側(cè)看三條邊；上看圓圈圈，就是沒直邊.”.（打一兒何體）

【變式1-2]（24-25七年級上?廣東深圳?期中）

3.如圖，模塊①由15個棱長為1的小正方體構(gòu)成，模塊②-⑥均由4個棱長為I的小正

方體構(gòu)成.現(xiàn)在從模塊②-⑥中選出三個模塊放到模塊①上，與模塊①組成一個棱長為3

的大正方體.下列四個方案中，符合上述要求的是（）

模塊①模塊②模塊③模塊④模塊⑤模塊⑥

A.模塊②，④，⑤B.模塊③，④，⑥C.模塊②，③，⑥D(zhuǎn).模塊③，⑤，@

【變式1-3]（24-25七年級?福建漳州?期末）

4.如圖，指出圖中物體分別是由哪些幾何體組成的.

試卷第2頁，共8頁

【題型2幾何體中的點、棱、面】

【例2】（24-25七年級上?山西晉中?期中）

5.小華新買了一個如圖所示的筆簡，下列關(guān)于這個筆筒的描述錯誤的是（）

A.筆筒可以近似的看成六棱柱B.它的所有側(cè)棱長都相等

C.它有10個頂點D.側(cè)面的形狀都是長方形

【變式2-1］（24-25六年級上?山東威海?期中）

6.一個楂柱有10個面，且所有的側(cè)棱長的和為64cm,底面邊長都為女m,它的側(cè)面積是_

cm2.

【變式2-2］（24-25六年級上山東淄博?期中）

7.一個〃棱柱共有15條棱，則這個棱柱共有個面.

【變式2?3】（24-25七年級上?河北石家莊,期中）

8.如圖，從一個棱長為4cm的正方體的一頂點處挖去一個棱長為1cm的正方體，則第二個

【題型3點、線、面、體間的關(guān)系】

【例3】（24-25七年級上?廣東深圳?期中）

9.直升飛機螺旋槳一般由4片槳葉組成，直升飛機起飛時，螺旋槳旋轉(zhuǎn)時向下推動空氣，

即向下施加一個作用力，直升飛機獲得豎直向上的力，使得飛機能懸浮在空中.若把螺旋槳

試卷第3頁，共8頁

看作一條線段，旋轉(zhuǎn)形成的痕跡體現(xiàn)了（）

A.面動成體B.線動成面C.點動成線D.面面相交成線

【變式3?1】（24-25七年級上?貴州貴陽?期中）

10.筆尖在紙上快速滑動寫出了一個字母卬，用數(shù)學(xué)知識解釋為.

【變式3-2]（24-25九年級上?廣西南寧?期中）

11.如圖下面的圖形繞直線/旋轉(zhuǎn)一周后得到的立體圖形是（）

【變式3-3]（24-25七年級上?河南鄭州?期中）

12.如圖，某酒店大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由四塊寬2m、高3m的長方形玻璃隔板組成.

（1）每扇旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是這體現(xiàn)了一動成體；

（2）求每扇旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積（結(jié)果保留兀）.

【題型4正方體的展開圖】

【例4】（24-25七年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）

13.下列四個展開圖中，經(jīng)過折疊能圍成如圖所示的立體圖形的是（）

試卷第4頁，共8頁

16.如圖，A.8、C、。四個位置中的某個正方形與實線部分的五個正方形組成的平面圖形,

其平面圖形能拼成正方體的位置有（）個.

【題型5截一個幾何體】

【例5】（24-25七年級上?福建三明?期中）

17.一物體外形是正方體，其內(nèi)部構(gòu)造不詳，用一個豎直的平面截這個物體，截了七次，得

到一組自左向右的截面（如圖），則這個正方體的內(nèi)部構(gòu)造可能是空了一個體.

【變式5-1]（24-25九年線下?陜西咸陽?期中）

試卷第5頁，共8頁

18.玲玲用兩種不同的方法分別去截同?個幾何體，分別得到了如圖所示的圖形，這個幾何

體可能是（）

A.球B.圓柱C.長方體D.圓錐

【變式5-2］（24-25七年線上?寧夏銀川?期中）

19.用一平面去截下列幾何體，其截面可能是長方形的有個.

【變式5-3］（24-25七年線卜?江蘇蘇州?期中）

20.用平面截一個〃棱柱，得到的截面邊數(shù)最多是8條邊，且這個〃棱柱的每個側(cè)面都是正

9

方形，正方形的面枳為；，則這個〃棱柱的棱長之和為_____.

4

【題型6幾何圖形中規(guī)律探究】

【例6】（25-26七年級上?山西運城?階段練習(xí)）

21.綜合與實踐

【問題背景】十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)十）、面數(shù)S）、棱數(shù)（E）

之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.請你觀察卜列幾種簡單多面體模型，解答

下列問題:

四面體長方體正八面體正十二面體

【解決問題】

（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格:

多面體頂點數(shù)（/）面數(shù)（戶）棱數(shù)（E）

四面體

長方體

試卷第6頁，共8頁

正八面體

正十二面體

【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】

(2)你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)十)、面數(shù)位)、棱數(shù)(9之間存在的關(guān)系式是.

【規(guī)律運用】

(3)一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8,且有30條棱，求這個多面體的頂點數(shù)？

【變式6-1]

22.如圖，是按規(guī)律擺放在墻角的一些小正方體，從上往下分別記為第一層，第二層，第三

(2)從第四層至第六層(含第四層和第六層)共有個小正方體.

(3)第〃層有個小正方體.

(4)若每個小正方體邊長為a分米，共擺放了5層，則要將擺放的小正方體能看到的表面部

分涂上防銹漆，則防銹漆的總面積為分米2.

【變式6-2】

23.下列圖形中，圖A是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到如圖B,C,D,E所示的

木塊.

圖頂點數(shù)x棱數(shù)y面數(shù)z

試卷第7頁，共8頁

A8126

B

C

D

E

（2）觀察上表，各種木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系可以歸納出一定的規(guī)律.請

你試寫出頂點數(shù)X、棱數(shù)y、面數(shù)z之間的數(shù)量關(guān)系式.

【變式6-3】

24.觀察下列由長為1的小正方體擺成的圖形，如圖①所示共有I個小立方體，其中1個

看得見，0個看不見：如圖②所示：共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見：如

圖③所示：共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見…按照此規(guī)律繼續(xù)擺放：

（1）第④個圖中，看不見的小立方體有個：

（2）第n個圖中，看不見的小立方體有個.

試卷第8頁，共8頁

1.①②⑤⑦?;④⑥；③

【分析】本題主要考查立體圖形的分類，解題的關(guān)鍵掌握立體圖形的特征.據(jù)此可得答案.

【詳解】解：柱體：①②⑤⑦⑧：錐體：④⑥；球體：③.

故答案為：①②⑤⑦?;④⑥；③.

2.圓錐

【分析】本題主要考查了生活中簡單的幾何體，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的特點，根據(jù)圓

錐特點即可解答.

【詳解】解:這個幾何體為圓錐.

故答案為：圓錐.

3.C

【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征進行選擇即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征,可選擇模塊⑥放在模塊①卜的右下角,再將模塊③

放在模塊①上在右上角，最后將模塊②放在模塊①上在左邊，就使得模塊①組成一個棱長

為3的正方體，

故選：C.

【點睛】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，主要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和動手拼接圖形的能力.

4.見解析

【分析】本題考杳了組合幾何體的構(gòu)成.熟練掌握常見的幾何體是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)常見的幾何體的特征作答即可.

【詳解】解：由題意知，①是由一個正方體、一個圓柱體、一個圓錐體組成的組合體；

②是由一個圓柱體、一個長方體、一個三棱柱組成的組合體；

③是由一個五棱柱、一個球體組成的組合體.

5.C

【分析】本題主要考查了六棱柱的相關(guān)知識，根據(jù)六棱柱所有側(cè)棱長都相等，有12個頂點,

側(cè)面的形狀都是長方形一一判斷即可.

【詳解】解：A.筆簡可以近似的看成六棱柱，說法正確，故該選項不符合題意；

B.它的所有側(cè)棱長都相等，說法正確，故該選項不符合題意；

C.它有12個頂點，原說法錯誤，故該選項符合題意；

D.側(cè)面的形狀都是長方形，說法正確，故該選項不符合題意：

故選：C.

答案第1頁，共8頁

6.192

【分析1本題考查了棱柱的側(cè)面積計算，先求出棱柱的棱數(shù)，再求出側(cè)棱長，然后求側(cè)面積

即可，正確理解棱柱的有關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???棱柱有10個面，

二是8棱柱，

，側(cè)棱長為64+S=X（cm）,

,?,底面邊長都是3cm,

.?.底面周長是8x3=24（cm）,

二側(cè)面積=24x8=192（cm2）,

故答案為：192.

7.7

【分析】本題主要考查立體幾何的認識，掌握立體幾何中點、棱、面的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.棱柱的上，下棱的和是中間棱的2倍，由此即可求解.

【詳解】解：15+3=5,即上、中、下各有5條棱，

中間有5個面，上下各一個面，共7個面，

故答案為：7.

8.D

【分析】本題考查截一個幾何體，根據(jù)挖去一個棱長為1cm的正方體，增加了三個邊長為1cm

的正方形面，進行求解即可.

【詳解】解：因為從一個棱長為4cm的正方體的一頂點處挖去一個棱長為1cm的正方體，增

加了三個邊長為1cm的正方形面，

所以第二個幾何體有9個面.

故選：D.

9.B

【分析】本題考查了點、線、面、體的關(guān)系，明確點動成線，線動成面，面動成體.根據(jù)點、

線、面、體的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：若把螺旋槳看作一條線段，旋轉(zhuǎn)形成的痕跡體現(xiàn)了線動成面.

故選：B.

10.點動成線

答案第2頁，共8頁

【分析】本題考查了點、線、面、體的關(guān)系，熟練掌握點、線、面、體四者之間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.根據(jù)點動成線的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：筆尖在紙上快速滑動寫出了一個字母卬，用數(shù)學(xué)知識解釋為“點動成線

故答案為：點動成線.

11.B

【分析】本題題考查點、線、面、體的問題，解決本題的關(guān)鍵是把旋轉(zhuǎn)的圖形分為上下兩個

部分，根據(jù)面動成體分別求出上下兩部分旋轉(zhuǎn)后的圖形即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，該圖形旋轉(zhuǎn)后上部分得到的幾何體是?個圓錐，下部分得到的幾何

體是一個圓臺，

???四個選項中，只有B選項符合題意，

故選：B.

12.⑴圓柱:而：

⑵124(m)

【分析】本題考查了點、線、面、體，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圓柱的特征，以及點、線、面、體的關(guān)系，即可解答；

(2)利用圓柱的體積公式進行計算,即可解答.

【詳解】(1)解：每扇旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱，這體現(xiàn)了面動成體，

故答案為：圓柱：面；

(2)解：由題意得：^x22x3=12^-(m3),

???每扇旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體枳12乃

13.B

【分析】本題主要考查了正方體展開圖的特點，含△,。和口的三個面是兩兩相鄰的三個面,

據(jù)此可判斷A、C、D錯誤.

【詳解】解：由題意得，含△，。和口的三個面是兩兩相鄰的三個面，

???四個圖形中只有B選項中的圖形符合題意，

故選：B.

14.點、4、點E

【分析】本題考查了正方體的展開圖，根據(jù)正方體表面展開圖的特征即可得出答案，熟練掌

握正方體表面展開圖的特征是解此題的關(guān)犍.

答案第3頁，共8頁

【詳解】解：根據(jù)正方體表面展開圖的特征可知，折疊后與點尸重合的點是點力、點E,

故答案為：點Z、點E.

15.D

【分析】本題主要考查了正方體的展開圖，正方體展開圖中，相對的面中間一定隔著一個面,

且正方體展開圖有T41”型,T32”型，“33”型,“222”型，沒有“411”型,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由正方體展開圖的特點可知，四個選項中只有D選項中的展開圖不是正方體

的展開圖，

故選：D.

16.C

【分析】本題考查了展開圖折疊成幾何體，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各

種情形.注意：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖.

由平面圖形的折疊及正方體的表面展開圖的特點解■.

【詳解】解：正方形力與實線部分的五個正方形組成的國形出現(xiàn)重疊的面，所以不能圍成

正方體.正方形8、C、。與實線部分的五個正方形組成的圖形能圍成正方體.

故其平面圖形能拼成正方體的位置有3個.

故選：C.

17.圓錐

【分析】本題考查了幾何體的認識，熟練掌握幾何體的特征是解題的關(guān)鍵.觀察圖形，除第

四個圖形外都是一條曲線，可以判斷幾何體內(nèi)部是由曲面圍成的，而且上小下大；再由第四

個圖形內(nèi)部是一個三角形，可推斷這個幾何體是圓錐，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意得，這個正方體的內(nèi)部構(gòu)造可能是空了一個圓錐體.

故答案為：圓錐.

18.B

【分析】本題考查了幾何體的截面，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和

方向有關(guān)，根據(jù)圓錐、圓柱、球體，長方體的幾何特征，分別分析出用一個平面去截該幾何

體時，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案.

【詳解】解：A、用不同的方法截球，不能得到長方形，故該選項不符合題意；

B、用不同的方法截圓柱，能得到以上各種圖形，故該選項符合題意；

C、用不同的方法截長方體，不能得到圓形，故該選項不符合題意；

D、用不同的方法截圓錐，不能得到長方形，故該選項不符合題意：

答案第4頁，共8頁

故選：B.

19.3

【分析】本題考查幾何體的截面，根據(jù)圓柱、長方體、圓錐、四棱柱的形狀判斷即可，可用

排除法，關(guān)鍵要理解面與面相交得到線，注意：截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截

面的角度和方向有關(guān).

【詳解】解：圓錐不可能得到長方形截面，

???能得到長方形截面的幾何體有：圓柱、長方體、四棱柱，一共有3個，

故答案為：3.

20.27

【分析】本題考查截一個幾何體，求棱長，根據(jù)截面最多是8邊形，得到幾何體為6棱柱,

根據(jù)每個側(cè)面都是正方形，求出一條棱長，進而求出棱長和即可.

【詳解】解：由題意,可知：〃=6.

9

???每個側(cè)面都是正方形，正方形的面積為：，

4

3

每條棱長為1，

3

.??棱長之和為：18X彳=27；

故答案為：27.

21.表格見解析；V+F-E-2,2（）

【分析】本題考查歐拉公式，正確數(shù)出多面體的頂點、面、棱的數(shù)量；

（1）數(shù)出各個多面體的頂點、面、棱的數(shù)量填入表格即可，其中正十二面體的頂點和棱比

較難數(shù)，正十二面體是由12個正五邊形面組成的，每頂點連著3個面，所以頂點數(shù)為

12x5+3=20個，每條棱連著兩個面，所以棱數(shù)為12x5?2=30個：

（2）從表格觀察發(fā)現(xiàn)：頂點數(shù)+面數(shù)一棱數(shù)=2；

<3）由一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8可得頂點數(shù)化）、面數(shù)（尸）的關(guān)系，代入頂點數(shù)十面

數(shù)一棱數(shù)=2即可求解.

【詳解】解：⑴填入表格如下:

多面體頂點數(shù)（/）面數(shù)（F）棱數(shù)3）

四面體446

答案第5頁，共8頁

長方體8612

正八面體6812

正十二面體201230

(2)從表格中觀察發(fā)現(xiàn)：P+F—E=2

故答案為：V+F-E=2.

(3)?.?一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)小8,￡=30

,-.F=r-8

...p+p-8-30=2

解得P=20

故這個多面體的頂點數(shù)為20個.

22.(1)6

⑵46

⑶…

2

(4)45/

【分析】此題考查圖形規(guī)律性的變化，得到第〃層正方體的個數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)第1個圖有1層，共1個小正方體，第2個圖有2層，第2層小正方體的個數(shù)為1+2,

以此類推第三層即可；

(2)第4至6層求出每層個數(shù)相加即可；

(3)根據(jù)相應(yīng)規(guī)律可得第〃層小正方體的個數(shù)為1+2+3+…+〃=網(wǎng)竺D：

2

(4)共擺放5層，根據(jù)正面、右面、上面小正方形的面的個數(shù)，求出總面數(shù)再乘每一個小

正方形的面積即可.

【詳解】(1)解：第1層，共1個小正方體，

第2層小正方體的個數(shù)為1+2=3,

第3層小正方體的個數(shù)為：1+2+3=6；

故答案為：6；

(2)第4層小正方體的個數(shù)為：1+2+3+4=10,

第5層小正方體的個數(shù)為：1+2+3+4+5=15,

第6層小正方體的個數(shù)為：1+2+3+4+5+6=21,

答案第6頁，共8頁

所以從第四層至第六層（含第四層和第六層）共有：10+15+21=46個小正方體；

故答案為:46；

（3）根據(jù)（1）（2）相應(yīng)規(guī)律，可得第〃層小正方體的個數(shù)為1+2+3+…+〃=也業(yè)；

2

故答案為：J~~h

2

（4）因為幾何體的三面在墻上，所以只能看到正面、右面、上面，

每面看到小正方體的面數(shù)為：1+2+3+4+5=15,

所以防銹漆的總面枳為15x3x1=451分米2.

故答案為：45/.

23.（1）見解析；（2）x+z-2=y.

【分析】（1）小題，只要將圖（B）、（C）＞（D）、（E）各個木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)數(shù)一

下就行；數(shù)的時候要注意：圖中不能直接看到的那一部分不要遺漏，也不要重復(fù)，可通過想

象計數(shù)，正確填入表內(nèi)；

（2）通過觀察找出