4.4解三角形

五年高考

考點(diǎn)1正弦定理、余弦定理

1.（2023全國乙文,4,5分，易）在△A8C中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是a,b,c,若4cosB-

力cosA=c?，且0條則8=（）

A.-B,-C.—D,—

105105

答案C

2.（2021全國甲文,8,5分，易）在△A8C中，已知8=120。M。二舊/8=2,則BC=（）

A.lB.V2C.V5D.3

答案D

3.（2020課標(biāo)〃/理,7,5分，易）在aABC中,cosC=|,AC=4,8C=3,則cosB=（）

A.-B.-C.-D.-

9323

答案A

4.（2021全國乙文,15,5分，易）記AC的內(nèi)角C的對(duì)邊分別為4瓦c,面積為

75,8=60。,/+d=3訛,貝1」b=.

答案2注

5.（2024新課標(biāo)II』5,13分，中）記“8。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinA+百cosA=2.

⑴求A；

⑵若加inC=csin2B,求AABC的周長.

解析⑴由已知得乂nA+^cosA=sin9+以，因?yàn)?<4<兀,所以1V4+；<?,所

以4+三=?即AJ.

326

（2）ihV26sinC=2csinBcosB及二^^,f#V2sinBsinC=2sinCsinBcosB,又sinB/0,

且sinC#0,所以cos8號(hào)則sin"二冬則〃二肅7-sin=Txy=2Vz又sin

C=sin(A+B)=

sinAcosB+cosAsinB=；x，+母xq所以c=-r—,sinC=TX""=V2+

22224sinA一4

2

遍，即a+b+c=2+3V2+逐，所以"BC的周長為2+3/+V6.

6.（2024新課標(biāo)I,15,13分，中）記△A8C的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為〃力￡

已知sinC=V2cosB,a2+b:-c2=>/2ab.

⑴求B；

⑵若△4BC的面積為3+但求c.

解析⑴由余弦定理的推論得cos}=空=零乂（）<C<7T,???

2ab2ab24

由sinC=V2cosB得&cos8=sin-=―,

42

cos由0<B<n得

⑵由⑴得慶冥三「白=嘉,二4=4

34sinBsineV3V2

令專=專二”>（）,則b=y/3t,c=V2t,

???A=7t-8-C二瑞,

..?.fitn\\f6+V2

.?sinA=sinj=---,

'*'SiBc=-^csinA=-xV3txy/2tx=3+V3,

A/224

/.r=2,Mlltc=2>/2.

7.（2023全國乙理,18,12分，中）在△ABC中，已知NB4O12（T,AB=2,AC=1.

⑴求sin/A8c

⑵若。為8c上一點(diǎn)，且N8AZ>90。,求MOC的面積.

解析⑴在A43C中，由余弦定理，得BC2=22+12-2X2X|XCOS1200=7,則BC=5（3分）

由正弦定理，得占BC

sin^BAC'

貝IJsin/A8c="產(chǎn)=皆署=等.（6分）

⑵在Rl^ABD中,由⑴知sin/A3D=巨/1./4BO為銳角，所以tan/A8/）=".

145

在RtAAZ?/）中/5=2,則AD=AI3tnnAABD=2^=誓.（9分）

在△AOC中,/OAC=300,AC=l,

J/XADC的面積S=：x等x1xsin30°=鳥（12分）

2□10

8.(2021新高考I,19,12分，中)記△ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac,^D

在邊AC上,8Z）sinNA8OasinC.

(1)證明：87>。

⑵若4D=2OC,求cosZABC.

解析⑴證明油題設(shè)得加二懸?，

在也由正弦定理知荒=占，

即IW

asinC

代入BD二中，得竽，又從&

sinz/iHCD

???BD=b.（4分）

（2）由AD=2L）C^AD=lb,DC=^

AD2+AE2-BD2=卡后.匕2

在△ABQ中,cosA二：

2ADAB2xgbc

AC2+AB2-BC2b2+c2-a2

在△ABC14J,COSA二

2ACAB2bc

故二竺=化簡(jiǎn)得3?-1\b2+6a2=0,

-3be2bc

又b^-ac,（7分）

所以3c2-11ac+6a2=0,即（c-3〃）（3c-2a）=0,

所以c=3a或c=，.（8分）

當(dāng)b3a時(shí)乃3a2,所以此時(shí)a-^-b<c,

故G瓦c構(gòu)不成三角形;（10分）

3|C=*/時(shí)力2=ac二彳『,所以/斤爭(zhēng),

此時(shí)0瓦?？梢詷?gòu)成三角形,（11分）

222222

故c=|〃力=日見所以在△A8C中,cosNA8C=-a+c-ha+^a-a7

2（12分）

2ac2a-a12

考點(diǎn)2解三角形及其綜合應(yīng)用

1.（2021浙江,14,6分,中）在2^48。中,N8=60。,43二2,N是8。的中點(diǎn),4知二2百,貝1]

AC=,cosZMAC=.

答案2g誓

JLJ

2.（2022全國甲，理16,文16,5分，中）已知△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，

ZADB=120。/￡>=2,?！?gt;=28。.當(dāng)堂取得最小值時(shí)方￡>=________.

AD

答案V3-1

3.（2020全國/,16,5分，中）如圖，在三棱錐P-A8C的平面展開圖中,AC=1,A8=A。=低A8_L

AC/8J_4。，/CAE=30。,則cosZFC13=

答案4

4

4.(2023新課標(biāo)I』7/0分，中)已知在△ABC中,A+8=3C2sin(A-C)=sinB.

⑴求sinA；

⑵設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

解析⑴???A+3+C=TI,A+8=3CI.乃二%A,

44

乂V2sin(/^-C)=sinB,

???2詞4-9=加管f)

即2俘sin71-ycosA)=號(hào)cos4-(一當(dāng))sinA,

整理得sinA=3cosA,

又Vsin24+cos2/l=\,A￡(0,?

?.sinA=-----.(5分)

10

⑵由⑴知C=Jsin人=3mcos人二嚕

（乎一）二

則sin8=sin8^cosA4-^sinA=（6分）

ACBC

在AABC中，由正弦定理得?茨------=,

sinBsin/f

??倉=墨=建,.??AL2V1U,8c=3年（8分）

~"s"10

.'?SAABC=^AC-FC-sinC=X2VTUx3V5x-15.（9分）

設(shè)A8邊上的高為九則/<5gl5,（10分）

5.（2023新課標(biāo)II,17,10分，中）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4瓦c,己知△ABC面積

為痘,D為BC的中點(diǎn)，且AD=1.

⑴若N4QC=；,求tanB；

⑵若〃+e2=8,求b,c.

解析由題意知SAAB浮逐,BD=DC,

?c_^3

??OA.4/JC=-

⑴'??5的）智0力?DC?sinZADC=^-,DA=1,ZADC=^,/.\DCsin=y,

：.DC=2,

：.4Q=2,易知NA。4號(hào)，（2分）

在ZM/M中,由余弦定理得AB2=BD2+DA2-2DADBCOSZADB,gpAB2=22+\2-

2xlx2x（-i）=7,

：.AB=\[7,（3分）

八AB2+BD2-AD27+4-15>/7

COSB=----------------------=—F—=—,

2ABBD2V7X214

AsinB=yJl—cos2B=（4分）

?，?sinBV3

..tanB------=——（5分）

COSB5

⑵如圖所示，延長A。至￡使DE=連接BE.CE,

易得四邊形48EC為平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

??.A8=C￡AC=8￡由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACeosZ13AC,AE2=AC2+CE2-

2ACCEcos/ACE,兩式相力「得BC2+AE2=2（AB2+AC2）（；itcosZBAC+cosZACE=0）,

即BC2+AE2=2（b2+c2）=\6,

又AE=2AD=2,，BC2=12,：.BC=2\[3,（7分）

^S^ADC^AD?DC-sinZADC=曰,AD=\,DC=①

sinZADC=1,AAD1BC,：,b=c,（9分）

22

又Z>+C=81/.b=c=2.（10分）

6.（2022新高考H,電12分，中）^ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“瓦。分別以a,b,c為

邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為SiSS.已知5i-52+S3=psin吟

⑴求A/WC的面枳；

⑵若sinAsinC3P求b.

解析⑴由題意得S尸&設(shè)畔尻§3畔（二2,

444

S\-S2+Sy=^-（a2-b2+c2）=^,HPa2-b2+c2=2,

42

illcos8=_匕得a2+ci-b2=2accosB,

2ac

故2accosB=2,accosB=1,（3分）

乂Vsin8=條cos8二手或cosB=一乎（舍），

.3立.?i.ci3721=噂（6分）

??cic——,??SAASG—czcsino=-x—x—

42243

⑵由正弦定理號(hào)=&=三得號(hào)二ac

sin4s\nBsinCsin2fisinHsin。'

乂知衛(wèi)

ac￡sinAsinC=—,（9分）

43

?匕2_9._b__3

sin2/?41*sin/?2Z

A/?=^sinB=-X-=-.（12分）

2232

7.（2022新高考I』8/2分，中）記AABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為〃力心已知三「二

1+sinA

sin28

1+COS2H"

⑴若C=泉求8；

3

⑵求邛的最小值.

C

解析（1）.??1―=嚴(yán)餐=等史等（采分點(diǎn):出現(xiàn)二倍角公式給1分），（1分）

1+sin^l+cos2B2cos2B

cosAsinB

即nn-----=----,

1+sinzlcosfi

cosAcosB-sinAsin8=sinB,

即cos（A+B）=sinB,又C號(hào)，（3分）

sinfi=cos（A+B）=-cosC=-cosy=1z

V0<B<-,AB=".（4分）

3,6

⑵由⑴知,sinB=cos（A+B）=-cosC,

'.'sin8>（）恒成立,it）,

*/-cosC=sin（c—5

C-^=B或B+C->71（不合題意，舍去）,（5分）

.??A=p2Z?,A>0,???BU（0,彳），（6分）

.。2+7_sin2/l+sin2F_8s228+siM8

''c2sin2CCOS2B

_（2COS28-1）2+（I-COS28）

（8分）

COS2B

令cos28=fj￡&l）,

吐g=（2?1）2+（-）=4t+￡_5>4&-5,當(dāng)且僅當(dāng)4六2,即U立時(shí)，取“=”（扣分點(diǎn):不

ctce2

寫扣1分）.（11分）

?.?二好的最小值為

4&-5.（12分）

8.（2021新高考11,18,12分，中）在ZkABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為〃力心且滿足

b=a+],c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求△A8C的面積;

⑵是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求a；若不存在，說明理由.

解析(l)2sinC=3sinA=>2c=3a,

又???c=a+2,

2(a+2)=3a,a=4,

b=a+1=5,c=a+2=6,

A=

.?.cos八一士出=在口=2?.sinV1~^A=二

2bc2X5X64C4'

SA.4fic=|bcsinA=5x6(6分)

⑵由已知得。>松口

若△ABC為鈍角三角形，則角C為鈍角，

，cosC=a2+b2~c2<O^r+b2<c2=^a2+(a+1)2<(^+2)2=>?2-2?-3<0=>-1<u<3,“>0,，aG(0,3).

2ab

(9分)

同時(shí)還應(yīng)考慮構(gòu)成AABC的條件,

即a+b>c^a+(a+1)>a+2^a>I.

綜上所述，當(dāng)?！?1,3)時(shí)ZABC為鈍角三角形.

???存在正整數(shù)折2,使得AA8C為鈍角三角形.(12分)

9.(2020新高考I，。/。分,易粒①北^^②匕冬皿4二工③片百人這三個(gè)條件中任選一個(gè)/卜

充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題:是否存在△A8C,它的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為?瓦c,且sin>4=V3sin

8T--------?

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析方案一:選條件①.

由和余弦定理得貯簪武=v-

62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理得Q=V3b.

于是4M=與由此可得b=c.(6分)

2v3b42

由①解得斫百力=c=l.

因此，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=\.（10分）

方案二:選條件②.

由和余弦定理得馬丁二尊

62abL

由sinA=V3sinB及正弦定理得Q=V3/z

222

于是3b+b-c

2\[3b2考

由止匕可得Z?=c,Z?=C=pA=v-（6分）

65

由②csinA=3,所以c=b=2y/3,a=6.

因此，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=2>/3.（10分）

方案三:選條件③.

由和余弦定理得可金二"

62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理得a=

于是辿黑F=李，由此可得代，（6分）

由③c=V5〃,與b=c矛盾.

因此，選條件③時(shí)問題中的三角形不存在.（10分）

三年模擬

基礎(chǔ)強(qiáng)化練

1.（2025屆江蘇鹽城四校琰考,5）在ZLABC中，內(nèi)角A￡C的對(duì)邊分別為已知

“=V5,（sinA-sin8）（/?+a）=c（sin8+sin。則△ABC面積的最大值為（）

A.-B.-C.—D.—

4242

答案C

2.（2024河北保定十校三模,6）在中，內(nèi)角4#,C的對(duì)邊分別為0"c,且B=2C,b=y[2a.

則（）

ASA8C為直角三角形

BAABC為銳角三角形

CAABC為鈍角三角形

DSA8C的形狀無法確定

答案A

3.（2025屆浙江金華開學(xué)考,4）古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《海島算經(jīng)》是中國最早的?部測(cè)

量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《海島算經(jīng)》測(cè)量一個(gè)球體建筑物

的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）,地面上B,C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同

一條直線上,且在點(diǎn)A的同側(cè).若在8,C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為60。和20。,

且BC=\00m,則該球體建筑物的高度約為（）

（cos10^0.985）

AHC

A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m

答案B

4.（2024山東日照三模,8）在NBC中，角A￡C的對(duì)邊分別為a,b,c,若/=從+尻.,且八金

圖5則:的取值范圍為）

A.（1,V3）B.（亨,2）

C.（V2,V3）D.（6,2）

答案C

5.（多選）（2024安徽合肥一六八中學(xué)模擬,10LABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為。力心則下

列命題為真命題的是（）

A.若A>8,則sinA>sinB

B.若si/A+si/Bvsin2c，則AABC是鈍角三角形

C.若flcosA=bcos8,則ZkABC為等腰三角形

D.若a=8,c=10/=45°,則符合條件的AABC有兩個(gè)

答案ABD

7.（2024河北保定九校二?！?）在△ABC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a力,c,若rsin

6sinC,（a+c>=18+序，則△區(qū)8c的面積為.

答案手

7.（2024重慶西南大學(xué)附中模擬,13）己知△ABC的內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為滿足

sinB-sinCx^2b-a...?V2nc■mil

=FT,SmAsin且則片--------?

答案

8.（2025屆重慶南開中學(xué)月考』5）已知△ABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為4瓦c,且滿足

a=2b-2ccof>A.

⑴求角C；

⑵若c=4,sinAsin8=;，求"ABC的面積.

8

解析（1）由余弦定理的掛論得a=2b-2ccosA=2b-2cb2^~a2

2bcl

即ab=lr-（r+cr,

.ca2+b2-c2ab1\?「五

??cosF,?（°m），??c=?

⑵由正弦定理得2R=9=￡,

sineV3

則sinAsinB=———=

2R2R8

解得而卷AS^ABc^absinC=1xxy=

?5/4J/J

9.（2024河北邢臺(tái)期末,17）在銳角ZkABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2asinC-

V3c=0.

⑴求A；

⑵求4sinB-4sinC的取值范圍.

解析（1）由2asinC-V3c=0及正弦定理得2sinAsinC-V3sinC=0.

因?yàn)閟in。和,所以sinA二，.

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A=^.

*3

⑵因?yàn)?甘,所以8+C二聲

（0<B<-,

因?yàn)椤魅?c為銳角三角形，所以2n

0<-n-B<-,62

32

因?yàn)?sinB-4sinC=4sin/?-4sin（A+^）=2sin/?-2>/3cosB=4sin（B—1），

由嚀6（一也9，得EB冶）?（一0

所以4sin8-4sinC￡（-2,2）.

即4sin8-4sinC的取值范圍為G2,2）.

10.（2025屆湖南衡陽一中月考［5）在△ABC中，角A乃,C的對(duì)邊分別為兄/”,已知S為

△ABC的面積且4VJS+3儼辿2）=3/

⑴若"2,求“8c外接圓的半徑R；

⑵若為銳角三角形，求亨的取值范圍.

解析⑴:S為AABC的面積且4y/3S+3（b2-a2）=3c2,S=jacsinB,

A4V3x1?csinfi=3（c2+?:-/?2）=3x2?ccos民即tanB=5

???0<4<%???2R=七=二,解得R空.

3smBsinj3

⑵由⑴可知44

?J

.a?+M_siM/l+siMB_sin2（c+J）+J

2sin2Csin2C

4(1sinC+ycosC)+3

4sin2C

4sin2C+2\/3sinCcosC+6cos2C

(用3(sin2C+cos2(?)代換3)

4sin2C

店131

一］十,十一?''

2tanC2tan2Cz

(0<C<:，

???△ABC為銳角三角形,,??如n解得?<C<-,

0<--C<-,62

R7.

Jan。喙.?.0＜熹〈返

2

設(shè)/二盛則等=2+爭(zhēng)+1=施+亨）+?

???0＜/＜舊時(shí),吐注（1,7）.

C

能力拔高練

1.（2024河北秦皇島二模,4）在△A8C中,內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為。力￡若3+誓=

ab

等/3〃+13d=10/7c+1則tanB的值為（）

.73「12「4

A.-Bn.-C.—D.-

12473

答案C

3.（2025屆江蘇蘇州中學(xué)月考,8）在△A8C中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為。力c且

asinA=（b+c）sin及則的取值范圍是（）

A6）B01）C.停1）D.M）

答案A

3.（2025屆山東青島二中月考,8）如圖,在平行四邊形A8CO中Jan/

BAD=7,AB=5a,AD=5,E為邊8c上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且樂?尻=45,則sinZCDE=（）

V2

A.B?卷

10

答案B

4.（多選）（2025屆河北為家莊正定實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考/0）zUBC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,S為AABC的面積，且a=2,AB?AC=2百￡下列選項(xiàng)正確的是（）

“,口

A.A=-

3

B.若方=3,則有兩解

C.若△A8C為銳角三角形，則b的取值范圍是（2百,4）

D.若D為8c邊的中點(diǎn)，則AD的最大值為2+V3

答案BCD

5.（多選）（2024浙江Z20名校聯(lián)盟三?！?）已知AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為〃力c且

專Q?sin2等=5sinA,卜.列結(jié)論正確的是（）

A.B=-

3

B.若斫4力=5,則AA8C有兩解

C.當(dāng)a-c=^b時(shí),ZiABC為直角三角形

D.若"BC為銳角三角形，則cosA+cosC的取值范圍是停1]

答案ACD

6.（2025屆江蘇南京第一中學(xué)開學(xué)考/4）記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知A

為鈍角,asinB=bcos。則cosA+cosB+cosC的取值范圍是.

答案（1周

7.（2025屆安徽江南十校段考』4）在^ABC中，麗?而一彳？?BC=一]亙？2,則1工狙伊-。）的

最大值為.

答案v

8.（2025屆湖北武漢碎口開學(xué)考,14）2kA8C為銳角三角形，其三個(gè)內(nèi)角A、8、C'的對(duì)邊分

別為a、b、c,且比1,028,則ZUSC周長的取值范圍為.

答案（2+或,3+V5）

8.（2024重慶八中模擬,16）如圖,某班級(jí)學(xué)生用皮尺和測(cè)角儀（測(cè)角儀的高度為1.7m）測(cè)

量重慶瞰勝樓的高度，測(cè)角儀底部A和瞰勝樓樓底。在同一水平線上，從測(cè)角儀頂點(diǎn)C

處測(cè)得樓頂M的仰角NMCE=16.5。（點(diǎn)E在線段M。上）.他沿線段A。向樓前進(jìn)100m

到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)從測(cè)角儀頂點(diǎn)D處測(cè)得樓頂M的仰角NMOE=48.5。,樓尖歷N的視角

NMOV=3.5o（N是樓尖底部,在線段MO上）.

⑴求樓高M(jìn)O和樓尖MN；

⑵若測(cè)角儀底在線段AO上的“處時(shí)，樓尖MN的視角最大,求此時(shí)測(cè)角儀底到樓底的距

離FO.

sinl6.5°sin48.5°

參考數(shù)據(jù)1：-----------------a-,tan16.5呢匕tan48.5晏440x35M7.4.

sin32°5277

解析(1)NMCE=16.5°,/MQE=48.5°,???ZZWC=32°.

在△COM中,由正弦定理得CM二舞需

100sin(18()o-48.5。)_100sin48.5。

又CD=100m,ACM-

sin320sin320

100sin48.5°sinl6.5°7

/.ME=CMsinZMCE=-X100xMOm,

sin320

???MO=ME+EO=40+1.7=41.7(m).

40

CE=ME工￥"=135(m).

tanz.MCFtanl6.5°

27

ADE=CE-CD=35m.

/NDE=/MDE-/MDN=45°,：,NE=DE=35m,MN=ME-NE=5m.

⑵連接MGNG,設(shè)尸O=xm,則lan/MGE哼lan/NGE岑

E2NGE）二盤磊簽篝

4035

_5,55

^35-^4OX35<

2V4OX35Z

當(dāng)且僅當(dāng)4一，即啟37.4時(shí)，等號(hào)成立.

???樓尖MN的視角最大時(shí)測(cè)角儀底到樓底的距離FO為37.4m.

10.（2025屆重慶聯(lián)考/7）在A48C中，角八區(qū)。的對(duì)邊分別為且滿足

請(qǐng)?jiān)冖?a-〃)sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC),②sinQ—C)cos(C+g)=*這兩個(gè)中任選一個(gè)

作為條件，補(bǔ)充在橫線上,并解答問題.

⑴求C；

⑵若Zk/WC的面積為10G,tan4=￥，點(diǎn)。在線段相二且2BD=A。,求C。的長.

解析⑴選擇條件①,(a-b)sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC),則(q-b)sinB=(a-c)(sinA+sinC),

(I分)

由正弦定理可得(a?b)b=(a?c)(a+c),即/+必?=她(3分)

所以cosC==1由ce(0加得分)

U2a丁b23(6

選擇條件②,sin(2-C)cos(C+g)=今

即si器-停+制3僅+加今

2

所以cos(c+=*(3分)

由(0,。得三＜C+g＜子，則cosff+=-a

?3OO\Oz/

所以c+昔拳則C%(6分)

⑵在△ABC中，因?yàn)閠an所以^=個(gè)，

11COSA11

所以sinA二T^cosA,

在△/1&?中,sinA＞0恒成立，故cos人＞0,

I大I為sin\4+cos2A=1,所以(尊'cos/)+cos2A=1,

解得人二等.

cosA=-^,sin(8分)

因?yàn)椤鰽8C的面積為1(WM所以;x￥xbc=10百,

214

解得hc=56,(9分)

由⑴得故;x今解得

xab=10V5,ab=40,(10分)

而sin/?=sin(A+C)=^^x-4--x—=

'71421427

所以3X竽xac=106,解得ac=35,⑴分)

綜上，可得斫5力=8,-7（負(fù)根舍去），（12分）

設(shè)而二二瓦麗二G由平面向量基本定理得力爭(zhēng)+9（13分）

22

所以同2=（'4|?|+4X|?|X|/?|X|+|/?|二等，

故CQ的長度為雪.（15分）

11.（2025屆江蘇揚(yáng)州中學(xué)月考,18）在△A8C'中，設(shè)角A￡C’所對(duì)的邊分別是?仇G且滿足

V3/?sinC+/?cosC=?+c.

⑴求角B；

⑵若匕=6,求AA8C面積的最大值；

⑶求竺三士的取值范圍.

解析（1）因?yàn)?bsinC+bcosC=a+cf

所以根據(jù)正弦定理得5/5sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC,

又sinA=sin（B+C）=sin8cosC+cosBsinC,

則BsinBsinC+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinC,

即百sinBsinC-cosBsinC=sinC,

又因?yàn)镃￡（（）K）,則sinC/）,

所以VSsinfi-cos8=1,整理可得sin（B一弓）=/

因?yàn)?