2026屆福建省師大附中高二數(shù)學第一學期期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺2．若方程表示雙曲線，則（）A. B.C. D.3．已知集合A=（）A. B.C.或 D.4．在平面直角坐標系xOy中，過x軸上的點P分別向圓和圓引切線，記切線長分別為．則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.55．已知直線與圓相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，的值是（）A. B.C. D.6．數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.57．長方體中，，，，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.8．等比數(shù)列的第4項與第6項分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或9．過橢圓右焦點作x軸的垂線，并交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點.若以線段AB為直徑的圓與有2個公共點，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.11．若復數(shù)滿足，則復平面內(nèi)表示的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．已知拋物線內(nèi)一點，過點的直線交拋物線于，兩點，且點為弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學校為了獲得該校全體高中學生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時間，通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數(shù)為8小時，方差為6；女生每周鍛煉時間的平均數(shù)為6小時，方差為8．根據(jù)所有樣本的方差來估計該校學生每周鍛煉時間的方差為________14．設函數(shù)，則___________.15．已知曲線在點處的切線的斜率為，則______16．已知為平面的一個法向量，為直線的方向向量.若，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極大值與極小值；（2）若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.18．（12分）某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的a值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）；（2）估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)19．（12分）已知函數(shù)（1）求關于x的不等式的解集；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經(jīng)過點，；（2）長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點21．（12分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的焦點為、，實軸長為.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，求直線l的方程.22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A2、C【解析】根據(jù)曲線方程表示雙曲線方程有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，，可得.故選：C.3、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，所以.故選：A.4、D【解析】利用兩點間的距離公式，將切線長的和轉(zhuǎn)化為到兩圓心的距離和，利用三點共線距離最小即可求解.詳解】，圓心，半徑，圓心，半徑設點P，則，即到與兩點距離之和的最小值，當、、三點共線時，的和最小，即的和最小值為.故選：D【點睛】本題考查了兩點間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎題.5、C【解析】利用點到直線的距離公式和弦長公式可以求出的面積是關于的一個式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長為..當，即時，取得最大值.故選：C.6、C【解析】由已知得數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.7、D【解析】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，分析可知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，求出橢圓的方程，可知當點為橢圓與棱或的交點時，點到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設點，其中，，則、，因為平面，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓的一部分，則，，，所以，點的軌跡方程為，點到平面的距離為，當點為曲線與棱或棱的交點時，點到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C9、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，化簡后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點，右焦點，上頂點，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線的方程為，由于以線段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A10、D【解析】設等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D11、A【解析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數(shù)滿足，可得，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.12、B【解析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出100名學生每周鍛煉的平均時間，然后再求這100名學生每周鍛煉時間的方差，從而可估計該校學生每周鍛煉時間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時間的平均數(shù)為小時，因為55名男生每周鍛煉時間的方差為6；45名女生每周鍛煉時間的方差為8，所以這100名學生每周鍛煉時間的方差為，所以該校學生每周鍛煉時間的方差約為，故答案為：14、【解析】由的導數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.15、【解析】對求導，根據(jù)題設有且，即可得目標式的值.【詳解】由題設，且定義域為，則，所以，整理得，又，所以，兩邊取對數(shù)有，得：，即.故答案為：.16、##【解析】根據(jù)線面平行列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的極大值為0,的極小值為（2）2【解析】（1）先求導可得，再利用導函數(shù)判斷的單調(diào)性，進而求解；（2）由（1）可得在上的最小值為，由，，可得的最大值為，進而根據(jù)求解即可.【詳解】解:（1）當時，，所以，令，則或，則當和時，；當時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以極大值為；的極小值為.（2）由題,，由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值即為的極小值；因為,,所以，因為，則，所以.【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運算能力.18、（1）a0.3，72000人；（2）眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.【解析】（1）根據(jù)所有小長方形面積和為1即可求得參數(shù)，結(jié)合題意求得用水量不少于3噸對應的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接寫出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結(jié)合頻率的計算，即可容易求得結(jié)果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，可知：，解得；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：（人）【小問2詳解】由圖可估計眾數(shù)為2.25；設中位數(shù)為x噸，因為前5組的頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.19、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求出對應方程的根，再根據(jù)根的大小進行討論，即可得解；（2）對任意的，恒成立，即恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值即可得解.【小問1詳解】解：由已知易得即為：，令可得與，所以，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；【小問2詳解】解：由可得，由，得，所以可得，，當且僅當，即時等號成立，所以，所以的取值范圍是.20、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；（2）由已知可得，，此時焦點在軸上，或，，此時焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；【小問1詳解】解：橢圓經(jīng)過點，，，，，且焦點在軸上，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點，當點在長軸上時，，，此時焦點在軸上，此時橢圓的標準方程為；當點在短軸上時，，，此時焦點在軸上，此時橢圓的標準方程.綜合得橢圓的方程為或.21、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合雙曲線定義即可求得雙曲線的標準方程.（2）當斜率不存在時，不符合題意；當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立雙曲線，變形后由中點坐標公式可求得斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，焦點在軸上，且，所以，雙曲線的標準方程為C：.（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，當直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點在軸上，所以不滿足題意；當斜率存在時，設直線方程為，設，則，化簡可得，因為有兩個交點，所以化