湖北省重點(diǎn)中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.2．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.3．已知圓，則圓C關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S的值為（）A. B.0C.1 D.25．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則（）A.10 B.C. D.387．下列命題是真命題的個(gè)數(shù)為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設(shè)，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.48．如圖，四面體-，是底面△的重心，，則（）A B.C. D.9．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.10．若復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.11．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線斜率為___________.14．教育部門對某校學(xué)生的閱讀素養(yǎng)進(jìn)行調(diào)研，在該校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行百分制檢測，現(xiàn)將所得的成績按照，分成6組，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了頻率分布直方圖(如圖所示)，則成績在這組的學(xué)生人數(shù)是________.15．已知直線與，若，則實(shí)數(shù)a的值為______16．圍棋是一種策略性兩人棋類游戲．已知某圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率為，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，則2粒恰好都是白子的概率是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形面積的最小值.18．（12分）有1000人參加了某次垃圾分類知識競賽，從中隨機(jī)抽取100人，將這100人的此次競賽的分?jǐn)?shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)總體1000人中競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù).19．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（）（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值），且，證明：.20．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；（2）P為矩形場地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.21．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值22．（10分）排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和5個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.2、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因?yàn)椋拭}是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.3、B【解析】求得圓的圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，由此求得對稱圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，所以對稱圓的方程為.故選：B4、A【解析】直接求出的值即可.【詳解】解：由題得，程序框圖就是求，由于三角函數(shù)的最小正周期為，，，所以.故選：A5、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以k的取值范圍是.故選：B6、A【解析】寫出點(diǎn)坐標(biāo)，由對稱性易得線段長【詳解】點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A7、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯(cuò)；，B正確；，，C錯(cuò)；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個(gè)數(shù)2.故選：B8、B【解析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B9、B【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.10、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B11、B【解析】利用空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為SA，BC的中點(diǎn)，所以,故選：B12、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】首先求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：14、20【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求出成績在這組的頻率，從而可得出答案.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，成績在這組的頻率為，所以成績在這組的學(xué)生人數(shù)為（人）.故答案為：20.15、【解析】由可得，從而可求出實(shí)數(shù)a的值【詳解】因?yàn)橹本€與，且，所以，解得，故答案：16、【解析】根據(jù)互斥事件與對立事件概率公式求解即可【詳解】設(shè)“2粒都是黑子”為事件，“2粒都是白子”為事件，“2粒恰好是同一色”為事件，“2粒不同色”為事件，則事件與事件是對立事件，所以因?yàn)?粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件與互斥，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可知；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線長相等以及切線垂直于半徑將四邊形的面積表示為，然后根據(jù)三角形面積公式將其表示為，根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式表示出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出四邊形面積的最小值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即；（2）設(shè)，因?yàn)闉閳A的切線，所以，且，所以，又因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，四邊形的面積有最小值且最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)圓的切線的性質(zhì)將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，再通過三角形的面積公式將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題模型，對于轉(zhuǎn)化的技巧要求較高.18、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率，由此能估計(jì)總體1000人中競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；（3）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計(jì)總體1000人的競賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得圖中的值為0.040（2）競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率為：，估計(jì)總體1000人中競賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)為（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平19、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，然后對其求導(dǎo)，再分，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且是的兩個(gè)極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡結(jié)合已知可得，，從而將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，令，再次轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值大于零即可【小問1詳解】由，得，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為小問2詳解】由（1）知若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，且，且注意到，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以是的兩個(gè)極值點(diǎn).，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以而，所以，所以，要證，即要證即要證：因?yàn)?，所以所以，即要證：即要證：令，即要證：即要證：令當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增所以結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將兩個(gè)極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡后，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，換元后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題20、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離，點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離，從而可得答案.【小問1詳解】分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)成功點(diǎn)，可得即,化簡得因?yàn)辄c(diǎn)需在矩形場地內(nèi)，所以故所求軌跡方程為【小問2詳解】設(shè)，直線方程為直線FP與點(diǎn)M軌跡沒有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離大于依題意，動(dòng)點(diǎn)需滿足兩個(gè)條件：點(diǎn)的軌跡所在圓的圓心到直線的距離即,解得②點(diǎn)的軌跡與軸的交點(diǎn)到直線的距離即,解得綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點(diǎn)M，連接，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點(diǎn)E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐