專題2.3根的判別式（舉一反三講義）

【北師大版】

題型歸納

【題型1判斷不含參方程根的情況】...............................................................1

【題型2判斷含參方程根的情況】................................................................3

【題型3知根的情況求參數(shù)的取值范圍（二次項系數(shù)為常數(shù)）】.....................................5

【題型4知根的情況求參數(shù)的取值范圍（二次項系數(shù)含參）】.......................................6

【題型5根的判別式聯(lián)系代數(shù)的應(yīng)用】............................................................9

【題型6根的判別式融匯函數(shù)的應(yīng)用】...........................................................11

【題型7根的判別式綜合幾何的應(yīng)用】...........................................................14

:舉一反三］

知識點一元二次方程根的判別式

1.對于一元二次方程Q/+b%+c=O（QHO）,通過配方可得（工+/）2=噤￡,則方程根的情況由82一

4ac的符號決定.

一般地，式子》2-4就叫做一元二次方程。/+以+。=0根的判別式，通常用希臘字母表示它，BPA=

b2-4ac.

2.根的判別式△的符號與一元二次方程根的情況

（I）△>0d一元二次方程有兩個丕相笠的實數(shù)根；

（2）△=00一元二次方程有兩個相笠的實數(shù)根；

（3）△<0=一元二次方程無實數(shù)根.

3.應(yīng)用

（I）不解方程判斷一元二次方程根的情況：

（2）根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的取值范圍.

【題型1判斷不含參方程根的情況】

［例1］（2425八年級下?安徽安慶?期中）一元二次方程/+3%-11=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】A

【分析】本題考杳了一元二次方程根的判別式，求出4=川-4磔的值即可判斷求解，掌握一元二次方程根

的判別式與一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：VZ1=32-4x1x(-11)=9+44=53>0,

???一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選:A.

【變式11】(2025?遼寧鐵嶺?模擬預(yù)測)下列方程有兩個不相等的實數(shù)根是()

A.x2-2x-1=0B.x2-2x+1=0

C.%2-2x4-2=0D.x2+2x4-1=0

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程

有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)A<0時，方程沒有實數(shù)根，分別計算四個方程的根的判別式，再根據(jù)判別式的符

號判斷根的情況即可.

【詳解】解：A.v△=(-2)2-4X(-1)=8>0,

???方程有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；

B.vA=(-2)2-4X1=0,

二方程有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；

C.v△=(一2尸一4X2=-4V0,

???方程沒有實數(shù)根，不符合題意；

D.???△=22-4x1=0,

???方程有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意，

故選：A.

【變式12](2025.云南臨滄.三模)一元二次方程(％+3)(%-3)=5(%+3)的根的情況是()

A.只有一個實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知根的判別式與一元二次方程根的關(guān)系式解題的關(guān)鍵.

先把一元二次方程化為一般式，然后利用根的判別式求解即可.

【詳解】解：???(%+3)(%-3)=5(%+3),

.\x2-9=5x4-15?

即無2-5%-24=0,

工根的判別式A=b2-4ac=(-5)2-4x(-24)=121>0,

???方程有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：B.

【變式13](2025?河北唐山?二模)已知整式P=——2(2X—X2)+L

()化簡P

(2)若P=0,利用判別式判斷此方程實數(shù)根的情況.

【答案】⑴P=3/-4x+l；

(2)此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【分析】本題考查的是整式的加減運算，根據(jù)根的判別式判斷方程根的情況；

<1)去括號，合并同類項即可；

(2)由題意可得3/-以+1=0,再利用根的判別式判斷即可.

【詳解】⑴解：。。=%2-2(2%--)+1,

*.P=x2-4x+2x24-1=3x2-4x+1.

(2)解：當(dāng)P=0時,3X2-4X+1=0.

:.A=(-4)2-4x3xl=4>0：

此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【題型2判斷含參方程根的情況】

【例2】(2425九年級上?河南信陽?期末)已知a,b,c為常數(shù)，點P(a,c)在第四象限，則關(guān)于%的方程。爐+

bx+c=0的根的情況是.

【答案】有兩個不相等的實數(shù)根

【分析】本題考杳了點的坐標(biāo)特征、一元二次方程根的判別式，由點尸(a,c)在第四象限，得出Q>0,c<0,

從而可得ac<0,再由一元二次方程根的判別式計算即可得解.

【詳解】解：???點P(Q,C)在第四象限，

/.G>0,C<0,

.*.GC<0,b2>0,

:.A=b2-4ac>0,

???美于工的方程a/?bxVc=0的根的情況是有兩個不相等的實數(shù)根,

故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根.

【變式21】（2025?上海金山?二模）利用根的判別式判斷方程2/一6"一2=0（m為常數(shù)）的根的情況

是.

【答案】有兩個不相等的實數(shù)根

【分析】本題.主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

利用一元二次方程根的判別式即可解決問題.

【詳解】解：因為一元二次方程為2/-mx-2=0（m為常數(shù)）,

則A=（-m）2-4x2x（-2）=ni2+16>0,

所以此一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根.

【變式22】（2025?江蘇?三模）關(guān)于k的一元二次方程/+軌一2=0中，則該一元二次方程根的情況為（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.無法判斷

【答案】A

【分析】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程辦2+以+。=09工0）的根與&=/一4時有如下關(guān)

系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)AV0時，方程無

實數(shù)根.

先計算判別式的值，再利用根據(jù)判別式的意義進行判斷即可.

【詳解】解：?關(guān)于x的一元二次方程/+4%-2=0中，a=1,b=4,c=-2,

AA=b2-4ac=42-4xlx（-2）=16+8=24>0,

???方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：A.

【變式23】關(guān)于x的方程x2+x-k2-1=0的根的情況是.

【答案】有兩個不相等的實數(shù)根

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)及根的判別式A=b2-4ac,可得出A=41+5,由偶次方的非負(fù)性可得出N>0,

進而可得出4k2+5>0,即/>0,再由“當(dāng)/>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”，即可得出關(guān)于x的方程

/+%-1=。有兩個不相等的實數(shù)根.

【詳解】解：Tan，b=l,c=-k2-1,

：.d=b2-4ac=l2-4x1x（-k2-1）=4/c2+5.

?:k?>0,

/.4fc24-5>0,即△>(),

???關(guān)于X的方程/+x-/c2-l=0有兩個不相等的實數(shù)根.

故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根.

【點睛】本題考查了根的判別式以及偶次方的非負(fù)性，利用偶次方的非負(fù)性，找出A=41+5>0是解題的

關(guān)鍵.

【題型3知根的情況求參數(shù)的取值范圍(二次項系數(shù)為常數(shù))】

【例3】等腰三角形三邊長分別為a、匕、2,且a,b是關(guān)于x的一元二次方程/-6x+n—1=0的兩根，則n

的值為________

【答案】10

【詳解】解：當(dāng)a=2或b=2時，把x=2代入x?6x+nl=0得412+nl=0,解得『9,此時方程的根為2和4,而

2+2=4,故舍去;

當(dāng)a=b時,△=(6)24x(nl)=0,解得n=10,

所以n為10.

點睛:一元二次方程ax?+bx+c=0(aRO)的根與△=b24ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>()時,方程有兩個不相等的兩

個實數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)AVO時，方程無實數(shù)根.

【變式31】(2025?河北唐山?一模)關(guān)于"的方程/-2%+m=p2,無論實數(shù)p取何值，該方程總有兩個不

相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】m<1

【分析】先根據(jù)一元二次方程的根的判別式可得mVI+p2,從而可得m應(yīng)該小于l+p2的最小值，再根據(jù)

偶次方的非負(fù)性求解即可得.

【詳解】原方程可化為/—2x+m—p2=o,

當(dāng)該方程總有兩個不相等的實數(shù)根時，

則其根的判別式4=(一2產(chǎn)-4(m-p2)=-4m+4+4p2>0,

解得m<l+p2,

?.?無論實數(shù)p取何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根，即無論實數(shù)p取何值，不等式m<l+p2恒成立，

：,TH小于1+p2的最小值,

由偶次方的非負(fù)性得：P2>0,

1+P2>1?

1+p2的最小值為1,

A771<1,

故答案為：m<1.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式等知識點，正確將問題轉(zhuǎn)化為無論實數(shù)p取何值，不等式m<

l+p2恒成立是解題關(guān)鍵.

【變式32](2025?湖南婁底?三模)對于實數(shù)a,b定義新運算：=ma?/,-2a-1,例如：102=mxI2x

2-2xl-l=2m-3.若關(guān)于k的一元二次方程工團1=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是.

【答案】-1

【分析】本題考杳了新定義運算，一元二次方程根的判別式，先根據(jù)新運算列出一元二次方程，再根據(jù)方程

有2個相等的實數(shù)根得A=0,據(jù)此列出關(guān)于m的方程解答即可求解.，理解新定義運算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，mx2-2x-1=0,

???關(guān)于元的一元二次方程工團1=。有兩個相等的實數(shù)根，

:.X=(-2)2—4xmx(-1)=4+4m=0,

解得m=-1,

故答案為：一1.

【變式33】(2025?江蘇泰州?三模)若關(guān)于x的方程％2一4%+攵+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則直線y=

(k-2)x+1不經(jīng)過第象限.

【答案】三

【分析】本題考查了?元二次方程根的判別式，?次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?元二次方程根

的判別式，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì).先利用一元二次方程根的判別式的意義得到kv2,然后根據(jù)一次函數(shù)

的性質(zhì)解決問題.

【詳解】解：：關(guān)于％的方程/-4x+k+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

A=(-4)2-4(/C+2)>0,

解得：k<2,

k—2V0,

二函數(shù)y=(k-2)%+1過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限

故答案為：三.

【題型4知根的情況求參數(shù)的取值范圍(二次項系數(shù)含參)】

【例4】(2025?云南?模擬預(yù)測)若關(guān)于%的一元二次方程mx?-6mx卜3=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍

為（）

A.771<gB.0<TH<iC.0<TH<|D.mV0或TH21

【答案】D

【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的定義，一元二次方程。/+以+（；=0（0。0）的根與4=

〃一4碇有如下關(guān)系：當(dāng)△>（>，，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=（>],，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)

△<0時，方程無實數(shù)根.

若一元二次方程有兩個實數(shù)根，則根的判別式A=b2-4ac>0,建立.關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍.由

一元二次方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍時，若一元二次方程的二次項系數(shù)含有字母，應(yīng)注

意二次項系數(shù)不為0這個隱含條件.

【詳解】解：???關(guān)于》的一元二次方程m/-+3=0有兩個實數(shù)根，

???△=b2-4ac=36m2—12m>0,

解得：m<0或m>}

又，；mH0,

???m<0或m>

故選：D.

【變式41】（2425九年級下?江蘇泰州?階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程-2一2%+1=0有兩個實數(shù)根，則

攵的取值范圍是

【答案】kW1且kW0

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得kHO,根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得出AZO,求出k的取值范圍即可

得出答案.

此題考查了根的判別式，掌握一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程A/—2X+1=0,

:?k*0,

???方程有兩個實數(shù)根，

.,.△=22-4/cxl>0,

解得k&l,

.??我的取值范圍是k<1且/c工0.

【變式42】(2025?山東濟南?二模：)若關(guān)于x的方程aM-2x+：=0有解，則〃的值不可能是()

4

A.0B.2C.4D.6

【答案】D

【分析】本題考查了方程的解，一元二次方程根的判別式和解一元一次不等式，能得出關(guān)于a的不等式是解

此題的關(guān)鍵.

根據(jù)方程有解得出當(dāng)Q=?；騋工0且乙>0,求出不等式的解集即可判斷.

【詳解】解：當(dāng)Q=0時，則一2%+；=0,方程有解，故A選項不符合題意；

4

當(dāng)a*0且4>0,即△=(一2/-4ax-4>0,

解得：a<4

，634且61=0,工〃可以為2、4,不可能為6,

故B、C選項不符合題意，D選項符合題意；

故選：D.

【變式43](2425八年級下?安徽蚌埠?期中)已知關(guān)于x的一元二次方程(a-b)x2+(c-d)x+(b-c)=0有

兩個相等的實數(shù)根，且實數(shù)a，b，c互不相等，則下列結(jié)論一定成立的是()

A.2a=b+cB.2b=a+cC.2c=a+bD.b2-4ac—0

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，根據(jù)判別式的意義得到△=()，然后可得實數(shù)a，力，c之間的關(guān)

2

系.解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程a/+bx+c=0(a^0)的根的判別式A=b-4ac：A>00方程有

兩個不相等的實數(shù)根；A=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；AV0o方程沒有實數(shù)根.

【詳解】解：???關(guān)于》的一元二次方程(。-6)/+((；-。%+(6-。)=0有兩個相等的實數(shù)根，

=(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0,即(a-c)?-4(a-b)(b—c)=0,

/.[(a—b)+(b—c)F—4(a—b)(b—c)=0,

???(a-b)2+2(a-b)(b-c)+(力-c)2-4(a-b)(b-c)=0,

即(a—b)2—2(a—b)(b—c)+(b—c)2—0,

[(a—b)—(b—c)]2=0,即(a—2b+c)2=0,

/.a—2b+c=0,

.*.2b=a4-c.

故選：B.

【題型5根的判別式聯(lián)系代數(shù)的應(yīng)用】

【例5】(2223八年級下?安徽?期末)若實數(shù)d〃滿足a-2必+20^+4=0,則a的取值范圍是.

【答案】-8<a<0

【分析】由實數(shù)a，。滿足。一2g+20匕2+4=0得到關(guān)于力的一元二次方程2血2-2耐+。+4=0,由根

的判別式△=-4。2-32。20且2口工0,得到不等式組，解不等式組即可得到〃的取值范圍.

【詳解】解：,?,實數(shù)a，。滿足Q-Zab+2Qb2+4=U,

，關(guān)于b的一元二次方程2ab2—2ab+Q+4=0中，

A=(-2a)2—4x2a(a+4)=—4a2—32a>0且2aW0,

即G(Q4-8)<0且aH0t

.(a>0的,a<0

，，ta4-8<0IJXta+8>0，

解得一8<a<0,

即a的取值范圍是-8<a<0.

故答案為：-8WQV0

【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式、一元一次不等式組的解法等知識，由根的判別式A=-4Q2—

32。>0且2QH。得到不等式組是解題的關(guān)鍵.

【變式51］如果a、b、c為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式b2+c2=2a2+16a+14與的=a2?4a?5,那么a的

取值范圍是—.

［答案】a>?1且a#?沮a聲盧且~~

【詳解】試題解析：vb2+c2=2a2+16a+14,be=a2-4a-5,

；?(b4-c)2=2a2+16a+14+2(a2—4Q-5)=4a2+8a+4=4(a+I)2,

即有b+c=±2(a+l).

又匕c=a2-4a-5,

2

所以8,c可作為一元二次方程/±2(a+l)x+a-4a-5=。③的兩個不相等實數(shù)根，

故4=4(a4-1)2—4(a2—4a-5)=24a4-24>0,

解得

若當(dāng)?！窌r，那么。也是方程③的解，

:.a2±2(a+l)a+a2-4a-5=0,

即4a2-2a-5=0或-6a-5=0,

解得,a=或a=—J.

46

當(dāng)時，16a+14=0,—4a—5=0,

解得a=—,a=-9（舍去），

o4

所以4的取值范圍為Q>-1且Q工一；且Q工粵且Q工-I

648

故答案為a>—1且a+且a于空棄且a+

648

【變式521（2324九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知實數(shù)a,4c滿足：a+b+c=2,abc=4.求同+\b\+|c|

的最小值____________

【答案】6

【分析】用分類討論的思想，解決問題即可.

【詳解】解：不妨設(shè)。是a,b,c中的最大者，即aNb,a>c,由題設(shè)知a>0,

且匕+c=2-a,be=

于是b,c是一元二次方程/一（2-d）x+：=0的兩實根，

:.N=（2—a）2—4x3N0,即（a2+4）（a-4）>0,

所以a>4.

又當(dāng)Q=4,b=c=-l時，滿足題意.

故”，b,。中最大者的最小值為4.

因為abc=4>0,所以a,b,c為全大于?；蛞徽?fù).

①若a,b,c均大于0,a,b,c中的最大者不小于4,這與a+b+c=2矛盾.

②若a,b,c為或一正二負(fù)，

不妨設(shè)Q>0,b<0,c<0,貝“a|+|b|+|c|=a-b—c=Q-（2—a）=2a—2,

Va>4,

故2。-2二6,

當(dāng)a=4,b=c=-l時，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立.

故|a|+聞+匕|的最小值為6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查絕對值，一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，題目比較難，

屬于競賽題F1.

【變式53］（2（）23?福建?模擬預(yù)測）已知實數(shù)底），滿足4/+2=丫2,則x-y的取值范闈是.

【答案】％-yN當(dāng)或%-y工一日

【分析】設(shè)卬=%-〃則）/=%-懼代入4/+2=y2,得到關(guān)于X的方程，根據(jù)題意此方程有解，利用根

的判別式即可求解.

【詳解】解：設(shè)w=無一y,則y=x—w,

V4x2+Z=y2,

4x24-2=(x—w)2,整理得3%2+2wx4-2—w2=0,

由題意得，△=(2w)2-4X3X(2-VV2)>0,

整理得解得|w|N爭

w>0Jw<0

即w>亨或w<一苧'

、灰>或，>/6,

W<——

:?x-y的取值范圍是x-y>與或x-y<-^

故答案為：x—yN當(dāng)或x—yW—苧.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是消去y得到關(guān)于X的方程，利用根的判別式求

解.

【題型6根的判別式融匯函數(shù)的應(yīng)用】

【例6】（2425八年級下?浙江金華?階段練習(xí)）已知關(guān)于％的方程一（0+2/?）x+2=0有兩個相等實數(shù)根.若

在直角坐標(biāo)系中，點P在直線Z：y=—x+9上，點Q^Q西）在宜線1下方，則PQ的最小值為（）

A.3夜B.C.；D.當(dāng)

3333

【答案】A

【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式可得。=—28+2或。=一26-2,則點、的坐標(biāo)為、（-8+1/）或

Q（-b-l,h）,再得出點Q在宜線y=上，從而可得當(dāng)PQ與兩條直線垂直時，PQ的值最小，然后利用

勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可得.

【詳解】解：???關(guān)于工的方程^/一（。+26）%+2=0有兩個相等實數(shù)根，

???這個方程根的判別式為A=［-（a+2b）］2-4xTx2=（a+2b）2-4=0,

/.(a+2b7=4,

??a+2b=2I?KQ+2b=-2,即。=—2/7+2或Q=-2b—2,

???點Q的坐標(biāo)為Qga"），

?，?Q（—b+1,8）或。（-匕—1,b）?

:.點Q在直線y=-x+1或直線y=-x-1上，

???點Q6。,力）在直線，：、=：下方,

點Q在直線y=-x-1上，

'?,點P在直線上y=-x+1上，且直線!與直線y=-x—1平行,

???當(dāng)PQ與兩條直線垂直時，PQ的值最小，

如圖，過點。作兩條直線的垂線,垂直分別為點P,Q，則PQ即為所求,

設(shè)丁直線1：y=-x+:交匯軸于點A,交y軸于點8,

;、

當(dāng)y=0時，-X4-^=0,解得不即力仁,0）,0/1=1,

當(dāng)《=0時，y=1,即8（0,）,0B=r

：.0A=OB,AB=>/OA2+OB2=他

\'0P1AB,

：,0P=-AB=->/2,

26

同理可得：OQ-^42,

:?PQ=OP+OQ=淖+淖二=2

即PQ的最小值為;痣,

?5

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式、平行線間的距離、直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確確定點P,Q的位置是解題關(guān)鍵.

【變式61】(2025?安徽合肥,三模：)直線、=2與P=。無(1一%)的圖象有兩個不同的交點，貝ija的取值范圍

是—.

【答案】a<0或a>8

【分析】該題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意聯(lián)立y=2與y=ax(l-x),得出A=(-a)2-4ax2=

a2-8a>0,求解即可.

【詳解】解：聯(lián)立y=2與7=QX(1-則一a/+QX=2,整理得：ax2-ax+2=0,

???直線y=2與y=ax(l-幻的圖象有兩個不同的交點，

則公=(—a)2—4ax2=a2—8a>0,

解得：aV?；騛>8,

故答案為：a<0或a>8.

【變式62】(2024.四川成都.模擬預(yù)測)定義：在平面直角坐標(biāo)系％0y中，若點P(a,b)滿足a+力=ab,則稱

點戶為“積和點例如：(0,0),(2,2)就是“積和點”.若直線y=-%+m上所有的點中只有唯一一個“積和點”,

則n=.

【答案】0或4

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的特征和一元二次方程根的判別式，設(shè)直線y=-無+m上所有的點中

唯個“積和點”為點P(a,b),根據(jù)“積和點”定義可得a+(-a-m)=a(-a+m),再由唯個“積和點”

可知關(guān)于a的方程只有一個解，一元二次方程的根判別式等于0即可求解.

［詳解】解：設(shè)直線y=-x+77i上所有的點中唯一一個“枳和點”為點P(a,b),依題意得：b=-a+m,

代入a+b=ab得:a+(—a+zn)=a(—a+TH),

整理得：a2-ma+m=0,

由點P(a,b)是唯---個“積和點”可知：△=巾2-4771=0,解得：7ni=0,m2=4.

故答案為：0或4.

【變式63】(2324九年級上?四川成都?期中)定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)圖象上到兩條坐標(biāo)軸的

距離之積等于n(nHO)的點，叫做該函數(shù)圖象的“ri階積點”.例如：點(3,—》為一次函數(shù)、=-：％+2圖象

的￡階積點若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=nx+3n-5圖象的2階積點”恰好有3個，則"的值為.

【答案】1或5

【分析】由y關(guān)于％的一次函數(shù)y=nx+3n-5圖象的“階積點”恰好有3個，可得出關(guān)于無的一元二次方程|訃

\nx+3n—5|=n有三個實數(shù)根，分x,nx+3n—5同號及％,nx+3n-5異號兩種情況考慮，當(dāng)x,nx4-3n—

5同號時，原方程可整理得九/+(3/一5)%--=0,由根的判別式A>0,可得出此時原方程有兩個不相等

的實數(shù)根：當(dāng)%，幾%+3九一5異號時，原方程可整理得九/十(3幾一5)%+n=0,由該方程有兩個相等的實

數(shù)根，可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可求出ri的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：關(guān)于匯的一元二次方程|M?|7lx+37^-5|=n有三個實數(shù)根.

當(dāng)x,nx+3n-5同號時，x(nx+3n-5)=n,

整理得：nx2+(3n-5)x-n=0,

:.A=(3n-5)2-4xnx(-n)=(3n-5)2+4n2,

???〃W0,

(3n-5)2>0,n2>0,

???A>0,

此時原方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當(dāng)為,nx+3n-5異號時,x(?ix+3n-5)=-n?

整理得：nx2+(3n-5)x4-n=0,

???當(dāng)x,nx+3n—5同號時，有兩個不相等的實數(shù)根，

，該方程有兩個相等的實數(shù)根，

二A=(3n-5)2-4n2=0,

:*(3n-5+2n)(3n—5—2n)=0,

解得:%=1,n2=5,

???ri的值為1或5.

故答案為：1或5.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，分兩種情

況考慮是解題的關(guān)鍵.

【題型7根的判別式綜合幾何的應(yīng)用】

【例7】定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形.如圖，在RIZMBC中，ZABC=90°,人8=2,

BC=l,將△/WC沿NA8C的平分線的方向平移，得到48C,連接AC,CC,若四邊形A8CC是等鄰

邊四邊形，則平移距離38的長度是.

c

【答案】1嗯亞

【分析】由平移的性質(zhì)得到8夕=。。',487/48,48'=718=2,夕。'=8c=1,4。'=力。=遙，①當(dāng)

CC=8c時,BB'=CC=8C=1；②如圖1,當(dāng)月C'=AB=2時,③如圖2,當(dāng)AC'=C。時,則力U=BB',

延長交A5于H,設(shè)3H=B'"=x,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???將Rt/kABC平移得到△48'C',

:.BB1=CC,,A,B'//AB,A,B,=4B=2,8'C'=BC=1,A,C,=AC=

①當(dāng)CC=8C時，BB'=CC=BC=1；

②如圖1,當(dāng)AC'=48=2時,

ffll

???/48C=90。，B8'是NA8C的角平分線,

=45。，

延長C'B'交A8于凡

'：A'B,//AB,Z.A,B,C,=90°,

?"AHC'=Z.A'B'C=90°,

工乙BHB'=90°,

設(shè)B”=B'H=x,

：.BBl=y/2x,AH=2-x,C'H=l+x,

vAC'2=AH2+CH2

A22=(2-X)2+(1+x)2,

整理方程為:2?-2x4-1=0,

:△=4-8=-4<0,

，此方程無實數(shù)根，故這種情況不存在；

③如圖2,當(dāng)當(dāng)AC'=CC'時，則AC'=BB',

延長C'B'交A8于"，

'：A'B'//AB,Z.A'B'C=90°,

?"AHC'=Z.A'B'C=90°,

工乙BHB'=90°,

設(shè)==

???BB'=AC=V2x,AH=2—x,C'H=1+x,

AC'2=AH2+CH2

:、(A/2X)2=(2-x)2+(1+x)*

解得：t

?,?89=2，

綜上所述，若四邊形ABCC是等鄰邊四邊形，則平移距離88的長度是I或|企,

故答案為：1或

【點睛】此題主要考查勾股定理，平移的性質(zhì)，理解”等鄰邊四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵.

【變式71］如圖，在中，48=90。，BC=8cm,AB=5cm.點P從點4開始沿4B邊向點B以lcm/s的

速度移動，同時點Q從點8開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移均，另外一點也隨之停止運動.

Q

B

⑴幾秒后，四邊形APQC.的面積等于16cm2?

(2)APQB的面積能否等于9cm2?清說明理由.

【答案】(1)1秒

(2)不能，見解析

【分析】(1)根據(jù)題意可得當(dāng)運動時間為￡s(0WtW4)時，AP=tcm,8P=(5-t)cm,BQ=2tcm,根

據(jù)題意列出方程：x5x8-1(5-t)x2t=16,進行求解即可;

(2)看aPOB的面積能否等于9cm2,只需要看方程*5-t)x2t=9是否有解即可.

【詳解】(1)解：5+1=5s,8+2=4s,

二當(dāng)運動時間為ts(0<t<4)時，AP=tcm,8P=(5—t)cm,BQ=2tcm,

根據(jù)題意可得:

lx5x8_l(5_t)x2t=16,

整理得：［2-51+4=0,

解得：t=1或t=4,

當(dāng)t=4時，點C、Q重合，不符合題意，舍去,

,經(jīng)過1秒鐘，四邊形4PQC的面積等于16cm2；

(2)解：的面積不能等于9cm2,

理由如下:

根據(jù)題意可得:

1(5-t)x2t=9,

整理得：/-5t+9=0,

???A=(-5)2-4xlx9=-ll<0,

所列方程沒有實數(shù)根,

.入PQ8的面積不能等于9cm2.

【點睛】本題主要考查?元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，關(guān)健在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系列出方

程求解.

【變式72】（2425九年級上?四川瀘州?期中）已知平行四邊形ABCD的兩邊48,/W的長是關(guān)于％的方程：X2-

3ax+3a-1=0的兩個實數(shù)根.

⑴當(dāng)Q為何值的，四邊形A8CD是菱形？求