第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量的概念和運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

I.類比平面向量的概念和表示，理解、識(shí)記變冏向?qū)W的槐念、表示以及幾個(gè)特殊向量的

概念，特別是理解、識(shí)記直長(zhǎng)的方向雨量的概念：

2.理解空間向量運(yùn)算的“牛面件”，類比平面向量掌握空間向量和&、成法、救象打欲

董積的運(yùn)算法則；

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

1.共面向量定理以及利用共面向量定理證明4點(diǎn)共面；

2.選擇合適的向量作為“基底”表示所需向量，進(jìn)而解求距離、線線夾角以及證明線

線平行和垂直等問題.

【導(dǎo)學(xué)流程】

闿校錦洋，飲片今冬堂同向堂的槐念加加、戒、效素。及熬堂物的運(yùn)算核刻，嵬戚

△千向重.

探究一、空間向量的概念和表示

1.空間向量的概念

在空間中，把具有和的量叫空間向量.

B

變間向步

2.空間向量的概念和表示概述

物理背景：力

向量概念：方向、大?。＃ㄅc住及無次,可。年彳Q

空間向量的

概念和表示向量表示：小寫字母，有向線段

0一向步［模為—的向量，方向_

!“模為____的向量.

a單俵向蜃

/------------＜與。同方向的單位向量可以表示為

?相著向量模.、方向.的兩個(gè)向量.

向量的分類方向的兩個(gè)向量.

O於役向善（中行向受）

規(guī)定：透向黃和生意向色都共線.

、方向的兩個(gè)向量.

x_皂H目反曲建模.

6立佚的方向向投

0共百向建

3.兩種空間向量的概念

（1）直線的方向向量

若非零向量a所在的直線與直線I,貝布就叫做直線/的方向向量.

直依I的方向向董

（2）共面向量：如果向量Q所在的直線不行孑中面a或在牛面a何，就說向量。平行于

平面a.于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量、空間中任意兩個(gè)向量必然

共面，但是三個(gè)向量可能共面，也可能系共面。兩個(gè)或多個(gè)向量共線一發(fā)其面。

規(guī)定：零向量和任意兩個(gè)向量都共面.

空間兩個(gè)句步必隹*而

探究二、空間向量的運(yùn)算

1.空間向量運(yùn)算的“平面性”舉例

(2)不移到超點(diǎn)粕同

(3)變間向重運(yùn)算丈％年面向建運(yùn)重

2.空間向量運(yùn)算概述

若兩個(gè)向量-----,則%同二間+歷或|〃+瓦二|同-歷||

AOn______

方向：/.a//af2<O=?

(\人。=—ZT

數(shù)乘運(yùn)算：AU(AER)

,模：|2司=

、本質(zhì)；各相加應(yīng)量方向相同的加法的三角形法則.

［運(yùn)算律/0(丸+〃而二必+而

\^2(4+由二癡+，石

空間向量線性運(yùn)算已知N#0,那么君受萬與b券燈的充妾條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)他I,使.

(幾何圖形表示2)

2個(gè)數(shù)。是零向量。是非零向量

共線向

a是零向量

量定理￡為零向盤時(shí)，若〃個(gè)數(shù)的判斷

a是非零向呈唯一1個(gè)，H.2=01個(gè)

OJB=zJC=>_____________

3點(diǎn)共線及其小結(jié)論/------------_

----———......<?若4B,C三點(diǎn)共線且P酢xPB+jPC=.

共面向爰災(zāi)理

物理背景：功

3.共面向量定理及四點(diǎn)共面的判斷方法

我們知道，任意歷公空間向強(qiáng)一定共而，但三個(gè)空間向量可以共面，也可以不共面,

如下圖所示:

（一）大前提：向量矢B不共線.

（1）共面向量定理：如果兩個(gè)向量33不共線，那么向量〃與向量［辦共面的充要

條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（局y）,使.

（2）定理本質(zhì)：）面向量泉#/理.

（3）證明四點(diǎn)共面的方法：,

（二）當(dāng)（裱攀向垂）共線，且萬二無五+yB時(shí)，力與五,B的關(guān)系分析

力與乙3的關(guān)系

五范共線

乙族不共線共面，但不共線

（三）典例?概念辨析

例1.給出下列結(jié)論中，正確的有（）

A.若匕?,王共面，則存在實(shí)數(shù)x,y,使得五="加+'乙

B.若乙由W不共面，則不存在實(shí)數(shù)，y,使得2=+

C.若d,族，1共面，石,［不共線，則存在實(shí)數(shù)％,y,使得祝=x至+y3

D.若G=則五，B，共面.

4.投影向量

（1）向量在向量（或直線）上的投影向量（同平面向量）.

（2）向量在平面上的投影向量.

【典型例題】

題型一、空間向量的線性運(yùn)算

1.已知空間四邊形OABC中，蘇=3,無=兀歷=之，點(diǎn)M在。4上，且OM=2M4,

N為3c的中點(diǎn)，則礪=（）

I).—a+—b——c

222332

2.在正方體ABCO-AqGA，若8〃=xAD+），A8+zAA,則x+y+z的值為

C.—1D.—3

.—?.一■T.

3.設(shè)三棱錐O-A8C中，Q4=a,OB=AOC=c,G是AABC的重心，則OG=()

——?—

A.a+b+cB.a+b-c

1—―-1—

C.—(a+h+c)D.一(4+b+c)

題型二、3點(diǎn)共線、4點(diǎn)共面問題

I.如圖所示，在正方體48C0-為當(dāng)口劣中，E在上，且砧=2西，F(xiàn)在對(duì)角線

41c上，且審=源

(1)用向量而，而，麗*表示向量方，而；

(2)求證：E,F,B三點(diǎn)共線。

2.設(shè)q,s是空間兩個(gè)不共線的向量，己知AA=q+%%+%，BC=5q+4/+26，

DC=-^-2^-4^,且4氏。三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)Z的值.

3.設(shè)空間四點(diǎn)。人用。滿足麗二67%+〃麗，若A,R、P二點(diǎn)共線，求m+n的值.

4.1結(jié)論，要識(shí)記】已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)AB,C，滿足向量式

OP=xOA+yOB4-zOC,若P,A,8,。四點(diǎn)共面，求x+y+z的值.

5.如圖，在平行六面體力BCD-4B]GD]中，E為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足刀=.若