1.1集合的概念

知識點一、集合的概念

1、元素與集合的概念

一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，通常用小寫拉丁字母b,C,???表示.

把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集），通常用大寫字母A,民C...表示.

2、集合的分類

⑴空集；不含有任何元素的集合稱為空集（emptyset）,記作；0.

⑵有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.

⑶無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.

知識點二、集合中元素的三個特性

⑴確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x是A的元素，或者不是A的元素，

兩種情況必有一種且只有一種成立.

⑵互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中

不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.

⑶無序性：集合中的元素的次序無先后之分.如：由1,2,3組成的集合，也可以寫成由1,3,2

組成一個集合，它們都表示同一個集合.

知識點三、集合相等

只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.

知識點四、元素和集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法

屬于如果a是集合A的元素，就說々屬于集合幺a屬于集合工

'???????-????????(

如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于a不屬于集

不屬于

集合A合A

知識點五、常見數(shù)集的符號表示:

非負(fù)整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

（自然數(shù)集）

符號

知識點六、集合的表示方法

1、自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?如：大于等于2且小于等于8的偶數(shù)構(gòu)成的集合.

2、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi).如：2,3,4,5｝,｛/,3尤+2,5y

3-x,x2+y2｝,….

注意：

（1）集合元素較多但是又呈現(xiàn)一定的規(guī)律，如：不大于100的正整數(shù)所構(gòu)成的集合可表示成

卜,2,3,…，100｝；

（2）“｛｝”含有“所有”“整體”的含義，如：所有實數(shù)構(gòu)成的集合可表示成｛實數(shù)｝,但如果寫成

｛實數(shù)集｝或｛全體實數(shù)｝就是錯誤的；

（3）對于含有有限個元素且元素個數(shù)較少的集合，宜采用列舉法.

3、描述法：一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所具有的共同特征P（x）的元素工所組成的集

合表示為｛xeA|P（X）｝,這種表示集合的方法為描述法。

舉例：表示奇數(shù)集合與偶數(shù)集合

奇數(shù)集合A=｛xwZ|x=2〃+l,〃eZ｝；［禺?dāng)?shù)集合B=｛xwZ|x=2〃,〃wZ｝

注意：

（1）用描述表示集合時應(yīng)注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是數(shù)，還是有序?qū)?/p>

數(shù)對（點）還是其他形式？②元素具有怎樣的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性

時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.

（2）用描述法表示集合時，若需要多層次描述屬性時，可選用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”等連接；

若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母時,要對新字母說明其含義或指出其取值范圍（寫在花括號內(nèi)）.

例題講解：

一、如何理解集合中元素的特性

1、下列各組對象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的自然數(shù)的全體；③平面上到點A的距離等于

2的點的全體；④方程1-4二0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；⑤式的近似值的全體.其中能構(gòu)成集合的組數(shù)是

)

A.2B.3C.4D.5

2、若集合S={*b,c}3、b、ce/?）中三個元素為邊可構(gòu)成一個三角形，那么該三角形一定不可能

是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

3、（2020江蘇南通高一第一次質(zhì)量檢測）若1￡卜,1},則工=（）

A.1B.-1C.0或1D.0或1或7

二、集合表示方法的合理選擇

1、用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

⑴被3除余2的整數(shù)；

⑵方程（］+1）（/-2）二0的解集；

⑶直線y=kr+1的交點組成的集合；

（4）直再坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點組成的集合.

2、指出下列集合是有限集還是無限集，并表示出來

（1）由小于8的所有正奇數(shù)組成的集合；

（2）由大于5且小于20的實數(shù)組成的集合；

三、集合與元素的關(guān)系

1、（多選）已知集合A={”），=1+1},B={（1,）,）|k一+1},下列選項中元素與集合的關(guān)系都

正確的是()

A.2eA,2EBB.2eA,(3,10)GB

C.oeA,(0,1)eBD.1eA,(1,2)EB

2、（多選）{1,2}{0,1,2,{1,2}}中橫線上可以填入的符號有（）

A.GB.cC.史D.基

3、方程組］:+丁?解的集合是（）

2x-3y=1

A.{x=2,y=\]B.{2,1)C.(1,2}D.{(2.1))

]

4、已知a4=卜卜=〃7+行〃，〃?，〃ez},則a,A之間是什么關(guān)系？

2-V3

5、若2《{小-a>0},則實數(shù)〃的取值范圍是.

6、若3￡{/〃-1,3m,m2-1},貝I].

四、集合與方程的綜合應(yīng)用

1、已知集合A二{x|〃工2-3工+2=0,xGR}.

⑴若集合A中只有一個元素，求實數(shù)。的值，并寫出該元素;

⑵若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)。的取值范圍.

2、已知集合A是由關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0(aGR)的實數(shù)根組成的集合.

⑴當(dāng)A中有兩個元素時，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵當(dāng)A中沒有元素時，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶當(dāng)A中有且僅有一個元素時，求實數(shù)。的值，并求出此元素.

四、集合相等

1、設(shè)集合A={x,y},Z?={o,x2},若A、B相等，求實數(shù)x、y的值;

2、已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個關(guān)系：①〃。2；②/?=2；③c，O有且只有一

個正確，則1(Xb+1(刈+c等于.

3、已知集合{4,2,1}與集合{/,〃+"()}是兩個相等的集合，求/⑼+人利?.

五、開放探究題

1、對于任意兩個正整數(shù)叫n,定義某種運算△:當(dāng)叫n都為偶數(shù)或奇數(shù)時，mAn=m^n；當(dāng)m,n中

一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)時，manfin.在上述定義下，集合行{（孫y）|xAy=36,xGN\y￡

N*）中元素的個數(shù)為（）

A.48B.41C.40D.39

2、已知集合4=［乂），卜2+：/43,工￡2/￡2},則集合A中元素的個數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

基礎(chǔ)鞏固：

1.（多選）下列各組對象能構(gòu)成集合的是（)

A,擁有手機的人

B.2022年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有無理數(shù)

D.小于開的正整數(shù)

2.侈選）設(shè)集合A二㈠lx>2},則（）

A.34AB.V5eAC26AD.OEA

3、方程組的解集是（）

A.{(1,-1),(-1,1)}B.{(1J),(-1,-1)}

C.{(2,-2),(-2,2；)D.{(2,2),(-2,-2)}

4、下面關(guān)于集合的表示正確的個數(shù)是()

①{2,3}中{3,2}；②{(x,y)|")，二1}二{y晨+)，=1);

③{x|x>1}二{)，1)，>1}；④{x|x+y=1}={y|x+j=1}；

A.0B.1C.2D.3

5、已知XE{12/},則有（）

A.x=\B.x=2C.x=OD.x=6

6、設(shè)集合4={一1。2},集合B=且2-x任A},則3=()

A.{1}B.{-2}C.{-1,-2}D.{-1,0}

7、集合A含有兩個元素。-3和2。7,則實數(shù)。的取值范圍是

8、已知集合M={7,a-1},N={0,-1},若M二N,則〃二

9、已知集合A={x|尸_。工+3W。},若7。A,則實數(shù)〃的取值范圍

為.

10、用合適的方法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集.

⑴到A,B兩點距離相等的點P的集合；

⑵滿足不等式—>1的x的集合；

(3)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)；

(4){(x,y)lx+y=6,y￡N*};

(5)方程x(工一。)二0,a￡R的解集.

11、已知A={x|3/-mx+2mV0}.

(1)若3￡A,求m的取值范圍；

(2)若OfA且1FA,求m的取值范圍.

12、試表示由圖1-1-2中的陰影部分(含邊界)的點組成的集合.

y

3

-103x

圖1-L1-2

能力提升：

13、設(shè)所有被4除余數(shù)為k（k=0,1,2,3）的整數(shù)組成的集合為A。即人二{用工

=4n+k,n￡Z},則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.2020￡Ao

B.若a+〃￡人3,則“￡人1,bGA?

C.-1GA?

D.若a￡Ak,Z?￡Ak,^\a-bAo

代數(shù)式/+*+管+則的值所組成

14、（多選）已知y,z為非零實數(shù),

H|>1同孫N

的集合是M,則下列判斷正確的是（）

A.O4MB.2GMC.-4GMD.4GM

15、已知集合A二{。，b,c］中任意2個不同元素的和的集合為{1,2,3},

則集合A的任意2個不同元素的差的絕對值的集合是（）

A.{1,2,3}B.{1,2}C.{0.1}D.{0,1.2}

16、若集合A={0