專題02函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

目題型概覽

題型01基本初等函數(shù)單調(diào)性與奇偶性

題型02函數(shù)圖象的識(shí)別

題型03初等函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

題型04分段函數(shù)與零點(diǎn)綜合問題

題型05函數(shù)的定義域、值域與最值

題型06函數(shù)性質(zhì)(對(duì)稱性、周期性、奇偶性)的綜合應(yīng)用

題型01基本初等函數(shù)單調(diào)性與奇偶性

1.(2025?廣東湛江?一模)已知定義在R上的函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=e*-a,若

VxeR,不等式/(-x)+/(x-恒成立，則。的值不可能是().

A.-2025B.2025C.e2D.3

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，再按。的不同取值分類討論/(x)在R上的單調(diào)性

即可求解.

【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=^-a,

所以當(dāng)XV0時(shí)，T>0,/(x)=-/(-x)=-e-'+a,當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=0,

令e'-。-^'lJa<-———,

2

因?yàn)?222、Hx吐=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，所以

2V22

若aWI,則函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

又所以/卜一|"1|)4/(%)=-/(一%),

即f(r)+/(xT"l|)W0恒成立，故滿足題意，排除選項(xiàng)A；

若0>1,則a-1>0,函數(shù)/(x)在R上不單調(diào)，圖象如圖所示,

又〃r)+/(xT"l|)KO,即/——

可理解為函數(shù)/卜-(。-1)］的圖象在函數(shù)/(x)的圖象下方，

所以由圖象可得。一1N2Ina,即21na-a+l?0,

令g(a)=21na-4+l(q>0),

貝ijg(2025)=2In2025—2024V0,g(3)=21n3-2=2(ln3-l)>0,

g(e2)=21ne2-e2+1=5-e2<0.

故選：D

2.(2025?黑龍江?一模)已知實(shí)數(shù)X，y,z滿足e；e2=e(x—2)=0,e，=e(y—3)/0,

e;-e5=e(z-5)^0,其中c為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).則x,九z的大小關(guān)系是()

A.x<y<zB.y<x<2C,z<x<yD.z<y<x

【答案】D

【分析】構(gòu)建函數(shù)/⑺=e'-ef,利用導(dǎo)數(shù)分析/?)的單調(diào)性,根據(jù)題意可得〃力=62),

/(力=/⑶，〃z)=〃5),且xw2,y，3,zw5,結(jié)合單調(diào)性分析判斷.

【詳解】設(shè)/。)=9-曰，可知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)镽,且/'(，)=eJe,

因?yàn)?'⑺在定義域上單調(diào)遞增，且/'(1)=0，

若"1,則若"1,則/'(。<0；

可得/⑴在。，+8)上單調(diào)遞增，在(-8,1)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)閑，=e(x-2)工0,e、'—e’=e(y—3)w0,er-c5=e(z—5)0,

可得e、ex=e22e，e'-Qy-e3-3e,e*ez5e

即/(x)=/(2),/(y)=/(3),/(z)=/(5),且方2,尸3,ZH5,

可知/(x)</(y)</(z),且X<1,y<i,Z<1,所以z<y<x.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)/(/)=c'-口，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.

3.(2025?廣西?一模)已如函數(shù)沙=/(X)(匕yeN,)滿足：(1)對(duì)任意④〃€N,,aH,都有

“?回+"(〃)<4(a)+"S)；(2)對(duì)任意〃￡N.,都有/(/(〃))=3〃.則12/(8)+8/(12)的值是

().

A.324B.336C.348D.360

【答案】C

【分析】先由條件(1)得到八口在N.上為單調(diào)增函數(shù)，再由條件(2)得到/0)=2,再根據(jù)

/(/(〃))=3〃逐個(gè)遞推可得.

【詳解】對(duì)任意的〃=W,由(1)得(〃+1)/(/7+1)+#(〃)>(n+1)/(?)+nf(n+1)，即f(〃+1)>/(〃).

故f(x)在N+上為單調(diào)增函數(shù).

對(duì)任意〃wN+，由⑵得/(3〃)=/(/(/(〃)))=3/(〃).

顯然/⑴".否則，3=/(/(I))=/(I).矛盾.

若f⑴之3,則3=/(/⑴)"⑶>/(2)>/⑴之3,矛盾.

所以，/⑴=2.

故/(3)=3/(1)=6,/⑹=/(〃3))=3x3=9.

由6=〃3)</(4)</(5)v/(6)=9,得〃4)=7,/(5)=8,

則“8)=/(/(5))=3X5=15,/[12)=/(3X4))=3X/(4)=21.

故12/⑻+8/(12)=12x15+8x21=348.

故選：C

4.(2025?江西上饒?一模)利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的，同學(xué)們

利用我們所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，探究函數(shù)/(x)=￡,xe(0,+8),下列說法正確的是()

A./(%)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)B./(x)在卜上單調(diào)遞增

I1

C.存在實(shí)數(shù)〃e(0,+8),使得/(a)，D./(X)有最小值，最小值為二

c3

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式將函數(shù)/卜)=/變形轉(zhuǎn)化為/(x)=c",利用導(dǎo)函數(shù)研究g*)=xh”的單

調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得單調(diào)性、極值與最值，再分別判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由x>0,則/(x)=xr=e“=e*k\xe(0,+8),

令g(》)=xlnx,x>0，則g(x)=l+lnx,令g'(x)=O,解得x=L

e

當(dāng)。時(shí)，g\x)<0,g(x)在卜))上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí)，gX-V)>0,g(X)在(L+8上單調(diào)遞增：

/(工)由函數(shù)y=e"與"=g(x)復(fù)合而成，而夕=砂在(-8,+。)上單調(diào)遞增：

故/(x)在(03)上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增；

所以/(0在方=上處取極小值八二)=。c=F,且無極大值，

eee；

又/('Un=/1)=/>r=)，故不存在實(shí)數(shù)ae(0,+8),使得

ycycc

故ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

5.(2025?北京平谷?一模)下列函數(shù)中，在區(qū)間。，+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=|x-2|B.y=2~x

【答案】C

【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性艮」可逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,/(1.5)=|1.5-2|=0.5,/(2)=0,由于/⑴>/(2),故/(x)在區(qū)間(1,+8)上不是

單調(diào)遞增的，A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,丁=2一=6］在區(qū)間(1,+功上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,當(dāng)x>l時(shí)，y=x-l單調(diào)遞增，且值恒為正，故丁=」不為單調(diào)遞減，所以丁二丁匚二-」；為

x-ll-xX-1

單調(diào)遞增，C正確，

對(duì)于D,y=lnx在區(qū)間(1,+功上單調(diào)遞增，故歹=-山在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤，

故選：C

6.(2025?吉林延邊?一模)設(shè)/(乃是R上的奇函數(shù),且對(duì)VxwR都有/(2-幻=/(工)，當(dāng)工引0』時(shí),

f(x)=x\則下列說法正確的是()

A./(X)的最大值是1,最小值是0B.當(dāng)3W4時(shí)，/(x)=-(x-4)2

C.點(diǎn)(1,0)是函數(shù)/(x)的對(duì)稱中心D.〃外在區(qū)間(3.5)上是增函數(shù)

【答案】BD

【分析】根據(jù)f(x)是R上的奇函數(shù)得到=,再由VxeR都有〃2-x)=/(x),得到/⑴

的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱,然后推出了(十是周期為4的周期函數(shù),結(jié)合xe［0,l］時(shí)，逐項(xiàng)判斷.

【詳解】因?yàn)槭荝上的奇函數(shù),所以/(—)=-/■),

乂對(duì)VxeR都有/(2-x)=/(x),所以〃x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，

因?yàn)?(2-x)=-f(-x),即/(2+x)=-f［x},所以"4+x)=f。),

所以是周期為4的周期函數(shù)，

又當(dāng)時(shí)，/(刈=一單調(diào)遞增，所以/(》)在［-1,0］上單調(diào)遞增，

則f(x)在卜1』上單調(diào)遞增，由/(X)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，

得/(%)在［1,3］上單調(diào)遞增,所以/0)在［T3］上的最大值是〃1)=1,

最小值是/(-1)=-/⑴=-1，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)3WxW4時(shí)，044-xWl,則/(x)=-/(r)=-/(4-.x)=-(4-9)故B正確：

由對(duì)DxeR都有〃2-x)=/(x),得/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；

由在卜1』上單調(diào)遞增，且周期為4,則/(x)在區(qū)間(3,5)上是增函數(shù)，故D正確；

故選：BD

7.(2025?廣東深圳?一模)已知函數(shù)/(x)=ln(e2，+i)_axTM，其中〃wR.

(1)當(dāng)4=0時(shí)，討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)”=1時(shí)，證明：曲線/(力是軸對(duì)稱圖形；

⑶若/(力《卜2在R上恒成立，求”的取值范圍.

【答案】(1)/(可在R上單調(diào)遞增.

⑵證明過程見解析.

(3)10.

【分析】(1)去絕對(duì)值求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷原函數(shù)增減；

(2)去絕對(duì)值判斷函數(shù)為偶函數(shù)，從而確定其關(guān)于y軸對(duì)稱；

(3)先討論xNO時(shí)不等式恒成立，此時(shí)可就。21M<1分類討論后得。之1,在此條件下再討論xWO

不等式恒成立，從而可求參數(shù)的范圍.

2e2x.八

—------l,x>0

【詳解】⑴當(dāng)〃=()時(shí)，函數(shù)/3=出伊+1)/，求導(dǎo)得：o;

-----F1,X<0

le2x+l

當(dāng)z>0時(shí)，/〈x)=4^T=4^，

」I7e2x+le2r+l

VA>0,：.e2x>\,:.f,(x)>0,

2P2xlp2.r,i

當(dāng)Z<0時(shí)，/?(.￥)=—+1=^~~->O.

J')e2v+le2v+l

???當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)”=1時(shí)，函數(shù)/(x)=ln(e2x+l)-x-M

=ln^p^]_k|=ln(c，+c7)_|M，

Ic；

/(-x)=ln(e*+e*)-|T=/(x)

??J(x)為偶函數(shù)，關(guān)于v軸對(duì)稱；

所以當(dāng)。=1時(shí)，曲線/(X)是軸對(duì)稱圖形.

(3)???/(x)?ln2在R上恒成立，.,.足(/'+1)-0￥-上氏1112,

當(dāng)?shù)?0時(shí)，有+l)—4x-xKln2,

?e2jf2

,zr(x)=------a-\=l-a---

-V7e2x+le2x+l

當(dāng)aNl時(shí),，(x)〈0在(0,y)上恒成立,

故f(x)在［0,+8)上為減函數(shù),故/(x)"(0)=ln2,此時(shí)不等式恒成立,

若。<a<1,ln(e2v>lne2r-ox-x=(l-67)x,

此時(shí)當(dāng)x>電2時(shí)，ln(e2A+l)-ax-A->In2,

\-a'

故In(e2'+l)_qx_x41n2不成立，

故當(dāng)xNO時(shí)，若不等式In(e2x+1)-4X-W?ln2恒成立，則。之1.

若"0,貝ljln(e"+l)-ax+xKln2,

又"卜蕭ei”2T

2

當(dāng)工40時(shí)，l〈e2'+lW2，故1一。<3—。一一---<2-a

c2x+\

若”之2,此時(shí)/'(力<0在(-8,0)上恒成立，故/(x)在(-8,0)上為減函數(shù)，

故/(x)N/(O)=ln2在(-8,0］上恒成立，與題設(shè)矛盾；

若當(dāng)—時(shí)，，Wlr(e2v+l)-ax+x>(l-a)x>(l-a)x---=In2,

\-a''\-a

這與題設(shè)矛盾，

若”=1,則0<r(x)?l,故/(x)在(-8,0)上為增函數(shù),

故"力工/⑼小心恒成立，

綜上所述：〃的取值范圍{1}.

8.(2025?四川巴中?一模)若函數(shù)/(x)="；+2為奇函數(shù),則。=()

A.0B.1C.2D.無解

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的定義/(X)+/(T)=。，列出等式。=-(2~2,),即可得到結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(工)="；：+2=〃+1=a+2『,則/(一力=。+2以，

若/(M)為奇函數(shù),則/(X)+/(T)=2Q+2/”+2*0,

即。=-（2-'+2'）,〃的值不是常數(shù)，即無解.

故選：D

9.（2025?山東淄博?一模）隨機(jī)變是X服從正態(tài)分布N?,令函數(shù)/（x）=P（Xix）,則下列選

項(xiàng)正確的是（）

A./（1）=1B./（x）是增函數(shù)

C./"）是偶函數(shù)D./（"的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，；）中心對(duì)稱

【答案】AD

【分析】由正態(tài)分布可求得八1）=尸（牙與）=；,判斷A；易得“X）在（1,+8）上是減函數(shù)，可判斷B：

計(jì)算/⑴工/（T），可判斷C：證明/（力+/（2-x）=l可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?所以/（1）=尸（X31）=g,故A正確；

對(duì)于B,%>1,當(dāng)X增大時(shí),/（x）=P（XNx）減少，

所以/（x）在（1,+8）上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,〃l）=P（X21）=gj（—l）=P（X2—l）>g,故C錯(cuò)誤；

（\\

對(duì)于D,若/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)1,-中心對(duì)稱，則/"）+/（2-工）=1,

（］\

囚為X服從正態(tài)分布N1,-,所以/"）關(guān)于x=l對(duì)稱，

所以尸（XNx）=P（XW2-x）,

則/（x）+f（2-x）=?（XZx）+/（XA2-x）=P（X42-x）+尸（XZ2-x）=l,故D正確.

故選：AD.

10.（2025?山東濟(jì)寧?一模）已知函數(shù)/（'）=（。-言，85是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=-

【答案】1

【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)/（。）=0求實(shí)數(shù)。的值，并根據(jù)奇函數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)?、+1>0,可知函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,

且函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，則/（0）=。-1=0,

解得〃=1，貝lj/（x）=（l-六）cosx,

2[\———ICOSA-

又因?yàn)椤═)+/(X)=1-|cos(-x)+

2-+Ul2,+lJ

,2x2'2

2----------------cosx=(2-2)cosx=0

2'+i2V+1]

即F(T)=-/(X),可知函數(shù)〃X)是奇函數(shù),

所以。=1符合題意.

故答案為：1.

題型02函數(shù)圖象的識(shí)別

【答案】B

【分析】根據(jù)奇偶性排除A,再由x-+8時(shí)函數(shù)的符號(hào)排除CD,即可得解.

［詳解］由/(x)=2c°s(兀：)知,o，_c-、0,即xwO,所以函數(shù)定義域?yàn)?YO,0)U(0,+8),關(guān)廣原

e'-ex

點(diǎn)對(duì)稱，

又〃T)=2CO*?二八),所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A；

ee

當(dāng)3>0時(shí)，ev>e'x=>ex-e"x>0，x70時(shí)，cos(nx)>0,

所以當(dāng)x>(),x-0時(shí)，/(x)>0,排除C；

當(dāng)XT+CO時(shí)，COS(TLX)符號(hào)可正可負(fù)，所以/(x)可正可負(fù)，故可排除D；

故選：B

2.(2025?江西?一模)函數(shù)/也的部分圖象大致為()

\X，

【答案】A

【分析】先根據(jù)奇函數(shù)判斷排除B,C,在（0,；）內(nèi)選擇特殊值得/（0[）＜0排除D.

【詳解】函數(shù)/（》）是定義域?yàn)椋?ao）u（o,+e）

函數(shù)/（一切=卜》+^COS（-7lA-）=-X-^jcOS7LV="/（-V）,/（“是奇函數(shù)，所以排除B,C,

乂函數(shù)/（X）在原點(diǎn)附近的零點(diǎn)為3和1,可取大于0且接近于0的一個(gè)數(shù)，

如0.1,得〃0.1）=（0.1—10）cos（0.E）＜0,所以排除D.

故選：A.

rf\SilLV

3.（2025?遼寧沈陽?一?！岛瘮?shù)/"）=[gQ+e）的圖象大致是'：）

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再由特殊值判斷.

sinv

【詳解】因?yàn)?（力的定義域?yàn)镽,且f（r）二

lg(x2+e)

所以/（x）是奇函數(shù)，故排除BC,

又可嗚，則1g(/+e)>。sin:>0J(x齊/e廣°，故排除D，

故選：A

|題型03初等函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.（2025?福建泉州?一模）如圖，假定兩點(diǎn)P,。以相同的初速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。沿射線CQ做勻速運(yùn)動(dòng),

C0=x；點(diǎn)P沿線段44（長度為IO'單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離

（PB=y）.令P與。同時(shí)分別從4c出發(fā)，則數(shù)學(xué)家納皮爾定義x為N的對(duì)數(shù)中，x與N的對(duì)應(yīng)關(guān)系

就是y=商，其中e為自然對(duì)數(shù)的底.若點(diǎn)夕從線段48的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近8的四等分點(diǎn)，點(diǎn)

。同時(shí)從。運(yùn)動(dòng)到2,則鬻=.

A~pyB

CQD~

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化得到CQ,CQ,然后利用換底公式計(jì)算.

【詳解】令歹=3_,則竺1=107']?!談，整理得x=107|n2即CQ=1(/^2,

220

7**

令了=與，則與=107（!）0’,整理得x=10?ln4,即C02=l0"n4,

…CQ、In21

明以"TT=丁一?=7.

CQ2In42

故答案為：~.

2.12025?江西萍鄉(xiāng)?一模）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn):皇魚的游速可以表示為函數(shù)v=；k）g3卷（單位：m/s）,。表

示混魚的耗氧量的單位數(shù).某條:皇魚想把游速提高2m/s,則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的（）

A.2倍B.4倍C.9倍D.81倍

【答案】D

【分析】根據(jù)所給等式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則來求解原來和現(xiàn)在耗氧量單位數(shù)的關(guān)系.

【詳解】設(shè)原來和現(xiàn)在的耗氧展的單位數(shù)分別為4，仇,

則:噫條=；1叫4+2,所以嗔3。=4,所以今=3，=81,

所以耗氧量的單位數(shù)是原來的81倍.

故選：D.

3.(2025?北京延慶?一模)延慶媯水公園岸邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，護(hù)欄與護(hù)欄之間用一條鐵鏈相

連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均勻，柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸堆線.

已知函數(shù)/(x)=；(e'+er)的部分圖象與懸鏈線類似，則下列說法正確的是(

)

A./(x)為奇函數(shù)B./(x)的最大值為1

C./(X)在(-8,+00)上單調(diào)遞增D.方程/(x)=2有2個(gè)實(shí)數(shù)解

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而碓定最

值，即可判斷ABC；對(duì)D解出e*=2土75,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可判斷.

【詳解】對(duì)A,/⑶定義域?yàn)镽,???/(r)=g(eX+e')=/(》)，則/(x)為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤;

對(duì)BC,乂???/(x)=g(e*-eT),根據(jù)y=e',y=-er,在R上均單調(diào)遞增，

則在/'(%)在R上單調(diào)遞增,且"0)=0,

則當(dāng)x>0時(shí)，則當(dāng)x<0時(shí)，則/口)<0,

??./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(YO,0).單調(diào)遞增區(qū)間為(0,小)，故C錯(cuò)誤；

則/(x)N/(O)=l,即"X)的最小值為1,B錯(cuò)誤；

對(duì)D,令:=2,/.-(ev+e')=2,:.ev+er=er+—=4,/.e*=2土6，

2e,

再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程/(X)=2有2個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.

故選：D

4.(2025?貴州六盤水?一模)20世紀(jì)30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使

用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們

常說的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為M=lg4-lg4其中力是被測(cè)地震的最大振幅，4是“標(biāo)準(zhǔn)地震〃

的振幅（使川標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.假設(shè)在一次地震中,

一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是50,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.002,則這次

地篋的震級(jí)為（）（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：植2=0.3）

A.4.4B.4.7C.5D.5.4

【答案】A

【分析】直接利用題目中給出的公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可知這次地震的震級(jí)為：

M=1g50-1g0.002=iglg25000=lg*5-21g2a5-0.6=4.4；

因此可知這次地震的震級(jí)為4.4級(jí).

故選：A

5.（2025?江西新余?一模）課內(nèi)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的韋達(dá)定理.實(shí)際上，一元三次方程也

有對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理：一元三次方程oy]+6/+cx+d=0的三根為陽,工2，43滿足：

(lgA)3-(lgx)2-21gx+l=0

h,占士》3=口.已知"，y，z滿足：<

X]+%2+X3=--,XX+XX+X3再=—-(Igy)3-(lg^)2+21gy+1=0

{223a

8(lgz)3-4(lgz)2-41gz+l=0

2025/-2022x+3為，=0其中x,±z2互不相等，則人一

2025--2022/+3處=0y

【答案】6750

【分析】結(jié)合二、三次方程的韋達(dá)定理建立關(guān)于xj*的等量關(guān)系，整體消元解方程組可得.

【詳解】由題意工，Lz2互不相同，則IgxJgLlgZ?互不相同.

yy

即憶,%-愴），,2愴2（;<>0,丁>0,2>0）互不相同.

（lgx）"-（lgx）2-2lgx+1=0

由己知，一。gy）3-（lgyf+21gy+l=o,

8（lgz）3-4（lgz）2-41gz+l=0

可得lgx,-lgy,21gz是方程尸一/一力+1=0的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

由一元三次方程的韋達(dá)定理得lgx-lgy+21gz=1,即三=10①，

y

2025x2-2022x+3^=0

且y為?常數(shù),

2025z4-2022z2+3ity=0

則是方程2025J—2022/+3為，=0的兩不等根，

則由韋達(dá)定理可得，應(yīng)2=上?②，

675

聯(lián)立①②解得"=6750.

故答案為：6750.

6.[2025?北京平谷?一模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位:

mg/L）與時(shí)間7（單位：h）間的關(guān)系為尸=凡不，其中外,人是正的常數(shù)，如果前10h消除了50%

的污染物，那么從消除60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷（）

A.10hB.4hC.40hD.8h

【答案】A

【分析】由題意得到0.54=，戶-?,求得左，再設(shè)消除60%的污染物對(duì)應(yīng)事件為乙，消除80%的污

染物對(duì)應(yīng)事件為4,得到方程0.4r=/Je-柘,0.2/=空出,求解即可;

【詳解】由題意可知:0.58二＞L伙，即0.5=e“°3即左=轉(zhuǎn)，

設(shè)消除60%的污染物對(duì)應(yīng)事件為4,即0.46=B八,

設(shè)消除80%的污染物對(duì)應(yīng)事件為4,即0.2《=《e曲，

兩式相除可得:2=e*f），

即、2=-4&-幻，

所以：Gf=10，

即從消除60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷10h,

故透:A

7.（2025?廣東?一模）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，到某島進(jìn)行旅游觀光的人數(shù)越來越多，交通問題已成為制

約經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素，因此政府欲在大陸和島嶼之間（如圖）建立一條高速通道以便于大陸和島嶼

之間來往，大陸沿海線可近似看作函數(shù)/（力=/（。＞1）的圖象，且正好與直線N=x相切，而島嶼海

岸線可近似看作函數(shù)8（力=1嗎,。-3）（〃＞1）的圖象.（每單位代表十萬米）

⑴試求〃的值及切點(diǎn)坐標(biāo).

(2)已知建成后的高速通道將開通高鐵，并且高鐵的最高時(shí)速不能超過300km/h,試問高鐵能否在半

小時(shí)內(nèi)穿過高速通道？請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴〃_2，化⑻；

(2)不能，理由見解析

【分析】(1)由題意可設(shè)切點(diǎn)為(，％，/)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)的斜率，得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

求出縱坐標(biāo)，得到結(jié)果.

(2)利用同底的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象平移，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象

間最短距離大于直線y=x與直線y=x-3之間的距離求解.

【詳解】(1)依題意，設(shè)切點(diǎn)為(％，%),由函數(shù)/(%)="求導(dǎo)得/'(x)=/In”，

貝/'(%)=a%Ina=l,即解得所=loga4=-logjna=^^,

Inama\na

—1-ln(ln^)*但i

而x則^；—=—----，解得4_嬴，/=e,

InaIinaw-c

所以〃_2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(e，e).

u-V

(2)由(1)及函數(shù)/(x)=4"與函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，且汽幻的圖象與y=x相切,

得函數(shù)/(x)=優(yōu)的圖象與函數(shù)歹=log.x的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

而g(x)=log“a-3)的圖象可由y=log/的圖象向右平移3個(gè)單位而得到,

因此函數(shù)f(x)與g(.r)的圖象之間的最短距離S大于直線V=x與直線》=x-3之間的距離,

300夜

即S弓考(十萬米)二喑km

則高鐵穿過通道的時(shí)間，~T~五1.

t>----------=----->—

30022

所以高鐵不能在半小時(shí)內(nèi)穿過高速通道.

題型04分段函數(shù)與零點(diǎn)綜合問題

3'v<i

1.(2025?山東日照?一模)已知函數(shù)/(X)=?、|，則/(1)+/(-1)=_________.

log3(x+8),x>l

【答案】(耳

【分析】根據(jù)自變量的取值范圍代入相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算結(jié)果相加.

【詳解】因/⑴=1嗚。+8)=1叫9=2,/(-1)=3-'=1,

則“1)+/(-1)=2+瀉.

故答案為：p

2.(2025?北京平谷,一模)已知函數(shù)〃x)=L:叫當(dāng)。=-1時(shí)，/(x)的值域是_________

ax-1,x>!

若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則。的取值范圍是.

【答案】[8、(0,2)

【分析】結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，可得分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合值域的概念以及極值點(diǎn)

的概念，建立不等式，可得答案.

2/.

一尸—XX<1

【詳解】由a=-l,則/(x)=(/",

-x-\,x>1

當(dāng)工>1時(shí)，/(x)=-x-l,易知函數(shù)/(力在(1,+8)上單調(diào)遞減，則/(x)<-2.

綜上可得/’(力6卜8,；.

由題意可設(shè)函數(shù)/(》)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為為,》2,且王<七，

由二次函數(shù)歹=--+仆在卜8,三)上單調(diào)遞增，在5'+8)上單調(diào)遞減，

1次函數(shù)y=穌-l,當(dāng)。<0時(shí)，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)。>0時(shí)，在R上單調(diào)遞增,

易知函數(shù)/(X)在(3°,西)與(占，+8)1二單調(diào)遞增,在(玉/2)上單調(diào)遞減,

,1Lx,=-,x,=1,可得0<—<1,解得0<〃<2.

22

1

8O

故答案為:4-

,、e\x>I々、

3.(2025?云南昆明?一模)已知函數(shù)/(x)=0(x+[”<[則/(h]2)=.

【答案】2e

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，根據(jù)題中分段函數(shù)解析式運(yùn)算求解即可.

e*v>1

【詳解】因?yàn)?")=J「且0=lnl<ln2</〃e=l,

所以/'(In2)=/(I+In2)=e,+ln2=exe,n2=2e.

故答案為：2e.

4.(2025?江西南昌?一模)已知"；，則方程/(x)=8所有的根之和為()

A.1B.2C.5D.7

【答案】A

【分析】求方程的所有根，然后相加即可.

【詳解】若x<0，由--2"8=(工+2)(工一4)=0,所以x=-2；

7fx>0,由2,=8=x=3.

因?yàn)?2+3=1,所以方程/(x)=8的所有根的和為1.

故選：A

5.(2025?新疆烏魯木齊一模)已知/(力=〈”[則=______；

g,x21,I\2JJ

【答案】1/0.5

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=F"：卜所以/佟|=10；>10°=1,

則力0="1L=g

故答案為：y

k)g/,x>1

6.(2025?江西九江?一模)已知函數(shù)/(x)=2,則/[〃2)]=

x2+2A+1,x<1

【答案】0

【分析】根據(jù)分段函數(shù)先求/(2),再求/[/(2)]即可.

【詳解】="2)=嗎2=/[/(2)]=/(-!)=0.

2

故答案為：0.

7.(2025?云南昆明?一模)已知函數(shù)/(x)=|lnx|,曲線y=/(x)在A,8兩點(diǎn)(不重合)處的切線互

相垂直，垂足為〃，兩切線分別交)'軸于C,。兩點(diǎn)，設(shè)△8〃面積為S,若S</1恒成立，則2的

最小值為.

【答案】1

2

【分析】先根據(jù)已知條件求出百超=1，進(jìn)而得至小8|=2,再求出知=丫根據(jù)電的范圍得出

人2千

X)

S的范圍，最后根據(jù)S<2恒成立求出4的最小值.

..f-lnx,0<x<1

【詳解】由函數(shù)/(x)=UnH=hn<(>]，設(shè)0<西<1<%，/a，TnxJ,B(x2Jnx2).

對(duì)y=-lnx(0<x<1)求導(dǎo)得,所以在點(diǎn)A處切線4：y=-'式+「足再.

x$

對(duì)y=lnx(x>l)求導(dǎo)得y',所以在點(diǎn)8處切線右：V=(x-l+lnx2.

因?yàn)榍芯€垂直，則-'?'=T,所以工用=1.

X]x2

此時(shí)C(0,l—InxJ,因?yàn)樯nx2=l,即芭=’,所以C(0,l+lnx2).。(0,-1+ln￡),于是|CQ|=2.

*2

y=---x+1-lnx)

y=-x2x+I+lnx2

由，J,因?yàn)槎肪?1，=-.則

j^=—x-l+ln.r

22

y=-x-\+\nx2

x2

212

解得、'二工?因?yàn)?=5,0布="=不，

人？?人7?

"x2X

乂z>l，根據(jù)基本不等式X2+L>2,所以S<1.

由SV/恒成立,則％€口,+8).則幾的最小值為1.

故答案為：1.

yv<i

8.(2025?廣東茂名?一模)已知函數(shù)/卜)=?J，則/(-1)+川)=<)

log3(x+8),x>l

4710

A.-B.3C.—D.—

333

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?(x)=：所以〃l)=log39=2,/(-1)=3-'=1,

log3(x+8),x>l3

I7

所以/(一1)+/(1)=2+3=§.

故選：c

9.(2025?天津武清?一模)函數(shù)=關(guān)于x的方程/(x)=〃(x-1)有2個(gè)不相等

Ex,x>I

的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】("

【分析】利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】如圖畫出函數(shù)/(x)的圖象，

直線y="x-l)表示過點(diǎn)(L0)的直線，。表示直線的斜率，

/(x)=lnx,r(x)=l,/(l)=o,r(l)=l,

X

所以y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為尸x-1,此時(shí)斜率為1,

如圖，若y=〃(x-l)與歹=lnx,:r〉l有一個(gè)交點(diǎn)，則

f(x)=x-x2,/z(x)=l-2x,/[1}=-1,

所以j，=x-x2在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=l-x,此時(shí)斜率為-1,

如圖，若y=〃(x—l)與丁=,一耳，有?個(gè)交點(diǎn)，則。4一1.

如圖，當(dāng)a=o時(shí)，y="(."i)與》=k2-乂有兩個(gè)交點(diǎn)，

綜二可知，。的取值范圍是

故答案為：(-8，T50，I)

10.(2025?湖南岳陽?一模)己知函數(shù)〃X)=[阿"沙戈",gix)=-(\-x),若函數(shù)/("與g(x)

(x—2)~+o,x21e

的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(一孫一1卜1與圓

4e~

【分析】根據(jù)分段函數(shù)自變最不同取值范圍上的函數(shù)解析式，分別構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)與方程的關(guān)系,

等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點(diǎn)與一元二次方程求解問題，可得答案.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí),則/(x)=ln(l-x),^y=/(x)-g(x)=ln(l-x)--(l-x),

C

1—Y—e

求導(dǎo)可得?/=/行，令y'=0,解得x=l-e<0,可得下表：

X(-00,1-e)1-e(1-e,0)

,1-x-e

)e(l-x)+0—

y=In(l-x)—(1-x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

e

由函數(shù)y=ln(l-x)-」(l-x)的極大值為0,則存在唯一零點(diǎn)，

e

所以函數(shù)/(X)與函數(shù)g(x)在(一⑼上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

30<x<lM,/(x)=-ln(l-x),令y=g(x)_/(x)」(l-x)+ln(l-x),

e

彳一]-ex—]—e

求導(dǎo)可得了=而可，顯然x?0，l)上了=而融<0，

則函數(shù)y」(17)+ln(l-X)在(0』)上單調(diào)遞減，

e

當(dāng))=0時(shí)，y=->0,當(dāng)x=l—」時(shí)，y=^--\<0,

eee

由1(土一1)<0,則函數(shù)y="lT)+ln(l—x)在(0/)上存在唯一零點(diǎn)，

所以函數(shù)/(力與函數(shù)g(x)在(0,1)匕有且僅有?一個(gè)交點(diǎn);

由題意可得函數(shù)/(X)與函數(shù)g(x)在[1，+8)上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，f(x)=(x-2)2+a,令力(x)=/(x)_g(x)=(x_2『+a_』(1—x),

e

，[、i

令A(yù)(x)=0,整埋可得X)-4——LV+4——+4=0,

keje

當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解時(shí)，△=(4-gJ-4x(4-1+a)=0,解得〃=翳,

此時(shí)14，符合題意,

、A>0

當(dāng)方程在口r,田)有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，可得解得0<-1，

題型05函數(shù)的定義域、值域與最值

1.(2025?廣東茂名?一模)已知函數(shù)/(x)=J。-6.r+5在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增,則。的取值范圍

為()

A.(-oo,l]B.(-oo,3]C.[3,-KO)D.[5,-Ko)

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】由V-6X+520，可得xWl或x25,

即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-*l]U[5,y),

又因?yàn)?、2-6丫+5在[5,+00)上單調(diào)遞增，在(3,1]上單調(diào)遞減，

y=〃在[0,+8)上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)=6x+5在區(qū)間[5,+8)上單調(diào)遞增,

a>5.

故選：D.

73

2.(2025?陜西咸陽?一模)已知集合力=?戈￡1<--3>￥-^￡0，，B=-yy=-^+4x--則de8

子集的個(gè)數(shù)為().

A.6B.7C.8D.16

【答案】C

【分析】解一元二次不等式及求二次函數(shù)的值域確定集合，再由集合的交運(yùn)算求集合，進(jìn)而得到子

集個(gè)數(shù).

【詳解】由江=任岡(彳+1及-y70}={彳間-產(chǎn)1％町7}={0,1,2,3},

B={y\y=-(x-2)

所以4cB={0,1,2},故以c8子集的個(gè)數(shù)為力=8個(gè).

故選：C

3.(2025?北京平谷?一模)已知函數(shù)/(x)=sin5x,任取fcR,定義集合：4={ply=/(x),點(diǎn)

P(f，/(/))，O(xJ(x))滿足|PO|?歷}.設(shè)M加分別表示集合4中元素的最大值和最小值，記

M，)=K-叫.則函數(shù)碎)的最小值是()

A.2X/2B.1C.及