曲線?-速度方向：沿軌跡切線方向

運動運動條件：物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上,合力的方向指向曲線的凹僧I

1廠合運動：物體的實際運動

達、一…動的—”成T一分…解卜運算法則：平行四邊形定則

水平方向：勻速直線運動，X=".H如

1場直方向：自由落體運動，￥=三峭，”=厚

回拋運卜―合速度『大小："時"

與水平方向夾角。：tan。=岑

力“I

與-合運動：勻變速曲線運動

曲

勻速圓周運動的特點：線速度大小不變，向心加速度大小不變

線

運物理城：線速度.角速度.周期、頻率、轉(zhuǎn)速

動

-關(guān)系：u=.3=^".u=a）r

圓周運動的描述242

網(wǎng)周運動一向心加速度：。=/=3"=爺r

向心力：F-ni=ma）2r=in^Y^r

鐵路的彎道

拱膨橋

山，r?K一向,--航天器中的失重現(xiàn)象

生活中的回周三動一

若產(chǎn)介=”書.物體做圓周運動

曲線運

一—

動實例一若（）＜%＜析￡物體做離心運動

近心A￡動

若%＞小程,物體做近心運動

軌道定律：橢IM1

r開普勒行星運動定律

面積定律：表達式r?i/=K

周期定律：表達式后”

表達式F=G

萬有引力定律

引力常nt（卡文迪什拉秤實驗）

赤道：G?^=/ng禰+mo）-R

R

考慮自轉(zhuǎn)-

兩極:G愣=喇

萬仃引力與市力的關(guān)系GM

忽略自轉(zhuǎn)一一根=6鬻一小空

H天體運動-

GM=gR2

中心天體質(zhì)量

GT2

中心天體密度。=需

環(huán)繞天體模型券=由小47r2

G=m^-r—CJ/

j

環(huán)蹺天體運行速度g星

環(huán)繞大體運行周期r=J哈F

1-人造衛(wèi)星、宇宙速度

周期7=24h

同步衛(wèi)星-高度3.6萬千米

地球抑止衛(wèi)星：赤道正上方

【規(guī)范訓練】（2023?浙江紹興市一模）過山車這一游樂項目，深受游客喜愛，而如圖甲所示的斷

軌過山車，令大多數(shù)游客望而卻步。為了探究斷軌過山主的工作原理，小明同學設(shè)計了如圖

乙所示的簡化裝置，該裝置由豎直光滑圓弧軌道A8、水平粗糙直軌道3c和半徑為R=2.()m

的豎直斷軌光滑圓弧軌道COE/平滑連接而成，圓弧軌道的圓心為0,斷軌處的。點和E點

高度相等，0。連線與豎直方向的夾角為以質(zhì)量〃?=L0kg的滑塊從離地一定高度處由靜止

釋放。已知直軌道8C的長度L=4.0m,滑塊與軌道8c間的動摩擦因數(shù)〃=0.5,不計空氣

阻力,重力加速度g=10m/s2,sin370=0.6,cos37°=0.8o

(1)若滑塊釋放的高度/ii=4.0m,求滑塊經(jīng)過圓弧軌道的。點時對軌道的壓力;

(2)若夾角4=37。，使滑塊能順利通過整個豎直圓弧軌道，求滑塊釋放的高度電；

(3)若0W*90。，使滑塊能順利通過整個豎直圓弧軌道，請寫出滑塊由。到E過程中離地面

最高點的高度H與夾角夕的函數(shù)關(guān)系，并討論”的極值。

【解題指導】

關(guān)鍵表述關(guān)鍵表述解讀

由氏一〃噌=〃聾知，需要先求出滑塊過C點的

求滑塊經(jīng)過圓弧軌道的C點時對軌道

的壓力

速度

在。點飛出，在E點切入軌道，從。到E為斜

若夾角仇=37。，使滑塊能順利通過整

拋運動，利用斜拋規(guī)律可求出滑塊過。點速度，

個啜直圓弧軌道

從而求出滑塊釋放的高度用

若0W0V90。，使滑塊能順利通過整個。改變，如也改變，滑塊在。點的速度如與。

豎直圓弧軌道滿足對應(yīng)關(guān)系

寫出滑塊由。到E過程中離地面最高滑塊在D點的速度勿與6滿足一一對應(yīng)關(guān)系，

點的高度H與夾角0的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系中僅有變量少再利用數(shù)學知識求極值

答案(1)30N,方向向下(2)6.85m

⑶”=R+S(cos0+7^匕)4m

解析(1)設(shè)滑塊經(jīng)過C點的速度為。c,由動能定理可得mgh?—fimgL=

設(shè)滑塊在C點所受的支持力為FN,

由牛頓第二定律得F^—rn^=nr~^~

代入數(shù)據(jù)得尸N=30N

由牛頓第三定律可知，滑塊經(jīng)過。點時對機道壓力大小為30N,方向向下。

(2)滑塊從。到￡做斜拋運動，設(shè)滑塊在。點速度為S),從。至最高點時間為/,

則有水平方向(sxos8"=Rsina

豎直方向winBi=gf

m/s

聯(lián)立解得VD=\J薨a=5。

滑塊自釋放運動到。點的過程中，由動能定理可得mgh?—pungL-1+cos4)=\mvif—0

代入數(shù)據(jù)得7/2=6.85mo

(3)設(shè)滑塊離開。點后上升的最大高度為離地最大高度為“，則/=嗎：",

又因為如解得"=蜷

因為〃=R(l+cos<9)+3,則滑塊在。￡間運動時離地面高度〃與夾角。的函數(shù)關(guān)系式

H=R+；R(cos。+焉).

當0=()時，H有最小值,即〃min=2R=4m?

階段復(fù)習練（二）

1.（2023?全國甲卷?14）一同學將鉛球水平推出，不計空氣阻力和轉(zhuǎn)動的影響，鉛球在平拋運

動過程中（）

A.機械能一直增加B.加速度保持不變

C.速度大小保持不變D.被推出后瞬間動能最大

答案B

解析鉛球做平拋運動，僅受重力，故機械能守恒，A錯誤；鉛球的加速度恒為重力加速度，

保持不變，B正確；鉛球做平拋運動，水平方向速度不變，豎直方向做初速度為零的勻加速

直線運動，根據(jù)運動的合成可知鉛球速度變大，則動能越來越大，C、D錯誤。

2.甲、乙兩個同學打乒乓球，某次動作中，甲同學持拍的拍面與水平方向成45。角，乙同學

持拍的拍面與水平方向成30。角，如圖所示。設(shè)乒乓球擊打拍面時速度方向與拍面垂直，且

乒乓球每次擊打球拍前、后的速度大小相等，不計空氣阻力，則乒乓球擊打甲的球拍的速度

大小力與乒乓球擊打乙的球拍的速度大小6的比值為（）

A逅R、巧「范D亞

A?32vJ?3

答案c

解析將乒乓球擊打球拍的速度沿水干方向和豎直方向分解，則兩次擊打球拍水F方向分速

度相等，即5sin450=ssin30。，解得興=坐，選項C正確。

3.（2024?浙江溫州市檢測）如圖所示，甲同學在地面上將排球以速度力擊出，排球沿軌跡①運

動；經(jīng)過最高點后，乙同學跳起將排球以水平速度。2擊回，排球沿軌跡②運動，恰好落回出

發(fā)點。忽略空氣阻力，見排球（）

A.沿軌跡②運動的最大速度可能為Pi

B.沿軌跡①運動的最小速度為。2

C.沿軌跡①和軌跡②運動過程的速度變化量大小相同

D.沿軌跡①和軌跡②運動過程的平均速度大小可能相同

答案A

解析根據(jù)題圖可知，就跡①最高點大于枕跡②最高點，分析在最高點左邊的運動，根據(jù)平

施規(guī)律可知〃=女尸，2=;,軌跡①運動時間長，但水平位移小，所以脫跡①水平分速度小，

豎直分速度"2=2g",軌跡①的豎直分速度大，所以沿軌跡②運動的最大速度可能為口，沿

枕跡①運動的最小速度即水平速度小于。2,故A正確，B錯誤；因為運動時間不同，故沿軌

跡①和枕跡②運動過程的速度變化量Au=g△/不同，故C錯誤；因為兩枕跡位移大小相同，

但時間不同，故沿就跡①石軌跡②運動過程的平均速度大小不同，故D錯誤。

4.（2024?四川成都市第七中學期中）2023年9月21日，“天宮課堂”第四課開講，航天員景

海鵬、朱楊柱、桂海潮在中國空間站內(nèi)，為廣大青少年帶來了一場別出心裁的太空科普課。

已知地球的半徑為R,空間站距離地球表面的高度為近不考慮地球的自轉(zhuǎn)，地球表面的重

力加速度為8。下列說法正確的是（）

2

A.空間站的周期T=、l垢崇”

B.空間站的加速度比同步衛(wèi)星的加速度小

C.空間站運行的線速度介于7.9knVs和11.2knVs之間

D.根據(jù)題中信息可以求出空間站的質(zhì)最

答案A

解析根據(jù)G（/；%：）2=〃等（R+〃），或蕓=/咫，得T=\產(chǎn)，:￡），A正確；根據(jù)G^=

mat得。="，空間站的運動半徑小于同步衛(wèi)星的運動半徑，則空間站的加速度比同步衛(wèi)

星的加速度大，B錯誤；空間站運行的線速度一定小于第一宇宙速度7.9km/s,C錯誤：空

間站為環(huán)繞天體，無法求出其質(zhì)量，D錯誤.

5.（多選）（2024?湖南省聯(lián)考）2023年7月10日，經(jīng)國際天文學聯(lián)合會小行星命名委員會批準，

中國科學院紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的、國際編號為381323號的小行星被命名為“樊錦詩星”。如

圖所示，“樊錦詩星”繞日運行橢圓軌道面與地球圓軌道面間的夾角為20.11度，軌道半長

軸為3.18天文單位（日地距離為1天文單位），遠日點到太陽中心距離為4.86天文單位。下列

說法正確的是（）

A.“樊錦詩星”繞太陽一圈大約需要2.15年

B.“樊錦詩星”在遠日點的速度小于地球的公轉(zhuǎn)速度

C.“樊錦詩星”在遠日點的加速度與地球的加速度大小之比為擊

4.00

D.“樊錦詩星”在遠、近日點的速度大小之比為短

4.00

答案BD

解析根據(jù)開普勒第三定律有鼻=/，解得入=5.67年，故A錯誤；“樊錦詩星”在遠

日點將做近心運動，其速度功小于以該位置到太陽距離為半徑圓周運動的速度內(nèi),根據(jù)萬有

引力提供向心力有^=〃”,得。=、爛豆，軌道半役越大，衛(wèi)星的線速度越小，可知。2

小于地球公轉(zhuǎn)速度03,所以“樊錦詩星”在遠日點的速度小于地球的公轉(zhuǎn)速度，故B正確；

根據(jù)牛頓第二定律可知（7華=加4,4=攀，“樊錦詩星”在遠日點的加速度與地球的加速

度大小之比為臂=患，故C錯誤；軌道半長軸為3.18天文單位，遠日點到太陽中心距離外

為4.86天文單位，則近日點到太陽中心距離冷為1.5天文單位，對于“樊錦詩星”在遠日點

和近日點附近很小一段時間Z內(nèi)的運動，根據(jù)開普勒第二定律有白4心=為曠24，，解得?=

ZZ。4

相1.5“r▼M

7=1醞，故D正確。

6.（2024.遼寧大連市金州高級中學期中汝I圖所示，一固定斜面傾角為仇將小球A從斜面頂

端以速率如水平向右拋出，小球擊中了斜面上的尸點；將小球B從空中某點以相同速率如

水平向左拋出，小球恰好垂直斜面擊中Q點。不計空氣阻力，重力加速度為處小球A、B

在空中運動的時間之比為（）

C.1：2tair/9D.1：tan2/7

答案A

解析設(shè)小球A在空中運動的時間為小小球B在空中運動的時間為尬，對小球A,由平拋

運動的規(guī)律可得tan?=3=&}對小球B,結(jié)合幾何知識，由平拋運動的規(guī)律可得tan0=

-VAzpon

如Vo,一一"I2tan2^，…

而=獲，聯(lián)又可得石=丁，故選A。

7.（多選）如圖，兩端開口的圓筒與水平地面成一定角度傾斜放置。OO'是圓筒的中軸線，歷、

N是筒壁上的兩個點，且MN〃。。'。一個可視為質(zhì)點佗小球自M點正上方足夠高處自由群

放，由M點無碰撞進入圓筒后一直沿筒壁運動，a、b、c是小球運動軌跡依次與MN的交點。

小球從M到〃用時h,從a到h用時/2?從b到c用時心，小球經(jīng)過。、〃、c時對筒壁壓力

大小分別為尸八Fb、Fc，iMa、lab.k表示M、a、b、c相鄰兩點間的距離，不計一切摩擦和

空氣阻力。下列說法正確的是（）

A./1=；2=/3B.Fa=Fb=Fc

C.Fa<Fb<FcD.u:lab:lbc=\：3：5

答案AB

解析由題意可知，小球自A/點正上方足夠高處自由辨■放，由“點無碰撞進入圓筒后，其

速度可分解為沿筒壁轉(zhuǎn)動的速度和沿筒壁下滑的初速度，因圓筒傾斜放置，小球在圓筒中有

沿筒壁向下的重力分力，因此小球在圓筒截面方向做圓周轉(zhuǎn)動的同時又沿筒壁向下做初速度

不為零的勻加速直線運動，又由于a、b、。是小球運動軌跡依次與MN的交點，表明經(jīng)過相

鄰點過程圓周運動分運動恰好完成一個圓周，因為圓周運動轉(zhuǎn)動周期相等，根據(jù)分運動的等

時性有九=，2=/3,故A正確；小球在圓筒截面方向做圓周運動，由于MN〃OO',則《、/?>

c三點可以等效為沿圓筒極面方向做圓周運動軌跡的同一位置，即《、氏c三點圓周運動的

線速度相等，又由于在〃、。、c三點位直，重力沿圓茴極面的分力恰好沿截面的切線方向，

可知由小球重力垂直圓筒棧面的分力和筒壁彈力的合力提供圓周運動的向心力，而圓周運動

的半徑相同，根據(jù)/=加7,Gi.=〃?gcos。可知，筒壁對小球的彈力大小相等，由牛頓第三定

律可知，小球?qū)ν脖诘膲毫Υ笮∠嗟?，則有%=尺=氏，故B正確，C錯誤：根據(jù)上述可知，

小球沿筒壁向下做初速度不為零的勻加速直線運動，由位移時間公式有x=vot+^ai2,可知

l.Ma：lab:晨KI：3：5,故D錯誤。

8.（2024?天津市期中）如圖所示，兩個圓錐內(nèi)壁光滑，豎直放置在同一水平面上，圓錐母線與

豎直方向夾角分別為30。和60。，有A、B兩個質(zhì)量相同的小球在兩圓錐內(nèi)壁等高處做勻速圓

周運動，下列說法正確的是（）

A.A、B球受到的支持力之比為45：3

B.A、B球的向心力之比為?。?

C.A、B球運動的角速度之比為3：1

D.A、B球運動的線速度之比為1:2

答案C

解析對小球A、B受力分析，受到重力和支持力，在豎直方向合力為零，則有/NsinJ=〃火,

重力和支持力的合力提供向心力，則有產(chǎn)而=燃，所以魯=瞿黑=3,故B錯誤；

Idll(7廣向81dllDU

小球的運動軌跡高度相同，則半徑r=/Han仇由牛頓第二定律可知離=用/匕解得口=總

[an</【anu

M，所嗡=黑黑=3,故C正確：

線速度0=w,解得?=1,故D錯誤。

9.(2024.山西呂梁市一模汝1圖所示，半徑為R,圓心為。1的光滑圓弧軌道ABC固定在豎直平

面內(nèi)，是豎直直徑，BC段圓弧所對應(yīng)的圓心角為夕=37。。一根長為R,不可伸長的細線

一端固定在Q點，另一端懸掛質(zhì)量為〃?的小球，。2點與Oi點等高。小球在最低點E時給小

球一個向左的初速度，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，當小球運動到最高點。時細線被割

斷，但速度保持不變，小球剛好從C