第04講解三角形目錄考情探究 2知識梳理 3探究核心考點 4考點一正弦定理 4考點二面積公式 8考點三余弦定理 11考點四正、余弦定理在幾何中的應用 15考點五正、余弦定理的實際應用 20考點六最值問題（基本不等式法） 25考點七最值問題（三角函數(shù)法） 29考點八解三角形綜合解答題 33三階突破訓練 39基礎過關(guān) 39能力提升 45真題感知 55一、5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2025年新Ⅱ卷，第5題,5分余弦定理無2025年北京卷，第16題,10分正弦定理與余弦定理三角恒等變換2024年上海卷，第11題,5分正弦定理兩角和差公式2024年北京卷，第16題,10分正弦定理與余弦定理三角恒等變換2024年新I卷，第15題,5分正余弦定理與面積公式同角三角函數(shù)關(guān)系2024年新Ⅱ卷，第15題,10分正弦定理與余弦定理三角恒等變換2023年甲卷，第11題,5分余弦定理和面積公式無2023年乙卷，第6題,5分余弦定理平面向量2023年乙卷，第4題,5分正弦定理誘導公式2023年北京卷，第10題,5分正弦定理與余弦定理無二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關(guān)系2.能掌握集合交集、并集、補集的運算和性質(zhì)3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的計算問題4.會解一元二次不等式、一元二次方程、簡單的分式不等式、簡單的根號不等式，簡單的指對不等式，簡單的高次不等式和簡單的單絕對值不等式【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給兩個集合，要求通過解不等式求出一個集合，然后通過集合的運算得出答案。1正弦定理①正弦定理a()=b②變形(1)a+b+c(2)化邊為角a=，b=，c=.a:b:c=ab=，bc=3化角為邊

sinA=，sinB=，③三角形解的個數(shù)問題已知兩邊a、b和其中一邊的對角AA是銳角A是直角或鈍角a≥ba<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba<b一解無解一解兩解一解無解2面積公式S?ABC===3余弦定理①余弦定理a2=,b2=②變形cosA=，cosB=③三角形類型的判斷∠A=π2?∠A>π2?∠A<π2?考點一正弦定理典例1．（2025·安徽合肥·模擬預測）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，若b=1，tanC=12，4c2+A．18 B．14 C．12典例2．（2025·浙江紹興·二模）在等腰直角三角形ABC中，B=π2．P為其內(nèi)部一點，滿足∠APC=3π4，∠APB=2A．6-311 B．12 C．7-典例3．（2025·浙江·二模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c．已知A,B,C成等差數(shù)列，a,c,43b成等比數(shù)列，則cosA．14 B．12 C．33【總結(jié)】1利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；(2)已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.2正弦定理的“齊次角邊互換”等式(*)中含有三個式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每個式子中都有一個sin值，并且它們的次數(shù)都是1，則可以把sinB、sinC直接轉(zhuǎn)化為對應的邊b、同理a?sinB+思考以下轉(zhuǎn)化是否正確(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(錯)，(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A跟蹤訓練1．（2025·浙江·模擬預測）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，atanB+atanA=-2ctanA．π3 B．2π3 C．π6跟蹤訓練2．（2025·陜西安康·模擬預測）已知△ABC中，角A，B，C與sinA，sinB，sinA+B分別成等差數(shù)列，若△ABC外接圓的面積為4π，則△ABCA．63 B．6 C．23+4跟蹤訓練3．（2025·山東聊城·二模）△ABC中，BC=23,A=60°，則BA?A．6 B．3+23 C．12 D．跟蹤訓練4．（2025·四川成都·三模）在△ABC中，∠BAC=2π3，∠BAC的角平分線AD交BC于點D，若CD=6ABA．12 B．23 C．1 D考點二面積公式典例1．（2025·湖南·三模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知A=π4，b=3，三角形ABC的面積為6，則a=（A．65 B．17 C．17 D．65典例2．（2025·河北邯鄲·二模）在正三棱錐P-ABC中，∠APB=30°,PA=2,M、N分別在PB,PC上，當△AMNA．6-3 B．4-23 C．6【總結(jié)】面積公式S?跟蹤訓練1．（2025·山東青島·模擬預測）已知三角形ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對邊為a，b，c，若B=π3，且acosC=b，c=1，則三角形A．3 B．32 C．34 D跟蹤訓練2．（2025·湖南邵陽·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知4a=5c，cosC=35，且b=22，則此A．176 B．88 C．44 D．22跟蹤訓練3．（2025·海南?？凇つM預測）在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，∠BAC的角平分線交BC于D，A．BC=22 B．C．S△ADC=3考點三余弦定理典例1．（2025·河北·模擬預測）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，sinB-A=13，c2A．74 B．14 C．23典例2．（2025·陜西延安·模擬預測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=7，2sinA=3sinC，B=π3，DA．2 B．172 C．5 D．【總結(jié)】1余弦定理a2=2利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知三邊，可求三個角；(2)已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.跟蹤訓練1．（2025·云南昭通·模擬預測）在△ABC中，已知AB=10，BC=6，CA=8，則AB?BC=A．36 B．18 C．-18 D．-36跟蹤訓練2．（2025·全國·模擬預測）已知△ABC的周長為6，BC=2，∠ACB的平分線交AB于D，BD=CD，則cosB=（

A．12 B．23 C．34跟蹤訓練3．（2025·陜西漢中·模擬預測）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，bcosA+acosB=3a，cosB=23，若△ABCA．15π2 B．27π5 C．跟蹤訓練4．（2025·河北秦皇島·模擬預測）已知梯形ABCD的外接圓直徑為4213，AB=6，AD>2，∠ABC=π3，則梯形ABCDA．2 B．3 C．2 D．2跟蹤訓練5．（2025·云南麗江·模擬預測）設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，P是橢圓C上一點，若點A．13 B．23 C．12考點四正、余弦定理在幾何中的應用典例1．（2025·河北秦皇島·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B=2C，b=2a，則（A．△ABC為直角三角形 B．△ABC為銳角三角形C．△ABC為鈍角三角形 D．△ABC的形狀無法確定典例2．（2025·遼寧撫順·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠DCA=45°，∠BDC=30°，∠BCA=15°，A．53 B．55 C．103【總結(jié)】1三角形類型的判斷∠A=π∠A2在多邊形中解三角形，常見方法有利用鄰補角互補使用兩次余弦定理，利用公共角在兩個三角形中使用余弦定理，利用公共邊在兩個三角形中使用正余弦定理等等。跟蹤訓練1．（2025·陜西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB=b，且a=ccosA．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形跟蹤訓練2．（2025·青?！ひ荒＃┰谔菪蜛BCD中，AD//BC，AD=6，BC=8，AB=4，CD=5，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則EF=（

）A．782 B．772 C．19 D跟蹤訓練3．（2025·廣西·模擬預測）某園區(qū)有一塊三角形空地△ABC（如圖），其中AB=103m，BC=40m，∠ABC=π2，現(xiàn)計劃在該空地上劃分三個區(qū)域種植不同的花卉，若要求∠APB=2πA．1019-10mB．1021-10m跟蹤訓練4．（2025·四川成都·模擬預測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且2bcos(1)求角B的大小；(2)如圖，若△ABC為銳角三角形，點H為△ABC的垂心，BH=6，設∠HBC=α，（i）α=π6，求△ABC的面積；（ii）求考點五正、余弦定理的實際應用典例1．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度AB，他首先在C處，測得樓頂A的仰角為60°，然后沿BC方向行走22.5米至D處，又測得樓頂A的仰角為30°，則樓高AB為米．典例2．（2025·河南南陽·一模）如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B，C分別在A的正東方20km和54km處.某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波，8s后監(jiān)測點A，20s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號.在當時的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5km/s.(1)設A到P的距離為xkm，求x的值；(2)求靜止目標P到海防警戒線a的距離（結(jié)果精確到0.01km）.【總結(jié)】1實際問題中的基本概念（1）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．①北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向（如圖③）．②北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．2在實際問題中，先要把其轉(zhuǎn)化為解三角形模型再求解.跟蹤訓練1．（2025·全國·模擬預測）某人在C點觀察河對岸的建筑物PB（B,C在同一水平面上，P,A,B在同一鉛垂線上），已知在C點觀察建筑物上的A點和P點的仰角分別為15°和60°，AP=200，則BC=（

）A．1003 B．503 C．1003跟蹤訓練2．（2025·湖北荊州·模擬預測）如圖，A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點，這三點處依次測得對山頂P的仰角分別為α,β,γ，計劃沿直線AC開通隧道DE，設AD,EB,BC的長度分別為a,b,c.為了測出隧道DE的長度，還需直接測出（

）的值.A．a(chǎn)和b B．b和c C．a(chǎn)和c D．a(chǎn),b,c三者跟蹤訓練3．（2025·云南昆明·一模）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.現(xiàn)測得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，在點C測得塔頂A的仰角∠ACB=60°，則塔高AB約為（

）（單位：米，2≈1.414A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42跟蹤訓練4．（2025·上海奉賢·二模）中企聯(lián)合大廈是奉賢區(qū)的第一高樓，是奉賢美奉賢強的一個縮影．某數(shù)學建模興趣小組的同學們?nèi)嵉剡M行測量，經(jīng)過多次的測量，最終在平行于地面的同一水平面上選取三個點：點B、點C、點O作為測量基點．設大廈的最高點為A，在點B處測得點A的仰角為∠ABO=θ=71.5°，在點C處測得點A的仰角為∠ACO=44°，又測得BC=221①直線AO垂直于平面OBC；②平面OBC到地面的距離等于測角儀高度，在計算過程中測角儀高度忽略不計；③其它次要因素等忽略不計．根據(jù)以上信息估算奉賢第一高樓的高度約米．（結(jié)果保留整數(shù)）考點六最值問題（基本不等式法）典例1．（2025?隨州三模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若asinA+2csinC＝2bsinCcosA，則角A的最大值為（）A．π6 B．π4 C．π3 典例2．（2025?廊坊模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosA+bcosB=8cA．32 B．332 C．94【總結(jié)】1若a>0,b>0，則a+b≥2ab(當且僅當a=b時，等號成立2求某角的最值，可利用余弦定理把最值轉(zhuǎn)化為邊之間的最值，此時往往能用上基本不等式；求面積最值實際就是求兩邊積的最值，此時可用基本不等式的“和定求積”。跟蹤訓練1．（2025?萍鄉(xiāng)二模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，5sinA1+cosA+A．3 B．32 C．3 D．跟蹤訓練2．（2025?重慶模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，CA→=3CDA．2 B．223 C．3 D跟蹤訓練3．（2025?黃浦區(qū)三模）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若acosA，bA．3 B．23 C．4 D．跟蹤訓練4．（2025?威遠一模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c﹣b＝2bcosA，則下列4個結(jié)論中正確的有（）個．①B＝2A；②B的取值范圍為(0，③ab的取值范圍為(④1tanB-1A．0個 B．1個 C．2個 D．3個考點七最值問題（三角函數(shù)法）典例1．（2025?遼寧二模）在等邊三角形ABC中，D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且DE=3，DF＝2，∠DEF＝90°，則三角形ABCA．733 B．23 C．73典例2．（2025?甘肅模擬）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）2，則2bA．(4315，5915)B．[22，43【總結(jié)】求邊之間關(guān)系式的最值，可利用正余弦定理把邊化為角，若式子中含有兩個角，利用A+B+C=π化為一個角，再利用三角恒等變換把式子化為y=Asin(ωx+φ)跟蹤訓練1．（2023?上饒二模）在△ABC中，A=π6，A．﹣4 B．-3 C．2 D．跟蹤訓練2．（2024·四川成都·模擬預測）設銳角△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且c=2,B=2C，則a+b的取值范圍為（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+22跟蹤訓練3．（2025?浙江模擬）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bsinB+C2=A．(25，43) B．(25跟蹤訓練4．（2025?南通模擬）在△ABC中，若tanB=cosA1+sinA，則tanA+2tanB的最小值為考點八解三角形綜合解答題典例1．（2025·陜西咸陽·三模）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知3c(1)求角B；(2)若b=23，c＝4，求△ABC(3)若a=22，C=5π典例2．（2025·江西新余·模擬預測）若△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2sin(1)求A；(2)若bcosC+ccos跟蹤訓練1．（2025·廣東惠州·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC恰好滿足下面四個條件中的三個：①cosA=12，②cosB=-12(1)問△ABC滿足的是哪三個條件?請列舉出來，并說明理由；(2)求c.跟蹤訓練2．（2025·海南?？凇つM預測）已知△ABC，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且1sin(1)求A；(2)若c=3，S△ABC=332，D跟蹤訓練3．（2025·海南·模擬預測）在△ABC中，角A,?B,?C所對應的邊分別為(1)求A的大?。?2)角A的平分線AD與邊BC相交于點D，且AD=3，求2b+3c跟蹤訓練4．（2025·河北秦皇島·模擬預測）在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AD=2，∠ACD=30°，∠CAD=45°

(1)求AC的長.(2)若△ABC為銳角三角形，求△ABC面積的取值范圍.1（2025·貴州貴陽·模擬預測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=π3,a=3,c=1A．5π6 B．π6 C．π3 D2（2025·河南·三模）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若C=π3，c2=9A．±32 B．±156 C．3（2025·山西·三模）在△ABC中，A=45°，BC=10，AB=32A．34 B．32 C．3 D4（2025·四川達州·模擬預測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.下列條件中能使△ABC唯一確定的是（

）A．A=45°，B=60°，C=75° B．b=3，c=4，B=30°C．b=3，c=2，B=60°D．b=12，c=12，C=120°5（2025·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c，若bcosC+ccosB=2atanA，且A．2516π B．254π C．256（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c．若a=3,b=2，則B+C的取值范圍是（A．2π3,C．5π6,7（2024·河北·模擬預測）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=3,b=2,∠BAC的平分線AD的長為4A．43 B．C．2 D．48（2025·江蘇南通·模擬預測）圖1是某長方體建筑，圖2長方體ABCD-A1B1C1D1是該建筑的直觀圖，點N在AB的延長線上，MN是垂直于地面的測量標桿，高為hm.現(xiàn)測得BC長為am，在M處測得B1點的仰角為αA．h+a?sinα+βC．h+asinα+βsin9（2025·江西景德鎮(zhèn)·三模）如圖，圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，太陽光與圭面成角也就是太陽高度角．圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，投影點為冬至線．日影長度最短的那一天定為夏至，投影點為夏至線．已知景德鎮(zhèn)冬至正午太陽高度角為36.9°tan36.9°≈34，夏至正午太陽高度角為θ°，表高42厘米，圭面上冬至線與夏至線之間的距離為50厘米，則A．12 B．13 C．2210（2025·天津·二模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b=2acos(1)求A；(2)若b=23c，且△ABC面積（ⅰ）求a的值；（ⅱ）求cos2B-A1（2025·云南玉溪·模擬預測）在△ABC中，D是邊BC上的點，且AC=CD,AB=2AC=3AD，則sinB=（A．23 B．33 C．662（2025·江西新余·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=b，且sin2Csin2B=2(1+A．23 B．32 C．3-13（2025·湖南長沙·二模）已知△ABC的面積為63，A=60°，AB=3，B的內(nèi)角平分線交邊AC于點D，則SA．37 B．27 C．724（2025·安徽黃山·二模）如圖1，為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)，其平面圖形如圖2所示．已知∠ABM=30°，∠BAN=45°，∠MAN=60°，∠MBN=90A．53-1 B．52 C．55（2025·河南許昌·模擬預測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosA+bcosA．32 B．332 C．96（2025·四川成都·模擬預測）雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1-c,0,F2c,0，以C的實軸為直徑的圓記為A．5+12 B．5 C．5-17（2025·四川廣安·模擬預測）已知在△ABC中，角A=60°，邊BC=a.點D在線段BC上滿足AD=13A．(0,3) B．(a3,2a8（2024·全國·模擬預測）已知△ABC外接圓的半徑為3BC3，D為邊BC的中點，AD=12，∠BAC為鈍角，則A．-2,2 B．-2,2 C．-1,2 D．-1,29（2025·河北邢臺·三模）在平面直角坐標系中，點A(-1,1)，B與A關(guān)于原點O對稱，現(xiàn)以x軸為折痕，將x軸下方部分翻折，使其與上方部分構(gòu)成直二面角，A,B兩點相應變成A1，B1兩點，將△A1OA．π4 B．3π4 C．310（2025·河南信陽·三模）已