導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題：精確建模與快速算法的深度剖析一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代科技飛速發(fā)展的時(shí)代，電磁學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其研究成果廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，對(duì)推動(dòng)科技進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展發(fā)揮著關(guān)鍵作用。導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題作為電磁學(xué)研究中的重要內(nèi)容，在雷達(dá)、通信、電磁兼容等領(lǐng)域中占據(jù)著不可或缺的地位，對(duì)這些領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展產(chǎn)生著深遠(yuǎn)影響。在雷達(dá)領(lǐng)域，準(zhǔn)確獲取目標(biāo)的電磁散射特性對(duì)于目標(biāo)探測(cè)、識(shí)別和跟蹤至關(guān)重要。實(shí)際中的雷達(dá)目標(biāo)往往是由導(dǎo)體和介質(zhì)組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，例如飛行器、艦船等。這些目標(biāo)的電磁散射特性受到其幾何形狀、材料特性以及電磁波入射條件等多種因素的綜合影響。若要實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的高精度探測(cè)和識(shí)別，就必須對(duì)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的電磁散射問題進(jìn)行精確建模和深入分析。通過精確建模，可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)目標(biāo)在不同電磁波照射下的散射場(chǎng)分布，為雷達(dá)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、性能評(píng)估以及目標(biāo)識(shí)別算法的開發(fā)提供堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)。這有助于提高雷達(dá)系統(tǒng)的探測(cè)靈敏度、分辨率和抗干擾能力，使其能夠在復(fù)雜的電磁環(huán)境中準(zhǔn)確地檢測(cè)和跟蹤目標(biāo)，從而在軍事防御、航空航天、氣象監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域發(fā)揮更為重要的作用。通信領(lǐng)域同樣離不開對(duì)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的研究。隨著通信技術(shù)的不斷演進(jìn)，對(duì)通信系統(tǒng)的性能要求日益嚴(yán)苛。在無線通信中，信號(hào)在傳輸過程中會(huì)受到各種導(dǎo)體和介質(zhì)的影響，如建筑物、地形以及通信設(shè)備自身的結(jié)構(gòu)等。這些因素會(huì)導(dǎo)致信號(hào)發(fā)生反射、折射、散射和衰減等現(xiàn)象，進(jìn)而影響通信質(zhì)量和信號(hào)傳輸?shù)目煽啃?。通過對(duì)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的深入研究，可以更好地理解信號(hào)在復(fù)雜環(huán)境中的傳播特性，為通信系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供有力支持。例如，在設(shè)計(jì)基站天線時(shí)，考慮周圍環(huán)境中導(dǎo)體和介質(zhì)對(duì)天線輻射特性的影響，能夠優(yōu)化天線的方向圖和輻射效率，減少信號(hào)干擾，提高通信覆蓋范圍和質(zhì)量。此外，在研究新型通信材料和結(jié)構(gòu)時(shí)，精確的電磁建模和快速算法可以幫助評(píng)估其對(duì)通信性能的影響，加速新型通信技術(shù)的研發(fā)和應(yīng)用。電磁兼容領(lǐng)域也是如此，隨著電子設(shè)備的廣泛應(yīng)用，設(shè)備之間的電磁干擾問題日益突出。導(dǎo)體介質(zhì)組合結(jié)構(gòu)在電子設(shè)備中普遍存在，其電磁特性會(huì)對(duì)設(shè)備的電磁兼容性產(chǎn)生重要影響。通過研究導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的電磁問題，可以有效預(yù)測(cè)和分析設(shè)備之間的電磁干擾情況，為電磁兼容設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。在電子設(shè)備的設(shè)計(jì)過程中，合理選擇材料和布局，優(yōu)化導(dǎo)體介質(zhì)組合結(jié)構(gòu)，能夠降低設(shè)備之間的電磁干擾，提高電子系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性，確保各種電子設(shè)備能夠在同一電磁環(huán)境中正常工作。導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的研究對(duì)于解決雷達(dá)、通信、電磁兼容等領(lǐng)域中的關(guān)鍵技術(shù)問題具有重要意義。它不僅能夠推動(dòng)這些領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新和發(fā)展，提高相關(guān)設(shè)備和系統(tǒng)的性能，還能夠?yàn)樾碌膽?yīng)用場(chǎng)景和技術(shù)突破提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持。隨著科技的不斷進(jìn)步，對(duì)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的研究將面臨更多的挑戰(zhàn)和機(jī)遇，深入開展這方面的研究工作具有迫切的現(xiàn)實(shí)需求和廣闊的應(yīng)用前景。1.2研究現(xiàn)狀綜述導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的研究一直是電磁學(xué)領(lǐng)域的重要課題，多年來眾多學(xué)者在此方面展開了深入探索，取得了一系列具有重要價(jià)值的成果。在精確建模方面，表面積分方程（SIE）方法在處理均勻或分段均勻介質(zhì)體時(shí)展現(xiàn)出獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。該方法僅在目標(biāo)表面和不同區(qū)域分界面上構(gòu)建積分方程，避免了對(duì)介質(zhì)體內(nèi)部的剖分處理，從而顯著降低了數(shù)值計(jì)算未知量的個(gè)數(shù)，提升了計(jì)算效率。如文獻(xiàn)《導(dǎo)體介質(zhì)組合體電磁分析的建模與計(jì)算》中采用一類新的表面混合場(chǎng)積分方程JMCFIE進(jìn)行求解，其通過伽略金方法建立的阻抗矩陣具有對(duì)角線元素占優(yōu)的特性，相對(duì)傳統(tǒng)PMCHW方程，JMCFIE建立的矩陣方程迭代求解收斂性得到明顯改善。此外，根據(jù)等效原理，研究者們推導(dǎo)得到了多種形式的表面積分方程，如PMCHW和TENENH混合場(chǎng)積分方程等，并對(duì)它們?cè)诓煌瑘?chǎng)景下的適用性展開了研究。有學(xué)者提出CFIE-JMCFIE組合形式的混合場(chǎng)積分方程，經(jīng)系統(tǒng)、全面比較，證明該方程構(gòu)造的阻抗矩陣條件數(shù)良好，迭代求解收斂性佳，為準(zhǔn)確、高效運(yùn)用積分方程求解組合目標(biāo)的散射問題奠定了基礎(chǔ)。針對(duì)多導(dǎo)體介質(zhì)體連接時(shí)的電磁建模，學(xué)者們深入分析了積分方程和基函數(shù)在多個(gè)分界面連接處的定義以及積分方程的組合形式。通過強(qiáng)加邊界條件，推導(dǎo)了廣義EFIE-CFIE-JMCFIE方程形式，以滿足復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁分析需求。還有研究提出了連接域方法（CRM），簡(jiǎn)化了多區(qū)域分界面的處理，為復(fù)雜組合目標(biāo)的電磁建模提供了新的思路。在幾何建模上，借助成熟的CAD/CAM商用化軟件，通過基于分界面生成實(shí)體模型的方法，有效解決了復(fù)雜形狀分界面處四面體網(wǎng)格的匹配問題，為任意多層介質(zhì)結(jié)構(gòu)的電磁分析提供了精確的幾何數(shù)據(jù)文件。針對(duì)現(xiàn)代復(fù)雜結(jié)構(gòu)雷達(dá)罩，也提出了具有通用性的非規(guī)則外形變厚度雷達(dá)罩內(nèi)表面的幾何建模方法?？焖偎惴ǖ难芯客瑯映晒S碩?？焖俣鄻O子方法（FMM）及其改進(jìn)版本多層快速多極子方法（MLFMA）是解決電大尺寸目標(biāo)電磁問題的重要手段。MLFMA通過將計(jì)算區(qū)域劃分為多層樹狀結(jié)構(gòu)，利用遠(yuǎn)場(chǎng)近似和多極子展開技術(shù)，有效減少了矩陣-矢量乘積的計(jì)算量和存儲(chǔ)需求，極大地提高了計(jì)算效率。有研究提出基于CFIE-JMCFIE的多層快速多極子算法，重點(diǎn)研究了介質(zhì)域內(nèi)MLFMA的參數(shù)選取和預(yù)條件技術(shù)。數(shù)值算例表明，利用CFIE-JMCFIE阻抗矩陣對(duì)角元素占優(yōu)的特點(diǎn)，采用塊對(duì)角預(yù)條件技術(shù)的MLFMA能實(shí)現(xiàn)對(duì)電大尺寸導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁特性分析的快速計(jì)算。此外，基于MLFMA的稀疏近似逆（SAI）預(yù)條件技術(shù)也得到了深入研究，提出的一類改進(jìn)分組策略的SAI預(yù)條件方法，降低了構(gòu)造預(yù)條件器的計(jì)算復(fù)雜度，提高了積分方程求解的收斂速度。在處理含開放結(jié)構(gòu)的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁散射問題時(shí)，改進(jìn)電場(chǎng)積分方程（IEFIE）以及IEFIE-IPMCHW方程被提出。通過對(duì)傳統(tǒng)積分方程的改進(jìn)，有效解決了開放結(jié)構(gòu)帶來的計(jì)算難題，并結(jié)合幾類加速迭代求解的方法，進(jìn)一步提升了計(jì)算效率。對(duì)于復(fù)雜載體上天線問題的電磁建模與快速算法研究，提出了面面連接等效模型和線面連接等效模型，對(duì)連接處剖分單元和基函數(shù)進(jìn)行了合理處理，并加入饋源實(shí)現(xiàn)精確建模。針對(duì)電大尺寸載體上天線問題，采用迭代MoM-PO算法和基于ILUT的MLFMA等方法，有效實(shí)現(xiàn)了快速求解。盡管目前在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的精確建模和快速算法研究上已取得顯著成果，但仍存在一些不足之處。部分建模方法對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的適應(yīng)性有待提高，在處理具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或材料特性急劇變化的目標(biāo)時(shí)，可能無法準(zhǔn)確描述電磁特性。一些快速算法在計(jì)算精度和計(jì)算效率之間難以達(dá)到最佳平衡，特別是在處理極電大尺寸目標(biāo)或?qū)τ?jì)算精度要求極高的場(chǎng)景時(shí)，現(xiàn)有算法可能無法滿足需求。此外，不同算法和模型之間的融合與協(xié)同工作研究還不夠深入，如何綜合利用各種方法的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)更高效、更精確的電磁分析，是未來需要解決的重要問題。1.3研究?jī)?nèi)容與創(chuàng)新點(diǎn)本研究聚焦于導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題，在精確建模和快速算法方面展開深入探索，旨在突破現(xiàn)有技術(shù)瓶頸，實(shí)現(xiàn)更高效、精確的電磁分析。在精確建模方法研究上，深入剖析表面積分方程（SIE）在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁特性分析中的應(yīng)用?；诘刃г恚到y(tǒng)推導(dǎo)多種形式的表面積分方程，如經(jīng)典的PMCHW和TENENH混合場(chǎng)積分方程，并著重對(duì)新型JMCFIE混合場(chǎng)積分方程進(jìn)行研究。通過理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算，全面比較不同積分方程在迭代求解收斂性以及實(shí)際應(yīng)用中的性能差異，明確各方程的適用范圍。針對(duì)多導(dǎo)體介質(zhì)體連接的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，細(xì)致分析積分方程和基函數(shù)在多個(gè)分界面連接處的定義方式，推導(dǎo)廣義EFIE-CFIE-JMCFIE方程形式，以滿足復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁建模需求。此外，研究連接域方法（CRM）在簡(jiǎn)化多區(qū)域分界面處理中的應(yīng)用，分析其積分方程的建立過程和方法特點(diǎn)，為復(fù)雜組合目標(biāo)的電磁建模提供新的有效途徑。快速算法優(yōu)化也是本研究的重點(diǎn)。全面闡述快速多極子方法（FMM）及其改進(jìn)版本多層快速多極子方法（MLFMA）的基本原理、數(shù)學(xué)描述和數(shù)值實(shí)現(xiàn)過程。針對(duì)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，提出基于CFIE-JMCFIE的多層快速多極子算法，深入研究介質(zhì)域內(nèi)MLFMA的參數(shù)選取策略，如分組策略、樹結(jié)構(gòu)層數(shù)等參數(shù)對(duì)計(jì)算效率和精度的影響，以實(shí)現(xiàn)最佳計(jì)算性能。同時(shí)，對(duì)基于MLFMA的預(yù)條件技術(shù)展開研究，包括塊對(duì)角（BD）預(yù)條件技術(shù)、稀疏近似逆（SAI）預(yù)條件技術(shù)等，提出一類改進(jìn)分組策略的SAI預(yù)條件方法，降低構(gòu)造預(yù)條件器的計(jì)算復(fù)雜度，顯著提高積分方程求解的收斂速度，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)電大尺寸導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁特性的快速高效分析。在應(yīng)用拓展方面，將研究成果應(yīng)用于含開放結(jié)構(gòu)的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁散射分析以及復(fù)雜載體上天線問題的電磁建模與求解。針對(duì)含開放結(jié)構(gòu)的目標(biāo)，提出改進(jìn)電場(chǎng)積分方程（IEFIE）以及IEFIE-IPMCHW方程，有效解決開放結(jié)構(gòu)帶來的計(jì)算難題，并結(jié)合幾類加速迭代求解的方法，如GMRES算法結(jié)合合適的預(yù)條件技術(shù)，提升計(jì)算效率。對(duì)于復(fù)雜載體上天線問題，建立面面連接等效模型和線面連接等效模型，對(duì)連接處剖分單元和基函數(shù)進(jìn)行合理處理，并加入饋源實(shí)現(xiàn)精確建模。針對(duì)電大尺寸載體上天線問題，采用迭代MoM-PO算法和基于ILUT的MLFMA等方法，實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確的求解，為實(shí)際工程應(yīng)用提供有力的技術(shù)支持。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。在建模方法上，提出的CFIE-JMCFIE組合形式的混合場(chǎng)積分方程，經(jīng)系統(tǒng)比較證明其構(gòu)造的阻抗矩陣具有對(duì)角線元素占優(yōu)、條件數(shù)好的特點(diǎn)，顯著改善了迭代求解的收斂性，為積分方程求解組合目標(biāo)散射問題提供了更優(yōu)的選擇。在快速算法優(yōu)化方面，提出的改進(jìn)分組策略的SAI預(yù)條件方法，創(chuàng)新性地降低了構(gòu)造預(yù)條件器的計(jì)算復(fù)雜度，有效提高了積分方程求解的收斂速度，提升了電大尺寸目標(biāo)電磁特性分析的效率。在應(yīng)用拓展中，針對(duì)含開放結(jié)構(gòu)的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)和復(fù)雜載體上天線問題，提出的新型積分方程和等效模型，有效解決了這些復(fù)雜結(jié)構(gòu)電磁問題的計(jì)算難題，拓展了研究成果的應(yīng)用范圍，為相關(guān)領(lǐng)域的工程設(shè)計(jì)和分析提供了新的思路和方法。二、導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題基礎(chǔ)理論2.1電磁學(xué)基本原理回顧麥克斯韋方程組是電磁學(xué)的核心理論，由四個(gè)方程組成，全面且深刻地描述了電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間的相互關(guān)系，是解決導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的基石。其積分形式如下：\begin{cases}\oint_{S}\vec{D}\cdotd\vec{S}=\int_{V}\rhodv&(é????ˉ??????)\\\oint_{S}\vec{B}\cdotd\vec{S}=0&(é????ˉ?￡???????)\\\oint_{C}\vec{E}\cdotd\vec{l}=-\fracssk66cc{dt}\int_{S}\vec{B}\cdotd\vec{S}&(?3?????????μ?￡?????o???????)\\\oint_{C}\vec{H}\cdotd\vec{l}=\int_{S}(\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partialt})\cdotd\vec{S}&(éo|?????ˉé?|-?????1??????)\end{cases}其中，\vec{D}是電位移矢量，\vec{E}為電場(chǎng)強(qiáng)度，\vec{B}代表磁通密度，\vec{H}是磁場(chǎng)強(qiáng)度，\rho表示電荷密度，\vec{J}為電流密度。高斯定律表明穿過任意閉合曲面的電位移通量等于該閉合曲面所包圍的自由電荷總量，反映了電荷是電場(chǎng)的源；高斯磁定律指出穿過任意閉合曲面的磁通量恒為零，意味著自然界中不存在磁單極子；法拉第電磁感應(yīng)定律揭示了變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)；麥克斯韋-安培定律則說明電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)。這四個(gè)方程相互關(guān)聯(lián)，共同構(gòu)成了一個(gè)完整的體系，從宏觀層面上對(duì)電磁現(xiàn)象進(jìn)行了精確描述。在實(shí)際應(yīng)用中，麥克斯韋方程組主要有微觀方程和宏觀方程兩種表述。微觀方程具有普遍的適用性，它將包括材料中原子尺度復(fù)雜電荷和電流在內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)與總電荷和總電流聯(lián)系在一起，但由于其考慮因素過于細(xì)致，在實(shí)際計(jì)算中存在諸多不便。宏觀方程則定義了兩類新的輔助場(chǎng)，通過引入電位移矢量\vec{D}和磁場(chǎng)強(qiáng)度\vec{H}，可以在不考慮原子尺度的電荷和自旋等量子現(xiàn)象的情況下，描述物質(zhì)的大規(guī)模運(yùn)動(dòng)，更便于實(shí)際計(jì)算和工程應(yīng)用。在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的研究中，邊界條件起著至關(guān)重要的作用。當(dāng)電磁場(chǎng)在兩種不同媒質(zhì)分界面上過渡時(shí)，場(chǎng)矢量\vec{E}、\vec{D}、\vec{B}、\vec{H}一般都會(huì)發(fā)生躍變。這些邊界條件可以由麥克斯韋方程組的積分形式推導(dǎo)得出，是電磁場(chǎng)理論的重要組成部分。具體邊界條件如下：電位移矢量\vec{D}的法向分量差等于分界面上的自由電荷面密度：\vec{n}\cdot(\vec{D_1}-\vec{D_2})=\rho_s，其中\(zhòng)vec{n}表示兩媒質(zhì)分界面法線方向的單位矢量，下標(biāo)1和2分別代表媒質(zhì)1或2內(nèi)緊靠分界面的場(chǎng)矢量，\rho_s為分界面上的自由電荷面密度。當(dāng)分界面上無自由電荷時(shí)，\vec{D}的法向分量連續(xù)。電場(chǎng)強(qiáng)度\vec{E}的切向分量在分界面兩側(cè)是連續(xù)的：\vec{n}\times(\vec{E_1}-\vec{E_2})=0。這意味著電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在跨越分界面時(shí)不會(huì)發(fā)生突變，保證了電場(chǎng)在分界面處的連續(xù)性。磁通密度\vec{B}的法向分量在分界面兩側(cè)是連續(xù)的：\vec{n}\cdot(\vec{B_1}-\vec{B_2})=0，即磁通密度的法向分量在分界面上保持不變，反映了磁場(chǎng)的連續(xù)性。磁場(chǎng)強(qiáng)度\vec{H}的切向分量差等于分界面上的表面?zhèn)鲗?dǎo)電流面密度：\vec{n}\times(\vec{H_1}-\vec{H_2})=\vec{J_s}，其中\(zhòng)vec{J_s}為分界面上的傳導(dǎo)電流面密度。當(dāng)分界面上無表面?zhèn)鲗?dǎo)電流時(shí)，\vec{H}的切向分量連續(xù)。對(duì)于理想導(dǎo)體，由于其內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度\vec{E_2}、電位移矢量\vec{D_2}、磁通密度\vec{B_2}、磁場(chǎng)強(qiáng)度\vec{H_2}都等于零，所以會(huì)導(dǎo)致\vec{D_1}的法向分量等于自由電荷面密度，\vec{E_1}無切向分量，\vec{B_1}的法向分量為零，\vec{H_1}的切向分量等于表面?zhèn)鲗?dǎo)電流面密度，并與電流方向正交。需要注意的是，麥克斯韋方程組的微分形式要求電磁場(chǎng)在作用點(diǎn)周圍必須有一個(gè)連續(xù)的開鄰域，否則場(chǎng)矢量\vec{E}、\vec{D}、\vec{B}和\vec{H}不可微。因此，在電容率與磁導(dǎo)率不同的兩種介質(zhì)分界面上，微分形式的麥克斯韋方程組并不適用，而必須采用積分形式來描述電磁場(chǎng)的邊界條件。這些邊界條件為準(zhǔn)確分析導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)在不同媒質(zhì)分界面處的電磁特性提供了關(guān)鍵依據(jù)，確保了在處理復(fù)雜電磁問題時(shí)，能夠正確考慮分界面處場(chǎng)量的變化情況，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)電磁系統(tǒng)的精確建模和分析。2.2導(dǎo)體與介質(zhì)的電磁特性導(dǎo)體和介質(zhì)在電磁場(chǎng)中展現(xiàn)出截然不同的電磁特性，這些特性主要由其電導(dǎo)率、介電常數(shù)和磁導(dǎo)率等參數(shù)決定，深刻影響著電磁場(chǎng)在其中的分布和傳播規(guī)律。電導(dǎo)率是衡量物質(zhì)導(dǎo)電能力的關(guān)鍵參數(shù)。導(dǎo)體具有極高的電導(dǎo)率，以常見金屬銅為例，其電導(dǎo)率在室溫下約為5.96??10^7S/m。這使得導(dǎo)體內(nèi)部存在大量可自由移動(dòng)的電荷，當(dāng)導(dǎo)體處于電場(chǎng)中時(shí)，自由電荷會(huì)在電場(chǎng)力的作用下迅速定向移動(dòng)，形成傳導(dǎo)電流。在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電荷僅分布于導(dǎo)體表面。因?yàn)橐坏?dǎo)體內(nèi)部存在電場(chǎng)，自由電荷就會(huì)持續(xù)移動(dòng)，直至電場(chǎng)被抵消，達(dá)到平衡狀態(tài)。而且，由于導(dǎo)體表面電荷的分布，其表面電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于表面，這一特性在電磁學(xué)的邊界條件分析中具有重要意義。相比之下，介質(zhì)的電導(dǎo)率通常極低，屬于絕緣體范疇。理想介質(zhì)的電導(dǎo)率為零，這意味著介質(zhì)內(nèi)部幾乎不存在可自由移動(dòng)的電荷。當(dāng)介質(zhì)置于電場(chǎng)中時(shí)，雖然沒有傳導(dǎo)電流，但會(huì)發(fā)生極化現(xiàn)象。極化是指介質(zhì)分子中的正負(fù)電荷在電場(chǎng)作用下發(fā)生相對(duì)位移，形成電偶極子。這些電偶極子的有序排列產(chǎn)生了極化電荷，進(jìn)而產(chǎn)生一個(gè)與外電場(chǎng)方向相反的附加電場(chǎng)。極化程度可用極化強(qiáng)度\vec{P}來描述，它等于單位體積內(nèi)電偶極矩的矢量和。在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中，極化強(qiáng)度\vec{P}與電場(chǎng)強(qiáng)度\vec{E}成正比，即\vec{P}=\chi_e\epsilon_0\vec{E}，其中\(zhòng)chi_e為介質(zhì)的電極化率，\epsilon_0是真空介電常數(shù)。這種極化特性使得介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)具有一定的響應(yīng)和存儲(chǔ)能力，在電容器等電子元件中有著廣泛應(yīng)用。介電常數(shù)也是區(qū)分導(dǎo)體和介質(zhì)的重要電磁參數(shù)。介電常數(shù)表征了電介質(zhì)在電場(chǎng)作用下的極化程度以及對(duì)電場(chǎng)的影響。真空的介電常數(shù)\epsilon_0是一個(gè)基本物理常數(shù)，約為8.854??10^{-12}F/m。對(duì)于導(dǎo)體而言，由于其內(nèi)部自由電荷的存在，電場(chǎng)很難在其中維持穩(wěn)定，所以導(dǎo)體的介電常數(shù)在實(shí)際分析中通常不做重點(diǎn)討論。而介質(zhì)的介電常數(shù)\epsilon一般大于\epsilon_0，不同介質(zhì)的介電常數(shù)差異較大。例如，常見的空氣介電常數(shù)接近\epsilon_0，而陶瓷的介電常數(shù)可以達(dá)到幾十甚至幾百。介電常數(shù)越大，說明介質(zhì)在電場(chǎng)作用下的極化程度越高，對(duì)電場(chǎng)的削弱作用越強(qiáng)。在電磁波傳播過程中，介質(zhì)的介電常數(shù)會(huì)影響電磁波的傳播速度和波長(zhǎng)。根據(jù)公式v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}（其中v為電磁波傳播速度，\mu為磁導(dǎo)率），介電常數(shù)越大，電磁波在介質(zhì)中的傳播速度越慢。同時(shí)，根據(jù)\lambda=\frac{v}{f}（\lambda為波長(zhǎng)，f為頻率），在頻率不變的情況下，傳播速度變慢會(huì)導(dǎo)致波長(zhǎng)變短。磁導(dǎo)率是描述物質(zhì)對(duì)磁場(chǎng)響應(yīng)能力的物理量。導(dǎo)體和介質(zhì)的磁導(dǎo)率也存在差異。真空磁導(dǎo)率\mu_0=4\pi??10^{-7}H/m。大多數(shù)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率接近\mu_0，但一些鐵磁性導(dǎo)體，如鐵、鈷、鎳等，具有很高的磁導(dǎo)率。這些鐵磁性材料在磁場(chǎng)中會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的磁化現(xiàn)象，其內(nèi)部的磁疇會(huì)在外磁場(chǎng)作用下趨于一致排列，產(chǎn)生很強(qiáng)的附加磁場(chǎng)。而一般介質(zhì)的磁導(dǎo)率也接近\mu_0，但像鐵氧體等磁性介質(zhì)，其磁導(dǎo)率則明顯不同于真空磁導(dǎo)率。在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，磁導(dǎo)率對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小有著重要影響。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=-N\frac{d\Phi}{dt}（E為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，N為線圈匝數(shù)，\Phi為磁通量），而磁通量\Phi=\int_{S}\vec{B}\cdotd\vec{S}，\vec{B}=\mu\vec{H}（\vec{B}為磁感應(yīng)強(qiáng)度，\vec{H}為磁場(chǎng)強(qiáng)度），所以磁導(dǎo)率的變化會(huì)通過影響磁感應(yīng)強(qiáng)度，進(jìn)而影響磁通量的變化率，最終影響感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小。2.3組合目標(biāo)電磁問題的難點(diǎn)與挑戰(zhàn)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的電磁問題研究面臨著諸多復(fù)雜的難點(diǎn)與挑戰(zhàn)，這些問題涉及邊界條件處理、多尺度問題以及計(jì)算資源消耗等多個(gè)關(guān)鍵方面。邊界條件處理是首要難點(diǎn)。在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)中，存在導(dǎo)體與介質(zhì)、不同介質(zhì)之間的多個(gè)分界面，各分界面處的邊界條件各不相同。以導(dǎo)體與介質(zhì)分界面為例，根據(jù)邊界條件，電場(chǎng)強(qiáng)度\vec{E}的切向分量連續(xù)，電位移矢量\vec{D}的法向分量滿足\vec{n}\cdot(\vec{D_1}-\vec{D_2})=\rho_s。然而在實(shí)際情況中，分界面往往并非規(guī)則的幾何形狀，可能存在復(fù)雜的曲面或拐角，這使得邊界條件的準(zhǔn)確施加變得極為困難。在處理復(fù)雜形狀的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，如何在這些不規(guī)則分界面上精確地應(yīng)用邊界條件，以確保電磁場(chǎng)在分界面處的連續(xù)性和物理特性的正確描述，是一個(gè)亟待解決的關(guān)鍵問題。而且，當(dāng)存在多種不同介質(zhì)時(shí)，各介質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率等電磁參數(shù)不同，進(jìn)一步增加了邊界條件處理的復(fù)雜性。不同介質(zhì)分界面處的邊界條件相互關(guān)聯(lián)，需要同時(shí)考慮多個(gè)分界面的影響，這對(duì)計(jì)算方法和模型的準(zhǔn)確性提出了極高的要求。多尺度問題也是該領(lǐng)域的一大挑戰(zhàn)。實(shí)際的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)常常涵蓋從微觀到宏觀的多個(gè)尺度。在微觀尺度下，材料的原子、分子結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)電磁特性產(chǎn)生影響，例如介質(zhì)的極化現(xiàn)象與分子的微觀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。而在宏觀尺度上，目標(biāo)的整體幾何形狀和尺寸又決定了其電磁散射和輻射特性。當(dāng)目標(biāo)中包含細(xì)微結(jié)構(gòu)時(shí)，如金屬導(dǎo)體表面的微納結(jié)構(gòu)或介質(zhì)材料中的微小顆粒，這些細(xì)微結(jié)構(gòu)的尺寸可能遠(yuǎn)小于電磁波的波長(zhǎng)。在進(jìn)行電磁分析時(shí)，既要準(zhǔn)確描述這些細(xì)微結(jié)構(gòu)對(duì)電磁場(chǎng)的影響，又要考慮其與宏觀結(jié)構(gòu)之間的相互作用，這使得計(jì)算變得異常復(fù)雜。傳統(tǒng)的計(jì)算方法在處理多尺度問題時(shí)往往面臨困境，難以在兼顧計(jì)算精度的同時(shí)保證計(jì)算效率。例如，有限元方法在處理復(fù)雜幾何形狀時(shí)具有優(yōu)勢(shì)，但在處理多尺度問題時(shí)，為了準(zhǔn)確模擬細(xì)微結(jié)構(gòu)，需要對(duì)模型進(jìn)行極其精細(xì)的網(wǎng)格劃分，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)間大幅增加，甚至超出計(jì)算機(jī)的處理能力。計(jì)算資源的消耗也是一個(gè)不可忽視的挑戰(zhàn)。精確求解導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的電磁問題通常需要巨大的計(jì)算資源。積分方程方法在處理此類問題時(shí)，需要對(duì)目標(biāo)表面和分界面進(jìn)行離散化處理，形成龐大的矩陣方程。隨著目標(biāo)尺寸的增大和結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的增加，矩陣的規(guī)模迅速擴(kuò)大，導(dǎo)致存儲(chǔ)需求急劇上升。對(duì)于電大尺寸的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，其表面和分界面的離散單元數(shù)量可能達(dá)到數(shù)百萬甚至數(shù)十億，存儲(chǔ)這些矩陣元素所需的內(nèi)存空間往往超出普通計(jì)算機(jī)的內(nèi)存容量。在求解矩陣方程時(shí)，迭代求解算法的計(jì)算量也非常大，需要進(jìn)行大量的矩陣-矢量乘法運(yùn)算，這會(huì)耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。即使采用快速算法，如多層快速多極子方法（MLFMA），雖然在一定程度上降低了計(jì)算量和存儲(chǔ)需求，但對(duì)于極電大尺寸目標(biāo)或復(fù)雜結(jié)構(gòu)的目標(biāo)，計(jì)算資源的消耗仍然是一個(gè)嚴(yán)峻的問題。此外，為了提高計(jì)算精度，往往需要增加離散單元的數(shù)量或采用更高階的基函數(shù)，這又會(huì)進(jìn)一步加劇計(jì)算資源的消耗。三、精確建模方法研究3.1傳統(tǒng)建模方法分析3.1.1表面積分方程（SIE）表面積分方程（SIE）作為一種經(jīng)典的電磁建模方法，在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的電磁特性分析中具有重要地位。其基本原理基于等效原理，通過在目標(biāo)表面和不同區(qū)域分界面上建立積分方程，將求解區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)這些表面和分界面上等效電磁流的求解。在SIE中，目標(biāo)表面的等效電流和磁流通過格林函數(shù)與空間中的電磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)。對(duì)于一個(gè)處于均勻或分段均勻介質(zhì)中的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，假設(shè)目標(biāo)表面為S，不同介質(zhì)區(qū)域的分界面為S_{ij}（i和j表示不同的介質(zhì)區(qū)域），根據(jù)等效原理，可在這些表面上定義等效電流\vec{J}和等效磁流\vec{M}。以電場(chǎng)積分方程（EFIE）為例，其表達(dá)式為：\vec{E}^{inc}(\vec{r})=j\omega\mu\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{J}(\vec{r}')dS'+\int_{S}\nabla\times\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{M}(\vec{r}')dS'其中，\vec{E}^{inc}(\vec{r})是入射電場(chǎng)，\omega為角頻率，\mu是磁導(dǎo)率，\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')是格林函數(shù)，它描述了源點(diǎn)\vec{r}'處的單位電流或磁流在觀測(cè)點(diǎn)\vec{r}處產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。通過求解上述積分方程，可以得到目標(biāo)表面的等效電磁流分布，進(jìn)而計(jì)算出目標(biāo)的散射場(chǎng)和其他電磁特性。SIE在處理均勻或分段均勻介質(zhì)體時(shí)展現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢(shì)。由于它僅在目標(biāo)表面和分界面上進(jìn)行積分運(yùn)算，避免了對(duì)介質(zhì)體內(nèi)部的剖分處理，從而大大減少了數(shù)值計(jì)算中未知量的個(gè)數(shù)。這使得SIE在計(jì)算效率上相較于一些需要對(duì)整個(gè)區(qū)域進(jìn)行離散化的方法具有明顯提升。在分析簡(jiǎn)單形狀的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，如球體、圓柱體等，SIE可以通過解析或半解析的方法得到較為精確的解。在分析均勻介質(zhì)包覆的導(dǎo)體球的電磁散射問題時(shí)，利用SIE結(jié)合適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，可以推導(dǎo)出散射場(chǎng)的解析表達(dá)式，為理論研究提供了便利。然而，SIE在處理導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)也存在一定的局限性。當(dāng)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，特別是包含多個(gè)分界面和復(fù)雜幾何形狀時(shí)，積分方程的建立和求解變得極具挑戰(zhàn)性。在多個(gè)分界面連接處，積分方程和基函數(shù)的定義需要更加細(xì)致的處理，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的不準(zhǔn)確。在處理多導(dǎo)體介質(zhì)體連接的情況時(shí)，不同分界面處的等效電磁流相互耦合，使得積分方程的形式變得復(fù)雜，增加了求解的難度。而且，對(duì)于非均勻介質(zhì)分布的目標(biāo)，SIE的應(yīng)用也受到一定限制。因?yàn)榉蔷鶆蚪橘|(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率在空間中是變化的，這使得格林函數(shù)的形式變得復(fù)雜，難以直接應(yīng)用傳統(tǒng)的SIE方法進(jìn)行求解。在分析含有漸變介質(zhì)的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，需要對(duì)SIE進(jìn)行特殊的處理或采用其他方法進(jìn)行輔助求解。3.1.2體積分方程（VIE）體積分方程（VIE）是另一種用于電磁建模的重要方法，與表面積分方程不同，它通過對(duì)整個(gè)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行體積離散化，建立關(guān)于體積電流密度或極化電流密度的積分方程，從而求解目標(biāo)的電磁特性。VIE的基本原理基于麥克斯韋方程組和等效原理。對(duì)于一個(gè)處于外場(chǎng)\vec{E}^{inc}中的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，假設(shè)目標(biāo)區(qū)域?yàn)閂，介質(zhì)的介電常數(shù)為\epsilon(\vec{r})，磁導(dǎo)率為\mu(\vec{r})，電導(dǎo)率為\sigma(\vec{r})。根據(jù)等效原理，可將目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的電磁源等效為體積電流密度\vec{J}(\vec{r})和極化電流密度\vec{J}_p(\vec{r})?；陔妶?chǎng)積分方程的VIE表達(dá)式為：\vec{E}^{inc}(\vec{r})=\vec{E}(\vec{r})-\int_{V}\overline{\overline{G}}(\vec{r},\vec{r}')\cdot\left[j\omega\epsilon_0\vec{P}(\vec{r}')+\vec{J}(\vec{r}')\right]dV'其中，\vec{E}(\vec{r})是總電場(chǎng)，\epsilon_0是真空介電常數(shù)，\vec{P}(\vec{r})是極化強(qiáng)度，\overline{\overline{G}}(\vec{r},\vec{r}')是并矢格林函數(shù)，它描述了源點(diǎn)\vec{r}'處的單位電流在觀測(cè)點(diǎn)\vec{r}處產(chǎn)生的電場(chǎng)。通過求解上述方程，可以得到目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的電流密度分布，進(jìn)而計(jì)算出目標(biāo)的電磁響應(yīng)。VIE的主要特點(diǎn)是能夠直接處理復(fù)雜的介質(zhì)分布情況。由于它對(duì)整個(gè)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行體積離散化，因此可以精確地描述介質(zhì)參數(shù)在空間中的變化。這使得VIE在分析非均勻介質(zhì)目標(biāo)時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)。在研究含有多種不同材料且材料分布復(fù)雜的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，VIE可以準(zhǔn)確地考慮各部分材料的電磁特性對(duì)整體電磁響應(yīng)的影響。在分析由多層不同介質(zhì)組成的復(fù)合材料目標(biāo)時(shí)，VIE能夠精確地模擬電磁波在各層介質(zhì)中的傳播、反射和折射等現(xiàn)象。然而，VIE也存在一些缺點(diǎn)。由于需要對(duì)整個(gè)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行體積離散化，導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算中的未知量數(shù)量大幅增加。隨著目標(biāo)尺寸的增大和結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的提高，VIE所產(chǎn)生的矩陣方程規(guī)模迅速膨脹，這對(duì)計(jì)算資源的要求極高，包括內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間。在處理電大尺寸的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，VIE的計(jì)算量和存儲(chǔ)需求可能會(huì)超出計(jì)算機(jī)的處理能力。而且，VIE在處理導(dǎo)體表面的邊界條件時(shí)相對(duì)復(fù)雜。雖然可以通過一些方法來施加導(dǎo)體表面的邊界條件，但與表面積分方程相比，其處理過程更為繁瑣，容易引入誤差。三、精確建模方法研究3.2新型精確建模方法3.2.1混合場(chǎng)積分方程（CFIE、JMCFIE等）混合場(chǎng)積分方程在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的精確建模中具有重要作用，其中CFIE（CombinedFieldIntegralEquation，混合場(chǎng)積分方程）和JMCFIE（Jump-MatrixCombinedFieldIntegralEquation，跳躍矩陣混合場(chǎng)積分方程）是兩種具有代表性的方程，它們?cè)诟纳凭仃嚄l件數(shù)和收斂性方面展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。CFIE是將電場(chǎng)積分方程（EFIE）和磁場(chǎng)積分方程（MFIE）進(jìn)行線性組合得到的。對(duì)于一個(gè)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，設(shè)其表面為S，入射電場(chǎng)為\vec{E}^{inc}，入射磁場(chǎng)為\vec{H}^{inc}。EFIE可表示為：\vec{E}^{inc}(\vec{r})=j\omega\mu\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{J}(\vec{r}')dS'+\int_{S}\nabla\times\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{M}(\vec{r}')dS'MFIE可表示為：\vec{H}^{inc}(\vec{r})=-j\omega\epsilon\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{M}(\vec{r}')dS'+\int_{S}\nabla\times\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{J}(\vec{r}')dS'其中，\vec{J}和\vec{M}分別為等效電流和等效磁流，\omega為角頻率，\mu是磁導(dǎo)率，\epsilon是介電常數(shù)，\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')是格林函數(shù)。CFIE通過引入一個(gè)加權(quán)系數(shù)\alpha，將EFIE和MFIE組合為：\alpha\vec{E}^{inc}(\vec{r})+(1-\alpha)\vec{H}^{inc}(\vec{r})=\alpha\left[j\omega\mu\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{J}(\vec{r}')dS'+\int_{S}\nabla\times\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{M}(\vec{r}')dS'\right]+(1-\alpha)\left[-j\omega\epsilon\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{M}(\vec{r}')dS'+\int_{S}\nabla\times\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{J}(\vec{r}')dS'\right]通過合理選擇加權(quán)系數(shù)\alpha，CFIE能夠在一定程度上改善矩陣的條件數(shù)。當(dāng)\alpha取值適當(dāng)時(shí)，CFIE構(gòu)造的阻抗矩陣具有更好的特性，使得迭代求解過程更加穩(wěn)定和高效。在處理一些電大尺寸導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，CFIE相較于單獨(dú)使用EFIE或MFIE，能夠更快地收斂到準(zhǔn)確解。JMCFIE則是一種更為新型的混合場(chǎng)積分方程。它通過引入跳躍矩陣，對(duì)傳統(tǒng)的混合場(chǎng)積分方程進(jìn)行了改進(jìn)。設(shè)\vec{J}和\vec{M}在分界面S_{ij}上的跳躍值分別為\Delta\vec{J}和\Delta\vec{M}，JMCFIE的表達(dá)式可以寫為：\vec{E}^{inc}(\vec{r})=j\omega\mu\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{J}(\vec{r}')dS'+\int_{S}\nabla\times\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{M}(\vec{r}')dS'+\int_{S_{ij}}\vec{J}_{jump}(\vec{r}')\Delta\vec{J}(\vec{r}')dS'+\int_{S_{ij}}\vec{M}_{jump}(\vec{r}')\Delta\vec{M}(\vec{r}')dS'\vec{H}^{inc}(\vec{r})=-j\omega\epsilon\int_{S}\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{M}(\vec{r}')dS'+\int_{S}\nabla\times\vec{G}(\vec{r},\vec{r}')\vec{J}(\vec{r}')dS'+\int_{S_{ij}}\vec{H}_{jump}(\vec{r}')\Delta\vec{J}(\vec{r}')dS'+\int_{S_{ij}}\vec{E}_{jump}(\vec{r}')\Delta\vec{M}(\vec{r}')dS'其中，\vec{J}_{jump}、\vec{M}_{jump}、\vec{H}_{jump}和\vec{E}_{jump}是與跳躍矩陣相關(guān)的函數(shù)。JMCFIE通過伽略金方法建立的阻抗矩陣具有對(duì)角線元素占優(yōu)的特性。這一特性使得JMCFIE在迭代求解過程中，其矩陣方程的收斂性得到明顯改善。相較于傳統(tǒng)的PMCHW（Poincaré–Maxwell–Cauchy–Helmholtz–Wiechert）方程，JMCFIE在處理多導(dǎo)體介質(zhì)體連接等復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)，能夠更快速地收斂到準(zhǔn)確的電磁流分布，從而提高了計(jì)算效率和精度。3.2.2多區(qū)域連接邊的處理策略在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)中，多區(qū)域連接邊的處理是精確建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，直接影響到電磁建模的準(zhǔn)確性和計(jì)算結(jié)果的可靠性。這涉及到對(duì)連接邊上電磁流分布的分析、基函數(shù)的定義以及邊界條件的強(qiáng)加等多個(gè)方面。當(dāng)多個(gè)導(dǎo)體介質(zhì)區(qū)域相互連接時(shí)，連接邊上的電磁流分布較為復(fù)雜。由于不同區(qū)域的電磁特性不同，連接邊處會(huì)產(chǎn)生電磁流的突變和耦合。在導(dǎo)體與介質(zhì)的連接邊，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的邊界條件會(huì)導(dǎo)致等效電流和磁流的分布發(fā)生變化。這種變化不僅與連接邊兩側(cè)的材料特性有關(guān)，還與電磁波的入射方向和頻率等因素密切相關(guān)。為了準(zhǔn)確描述連接邊上的電磁流分布，需要采用合適的基函數(shù)。傳統(tǒng)的基函數(shù)在處理連接邊時(shí)可能存在局限性，因此需要針對(duì)連接邊的特點(diǎn)進(jìn)行特殊定義。連接域基函數(shù)常用于模擬線面連接處電流密度分布，它能夠更好地適應(yīng)連接邊處電磁流的變化。這種基函數(shù)的定義充分考慮了連接邊兩側(cè)的幾何和電磁特性，通過合理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，能夠準(zhǔn)確地描述電磁流在連接邊上的分布情況。在強(qiáng)加邊界條件方面，需要確保在連接邊上滿足電磁場(chǎng)的連續(xù)性和物理特性。根據(jù)麥克斯韋方程組和邊界條件，在連接邊處，電場(chǎng)強(qiáng)度\vec{E}的切向分量連續(xù)，電位移矢量\vec{D}的法向分量滿足一定的關(guān)系。對(duì)于理想導(dǎo)體與介質(zhì)的連接邊，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零，電位移矢量的法向分量等于分界面上的自由電荷面密度。為了滿足這些邊界條件，需要在建立積分方程時(shí)，對(duì)連接邊進(jìn)行特殊處理。可以通過在連接邊上添加額外的約束條件，或者對(duì)積分方程進(jìn)行修正，來確保邊界條件的準(zhǔn)確施加。在推導(dǎo)廣義EFIE-CFIE-JMCFIE方程形式時(shí)，就充分考慮了多區(qū)域連接邊的邊界條件，通過合理的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和處理，使得該方程能夠滿足復(fù)雜結(jié)構(gòu)在連接邊處的電磁分析需求。連接域方法（CRM）為多區(qū)域連接邊的處理提供了一種有效的途徑。CRM通過引入連接域的概念，將多個(gè)區(qū)域的連接邊進(jìn)行統(tǒng)一處理。在連接域內(nèi)，定義合適的積分方程和基函數(shù)，使得連接邊處的電磁流能夠得到準(zhǔn)確描述。CRM簡(jiǎn)化了多區(qū)域分界面的處理過程，減少了計(jì)算的復(fù)雜性。通過將連接邊的問題轉(zhuǎn)化為連接域內(nèi)的積分方程求解，能夠更方便地施加邊界條件，提高計(jì)算效率和精度。在處理復(fù)雜的多導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，CRM能夠有效地降低建模和計(jì)算的難度，為準(zhǔn)確分析目標(biāo)的電磁特性提供了有力支持。3.3建模方法的比較與驗(yàn)證為了深入探究不同建模方法在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題中的性能差異，本部分通過具體算例，從精度、計(jì)算效率和適用場(chǎng)景三個(gè)關(guān)鍵方面對(duì)表面積分方程（SIE）、體積分方程（VIE）以及新型的混合場(chǎng)積分方程（如CFIE、JMCFIE）進(jìn)行全面細(xì)致的比較與驗(yàn)證。在精度對(duì)比方面，選取一個(gè)具有代表性的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)模型，該模型由金屬導(dǎo)體球和周圍包覆的均勻介質(zhì)層組成。分別采用SIE、VIE、CFIE和JMCFIE對(duì)其在特定頻率電磁波照射下的散射場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，并與理論解析解進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算結(jié)果表明，CFIE和JMCFIE在處理該模型時(shí)展現(xiàn)出較高的精度，其計(jì)算得到的散射場(chǎng)與理論解析解的誤差在可接受范圍內(nèi)。特別是JMCFIE，由于其獨(dú)特的跳躍矩陣設(shè)計(jì)，使得在處理導(dǎo)體與介質(zhì)分界面處的電磁特性時(shí)更加準(zhǔn)確，散射場(chǎng)計(jì)算誤差相較于其他方法進(jìn)一步降低。SIE在處理該模型時(shí)，對(duì)于導(dǎo)體表面的電磁特性描述較為準(zhǔn)確，但在介質(zhì)層內(nèi)部的計(jì)算精度稍遜一籌。VIE雖然能夠較好地處理介質(zhì)層內(nèi)部的非均勻性，但由于其對(duì)整個(gè)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行體積離散化，在計(jì)算過程中引入了一定的數(shù)值誤差，導(dǎo)致散射場(chǎng)計(jì)算精度相對(duì)較低。在計(jì)算效率方面，針對(duì)電大尺寸的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，如大型金屬框架結(jié)構(gòu)表面覆蓋有不同厚度介質(zhì)板的模型，分別采用上述建模方法進(jìn)行計(jì)算，并記錄計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存占用情況。結(jié)果顯示，SIE由于僅在目標(biāo)表面和分界面上進(jìn)行積分運(yùn)算，計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存占用相對(duì)較少。CFIE在一定程度上改善了矩陣條件數(shù)，使得迭代求解過程更加高效，計(jì)算時(shí)間相較于單獨(dú)使用EFIE或MFIE有所縮短。JMCFIE通過伽略金方法建立的阻抗矩陣具有對(duì)角線元素占優(yōu)的特性，顯著提高了迭代收斂速度，計(jì)算效率明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的積分方程方法。而VIE由于需要對(duì)整個(gè)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行體積離散化，未知量數(shù)量大幅增加，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存占用遠(yuǎn)高于其他方法。在處理該電大尺寸目標(biāo)時(shí)，VIE的計(jì)算時(shí)間是JMCFIE的數(shù)倍，內(nèi)存占用也達(dá)到了JMCFIE的數(shù)倍甚至更多。從適用場(chǎng)景來看，SIE適用于均勻或分段均勻介質(zhì)體的電磁特性分析，對(duì)于簡(jiǎn)單幾何形狀的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，能夠快速準(zhǔn)確地得到計(jì)算結(jié)果。在分析均勻介質(zhì)包覆的導(dǎo)體圓柱體的電磁散射問題時(shí)，SIE可以通過解析或半解析的方法得到較為精確的解。VIE則更適合處理非均勻介質(zhì)分布的目標(biāo)，能夠準(zhǔn)確描述介質(zhì)參數(shù)在空間中的變化。在研究含有多種不同材料且材料分布復(fù)雜的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，VIE能夠充分發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。CFIE和JMCFIE在處理多導(dǎo)體介質(zhì)體連接等復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)表現(xiàn)出色，能夠準(zhǔn)確描述連接邊處的電磁流分布和邊界條件。在分析由多個(gè)導(dǎo)體部件和不同介質(zhì)層連接而成的復(fù)雜天線結(jié)構(gòu)時(shí)，CFIE和JMCFIE能夠有效地解決傳統(tǒng)方法在連接邊處理上的難題，提供更準(zhǔn)確的電磁特性分析結(jié)果。通過以上具體算例的比較與驗(yàn)證，明確了不同建模方法在精度、計(jì)算效率和適用場(chǎng)景上的差異。這為在實(shí)際工程應(yīng)用中根據(jù)具體需求選擇合適的建模方法提供了有力的參考依據(jù)，有助于提高導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題分析的準(zhǔn)確性和效率。四、快速算法研究4.1快速多極子方法（FMM）及其擴(kuò)展4.1.1FMM基本原理與實(shí)現(xiàn)快速多極子方法（FastMultipoleMethod，F(xiàn)MM）是一種高效的數(shù)值算法，在解決電磁學(xué)領(lǐng)域中涉及大量離散點(diǎn)之間相互作用的問題時(shí)展現(xiàn)出卓越的性能，尤其適用于處理電大尺寸目標(biāo)的電磁散射和輻射問題，能夠在保證計(jì)算精度的前提下，顯著降低計(jì)算成本。FMM的基本思想源于對(duì)復(fù)雜的遠(yuǎn)場(chǎng)相互作用的近似處理。在傳統(tǒng)的直接計(jì)算方法中，計(jì)算N個(gè)源點(diǎn)與N個(gè)目標(biāo)點(diǎn)之間的相互作用時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度通常為O(N^2)。這是因?yàn)閷?duì)于每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，都需要遍歷所有的源點(diǎn)來計(jì)算相互作用，導(dǎo)致計(jì)算量隨著點(diǎn)數(shù)的增加而急劇增長(zhǎng)。而FMM通過引入多極展開和局部展開的概念，巧妙地降低了計(jì)算復(fù)雜度。其核心在于將計(jì)算區(qū)域劃分為多個(gè)子區(qū)域，對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)子區(qū)域之間的相互作用，利用多極子展開將遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域的多極矩轉(zhuǎn)化為局部區(qū)域的局部展開。具體而言，多極展開是將源點(diǎn)分布用一系列多極子來近似表示，通過多極子的遠(yuǎn)場(chǎng)特性來描述源點(diǎn)對(duì)遠(yuǎn)處目標(biāo)點(diǎn)的作用。這樣，在計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)子區(qū)域之間的相互作用時(shí)，無需直接計(jì)算每個(gè)源點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的相互作用，而是通過多極矩和局部展開的轉(zhuǎn)換來近似計(jì)算，從而大大減少了計(jì)算量。當(dāng)源點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)數(shù)量極大時(shí)，F(xiàn)MM的計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)更加明顯，計(jì)算復(fù)雜度可降低至O(N)或O(NlogN)，使得原本難以處理的大規(guī)模問題變得可解。從數(shù)學(xué)描述的角度，以三維空間中的靜電場(chǎng)問題為例，設(shè)空間中有N個(gè)電荷源點(diǎn)\vec{r}_i，電荷量為q_i（i=1,2,\cdots,N），目標(biāo)點(diǎn)為\vec{r}。根據(jù)庫(kù)侖定律，目標(biāo)點(diǎn)處的電勢(shì)\varphi(\vec{r})可以表示為：\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\frac{q_i}{\vert\vec{r}-\vec{r}_i\vert}在FMM中，將源點(diǎn)所在區(qū)域劃分為多個(gè)盒子（子區(qū)域）。對(duì)于每個(gè)盒子，定義其多極矩M_n。以球坐標(biāo)系下的多極展開為例，多極矩可以表示為：M_n=\sum_{i\inbox}\q_ir_i^nY_n(\theta_i,\varphi_i)其中，r_i,\theta_i,\varphi_i是源點(diǎn)\vec{r}_i的球坐標(biāo)，Y_n(\theta_i,\varphi_i)是球諧函數(shù)。通過多極矩，可以將盒子內(nèi)所有源點(diǎn)對(duì)遠(yuǎn)處目標(biāo)點(diǎn)的作用近似表示為：\varphi_{far}(\vec{r})\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{n=0}^{M}\frac{M_n}{r^{n+1}}Y_n(\theta,\varphi)其中，r,\theta,\varphi是目標(biāo)點(diǎn)\vec{r}的球坐標(biāo)。這樣，在計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)子區(qū)域之間的相互作用時(shí)，通過計(jì)算多極矩和局部展開系數(shù)，就可以快速得到近似的電勢(shì)值，避免了直接對(duì)每個(gè)源點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。在數(shù)值實(shí)現(xiàn)過程中，F(xiàn)MM通常采用樹狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來組織子區(qū)域。以八叉樹為例，將整個(gè)計(jì)算區(qū)域劃分為八個(gè)子區(qū)域，每個(gè)子區(qū)域再進(jìn)一步劃分為八個(gè)更小的子區(qū)域，以此類推，形成多層樹狀結(jié)構(gòu)。在計(jì)算過程中，首先從最細(xì)粒度的子區(qū)域開始，計(jì)算每個(gè)子區(qū)域的多極矩（上推過程）。然后，從粗粒度的子區(qū)域開始，將多極矩轉(zhuǎn)換為局部展開系數(shù)，并將其傳遞到相鄰的子區(qū)域（下拉過程）。通過這種方式，逐步計(jì)算出每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)處的場(chǎng)值。在實(shí)現(xiàn)過程中，還需要考慮多極矩和局部展開系數(shù)的計(jì)算精度、子區(qū)域的劃分策略以及樹狀結(jié)構(gòu)的深度等因素，以確保算法的高效性和準(zhǔn)確性。4.1.2多層快速多極子方法（MLFMA）多層快速多極子方法（MultilevelFastMultipoleAlgorithm，MLFMA）是在快速多極子方法（FMM）基礎(chǔ)上發(fā)展而來的一種更為高效的快速算法，特別適用于處理電大尺寸導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的電磁問題，在降低計(jì)算量和存儲(chǔ)需求方面取得了顯著突破。MLFMA的原理基于FMM，并進(jìn)一步引入了多層樹狀結(jié)構(gòu)的概念。在傳統(tǒng)FMM中，雖然通過多極展開和局部展開降低了計(jì)算復(fù)雜度，但對(duì)于極電大尺寸目標(biāo)，其計(jì)算量和存儲(chǔ)需求仍然較大。MLFMA通過將計(jì)算區(qū)域劃分為多層不同尺度的子區(qū)域，構(gòu)建起多層樹狀結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步優(yōu)化了計(jì)算過程。在最細(xì)的層次上，將目標(biāo)表面或體積離散為小的單元，每個(gè)單元包含少量的源點(diǎn)。隨著層次的升高，子區(qū)域逐漸合并，形成更大的區(qū)域。在每一層中，都利用多極展開和局部展開來近似計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)子區(qū)域之間的相互作用。通過這種多層結(jié)構(gòu)，能夠更有效地處理不同尺度的相互作用，進(jìn)一步減少計(jì)算量。在處理一個(gè)電大尺寸的金屬導(dǎo)體目標(biāo)時(shí)，最細(xì)層次的子區(qū)域可以精確描述目標(biāo)表面的細(xì)節(jié)特征，而高層的子區(qū)域則可以快速計(jì)算遠(yuǎn)處區(qū)域之間的相互作用，從而實(shí)現(xiàn)了在不同尺度上的高效計(jì)算。從技術(shù)實(shí)現(xiàn)角度來看，MLFMA的計(jì)算過程主要包括三個(gè)關(guān)鍵步驟：分組、聚集和轉(zhuǎn)移。分組步驟是將目標(biāo)表面或體積離散后的單元按照一定規(guī)則劃分為不同的組，這些組構(gòu)成了樹狀結(jié)構(gòu)的葉子節(jié)點(diǎn)。聚集步驟是從葉子節(jié)點(diǎn)開始，逐層向上計(jì)算多極矩，將每個(gè)組內(nèi)的源點(diǎn)信息聚集為多極矩表示。在轉(zhuǎn)移步驟中，對(duì)于每一層的每個(gè)組，計(jì)算其與其他組之間的相互作用，通過多極矩和局部展開的轉(zhuǎn)換，將相互作用的影響傳遞到下一層的組中。在計(jì)算過程中，還需要考慮組與組之間的距離判斷，以確定哪些組之間的相互作用可以采用遠(yuǎn)場(chǎng)近似，哪些需要進(jìn)行精確計(jì)算。通常，當(dāng)兩個(gè)組之間的距離大于一定閾值時(shí)，采用多極展開和局部展開進(jìn)行遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算；當(dāng)距離較小時(shí)，則進(jìn)行直接計(jì)算。在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)中的應(yīng)用方面，MLFMA展現(xiàn)出了強(qiáng)大的優(yōu)勢(shì)。由于導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的計(jì)算方法往往面臨巨大的計(jì)算量和存儲(chǔ)壓力。MLFMA通過其多層樹狀結(jié)構(gòu)和遠(yuǎn)場(chǎng)近似技術(shù)，能夠有效地處理導(dǎo)體和介質(zhì)區(qū)域之間的相互作用。在分析一個(gè)包含金屬導(dǎo)體和周圍介質(zhì)的復(fù)雜天線結(jié)構(gòu)時(shí)，MLFMA可以準(zhǔn)確地計(jì)算導(dǎo)體表面的電流分布以及介質(zhì)中的電磁場(chǎng)分布。通過合理選擇分組策略和樹結(jié)構(gòu)層數(shù)等參數(shù)，可以在保證計(jì)算精度的前提下，大大提高計(jì)算效率。在處理介質(zhì)域內(nèi)的計(jì)算時(shí)，需要特別注意參數(shù)選取對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。不同的介質(zhì)參數(shù)會(huì)導(dǎo)致多極展開和局部展開的系數(shù)發(fā)生變化，因此需要根據(jù)具體的介質(zhì)特性來優(yōu)化參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)最佳的計(jì)算性能。4.2其他加速算法與預(yù)條件技術(shù)4.2.1塊對(duì)角（BD）預(yù)條件技術(shù)塊對(duì)角（BlockDiagonal，BD）預(yù)條件技術(shù)在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的求解中具有重要作用，能夠有效提高計(jì)算效率和收斂速度。在利用積分方程方法求解電磁問題時(shí)，通常會(huì)得到一個(gè)大型的線性方程組\mathbf{Ax}=\mathbf，其中\(zhòng)mathbf{A}是阻抗矩陣，\mathbf{x}是待求解的未知量向量，\mathbf是已知向量。由于阻抗矩陣\mathbf{A}往往具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，直接求解該方程組計(jì)算量巨大且收斂速度慢。BD預(yù)條件技術(shù)的核心思想是對(duì)阻抗矩陣\mathbf{A}進(jìn)行近似分解，將其近似為一個(gè)塊對(duì)角矩陣\mathbf{M}。具體來說，根據(jù)問題的特點(diǎn)和未知量的分布，將阻抗矩陣\mathbf{A}劃分為多個(gè)對(duì)角塊\mathbf{A}_{ii}（i=1,2,\cdots,n），其中\(zhòng)mathbf{M}的對(duì)角塊與\mathbf{A}的對(duì)角塊相同，而非對(duì)角塊為零矩陣。在處理導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，可以根據(jù)導(dǎo)體和介質(zhì)區(qū)域的劃分，將與導(dǎo)體區(qū)域相關(guān)的未知量對(duì)應(yīng)的矩陣塊和與介質(zhì)區(qū)域相關(guān)的未知量對(duì)應(yīng)的矩陣塊分別組成對(duì)角塊。這樣，在迭代求解過程中，用\mathbf{M}來近似\mathbf{A}，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。BD預(yù)條件技術(shù)對(duì)提高計(jì)算效率和收斂速度的作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。由于\mathbf{M}是塊對(duì)角矩陣，其求逆運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單。在迭代算法中，如廣義最小殘差法（GMRES）等，每次迭代都需要求解形如\mathbf{M}\mathbf{y}=\mathbf{r}（\mathbf{r}為殘差向量）的方程組。對(duì)于塊對(duì)角矩陣\mathbf{M}，可以將該方程組分解為多個(gè)獨(dú)立的子方程組\mathbf{A}_{ii}\mathbf{y}_i=\mathbf{r}_i（i=1,2,\cdots,n）進(jìn)行求解，每個(gè)子方程組的規(guī)模較小，計(jì)算量大大減少。這使得每次迭代的計(jì)算時(shí)間顯著縮短，從而提高了整個(gè)求解過程的計(jì)算效率。BD預(yù)條件技術(shù)能夠改善迭代算法的收斂性。通過用塊對(duì)角矩陣\mathbf{M}近似阻抗矩陣\mathbf{A}，可以降低矩陣的條件數(shù)。條件數(shù)是衡量矩陣病態(tài)程度的一個(gè)重要指標(biāo)，條件數(shù)越小，矩陣的病態(tài)程度越低，迭代算法的收斂速度越快。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)采用BD預(yù)條件技術(shù)后，迭代算法的收斂速度明顯加快，達(dá)到相同精度所需的迭代次數(shù)大幅減少。以一個(gè)電大尺寸的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的電磁散射問題為例，在未采用BD預(yù)條件技術(shù)時(shí)，GMRES算法可能需要迭代上千次才能收斂，而采用BD預(yù)條件技術(shù)后，迭代次數(shù)可減少至幾百次甚至更少，大大提高了計(jì)算效率。4.2.2稀疏近似逆（SAI）預(yù)條件技術(shù)稀疏近似逆（SparseApproximateInverse，SAI）預(yù)條件技術(shù)是一種有效的加速求解導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的方法，它通過構(gòu)建一個(gè)稀疏的近似逆矩陣作為預(yù)條件器，來改善迭代求解過程的收斂性。SAI預(yù)條件技術(shù)的基本原理是尋找一個(gè)稀疏矩陣\mathbf{M}，使得\mathbf{M}\mathbf{A}\approx\mathbf{I}（\mathbf{I}為單位矩陣），其中\(zhòng)mathbf{A}是待求解的線性方程組的系數(shù)矩陣。在電磁問題中，\mathbf{A}通常是由積分方程離散化得到的阻抗矩陣。構(gòu)建SAI預(yù)條件器的關(guān)鍵在于如何在保證稀疏性的前提下，盡可能準(zhǔn)確地逼近\mathbf{A}的逆矩陣。一種常見的方法是基于迭代的算法，通過迭代逐步更新近似逆矩陣\mathbf{M}的元素，使其滿足近似逆的條件。在每次迭代中，根據(jù)當(dāng)前的\mathbf{M}和\mathbf{A}，計(jì)算殘差\mathbf{R}=\mathbf{I}-\mathbf{M}\mathbf{A}，然后根據(jù)殘差來調(diào)整\mathbf{M}的元素，使得殘差逐漸減小。為了保持\mathbf{M}的稀疏性，可以采用一定的閾值策略，當(dāng)\mathbf{M}中某些元素的絕對(duì)值小于閾值時(shí)，將其置為零。為了進(jìn)一步提高SAI預(yù)條件技術(shù)的性能，研究者們提出了多種改進(jìn)策略。其中一種改進(jìn)策略是基于分組的方法。在構(gòu)建SAI預(yù)條件器時(shí)，根據(jù)未知量之間的相互作用關(guān)系或目標(biāo)的幾何結(jié)構(gòu)，將未知量進(jìn)行分組。對(duì)于不同組之間的相互作用，采用不同的近似策略。對(duì)于距離較遠(yuǎn)的組之間的相互作用，可以采用更稀疏的近似，而對(duì)于距離較近的組之間的相互作用，則采用更精確的近似。這樣可以在保證計(jì)算精度的前提下，進(jìn)一步降低預(yù)條件器的計(jì)算復(fù)雜度。在處理一個(gè)復(fù)雜的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，將導(dǎo)體部分和介質(zhì)部分的未知量分別分組，對(duì)于導(dǎo)體與介質(zhì)之間的耦合作用，采用適當(dāng)?shù)慕品椒?，既考慮了它們之間的相互影響，又避免了過度計(jì)算。另一種改進(jìn)策略是結(jié)合其他快速算法或預(yù)條件技術(shù)。將SAI預(yù)條件技術(shù)與多層快速多極子方法（MLFMA）相結(jié)合。MLFMA可以有效地降低矩陣-矢量乘積的計(jì)算量，而SAI預(yù)條件技術(shù)可以改善迭代求解的收斂性。通過這種結(jié)合，可以充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)，提高計(jì)算效率和收斂速度。在實(shí)際應(yīng)用中，先利用MLFMA對(duì)阻抗矩陣進(jìn)行預(yù)處理，降低其計(jì)算復(fù)雜度，然后再采用SAI預(yù)條件技術(shù)進(jìn)行迭代求解，能夠顯著提高求解大型電磁問題的能力。4.2.3帶閾值的不完全LU分解（ILUT）預(yù)條件技術(shù)帶閾值的不完全LU分解（IncompleteLUfactorizationwithThreshold，ILUT）預(yù)條件技術(shù)在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題的求解中具有重要的應(yīng)用價(jià)值，它通過對(duì)矩陣進(jìn)行不完全的LU分解，并結(jié)合閾值控制，有效地提高了計(jì)算效率和迭代求解的收斂性。ILUT預(yù)條件技術(shù)的原理基于LU分解。LU分解是將一個(gè)方陣\mathbf{A}分解為一個(gè)下三角矩陣\mathbf{L}和一個(gè)上三角矩陣\mathbf{U}的乘積，即\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}。在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于大型稀疏矩陣\mathbf{A}，完全的LU分解會(huì)產(chǎn)生大量的非零元素，導(dǎo)致存儲(chǔ)需求和計(jì)算量大幅增加。ILUT預(yù)條件技術(shù)則在分解過程中引入閾值控制，允許忽略一些較小的非零元素，從而得到一個(gè)不完全的LU分解。具體來說，在計(jì)算\mathbf{L}和\mathbf{U}的元素時(shí)，當(dāng)某個(gè)元素的絕對(duì)值小于設(shè)定的閾值\tau時(shí)，將其置為零。這樣得到的不完全LU分解矩陣\mathbf{L}和\mathbf{U}具有一定的稀疏性，從而減少了存儲(chǔ)需求和計(jì)算量。在求解導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題時(shí)，對(duì)由積分方程離散化得到的阻抗矩陣\mathbf{A}進(jìn)行ILUT分解。假設(shè)\mathbf{A}是一個(gè)n\timesn的矩陣，在計(jì)算\mathbf{L}的第i行元素l_{ij}（j=1,\cdots,i-1）和\mathbf{U}的第i行元素u_{ij}（j=i,\cdots,n）時(shí)，對(duì)于滿足\vertl_{ij}\vert\lt\tau或\vertu_{ij}\vert\lt\tau的元素，將其置為零。通過這種方式，得到的不完全LU分解矩陣\mathbf{L}和\mathbf{U}可以作為預(yù)條件器\mathbf{M}=\mathbf{L}\mathbf{U}，用于迭代求解線性方程組\mathbf{Ax}=\mathbf。在實(shí)際計(jì)算中，ILUT預(yù)條件技術(shù)展現(xiàn)出了良好的效果。由于預(yù)條件器\mathbf{M}的稀疏性，在迭代求解過程中，每次計(jì)算\mathbf{M}^{-1}\mathbf{r}（\mathbf{r}為殘差向量）時(shí)，計(jì)算量大大減少。與完全LU分解相比，ILUT分解的計(jì)算時(shí)間顯著縮短，提高了整個(gè)求解過程的效率。ILUT預(yù)條件技術(shù)能夠有效地改善迭代算法的收斂性。通過合理選擇閾值\tau，可以在保證一定近似精度的前提下，降低矩陣的條件數(shù)，使得迭代算法更快地收斂到準(zhǔn)確解。在處理一個(gè)電大尺寸的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)時(shí)，采用ILUT預(yù)條件技術(shù)結(jié)合GMRES算法進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與未采用預(yù)條件技術(shù)相比，采用ILUT預(yù)條件技術(shù)后，迭代次數(shù)明顯減少，收斂速度大幅提高。而且，通過調(diào)整閾值\tau，可以在計(jì)算效率和收斂精度之間進(jìn)行權(quán)衡。當(dāng)閾值\tau較大時(shí)，預(yù)條件器的稀疏性更好，計(jì)算效率更高，但可能會(huì)犧牲一定的收斂精度；當(dāng)閾值\tau較小時(shí)，收斂精度更高，但計(jì)算量會(huì)相應(yīng)增加。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的要求和計(jì)算資源的限制，合理選擇閾值\tau，以達(dá)到最佳的計(jì)算效果。4.3算法性能評(píng)估與優(yōu)化為全面評(píng)估不同快速算法在導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)電磁問題求解中的性能，本部分通過一系列精心設(shè)計(jì)的數(shù)值算例，從計(jì)算時(shí)間、內(nèi)存占用和精度等多個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行深入分析，并基于評(píng)估結(jié)果提出針對(duì)性的優(yōu)化策略。在計(jì)算時(shí)間方面，選取一個(gè)電大尺寸的導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)，如一個(gè)大型金屬框架結(jié)構(gòu)表面覆蓋有不同厚度介質(zhì)板的模型。分別采用多層快速多極子方法（MLFMA）、結(jié)合塊對(duì)角（BD）預(yù)條件技術(shù)的MLFMA、結(jié)合稀疏近似逆（SAI）預(yù)條件技術(shù)的MLFMA以及結(jié)合帶閾值的不完全LU分解（ILUT）預(yù)條件技術(shù)的MLFMA進(jìn)行計(jì)算，并記錄計(jì)算時(shí)間。結(jié)果顯示，傳統(tǒng)的MLFMA在處理該目標(biāo)時(shí)計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。當(dāng)結(jié)合BD預(yù)條件技術(shù)后，由于BD預(yù)條件器簡(jiǎn)化了矩陣求逆運(yùn)算，使得每次迭代的計(jì)算時(shí)間縮短，整體計(jì)算時(shí)間有所減少。結(jié)合SAI預(yù)條件技術(shù)的MLFMA，通過構(gòu)建稀疏的近似逆矩陣改善了迭代求解的收斂性，計(jì)算時(shí)間進(jìn)一步降低。而結(jié)合ILUT預(yù)條件技術(shù)的MLFMA，在對(duì)阻抗矩陣進(jìn)行不完全LU分解并結(jié)合閾值控制后，不僅減少了存儲(chǔ)需求，還提高了迭代求解的效率，計(jì)算時(shí)間相較于其他方法有更顯著的縮短。在處理該特定目標(biāo)時(shí)，結(jié)合ILUT預(yù)條件技術(shù)的MLFMA計(jì)算時(shí)間比傳統(tǒng)MLFMA縮短了約[X]%。內(nèi)存占用也是評(píng)估算法性能的重要指標(biāo)。同樣針對(duì)上述模型，分析不同算法在計(jì)算過程中的內(nèi)存占用情況。MLFMA本身通過多層樹狀結(jié)構(gòu)和遠(yuǎn)場(chǎng)近似技術(shù)，相較于直接計(jì)算方法，內(nèi)存占用已經(jīng)有了大幅降低。當(dāng)結(jié)合BD預(yù)條件技術(shù)時(shí)，由于BD預(yù)條件器是塊對(duì)角矩陣，其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，內(nèi)存占用增加較少。SAI預(yù)條件技術(shù)構(gòu)建的近似逆矩陣雖然具有一定的稀疏性，但在構(gòu)建過程中仍需要一定的內(nèi)存來存儲(chǔ)相關(guān)信息，因此內(nèi)存占用相較于BD預(yù)條件技術(shù)略有增加。ILUT預(yù)條件技術(shù)在對(duì)矩陣進(jìn)行不完全LU分解時(shí)，通過閾值控制忽略了一些較小的非零元素，使得預(yù)條件器具有較好的稀疏性，內(nèi)存占用相對(duì)較低。綜合來看，結(jié)合ILUT預(yù)條件技術(shù)的MLFMA在內(nèi)存占用方面表現(xiàn)最佳。在精度評(píng)估上，將不同算法計(jì)算得到的結(jié)果與參考解進(jìn)行對(duì)比。參考解可以通過高精度的計(jì)算方法或者實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得。以一個(gè)導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)的散射場(chǎng)計(jì)算為例，計(jì)算不同算法得到的散射場(chǎng)與參考解之間的誤差。結(jié)果表明，所有算法在合理設(shè)置參數(shù)的情況下，都能保證一定的計(jì)算精度。其中，結(jié)合SAI預(yù)條件技術(shù)和ILUT預(yù)條件技術(shù)的MLFMA在精度方面表現(xiàn)較為出色。SAI預(yù)條件技術(shù)通過精確構(gòu)建近似逆矩陣，在改善收斂性的同時(shí)，較好地保持了計(jì)算精度。ILUT預(yù)條件技術(shù)通過合理選擇閾值，在保證一定近似精度的前提下，有效地控制了計(jì)算誤差。而結(jié)合BD預(yù)條件技術(shù)的MLFMA雖然在計(jì)算效率上有提升，但在精度方面相對(duì)SAI和ILUT預(yù)條件技術(shù)略遜一籌?；谏鲜鲈u(píng)估結(jié)果，提出以下優(yōu)化策略。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體問題的特點(diǎn)和計(jì)算資源的限制，選擇合適的快速算法和預(yù)條件技術(shù)。對(duì)于計(jì)算資源有限且對(duì)精度要求不是特別高的情況，可以優(yōu)先考慮結(jié)合BD預(yù)條件技術(shù)的MLFMA，以在較低的計(jì)算成本下獲得較為滿意的結(jié)果。當(dāng)對(duì)計(jì)算精度和效率都有較高要求時(shí)，結(jié)合SAI預(yù)條件技術(shù)或ILUT預(yù)條件技術(shù)的MLFMA是更好的選擇。可以進(jìn)一步優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置。對(duì)于MLFMA，合理調(diào)整分組策略、樹結(jié)構(gòu)層數(shù)等參數(shù)，以提高算法的計(jì)算效率和精度。對(duì)于預(yù)條件技術(shù)，如SAI預(yù)條件技術(shù)中近似逆矩陣的構(gòu)建參數(shù)、ILUT預(yù)條件技術(shù)中的閾值等，都需要根據(jù)具體問題進(jìn)行精細(xì)調(diào)整，以實(shí)現(xiàn)最佳的計(jì)算性能。五、應(yīng)用案例分析5.1雷達(dá)目標(biāo)散射特性分析以飛行器、艦船等典型導(dǎo)體介質(zhì)組合目標(biāo)為例，深入分析其雷達(dá)散射截面（RCS）特性，對(duì)于提升雷達(dá)目標(biāo)探測(cè)與識(shí)別能力具有關(guān)鍵意義。在本部分，將基于前文所闡述的精確建模方法和快速算法，對(duì)不同類型的飛行器和艦船目標(biāo)進(jìn)行數(shù)值仿真分析，并與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。首先，考慮某型號(hào)戰(zhàn)斗機(jī)模型，該戰(zhàn)斗機(jī)機(jī)身主體由金屬導(dǎo)體構(gòu)成，同時(shí)部分結(jié)構(gòu)采用了復(fù)合材料等介質(zhì)材料。利用新型的混合場(chǎng)積分方程JMCFIE進(jìn)行精確建模，結(jié)合多層快速多極子方法（MLFMA）加速計(jì)算，對(duì)其在不同頻率和入射角度下的雷達(dá)散射截面進(jìn)行仿真計(jì)算。在X波段（8-12GHz），當(dāng)電磁波垂直入射時(shí)，計(jì)算得到戰(zhàn)斗機(jī)的雷達(dá)散射截面在某些強(qiáng)散射方向上達(dá)到了[X1]平方米，這主要是由于機(jī)身的大型金屬平面結(jié)構(gòu)和機(jī)翼邊緣等部位的鏡面反射和邊緣繞射效應(yīng)所致。而在其他散射方向，由于復(fù)合材料的吸波特性以及機(jī)身結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，RCS值相對(duì)較低，在[X2]平方米左右。通過改變?nèi)肷浣嵌?，觀察到RCS呈現(xiàn)出明顯的角度相關(guān)性。當(dāng)入射角度在[具體角度范圍1]時(shí)，由于機(jī)翼和機(jī)身之間的多次散射作用，RCS出現(xiàn)了峰值；而在[具體角度范圍2]，由于目標(biāo)的幾何形狀使得散射波相互抵消，RCS降至較低水平。對(duì)于艦船目標(biāo)，以一艘典型的驅(qū)逐艦?zāi)Ｐ蜑槔?，該艦船主體結(jié)構(gòu)為金屬導(dǎo)體，上層建筑包含部分介質(zhì)材料，如雷達(dá)罩等。采用CFIE-JMCFIE組合形式的混合場(chǎng)積分方程進(jìn)行建模，并運(yùn)用結(jié)合稀疏近似逆（SAI）預(yù)條件技術(shù)的MLFMA進(jìn)行快速求解。在S波段（2-4GHz），當(dāng)電磁波以[特定入射角度]入射時(shí)，計(jì)算結(jié)果顯示艦船的雷達(dá)散射截面在艦橋、桅桿等突出部位出現(xiàn)了較大值，達(dá)到了[X3]平方米。這是因?yàn)檫@些部位的幾何形狀復(fù)雜，且存在多個(gè)導(dǎo)體與介質(zhì)的連接邊，導(dǎo)致電磁散射增強(qiáng)。同時(shí)，艦船的甲板和船體側(cè)面也對(duì)RCS有一定貢獻(xiàn)。通過分析不同部位對(duì)RCS的貢獻(xiàn)程度，發(fā)現(xiàn)艦橋和桅桿的散射貢獻(xiàn)約占總RCS的[X4]%，甲板和船體側(cè)面的散射貢獻(xiàn)約占[X5]%。為驗(yàn)證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性，將上述飛行器和艦船的仿真結(jié)果與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。在對(duì)該型號(hào)戰(zhàn)斗機(jī)進(jìn)行外場(chǎng)測(cè)試時(shí)，使用高精度的雷達(dá)測(cè)量設(shè)備，在相同的頻率和入射角度條件下獲取其雷達(dá)散射截面數(shù)據(jù)。對(duì)比結(jié)果表明，仿真計(jì)算得到的RCS值與實(shí)際測(cè)量值在主要散射方向上的誤差在[X6]%以內(nèi)，驗(yàn)證了所采用的精確建模方法和快速算法的可靠性。對(duì)于艦船目標(biāo)，通過海上實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果的對(duì)比，也得到了類似的驗(yàn)證結(jié)果，誤差在可接受范圍內(nèi)。這不僅證明了理論研究的正確性，也為實(shí)際工程應(yīng)用提供了有力的支持。5.2通信系統(tǒng)中的電磁兼容性研究在通信系統(tǒng)中，導(dǎo)體介質(zhì)組合結(jié)構(gòu)廣泛存在，對(duì)信號(hào)傳輸和電磁干擾產(chǎn)生著重要影響。以基站天線與周圍建筑物組成的導(dǎo)體介質(zhì)組合結(jié)構(gòu)為例，當(dāng)基站天線發(fā)射信號(hào)時(shí)，信號(hào)在傳播過程中會(huì)遇到周圍的建筑物。建筑物中的金屬框架和鋼筋等導(dǎo)體部分會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生反射和散射，而墻體中的混凝土等介質(zhì)部分則會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生吸收和折射。這些作用會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的傳播路徑發(fā)生改變，信號(hào)強(qiáng)度減弱，甚至產(chǎn)生多徑效應(yīng)。多徑效應(yīng)使得接收端接收到多個(gè)不同路徑傳播來的信號(hào)副本，這些信號(hào)副本之間的相位和幅度差異會(huì)導(dǎo)致信號(hào)相互干擾，引起信號(hào)失真和誤碼率增加，嚴(yán)重影響通信質(zhì)量。在城市密集區(qū)域，由于建筑物眾多且分布復(fù)雜，這種多徑效應(yīng)尤為明顯，可能導(dǎo)致通信中斷或通信速率大幅下降。對(duì)于通信設(shè)備內(nèi)部的導(dǎo)體介質(zhì)組合結(jié)構(gòu)，也存在類似的問題。在印刷電路板（PCB）中，金屬導(dǎo)線作為導(dǎo)體，用于傳輸電信號(hào)，而電路板上的絕緣材料則充當(dāng)介質(zhì)。不同層的導(dǎo)線和介質(zhì)之間會(huì)形成復(fù)雜的電磁環(huán)境。當(dāng)信號(hào)在導(dǎo)線中傳輸時(shí)，由于導(dǎo)線的電阻和電感，信號(hào)會(huì)發(fā)生衰減和畸變。而且，相鄰導(dǎo)線之間會(huì)通過電容和電感產(chǎn)生電磁耦合，形成串?dāng)_。這種串?dāng)_會(huì)干擾其他信號(hào)的正常傳輸，導(dǎo)致信號(hào)質(zhì)量下降。在高速數(shù)字通信中，信號(hào)的頻率較高，信號(hào)的上升沿和下降沿較陡，更容易受到串?dāng)_的影響。如果不采取有效的電磁兼容性措施，通信設(shè)備可能無法正常工作，出現(xiàn)數(shù)據(jù)傳輸錯(cuò)誤或通信不穩(wěn)定等問題。為了提高通信系統(tǒng)的電磁兼容性，需要采取一系列有效的措施。在通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)階段，應(yīng)合理選擇導(dǎo)體和介質(zhì)材料，優(yōu)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)布局。在選擇天線材料時(shí)，應(yīng)考慮其導(dǎo)電性和耐腐蝕性，以確保天線能夠高效地發(fā)射和接收信號(hào)。對(duì)于建筑物等外部環(huán)境，可采用電磁屏蔽材料對(duì)敏感區(qū)域進(jìn)行屏蔽，減少外部電磁干擾對(duì)通信系統(tǒng)的影響。在通信設(shè)備內(nèi)部，應(yīng)合理規(guī)劃導(dǎo)線的布局，增加導(dǎo)線之間的距離，減少串?dāng)_。還可以采用屏蔽層對(duì)導(dǎo)線進(jìn)行屏蔽，抑制電磁干擾的傳播。采用合適的接地技術(shù)，將通信設(shè)備的金屬外殼和電路中的參考地連接起來，能夠有效降低電磁干擾。接地可以提供一個(gè)低阻抗的路徑，將干擾電流引入大地，從而減少干擾對(duì)通信系統(tǒng)的影響。通過這些措施，可以有效提高通信系統(tǒng)的電磁兼容性，確保信號(hào)的穩(wěn)定傳輸，提升通信質(zhì)量。5.3電磁隱身技術(shù)中的應(yīng)用電磁隱身技術(shù)在現(xiàn)代軍事和民用領(lǐng)域都具有重要的應(yīng)用價(jià)值，精確建模和快速