專題07空間向量與立體幾何必刷題型

（10大題型76題）

一、單選題

1.（24-25高二下?上海?月考,）已知向量b,是空間不共面的三個向量，則下列選項中能構成空間向量

一組基底是（）

A.b+ctbtb-cB.a>a+b?a-b

C.HB,a+b+c>ED.a+bfa—b?5

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理結合共面向量的定義逐項分析判斷.

【詳解】因為向量萬，B,^是不共面的三個向量，

對干A：因為B=所以5+云，B,共面，

所以Bb,5-5不能構成空間的一組基底，故A錯誤；

對于B：因為才=熊+?。何?6）,所以G,a+b,力共面,

所以「，G+6,2-另不能構成空間的一組基底，故B錯誤：

對于C：因為萬+5+己=伍+5）+1,所以萬+B，a+b+c>乙共面，

所以1+5，a+b+c^不能構成空間的一組基底，故C錯誤；

對于D：假定向量,+5,G-B，亍共面，

則存在不全為0的實數(shù)4，4,使得3+5=4,-5）+42,整理得（4一|總_（4+1?+45=6,

1/82

4-1=0

而問量萬，B,乙不共面，則有?-(4+1)=。，顯然不成立，所以向量3+5,a-b,e不共面，

Z,=0

即向量0+5，d-B，0能構成空間的一個基底，故D正確；

故選：D

UUllUUIUU1UUU

2.(24-25高二下?甘肅白銀?期中)在三棱錐PfBC中，M是平面48。內一點，且9PM=84+"8+5MC，

則1=()

A.jB.1C.2D.3

【答案】B

uuur4uuruur<uur

【分析】根據(jù)空間向量線性運算法則得到尸”=小+#t5+A■?C，再由空間共面定理的推論得到方程，

解得即可.

uuuruuruuruuiruiruurinuuuur、

【詳解】因為9PM=8尸zl+/P8+5MC=84+/P8+5?C-尸M1,

UUULuuruiuuuuuuur4uur/uur5uuir

所以14PA/=8e4+fP8+5PC，B[lPM=-PA+—?+—PC,

又點“是平面/出。內一點，

所以4;+5t+35=1，解得"I.

71414

故選：B

3.(24-25高二下?福建原門月考)已知向量￡=(l,x,2),6=(0,1,2),c=(l,0,0),若人兒)共面，則》等

于()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【分析】由共面向量的基本定理可知，存在7、〃wR,使得￡=蘇+〃入由空間向量的坐標運算可得出關

于2、〃、X的方程組，即可解出X的值.

【詳解】因為向￡4=(1,X,2),5=(0,1,2),c=(l,0,0),且￡、5、」共面,

由題意可知，存在力、〃eR,使得。=2至+〃c,

2/82

〃=1

即(1/,2)=刈0』,2)+〃(1,0，。=(〃，九24,所以2=x,故x=l.

22=2

故選：D.

4.(25-26高二上?全國?單元測試)對于空間任一點。和不共線的三點48,C,有

OP=tOA+(2t-l)OB+(7+2/pC,則)二一1”是“P,48,C四點共面”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合空間四點共面的等價條件進行判斷即可.

【詳解】空間任意一點O和不共線的三點44C,

令訴=x8+y礪+z訛G，jy€R),

/=-1?5l!lx=/=-1,y=2t-l=-3,

z=7+2/=5>x+y+z=\,

所以尸,4民。四點共面，

所以充分性成立；

若P,48,。四點共面，

當。與四個點中的一個(比如點A)重合時，

況=0，X可取任意值，不一定有x+y+z=l,

即不一定有―+7+2/=1,

所以不能得到"-1，

故必要性不成立，

所以>=-1”是“P,4B,C四點共面”的充分不必要條件，

故選:B.

5.(24-25高二下?江蘇泰州?期中)已知四棱錐〃-48c。中，底面X8C。為平行四邊形，點￡為產力的中點,

點/滿足方=2斤，點。滿足而=尤詼，若B、E、F、。四點共面，則2=()

【答案】C

3/82

【分析】由共面向量的基本定理得出麗=小礪+〃礪，利用空間向量的減法可得出

%=（1-〃?-〃）而+，［用+］］，設迎=k而，利用空間向量的線性運算得出網=左而-片而+k正,

進而可得出關于〃、〃?、〃的方程組，解出k的值，即可得出幾的值.

【詳解】如下圖所示：

因為3、E、F、。四點共面，且“、礪不共線，

則存在〃？、"CR,\^BQ=mBE+nBF,

即地_而=用（而-得+/彳麗-珂

所以用=（1_6_〃）而+機屋+“即=（而弓mPA-^nPC,

因為四邊形/8CZ）為平行四邊形，所以而=比，即而-蘇=正-而，

所以歷=蘇-方+元，

設而二人而，則河二太萬一左而+左正，

"〃?一〃=-k

I9—2—>

因為萬5、而、左不共面，所以《-ni=k,解得〃=(,所以PQ=1■0D,

2,

—n=k

13

_____2

乂因為而=405,故2二5,

故選：c.

6.（24-25高二下?上海嘉定?期中）已知三棱錐尸-ABC的體積為6,M是空間中一點,

4/82

麗=-七刀+亮麗+白無，則三棱錐的體積是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】利用向量運算，確定”的位置，結合棱錐力-，W5C的體積與棱錐尸-4BC的體積關系，即可求得

結果.

【詳解】因為兩=-*⑸+福麗+白正，所以15閑=-蘇+2而+4痔

ULUir1uLir2ULITAULUI-

3PA/=——PA+-PB+-PC,

555

_--1—2—4—

號PH=3PM，則P"=一1"+工。8+1/>。，

174

又-瀉+料，故點〃,4SC共面，

22

所以乙T8C=Q〃T8C=5><6=4.

故選：B.

迪繆?\空間向量的線性運算及參數(shù)問題▼

一、單選題

1.（24-25高二下?江蘇南京?期末）在三棱錐。-48。中，OA=a>OB=h5d<，且兩=2礪，麗=前,

則麗等于（）

2-21-

A.匕+攵-2B.—a+—b7+-c

222332

1?-2-2-IT1-

C.--上D.—〃+—b+-c

232322

【答案】D

【分析1利用空間向量的線性運算，分析即得解.

【詳解】

5/82

o

____Ioii

由題意，=ON-OM=-(OB^OC)--OA=--a+-b^-c.

23322

故選：D.

2.：24?25高二上?北京?期中）如圖,在長方體B￡D沖,M為CCi的中點，函=2而5.記而=5,

)

B.-a+-b+-c

332

D.-a+-b--c

332

【答案】B

【分析】運用空間向量的基底表示,結合向量的線性運算即可求解

［詳解］桶=祈+國=軟+交產?懶+而卜乒?,

1ABLBC^-CC,=-J5+-^D+,

=3+3213321

__2__2__1_____2-2_I-

=-AB+-AD+-AA［,NM=-a+-h+-c.

故選：B

3.（24-25高二上?湖北?期中）如圖，在正四棱臺444GA中，

—1----------7---------------1AM

力8=24圈,4E=工＜B,DF=彳D44G=:44直線4a與平面EFG交于點M,則丁=（）

234力匕］

6/82

12

D.

V7

【分析】設：!必=2越，通過尸四點共面，即可求解.

——1-----------3---------

【詳解】依題意，AF=^AD,AG=^AA],在四棱臺中，

————-------------1-1——4———3——

AC}=AA}+4G=AAX+44+4烏=+—AB+—AD=—4G+AEH—AF,

2232

.一:一??―41????——3??…

i^AM=AAC],則=—之力6+4力七十—/1/b,丁河,6,七,廠四點共面，

32

.?.-2+2+-A=l,/.A=—.

3223

故選:A

二、填空題

4.（25-26高二上?全國?課后作業(yè)）在三棱錐力-AC。中，若△ECO是正三角形，K為其重心，則

AB+^BC-^DE-Ab化簡的結果為.

【答案】6

【分析】首先根據(jù)幾何關系，轉化向量再進行運算可得答案.

【詳解】延長OE交邊8C于點尸，則?！?2￡/，

則有聲+一於=簫，-DE+JD=AD+DF=AF,

22

^,AB+-BC--DE-AD=6.

22

7/82

B

故答案為：0.

5.(24-25高二上?河北邯鄲?月考)已知1、B、^三個空間向量，若而=1一3+1與萬=法+)3+不共線，則

x+N的值為.

【答案】0

【分析】由帚于7共線，則箱+出+5=+可得x=4y=-4z=l,即可求得x+y的值.

【詳解】由五JG共線，則1=4而，即或+防+c=4(4-5+d),

所以x=4,y=-4*=1,則x+y=2-4=0.

故答案為：0.

6.(2025高二?全國?專題練習)已知點力(3,-2,4)和點4(-3,4,TO),則靠近點A的三等分點P的坐標

為.

【答案】(1，°，一|：

【分析】根據(jù)題意可知辭=；而，利用向量相等求解即可.

【詳解】設尸(x,y,z),由題可得而=；而，

所以可得(x—3,y+2,z—4)=((—6.6,-14),

x—3=-2x=1

則y+2=2,解得：y=0

(2、

故點P的坐標為1,0,--.

XJ/

故答案為：(LO,-：

'—?■-?___.—?.'-?."■一.-■

7.(25-26高二上?全國?單元測試)設向最q,弓,6不共面，已知力8=-30一/+2/，BC=ex+Ae2-6e,,

而=41+2]+81，若4C。三點共線，則4=.

【答案】0

【分析】由4C。三點共線，可得而與刀共線，即存在唯一的實數(shù)V,使得麗=y充，結合空間向量

基本定理求解即可.

【詳解】因為益=-31-￡+2|，肥-6錄，CD=4e+2^+8^,所以

衣=益+前=-國+(2-1艮-q.因為4C。三點共線，所以存在唯一的實數(shù)V,使得而=丁尼，即

4=-2y

A=0

4e+2e+8e=y[-2^+(A-lg-4^J,即.2=yQ-1),解得<

t23尸一2

8=-4y

故答案為：0

8.(24-25高二下?福建龍巖期中)如圖，在三棱錐P-H8C中，G為V"C的重心，PF=^PC,而=2蘇，

麗=〃而，A,4c(01)，若PG交平面DEF于點M,且而=；可，則％+〃的最小值為.

4

【答案】y

【分析】利用空間向量的四點共面的定理，得出系數(shù)的關系，再借助基本不等式求出最小值.

uurutrumruuryiuuruiraruuriiniruuruuruuur

【詳解】因為PG=P/f+/fG="+gx~(AB+AC)=PA+-(AP-^PB+AP+PC)

=LPA+LPB+LPCT

333

uuiriuuuriuiruurutir

所以尸M=；PG=5(尸彳+2^+尸。)，

因為所=/l9，而=〃而，~PF=^PC,

所以麗=-!-而而+2所,

9A9〃9

9/82

因為四點共面，

所以；+4=1，所以!+~^=7,

9/9〃9A/J

因為％+〃=+〃）（；+—）=92+y+—,

7X//7X//7

當且僅當％=〃=］2時等號成立，

4

所以2+4的最小值為:.

4

故答案為：y.

題型03空間向量的數(shù)量積運算及其應用（含模長、夾角、投影向量）▼

一、單選題

1.（24-25高二下?江蘇宿遷?期中〕己知）=（百,2,3）,空間向景工為單位向量,5,e=y,則空問向景［在

向量"方向上的投影向量為（）

「1-

A.2eB.-2eC.—aD.—a

22

【答案】B

【分析】由投影向量的計算公式艮】可求解.

1".

【詳解】空間向量￡在向量"方向，的投影向量為TT

因為工為單位向最，口=1,但今=與,

所以〃?e=J3+4+9xcos—=-2

3

ae-I

所以刀e=-2,，

故選：B

2.124-25高二下?江蘇鹽城?月考）在正三棱錐尸-"C中，21=/18=4,點。是棱PC的中點，TE=2EB,

則而?麗=（）

2028

A.B.-9C.D.-8

3

【答案】A

10/82

【分析】根據(jù)空間向量線性運算，用而，正，》表示打，而，再用空間向量數(shù)量積運算即可.

【詳解】根據(jù)題意可作圖，

B

因為點。是棱PC的中點，所以翔=；（"+就），

—_.2.—

因為在=2而，所以PE=4E-.4P=gAB-4P、

則而.益=（（"+就）仁萬一珂=《布4-^AB^4C^AC^APy

由題意，△48q48C,“MC都是等邊三角形，

所以刀?刀=刀衣=就?"=4x4xcosg=8,

故PE/O=511X8-16+丁8-8=-p

故選:A.

3.（25-26高二上?全國?單元測試）如圖，在三棱柱48C-4田。中，分別是48,上的點，且

8M=24M,C、N=2B、N.設方=不，元=5，AAi=c,若N8力C=90°NBAA】=Z.CAA,=6(P,

AB=AC=AAi=\t則下列結論中正確的是（）

-----------1

D.cosAB,^BC.=-

116

【答案】D

11/82

【分析】對于A,根據(jù)向量的線性運算法則利用基底6，b,5表示加即可判斷，對于B,由

須=*+；￡+*,結合模的性質及數(shù)量積的運算律求網，即可判斷，對于C,由基底r那表小

畫畫,計算花?苑，即可判斷，對于D,計算|葩|耳司，利用向量夾角公式求COS（福，網）即可

判斷.

【詳解】對于A,

麗=麗+福+甲=5可

=；（麴一而）+刀+：（而一就）=；布+；麴+；就=；萬+；5+：1，A錯誤：

對于B,由題可知同=|閘=同=1,ab=0,ac=bc=^,

所以|碉『=3（）+行+可2=3（不2+廬+52+2）3+2〃1+2幾可=：,

所以|朋N|=^^，B錯誤：

對于C,因為4B]=4B+44]=a+c,BC}=+BC=AA1+AC-AB=c+b-a,

所以福?%=R+??僅+B-￡）=；+o-i+i+g-；=；,所以福，房不垂直，c錯誤，

對于D,由選項c的解析可得，

AB{=a+c,5C,=c+b-a,AB}-BC、=g,

所以國卜J"）2=&+?+?=6,

18Gl=J（c+「-4）=ylc~+b~+a~i-ii-ia-2ba=\5"?

所以COS（函,南）=J^^=5_1,D正確，

網|g|而/-%

故選：D.

4.（24-25高二上?湖北?期末）已知八面體￡448b由正四棱錐E-4?CQ與正四棱錐/-48CQ構成（如圖）,

若4B=4E=2,=點”,N分別為AE,CE的中點，則而?麗=（）

12/82

E

57

A.0B.2C.-D.-

22

【答案】D

【分析】建系，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示求解即可.

【詳解】連接4C，BD交于點、O,連接EO,FO,

因為正四棱錐E-48C。與正四棱錐尸-48CO,

所以E01平面力8c。，尸01平面48cO,

因為18=%￡=2,AF=M，

所以0力=血，0E=e，OF=20，

以。為原點，蘇，而，礪分別為X，gz軸的正向建立空間直角坐標系,

則4（后,0,0）,B（0,V2,0）,C（-V2,0,0）,E（0,0,x/2）,尸（0,0,-2回,

所以而=[-萬率＜],麗=，去0苧],

22

I){22J

所以荷?麗=,立孝,-9,0,孚卜i+g=g

故選；D.

13/82

5.（24-25高二下?河北石家莊?開學考試）已知長方體力中，48=2,AD=AA]=\,向量

疝^=不麴+），而+z而，且x+2y+z=2,則%⑼的最小值為（）

A.2B.氈C.&D.遞

333

【答案】B

【分析】由題意建立空間直角坐標系，利用空間向量線性運算的坐標表示，可得答案.

【詳解】以A為坐標原點，所在的直線為X軸，40所在的直線為V軸，月4所在的直線為Z軸建立空間

直角坐標系，

因為痂=人而+），而+2亞=乂0,0,1）+）（2,0,0）+彳0,1,0,

因為x+2y+z=2,那么]+），+]=1

所以沏=1（0,0,2）+），（2,0,0）+：（0,2,（））=11才+）/5+：1方,

所以"、1、3、W四點共面,

由，―//、8=$2亭2x2解得〃岑,

所以I而I的最小值為手.

二、多選題

6.（24-25高二下?湖北?期末）如圖，在樓長均為2的平行六面體力BCO-44G。中，底面是正方形,

且N448=N4/O=60°,下列選項正確的是（）

14/82

B.異面直線4C與8口所成角的余弦值為亞

3

C.AiC1

D.AAX1BD

【答案】ACD

【分析】以｛函而，函｝為一組基底，將西用基底表不，得?西[=（西y=（-刀+亦+刀了，利用數(shù)

量枳的運算即可求解，進而判斷A.先求祀?西，利用向量的夾角公式即可判斷B,計算而?麗和斯?麗

即可判斷CD.

【詳解】由題意有：麗=-凝+而+西，所以

22

阿『=（西『=^-AB+JD+AA]\=A^\AD+AA｝'-I'AB-JD-IABAA.+IADAA.

=萬羽。一2|麗珂cos6。'+4國可cos60=4x3=12,所以|西卜26,故A正確；

元=方+而，所以辰|=2日所以

衣?西=（而+羽?卜益+茄+麴卜-宿+相力+萬.嘉-布.布

+AD+AD-44=—,81+Ip^）|cos60°+jiDj+將4卜os60

=-4+2x2x—+4+2x2xi=4,

22

Dr.'AC,BD148

所以3"'叫"彈可=爾耳=了’故B錯誤；

由4c=48+4。一4%,D｝=BD=AD—AB,

月『以衣?麗=（方+7D-怒｝卜在+而）

15/82

=-希+益?而+萬?麴+布?而+何-而刀

=-AB+AB-AA}+AD-AD-AAi=-|/15|+4訓，44cos60+卜4一%可力4cos60

=-4+2x2x^-+4-2x2x-1=0,所以4c1BQ1,故C正確；

由麴?麗=麴?（而一畫=^4-^D-Z^-76=|J5||Z^|COS6O°-|JB||Z^|COS6O0=2x2x1-2x2xl=0,

所以44_L6。，故D1E確；

故選：ACD.

7.（2025高二?全國?專題練習）已知正四面體力品'。的棱長為2及，空間內任一點P滿足|強+麗|=2,則

下列關于簫.通的結論正確的是（）

A.最小值為4-2后B.最大值為2+2應C.最小值為2-2友D,最大值為

4+26

【答案】BC

【分析】設43的中點為O,連接OP,由|⑸+下,=2,可得點。在以。為球心，以1為半徑的球面上.又

設爐,1萬=9,由題可得萬.而=2+2岳os。，據(jù)此可得答案.

【詳解】設/8的中點為。，連接0戶，則蘇+冏=2,則|西=1,

即點尸在以O為球心，以1為半徑的球面上.

如圖，因為萬=亞+而，所以而?通=（而+而）而=而?而+而萬.

因為正四面體的棱長為2及，所以4。=2四，AO=&，又ZD40=60。，

所以而.而=|彩，而|（：0$60。=及x2近x；=2.設癰，赤=9e[0,可，

則%反力萬=粉/萬+訴/萬=2+「巨卜fl萬\cosO=2+2而os?.

因為cos。e[—1,1],所以而.而€[2-26,2+2碼.

故選：BC

16/82

c

三、填空題

8.（23?24高二上?福建福州?期末）已知）為單位向量.5=0,0,0）,若,-瘋）［=1,則］在B上的投影向量的

坐標為.

【答案】隹可

【分析】根據(jù)模與向量的關系求出的值，再根據(jù)￡在石上的出影向量公式求出答案即可.

【詳解】冏=向=1,

由題可得：卜_煙=他_嫡1="勾22r

=J1+2-2及gB=1,"J得ab=?

a-b-0_Jl、

則：在書上的投影向量為時力=彳6=［5-，0,0.

故答案為:

9.（24-25高二下?上海閔行?期末）G、人）是空間向量，其中。1知展與1、書的夾角都是60。，且同=1,

忖=2,同=3.則,+［一1卜?

【答案】舊

【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義及運算，即可求解.

【詳解】因為萬_1人工與,、石的夾角都是60。，且同=1,問=2,同=3,

7T3-1

則灑E=0，?-c=3cos—=—,b-c=2x3x—=3,

17/82

則7+人一3=J2+/?2+c2+2/-/?-2zc-2^-c=1+4+9-3-6=5,

所以辰3-可=石，

故答案為：M.

10.（24-25高二上?天津?期中）已知向量￡二（2,7,2）,5=（-4,2,加），且入月夾角為鈍角，財機的取值范

圍為；

【答案】m<5且加工-4

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向炭的數(shù)量積及向最共線列式求出即得.

【詳解】由向量「=（2,-1,2）與」=（Y,2,M）夾角為鈍角,得￡7<0，且々與I不共線,

—8—2+2/〃<0

則，-42m，解得/〃<5"」九工一4,

—=—*一

2-12

所以m的取值范圍為m<5且〃?￥-4.

故答案為:在<5且加工-4

11.（2025高二?全國?專題練習）在菱形力3CQ中，44）=60。，線段力。，8。的中點分別為E,F.現(xiàn)

將△/力。沿對角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍為.

【答案】（六

【分析】根據(jù)向星的線性運算，可得4而?行:=2-8cos瓦5,就，進而利用夾角公式即可結合

cos84BC

【詳解】設菱形的邊長為2,則8E=C/=JJ,

BE=/BA+/?/)|(T=、(BD-2BC)、

4而衣=(而+麗).(而-2前卜而?麗-20?欣+麗：2元.麗

=2-2BABC+4-4=2-^CQSBA,BC,

4BECF1-4cos84,8C

cosBE,CF

4|阿司~6

因為就瑟《0,引，所以cos就打￡（一；,「，所以COS甌麗W

即甌而出號），

18/82

故異面直線即與cb所成角的取值范圍是(舅.

itn

故答案為:35

12.(24-25高二上?河北張家口?期末)如圖，正三棱柱48C-44G的底面邊長為2,側棱長為3,。為8c的

中點，若存=2彳瓦，萬0=2西(04241),則|地|的取值范圍是,

G

小

A

【答案】［>5,2石］

【分析】過點。作z軸//84，建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量坐標運算求出P(G-x/Ll,/l,3卜

2(0,-434),再由兩點間的距離公式結合二次函數(shù)的性質即可得出答案.

【詳解】因為正三棱柱444G的底面邊長為2,。為8c的中點，

所以過點。作Z軸//44,建立如圖所示的空間直角坐標系,

所以4(6,0,0),。(0,0,0),8(0,1,0)C(0,-1,0),4(石,0,3)若(0,1,3),C,(0,-1,3),

因為褊=卜31,0),西=(0，-1,3),設尸(小，打/)，0a，必,zj,

4尸=G-百Jo*。-3),Z)Q=(X”M，ZJ,

所以10-石Jo，z()-3)=2(-及1,。)必,4)=A(),-1,3)^<1),

19/82

所以Xo=y[^>=A,ZQ—3,Xj—0,——4z1二32?

所以尸（有一6u,3）,0（0,，,32）,

所U|pg|=-GJ+4把+（3_3/1）2=V1622-242+12=2^4^-^+：，

當/=:時，|國有最小值石，當4=0時，|而|有最大值2道，

所以|網的取值范圍是[6,23|.

故答案為：[6,26].

四、解答題

13.（25-26高二L全國?單元測試）如圖，在棱長為1的正方體中，點尸是側面

的一個動點（包含邊界）.

⑴若麗西=0,求|詞的最小值:

（2）若麗?西=1,求耳，與加夾角的最大值.

【答案】（1）半

⑵二

3

20/82

【分析】以。為原點，DA,DC,?？谒谥本€分別為4,乃z軸，建立空間直角坐標系，根據(jù)題設及向量

模的求法，線線夾角的求法可得結果.

【詳解】(1)以。為原點，DA,DC,所在直線分別為MP/軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則8(1,1,0),C(OJO)出(1,1,1)6(0,1,1),設尸(x,0/)(0。1,04zMl).

x-1-l,z),西=(1,0,1),

由于6PC81=0,所以x-l+z=0,即x=l-z

又存=(x,—l,z),所以|司=-口+1+Z?=J(l—z)2+l+z2=x/2i—2z+2qzj、4

由于OWzWl,所以當Z=；時|可取得最小值近.4=乎.

(2)而=(x-l,-l,z),=(-1,0,1),

因為麗?西=1,所以一x+l+z=l,即x=z.

cos甌BP)=萼辱一二=——二1

又\/|g|網"J(l>+l+z2J(z-1j-l+z?

1J1目

由于OWzWl,所以口~1丫3服'司(利用二次函數(shù)的性質求解)，

2歸2廣

即當z=0或1時，cos(國麗)取得最小值卜因此(晅，麗)的最大值為g，

即南與所夾角的最大值為

題型04距離問題

一、單選題

21/82

1.125-26高二上?全國?單元測試）已知4（1,01），81,別，Ci0,1,0）,N（0,l,l）,則直線MN

到平面48C的距離為（）

A.瓜B.逅C.逅D.逅

4126

【答案】D

【分析】苜先證明"V〃平面直線到平面相C的距離可轉化為點M到平面4BC的距離，利用

點到平面的距離公式計算即可.

【詳解】^=101,-1

顯然加=初，所以MN//BC,

而MV<z平面力8C,8Cu平面NBC,于是MN//平面Z8C,

因此直線MN到平面ABC的距離等于點M到平面ABC的距離.

一1

n-AB=-y-z=0

2-

設平面ABC的法向量為n=（x,y,z）則，令z=I,得方=(1,2,1),

n?BC=-x+=0

AM-n\i、肩

所以點M到平面ABC的距離為――-1=」=上,

向V66

所以直線MN到平面44C的距離是亞.

6

故選：D

2.（2025,河南安陽?一模）如圖，在三棱錐S-/3C中，SA,SB,S0兩兩垂直，SC=3,58=2,5/1=1,

。為線段SC上靠近C的三等分點，點E為V/BC的重心，則點E到直線4。的距離為（）

c百

3D-T

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，以S為坐標原點，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算代入計算，即可得到

結果.

【詳解】

22/82

X

根據(jù)題意，以S為坐標原點，建立空間直角坐標系,

則S(0,0,0),8(2,0,0),0(0,2,0)4(0,0,1),C(0,3,0),

（21

又點七為V/f3C的重心，所以￡三,1,與，

貝1」麗=仁,-1,-；］,麗=（2,-2,0）,

EBDB\_：+2

14二7

則cos(E8,DB.=

麗f有十1不2企歷x2應一顯，

則sin<EB,DB>=Jl-cos?<甌麗>=磊，

所以點￡到直線9的距離為同?sin（甌麗卜楞笠2

故選：B

3.（24-25高二下?甘肅平涼?期中〕正四棱錐S-//8C。中，O為頂點S在底面月8CQ內的正投影，P為側棱

SZ）的中點，且SO=OD=4i，則異面直線PC與4力的距離為（）

VioVio「亞n石

AA----BR.C.—D.—

105105

【答案】B

【分析】連接力C，BD,可得力C_Z8。且交于O,再由SOI面/8CO,建立空間直角坐標系，利用空間

向量法計算可得.

【詳解】因為S-ABCD為正四棱錐且O是S在底面ABCD內的正投影，

所以SOJ.面48c。，

連接/C,BD,則XC工8。且交于O.

因為OC,〃力u面48c。，

所以SOJ.OC,SOLOD.

所以以OC,OD,OS為.V,y,Z軸建立如圖所示的空間宜角坐標系.

23/82

因為so=oo=&，

d。*外

則s(o,o,V5),n(o,V2,o),q收,0,0),5(o,-V2,o),

22

所以而=e，2"o),PC=4i,--

設異面直線BD與PC的公垂線方向向量為n-（x,J，,z）,

[萬歷=0]2歷=0

則有_，即〈廠及0，取方=142.

nPC=0V2x--y--z=0

I2'2

乂因為麗=（-夜,夜,0）,

所以異面直線B。與PC的距離d="d=上且=叵.

同4+45

所以異面直線BD與PC的距離為叵.

5

4.（25-26高二上?全國?單元測試）如圖，在直三棱柱力8C—44G中，ZJC5=|,AC=2,BC=\,/4=2,

點。是棱/1C的中點，點后在校上運動，則點。到直線GE的距離的最小值為（）

24/82

A2后R4石「片n3石

A.----B.----C.V5D.----

555

【答案】D

【分析】以C為原點，C4c8,CG所在直線分別為-戶z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設E（O』,c）,

其中0KcY2,利用空間向量法可求得點。到直線GE的距離的取值范圍，即可得解.

【詳解】因為CGJ?平面48C,乙ACB吟,

所以以。為原點，C4c民CG所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間