勾股定理的應用學案講義

考點卡片

1.方向角

方向角是從正北或正南方向到H標方向所形成的小于90。的角

（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準，來描述物體所處的方向.

（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向

角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.注意幾個方向的角平分線按日常習慣，即東北，東南，

西北，西南.）

（3）畫方向角

以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.

2.勾股定理的應用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中

抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用.

（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面枳和有關(guān)線段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形

的面積等于以直角邊為邊民的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把?個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

課堂鞏固練習

一.選擇題（共5小題）

1.如圖，瓢蟲在地圖上從4點先向南爬九切，又向東爬4cm,再向北爬2c?〃?，又向東爬4cm,再向南

爬\cm到B點，如此爬行比從A點直接爬到B點多爬行（）

A.8c〃?B.7cmC.6cmD.5cm

2.《九章算術(shù)》勾股章中有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適

與岸齊.向水深、葭長各幾何。其大意為：有一個水池，其水面是邊長為I丈的正方形（即48=1

丈=10尺），在水池正中央有一根蘆葦GE,它高出水面的部分為1尺（即

后r=1尺）.如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達池邊水面點A處，則蘆葦GE的長是（）

A.10尺B.12尺C.13尺D.15尺

3.松松同學學習了“勾股定理”之后，為了計算如圖所示的風箏高度CE,測得如下

數(shù)據(jù)：①測得4。的長度為12〃”（BD±CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線8C'的長為15〃?；

4.如圖，李伯伯家有一塊四邊形田地A3CO,其中NA=90。，AB=3m,BC=\2m,CD=\2>m,AD=4w,

則這塊地的面積為（）

A.36M2B.42”？C.66〃尸D.76/n2

5.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，未折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意

思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折斷后，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠,

求折斷處離地面的高度.設竹子折斷處離地面x尺，根據(jù)題意，列出的正確方程為（）

A.A2+62=102B.(10x)2+62=/

C.1+62=(1()x)2D.(10x)2+『=62

二.填空題（共5小題）

6.如圖，某會展中心準備將高5陽，長13〃?，寬2機的樓道鋪上地毯，若地毯每平方米30元，則鋪完這

7.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方

向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分

別位于點Q,R處,且相距30海里.已知“遠航”號沿東北方向航行，則“海天”號沿方

向航行.

8.如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們

僅僅少走了幾步路,卻踩傷了花草.他們少走的路長為.

9.如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子8c的長為17米，幾分鐘后船

到達點。的位置，此時繩子CQ的長為10米，問船向岸邊移動了米.

10.蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動，小亮想利用所學的勾股定理的知識測算公園里一

架秋千的繩索A8的長度，如圖，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度8C=05〃，將踏板

往前推送，使秋千繩索到達點。的位置，測得推送的水平距離為2〃?，即。E=2m,此時秋千踏板離地

面的垂直高度。尸=1.5〃?，那么繩索的長度為陽.

三.解答題（共5小題）

11.消防車上的云梯示意圖如圖1所示，云梯最多只能伸長到25米，消防車高4米，如圖2,某棟樓發(fā)生

火災，在這棟樓的B處有一老人需要救援，救人時消防車上的云梯仰長至最長，此時消防車的位置A與樓

房的距離OA為15米.

圖1圖2

（1）求B處與地面的距離.

（2）完成8處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在8處的上方4米的。處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地

救出小孩，消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？

12.圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖.根據(jù)安全標準需滿足8C_LC￡>,現(xiàn)測得人8=。。=

6dm,BC=3dm,AD=9dm,其中48與8。之間由一個固定為90。的零件連接（即/ABD=90。），

通過計算說明該車是否符合安全標準.

圖1圖2

13.如圖所示，人、8兩塊試驗田相距200米，C為水源地，AC=160/7/,BC=\20m,為了方便灌溉，現(xiàn)有

兩種方案修筑水渠.

甲方案；從水源地。直接修筑兩條水渠分別到A、a

乙方案；過點C作A8的垂線，垂足為”，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的，處，再從

〃分別向A、8進行修筑.

（1）請判斷△A8C的形狀（要求寫出推理過程）；

（2）兩種方案中，哪?種方案所修的水渠較短？請通過計算說明.

水源池

14.星期天小明去釣魚，魚鉤A在離水面8。1.3米處，在距離角線1.2米處。點的水下0.8米處有一條

魚發(fā)現(xiàn)了魚餌，于是以0.2〃小的速度向魚餌游來，那么這條魚至少幾秒后才能到這魚餌處?

D

15.2025年是“全運年”，第十五屆全運會將于2025年11月9日?21日在粵港澳大灣區(qū)舉行，健身運

動的熱潮也席卷全國，更多的人開始運動健身.小亮堅持每天和爸爸一起沿著公園的綠道晨跑，他們

跑步的路線如圖所示，己知從4點到。點有兩條路線，分別是和A—C-Q.己知AB=160m,

4c=200〃?，點C在點B的正東方120〃？處，點。在點C的正北方50/n處.

(1)試判斷A3與8c的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如果小亮沿著ATC—Q的路線跑，爸爸沿著的路線跑，請你通過計算比較誰跑的路線

更短.

勾股定理的應用

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

題號12345

答案ACAAC

一.選擇題（共5小題）

1.如圖，瓢蟲在地圖上從A點先向南爬Qcm,乂向東爬4cm,再向北爬2cm,又向東爬4c加，再向南

爬\cm到B點，如此爬行比從A點直接爬到B點多爬行（)

A.8c/wB.JanC.6cmD.5cm

【答案】A

【分析】過點。作“ClAC于C.根據(jù)勾股定理求出4A即可求出答案.

【解答】解：過點8作于C,

在Rt/\ABC中，AC=72+1=6(cm),BC=4+4=8(cm),

：.AB=AC2+BC2=62+82=1()(cm),

7+4+2+4+110=8Cem）,

答：如此爬行比從A點直接爬到8點多爬行了8c7以

故選：A.

4

2.《九章算術(shù)》勾股章中有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適

與岸齊.向水深、葭長各兒何”.其大意為：有一個水池，其水面是邊長為1丈的正方形（即A8=l

丈=10尺），在水池正中央有一根蘆葦GE,它高出水面A8的部分為1尺（即EF=\尺）.如果把這

根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達池邊水面點A處，則蘆葦GE的長是（）

C.13尺D.15尺

【答案】C

【分析】找到題中的直角三角形，設水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答.

【解答】解；設水深G廠長為x尺，則蘆葦GE=AG=（x+l）尺，

'：GF2+AF2=AG2,

"+（孚）2=（X+I）2.

解得：x=12,

則蘆葦?shù)氖隙葹閤+1=12+1=13（尺），

故選：C.

3.松松同學學習了“勾股定埋”之后，為了計算如圖所示的風箏■高度CE,測得如卜數(shù)據(jù)：①測得8。的

長度為12〃?；（BD上CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線5。的長為15〃?：③松松身高A8為

1.6/〃，若松松同學想使風箏沿。。方向下降4加，則他應該往回收線（）米.

A.2B.5C.5.4D.3.6

【答案】A

【分析】由勾股定理求出C。的長，再由勾股定理求出的長，即可解決問題.

【解答】解：VBDLCE,

:.ZBDC=90°,

在RlZ\CQB中，由勾股定理得：CD=BC2BD2=152122=9(〃?),

設風箏沿。。方向下降至點M,連接8M,如圖，

則CM=4/〃，

：.DM=CDCM=94=5（加），

\/BD2+DM2=V122+52-l3<m）,

：.BC8M=1513=2(〃?),

即松松同學應該往回收線2米，

故選：A.

4.如圖，李伯伯家有一塊四邊形田地A8CQ,其中乙4=90。，AB=3m,BC=\2m,CD=\3m,AD=4m,

則這塊地的面積為()

A.36"aB.42陽2C.

66〃尸D.76〃?【答案】A

【分析】連接BD,運用勾股定理逆定理可證△OBC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊

地的面積為兩個直角三角形的面枳和.

【解答】解：如圖，連接8D,

AB

在RtAADB中，NA=90。，AB=3m，AD=4m,

由勾股定理得：=AB2+AD2=32+42=25,

??.8。=5(負值已舍去)，

在△D8C中，67)2=169,DB2+BC2=25+122=169,

：.DC2=BD2+BC2,

:.NDBC=90°,

?S&SCD=,AD?:RD,CBx3x4.；x5x12-36(nt*).

故選:A.

5.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地''問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意

思是：一根竹子，原高一丈(一丈=十尺)，折斷后，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，

求折斷處離地面的高度.設竹子折斷處離地面x尺，根據(jù)題總，列出的正確方程為()

A.『+62=102B.(10x)2+6?=.r2

C.N+62=(10x)2D.(10x)2+/=62

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形和勾股定理，可以得到.0+62=(10x)2,然后即可得到哪個選項符合題意.

【解答】解：由圖可得，

A2+62=(10x)2>

故選：C.

二.填空題(共5小題)

6.如圖，某會展中心準備將高5m，長13,〃，寬力〃的樓道鋪上地毯，若地毯每平方米30元，則鋪完這

個樓道至少需要1020元.

【答案】1020.

【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即人8與8c的和，在直角△人8C中，根據(jù)勾股

定理即可求得人8的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解.

【解答】解：由勾股定理得4"\A（"l/TVV12制.

則地毯總長為12+5=17（陽）：

則地毯的總面積為17x2=34（平方米）,所以鋪完這個樓道至少需要34x30=1020（元）.

故答案為：1020.

7.如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方

向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半?小時后分

別位于點。，R處,且相距30海里.已知“遠航”號沿東北方向航行，則“海天”號沿西北方向

【分析】根據(jù)題意，得山的三邊長，再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ是直角三角形，再求

解即可.

【解答】解：由題知，PQ=16x1.5=24海里，PR=l2x].5=【8海里，QR=3O海里，NSPQ=45。，

?"爐+尸/?2=242+182=900,。/?2=900,

：.PQ1+PR2=QR2,

:.NRPQ=90°,

ZSPR=ZRPQNSPQ=90。45°=45°.

故答案為：西北方向.

8.如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們

僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草.他們少走的路長為4%.

【答案】4m.

【分析】先利用勾股定理求出再計算少走的路長即可.

【解答】解：由題意知/4CB=90。，

在RtZXACB中，AC=6m,BC=8m,

由勾股定理得：AB=y/ACl?BC2>⑷?解■10m.

AC+BCAA=6+810=4（加），

，他們少走的路長為4〃?，

故答案為:4m.

9.如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船

到達點。的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了9米.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】在RtZXABC中，利用勾股定理計算出氏，再根據(jù)題意可得CO長，然后再次利用勾股定理

計算出40氏，再利用8O=ABAO可得8。氏.

【解答】解:在RtAAZJC中：

VZCAS=90°,8c=17米，AC=8米，

：?.4B二sBC2-AC1=V17^-82=15（*）.

???CQ=10（米）,

；?AD=VM-AC2=V100-64=6（米）.

：.BD=ABAD=156=9（米），

答：船向岸邊移動了9米，

故答案為：9.

10.蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動，小亮想利用所學的勾股定理的知識測算公園里一

架秋千的繩索A8的長度，如圖，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時,秋干踏板離地面的垂直高度8。=0.5小，將踏

板往前推送，使秋千繩索到達點。的位置，測得推送的水平距離為2/〃，即。E=2m,此時秋千踏板

離地面的垂直高度QF=1.5〃?，那么繩索A3的長度為2.5m.

【答案】2.5.

【分析】可設秋千的繩索長為??，根據(jù)題意可知4E=Cr1)用，利用勾股定理可得x?=24(x1)2,

即可得出答案.

【解答】解：VEC=DF=\.5m,BC=0.56，

:?EB=ECBC=hn,

在RtAAED中，AD2=AE2+ED2,ED=2m,

設秋千的繩索長為xm,則4E=(xI)m,

故A2=22+(xI)2,

解得：x=2.5.

答：繩索八8的長度為2.5〃?，

故答案為：2.5.

三.解答題(共5小題)

11.消防車上的云梯示意圖如圖1所示，云梯最多只能伸長到25米，消防車高4米，如圖2,某棟樓發(fā)

生火災，在這棟樓的。處有一老人需要救援，救人時消防車上的云梯伸長至垣長，此時消防車的位置A與

樓房的距離0A為15米.

樓

房

O

車

CA消防

E地面

圖1圖2

(1)求B處與地面的距離.

(2)完成8處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在8處的上方4米的。處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功

地救出小孩，消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)在RtZXOAB中，根據(jù)勾股定理求出OB的長，進而可得出結(jié)論;

（2）在RtAOCD中，由勾股定理求出。4的長，利用OC=OAOC即可得出結(jié)論.

【解答】解：（I）在Rl/^OAB中，

“AB=25米，OA=I5米，?！?4米，

：.0B=儲爐-=V2S2-152=20（

:BE=OB+OE=20+4=24（米），

答：8處與地面的距離是24米；

（2）由題意得8。=4米，

“CQ=25米，00=08+80=20+4=24（米），

：?0C=y/CD2-OD2=<2S2-242=74米X

:AC=OAOC=157=8（米）.

答：消防車從八處向著火的樓房靠近的距離人C為8米.

12.圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖.根據(jù)安全標準需滿足8C_LCD,現(xiàn)測得A8=CO=

6dm,BC=3dm,AD=9dm,其中A8與8。之間由一個固定為90。的零件連接（即NA8D=90。），

通過計算說明該車是否符合安全標準.

圖1圖2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】在為△4B。中，由勾股定理求出BO,在△BC。中，通過計算，根據(jù)勾股定理逆定理判斷

即可.

【解答】解:在RtZkABO中，BD2=AD2AB2=9262=45,

在△8C。中，BC2+CD2=32+62=45,

：.BC2+CD2=BD2t

，NBC。=90。，

：.BCVCD.

故該車符合安全標準.

13.如圖所示，A、8兩塊試驗田相距200米，。為水源地，AC=160/H,8c=120〃］，為了方便灌溉，現(xiàn)有

兩種方案修筑水渠.甲方案：從水源地。直接修筑兩條水渠分別到4、B；乙方案：過點。作48的垂

線，垂足為〃，先從水源地。修筑一條水渠到八B所在直線上的H處，再從〃分別向人、8進行修筑

（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）：

（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明.

【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；

（2）由△48C的面積求出。7,得出4。+8。＜€7/+A”+8打，即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）△A8C是直角三角形；理由如下：

???AC2+8C2=1602+1202=40000,AB1=2002=40000,

.,.AC2+8C2=AB1,

「?△ABC是直角三角形，NAC8=90。;

（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下:

是直角三角形,

???AABC的面積=yABCH-?以

ACBC160x120

：.CH=

\"AC+BC=\60m+\20m=280/.'：,CH+AH+BH=CH+AB=96/+200“=296w,

/.AC+BC<CH+AH+BH,

，甲方案所修的水渠較短.

14.星期天小明去釣魚，魚鉤人