專題10.2排列與組合（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1排列數(shù)的化簡、計(jì)算】.........................................................................3

【題型2組合數(shù)的化簡、計(jì)算】........................................................................4

【題型3全排列問題】..................................................................................6

【題型4元素（位置.）有限制的排列問題】.............................................................7

【題型5相鄰、不相鄰排列問題】......................................................................9

【題型6組合計(jì)數(shù)問題】...............................................................................11

【題型7定序問題】...................................................................................12

【題型8分組分配問題】...............................................................................14

【題型9排列組合綜合】...............................................................................16

1、排列與組合

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第13題，5

分從近幾年的高考情況來看，排列

2023年新高考H卷：第3題，5分組合是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，每年高考都

2023年全國乙卷（理數(shù)）；第7有考查，多以選擇題、填空題的形式

⑴理解排列、組合的概念題，5分出現(xiàn)，主要考查排列組合的基本方法，

⑵能利用排列組合解決簡2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9特殊元素、相鄰與不相鄰問題以及分

單的實(shí)際問題題，5分組分配等內(nèi)容，難度不大；有時(shí)會(huì)與

2024年新高考H卷：第14題，5兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、概率等知識(shí)結(jié)合考查，

分需要靈活求解，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面

2024年上海卷：第10題，5分的訓(xùn)練.

2025年上海卷：第9題，5分

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1排列與組合

1.排列與組合的概念

名稱定義

并按照一定的順序排成一列，叫做從〃

排列

從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的一個(gè)排列

個(gè)元素

作為一組,叫做從〃個(gè)不同元素中取出m

組合

個(gè)元素的一個(gè)組合

2.排列數(shù)與組合數(shù)

⑴排列數(shù)

從H個(gè)不同元素中取出〃*WN*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從〃個(gè)不同元素中取出〃，個(gè)

元素的排列數(shù),用符號(hào)A；表示.

(2)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出〃，幾〃?￡N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出，〃個(gè)

元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

⑴排列數(shù)公式

人：=〃(〃-1)(〃-21?(〃-6+1).這里，并且MW機(jī)

(2)組合數(shù)公式

①連乘表示：

「,”=A2=〃?-1)?(〃-2).......(〃一〃1+1)

”一而一1)?(加一2)?1?

這里，〃，mWN*,并且〃?W〃.

②階乘表示：②=二二利)「

規(guī)定：C：；=1.

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

①性質(zhì)1：C；；=C；f；

②性質(zhì)2：C：+1=C：+C：-'.

知識(shí)點(diǎn)2排列、組合的常見問題與解題策略

1.排列應(yīng)用問題的分類與解法

⑴有限制條件的排列問題:對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際

進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元索優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元索或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多

的問題可以采用間接法.

(2)相鄰問題:對(duì)相鄰問題采用捆綁法：相鄰元素看作?個(gè)整體與其他元素?起排列，注意捆綁元素的內(nèi)部

排列.

⑶不相鄰問題:不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素

排列的空檔中.

(4)定序問題:定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二是定

序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.

⑸間接法:正面分類太多從反面入手.

⑹多排問題直排法:元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研究.

2.組合問題的分類與解法

組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不

含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵

詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解?，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用

間接法處理.

3.分組分配問題

(I)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.

(2)分組方法:①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有，〃組元素個(gè)數(shù)相同，則分組

后除以〃山③完全非均勻分組，只要分組即可.

(3)分配方法:①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,

先分組后分配：③有限制條件的分配問題，采用分類求解.

【方法技巧與總結(jié)】

1.解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.

(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)用鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部。

(9)構(gòu)造模型.

(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

舉一反三

【題型1排列數(shù)的化簡、計(jì)算】

【例1】(25-26高二上?黑龍江哈R濱?階段練習(xí))Ag=()

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解題思路】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算直接求解即可.

【解答過程】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算，A2=5x4=20.

故選:C.

【變式1-1](25-26高二上?全國?單元測(cè)試)(九-1998)(n-1999)??…(n-2025)5-2026)(nGN,n>2026)

可表示為()

A.A需1998B.A：t1998C.A卷026D.A^2026

【答案】A

【解題思路】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行判斷.

【解答過程】(n-1998)(n-1999)??…(n-2025)(n-2026)中總共有(n-1998)-(n-2026)+1=29個(gè)

數(shù)連乘，

故(n-1998)(n-1999)??…(n-2025)(〃-2026)=A^1998.

故選：A.

【變式1-2](24-25高二下?廣東清遠(yuǎn)?期末)Ag+A'=()

A.8B.13C.63D.66

【答案】D

【解題思路】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算即可.

[解答過程】Ag+A'=5x4x3+3x2=66.

故選：D.

【變式1-3](24-25高二下?廣東揭陽?階段練習(xí))滿足不等式叫＜3口川)的"的值為()

A.9B.11C.12D.13

【答案】A

【解題思路】利用排列數(shù)公式可得出關(guān)于幾的不等式，結(jié)合九的取值范圍可得出九的值.

【解答過程】第=嚴(yán)工?"譽(yù)="8V3SWN"),可得"11,

An(n-9)!n!''

由題意可得幾N9且71WN*,故71=9或10.

故選:A.

【題型2組合數(shù)的化簡、計(jì)算】

【例2】(2025?遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè))化簡式子:口?第+禺,0+用?值+門6的結(jié)果為()

A.心B.C|C.」D.C?o

【答案】C

【解題思路】本題將復(fù)雜的組合問題轉(zhuǎn)化為“從裝有幾個(gè)白球，/H、黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取

法總數(shù)的和“模型，等價(jià)于“從裝有九+k球中取出血個(gè)球的不同取法數(shù)”，即可解決.

【解答過程】C"7+屐?CL+鬃-C/2+…+c卜優(yōu)-"表示:

從裝有幾個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和.

又從裝有九+Z球中取出771個(gè)球的不同取法數(shù)CMk.

所以叱-C-+CJ-c--1+金?儲(chǔ)-2+...+以.郊-火=（:心,

所以塘0+禺?C；+C外尋+1?C；=Cf0

故選：C.

【變式2-1]（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）強(qiáng)+臭+臭+…+晟=（）

.230-31心231-32k230-31、231-32

A."15?1,D.,

930930870870

【答案】B

【解題思路】根據(jù)組合數(shù)公式可得=窸？結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)計(jì)算得解.

【解答過程】???29!

(fc+l)x(k+2)k!(29-k)!(k+l)x(/c+2)

29!_31!]_嗡2

(k+2)!(29-k)!―(k+2)!(29-k)!31x30-31x30)其中k=0,1,2??…29,

?C—9i09i(%9+…i嘮

?,1X2十2X3十3X4+十30X31

=高（[+嗎+~+嶗）=23-32

30X31930

故選:B.

【變式2-2]（24-25高二上?河南南陽?期末）若C穿+8=C4n+2f則九=.

【答案】2

【解題思路】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.

【解答過程】由題意得，幾EZ且解得〃工5,

1471+2<24

???C穿+8=c郎+2,.?.3n+8=4九+2或（3n+8）+（4n+2）=24,

解得九=6（舍去）或n=2.

故答案為：2.

【變式2-3]（2024.上海寶山.一模）已知關(guān)于正整數(shù)工的方程C胃i=4夕一5,則該方程的解為

【答案】1或3

【解題思路】利用組合數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程，結(jié)合工的取值范圍即可求解.

【解答過程】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，由C凸1=C咨-5

x—1=5x—5f(x—1)+(5%-5)=12

0<x-l<120<x-1<12

可知:0<5x-5<12^|0<5x-5<12

xeZIxGZ

x=1%=3

14工工131<x<13

即IX經(jīng)所以x=l和無=3均滿足題意,

1<x<Y*

x6ZxGZ

所以該方程的解為：1或3.

故答案為：1或3.

【題型3全排列問題】

【例3】（24-25高二下?四川南充?期末）用1,3,5,7這4個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)

是（）

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【解題思路】根據(jù)全排列規(guī)則，計(jì)算結(jié)果即可.

【解答過程】可知4個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是A：=4x3x2x1=24,

故選：B.

【變式3-1]（2025?廣西河池?模擬預(yù)測(cè)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.

假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙共3名航天員開展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)艙安排一個(gè)人，則不同的安排方法一共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】D

【解題思路】空間站的主體結(jié)構(gòu)包括3個(gè)艙，恰好3名宇航員，每個(gè)艙安排一個(gè)人，正好是全排列問題，求

解即可.

【解答過程】甲、乙、丙共3名航天員分別到天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙3個(gè)艙開展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)

艙安排一個(gè)人，

不同的安排方法共有Ag=6（種）.

故選：D.

【變式3-2]（24-25高二下?江蘇泰州?期中）由1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】D

【解題思路】將四個(gè)數(shù)字全排列即可.

【解答過程】由1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A^=24個(gè).

故選：D.

【變式3-3]（25-26高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）一個(gè)數(shù)陣有m行6列，第一行的六個(gè)數(shù)互不相同，其余行

都由這六個(gè)數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，則m的最大值是（）

A.119B.120C.719D.720

【答案】D

【解題思路】求六個(gè)互不相同的數(shù)的全排列即可.

【解答過程】六個(gè)互不相同的數(shù)的全排列共有6!=720個(gè)，

為使7九行中的任意兩行都不重復(fù)，則需mW720,故m的最大值為720.

故選：D.

【題型4元素（位置）有限制的排列問題】

【例4】（2025?海南?模擬預(yù)測(cè)）某電影院一排有7個(gè)座位，中間有條過道，過道左側(cè)有4個(gè)座位，右側(cè)有3

個(gè)座位，現(xiàn)有包含小明，小剛，小強(qiáng)在內(nèi)的7位同學(xué)購買了某一排的座位，其中小明想和小忖!坐在一起，

小強(qiáng)想坐在右側(cè)，則共有（）種不同的排法.

A.216B.264C.312D.528

【答案】D

【解題思路】根據(jù)給定條件，按小明和小剛坐在左、右分類，再利用排列、組合計(jì)數(shù)問題列式求解.

【解答過程】按照1—7的序號(hào)對(duì)座位進(jìn)行編號(hào)，左側(cè)編號(hào)1—4,右側(cè)編號(hào)5—7,

若小明和小剛坐在左側(cè)，則安排情況為（1,2）,（2,3）,（3,4）,共3種排法，

小明和小剛可互換位置，小強(qiáng)排在右側(cè)有3種排法，剩下的4人有A*種排法，

因此小明和小剛坐在左側(cè)時(shí)共有0A犯以：=432種排法；

若小明和小剛坐在右側(cè)，則安排情況為（5,6）,（6,7）,共2種排法，小明和小剛可互換位置，

小強(qiáng)只有一種排法，剩下的4人有AZ=24種排法，因此小明和小剛坐在右側(cè)時(shí)共有0=96種排法，

所以不同的排法共有432+96=528種情況.

故選:D.

【變式4-1]（2025?甘肅?模擬預(yù)測(cè)）因工作需要，某單位安排甲、乙、丙、丁4位領(lǐng)導(dǎo)在端午節(jié)3天假期值

班，要求每天有兩人值班，且每人需要值班I天或2天，則不同的值班方案有（）

A.92種B.90種C.86種D.76種

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意，先確定值班天數(shù)分配，然后分兩種情況i寸論，結(jié)合組合數(shù)以及兩類計(jì)數(shù)原理代入計(jì)

算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】總值班人次為3x2=6,每人需要值班1天或2天，

因此唯一可能的分配是其中兩人各值班2天，另外兩人各值班1天，

先從四人中選出值班兩天的兩人，有第=6種，

假設(shè)選出的兩人分別為甲乙，需要值班2天，另外兩人丙丁各值班1天，具體分兩種情況，

若甲乙共同值班2天，選擇共同值班的2天，有髭=3種情況，

剩余1天，由丙丁共同值班僅1種方式，總方式3x1=3；

若甲乙共同值班1天，從3天中選1天，有瑪=3種情況，

然后甲從剩余的2天選擇1天值班，乙選擇剩下1天，有2x1=2種情況，

然后丙丁分別在甲乙剩余值班天中各選擇1天，有2種方式，總方式3x2x2=12：

一共有3+12=15種方式，

則總方案數(shù)有6X15=90種.

故選:B.

【變式4-2】（2025?重慶九龍坡?三模）”142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的兒個(gè)數(shù)之一，

當(dāng)142857與I至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1,4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1,

4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700

的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（）

A.66B.75C.78D.90

【答案】B

【解題思路】按千位數(shù)分別是5,7,8進(jìn)行分類討論即可.

【解答過程】若干位數(shù)字是5,則百位數(shù)字只能是7或8,故共有瑪弓+6瑪=15（個(gè)）；

若干位數(shù)字是7,則共有C;A：=36（個(gè)）；

若干位數(shù)字是8,則共有?A%=24（個(gè)）.

故符合條件的四位數(shù)共有15+36+24=75（個(gè)）.

故選:B.

【變式4-3］（2025?湖北?二模）甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的A、B、C、D四項(xiàng)服

務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加8項(xiàng)工作，乙必須參加。項(xiàng)

工作，則不同的安排方法數(shù)有（）

A.36種B.42種C.54種D.72種

【答案】B

【解題思路】按照8項(xiàng)工作安排的人數(shù)分為兩類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.

【解答過程】安排B項(xiàng)工作的人數(shù)分為兩類，

第一類，B項(xiàng)工作僅安排1人，因?yàn)榧撞粎⒓覤項(xiàng)工作，乙必須參加。項(xiàng)工作，

從甲、乙以外的3人中選一人參加B項(xiàng)工作有四種方法，

再安排A,C,D項(xiàng)工作，若。項(xiàng)工作安排兩人，則有屈種方法，

若。項(xiàng)工作安排一人，則有笏中方法，

所以4項(xiàng)工作僅安排I人共的（Ag+C|A1）=36種方法，

第二類，3項(xiàng)工作安排2人，有篇A專=6種方法，

由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有36+6=42種方法.

故選：B.

【題型5相鄰、不相鄰排列問題】

【例5】（2025?江蘇南通?二模）有3個(gè)男生和2個(gè)女生站成一排合影，則女生甲不在兩端且2個(gè)女生不相鄰

的不同排法總數(shù)為（）

A.18B.36C.72D.144

【答案】B

【解題思路】先排兩個(gè)女生，將排法分類再相加，剩卜的3個(gè)男生為全排列，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得

不同的排法總數(shù).

【解答過程】設(shè)5個(gè)位置依次為1,2,345,特殊元素優(yōu)先考慮，女生甲不在兩端，則只能在中間3個(gè)位置，

兩女生不相鄰，則

①甲在位置2,另一個(gè)女生只能4或5,2種選擇；

②甲在位置3,另一個(gè)女生只能I或5,2種選擇；

③甲在位置4,另一個(gè)女生只能I或2,2種選擇，

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，兩個(gè)女生的排法共有2+2+2=6種，

剩余3個(gè)男生為全排列A弓=6種持法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同排法總數(shù)為6x6=36.

故選:B.

【變式5-1］（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）某班有4B,C,D,E五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照，其中8同學(xué)不站

在兩端，C,。兩名同學(xué)相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為（）

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【解題思路】將C,。捆綁，先排8同學(xué)，再將其余同學(xué)（CD看做一個(gè)整體）全排列.

【解答過程】根據(jù)題意，因?yàn)镃,。兩名同學(xué)相鄰，所以有A,種，

乂因?yàn)锽同學(xué)不站在兩端，所以有A：種，其他同學(xué)（CD看做一個(gè)整體）進(jìn)行排列有A習(xí)種，

所以不同的排列方式種數(shù)為此=24.

故選：B.

【變式5-2]（2025?山東聊城?模擬預(yù)測(cè)）某多功能體育場(chǎng)館決定承包舉辦馬術(shù)，擊劍，游泳，跑步四項(xiàng)比賽.

應(yīng)主辦方要求，馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰，游泳比賽不在第?場(chǎng)也不在最后一場(chǎng)，則不同的比賽方式共

有（）

A.16種B.12種C.8種D.6種

【答案】C

【解題思路】利用不相鄰問題插空，特殊元素法間接去求解即可.

【解答過程】馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰的情況為：A5A馬=12種，

馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰且游泳比賽在第一或最后一場(chǎng)的情況為：2A鄉(xiāng)=4種，

故不同的比賽方式共有超A專-2Al=12-4=8種.

故選：C.

【變式5-3]（2025?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）畢業(yè)是青春的里程碑，更是奔赴星海的啟航.希望中學(xué)高三（8）

班的九名身高互不相同的摯友想拍一張畢業(yè)照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，

其中小郅與小豪兩位好朋友在這九人中身高由高到低分別位居第1位與第4位，他們要求要站在同一行相

鄰的位置，則不同的排列方式共有（）種.

A.200B.300C.400D.600

【答案】C

【解題思路】先確定特殊元素的位置，再利用排列、組合安排其他人的位置.，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即

可.

【解答過程】不妨將這9名摯友的身高從矮到高排序?yàn)?,2,3,4,5,6,7,8,9,

小郅同學(xué)最高，只能排在最后一行，小豪同學(xué)與之相鄰，將其看作一個(gè)整體，共有A^Ag=4種排法，

又由于小豪同學(xué)身高排第4,即從矮到高排第6,所以其前方只能站序號(hào)為1,2,3,4,5的同學(xué)，

從中選兩名同學(xué)有量=10種選法，選完之后讓同學(xué)們由高到矮站位就行；

剩下的位置中任選兩人站在小郅同學(xué)前面，剩余3人在最后?列按高矮順序站位即可，

所以有熊=10種選法，

故共有4x10x10=400種選法.

故選：C.

【題型6組合計(jì)數(shù)問題】

【例6】（2025?陜西?模擬預(yù)測(cè)）某校學(xué)生會(huì)有男生8人，女生12人，現(xiàn)從男生中選出7人，從女生中選出

11人參加志愿活動(dòng)，則不同的選法種數(shù)為（）

A.48B.96C.144D.192

【答案】B

【解題思路】首先分別計(jì)算從男生中選7人的選法種數(shù)和從女生中選11人的選法種數(shù)，然后根據(jù)分步乘法

計(jì)數(shù)原理，將這兩個(gè)結(jié)果相乘即可得到總的選法種數(shù).

【解答過程】根據(jù)題意，從男生中選7人的選法種數(shù)為：

CQ=-^―=8.

87!X1!

從女生中選II人的選法種數(shù)為：

所以總的選法種數(shù)為：12x8=96.

故選:B.

【變式6-1］（2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）10名同學(xué)合影，站成了前排3人后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7

人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.630C.252D.420

【答案】D

【解題思路】要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，因要保持其他人的相對(duì)順序不變，故可采用兩次插空法，

即將其中1人先在前排3人的4個(gè)空中插入，再將另一人在前抹已經(jīng)排好的4人的5個(gè)空中插入即可.

【解答過程】從后排7人中選2人共有?種選法，這2人插入前排3人中且保證前排人的順序不變，

則可先從3人中的4個(gè)空擋插入1人，有儲(chǔ)種插法；余下的1人則要插入前排4人的5個(gè)空擋中，有瑪種

插法，

則不同調(diào)整方法的種數(shù)是&C；瑪=420種.

故選：D.

【變式6-2】（2025?甘肅白銀?三模）花江大峽谷被譽(yù)為“地球的裂縫”，是貴州喀斯特地貌類型最為齊全的天

然亞熱帶巖溶景觀博物館，自2022年1月花江峽谷大橋正式開工建設(shè)以來，貴州橋梁集團(tuán)等承建單位的建

設(shè)者們不畏嚴(yán)寒酷暑，奮戰(zhàn)在花江大峽谷600多米的云山霧海里，為大橋早日建成攻堅(jiān)克難、不懈努力.某

日，從張師傅、李師傅、王師傅等8名花江峽谷大橋建設(shè)工人中選取4人輪休，要求張師傅和李師傅不能

同時(shí)輪休、且張師傅和王師傅必須同時(shí)輪休或在崗，若輪休的4人需要在四個(gè)不同時(shí)間返I口I待崗室進(jìn)行設(shè)

備檢查，且每人只需返回一次，則不同的輪休方案有（）

A.360種B.480種C.600種D.720種

【答案】A

【解題思路】首先分類，分張師傅在崗和張師傅輪休2類，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)公式,

即可求解.

【解答過程】若張師傅輪休，則工師傅一定也輪休，李師傅則在崗，則另外在崗3人有髭=10種方法，

若張師傅在崗，則王師傅也在崗，則另外在崗2人有髭=15種方法，

輪休的4人在四個(gè)不同時(shí)間返回待崗室進(jìn)行設(shè)備檢查，有A：=24種方法，

所以不同的輪休方案有（10+15）X24=360.

故選:A.

【變式6-3］（2025?江蘇鎮(zhèn)江?三模）2025年，省屬“三位一體”綜合評(píng)價(jià)招生政策進(jìn)行了調(diào)整，每位考生限報(bào)

四所大學(xué).某考生從6所大學(xué)中選擇4所進(jìn)行報(bào)名，其中甲、乙兩所學(xué)校至多報(bào)一所，則該考生報(bào)名的可能

情況種數(shù)是（）

A.12B.9C.6D.15

【答案】B

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用組合計(jì)數(shù)問題，結(jié)合排除法列式計(jì)算得解.

【解答過程】從6所大學(xué)中任取4所，有髭種，其中甲乙兩所學(xué)校同時(shí)被取到，有此種，

所以該考生報(bào)名的可能情況種數(shù)是匿-第二9.

故選：B.

【題型7定序問題】

［例7］（24-25高二下?重慶九龍坡?階段練習(xí)）重慶外國語學(xué)校第34屆外語節(jié)于2025年5月22日舉行，高

二某班6名同學(xué)參加節(jié)目表演，表演完后老師為這6名同學(xué)合影留念.合影時(shí)4人先到2人后到，為節(jié)約時(shí)

間，先到的4人排好隊(duì)，后來的2人加入并保持排好隊(duì)同學(xué)的相對(duì)順序不變，這兩名同學(xué)共有多少種加入

方法（）

A.10B.20C.60D.30

【答案】D

【解題思路】用倍縮法直接計(jì)算求解該定序問題即可.

【解答過程】6人全排有緞中排序方法，

所以先到的4人相對(duì)順序不變下兩名同學(xué)共有強(qiáng)=30種加入方法.

故選：D.

【變式7-1]（24-25高二下?陜西榆林?階段練習(xí)）高二（1）班5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同

學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）

A.42B.30C.21D.15

【答案】A

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用定序法列式計(jì)算得解.

【解答過程】7位同學(xué)排成一排照相，共有品種排法，原來5位同學(xué)的排列方法有Ag種，

所以保持原來5位同學(xué)的相對(duì)順序不變的排法種數(shù)為第=42.

As

故選：A.

【變式7-2]（24-25高二下?廣東揭陽?階段練習(xí)）某道菜的制作需要用到雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐

干、果干、茄子凈肉共七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞雁肉后下鍋，

雞湯最后下鍋，則制作這道菜時(shí)不同的下鍋順序共有（）

A.12種B.16種C.24種D.28種

【答案】A

【解題思路】將雞觸肉、（香菇、新筍、豆腐干）、果干、茄子凈肉四個(gè)元素進(jìn)行全排列，定序問題用倍縮

法可得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)殡u湯最后下鍋，所以將雞腳肉、（香菇、新筍、豆腐干）、果干、茄子凈肉四個(gè)元素進(jìn)行

全排列.

因?yàn)榻Y(jié)果包含兩種情況：茄子凈肉在雞脯肉前下鍋、茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，

所以茄子凈肉在雞脯肉后下鍋的情況有竽=12種.

故選：A.

【變式7-3]（24-25高二下?北京?期末）某4位同學(xué)排成?排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，如果保

持原來4位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）

A.10B.20C.24D.30

【答案】D

【解題思路】利用排列中的定序問題的處理方法進(jìn)行處理..

【解答過程】6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，共有AS種排法，

如果保持原來4位同學(xué)的相對(duì)順片不變，則有強(qiáng)=30種排法，故A,B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

【題型8分組分配問題】

【例8】（2025?江西?二模）某校組織校運(yùn)會(huì)活動(dòng)，由甲、乙、丙三名志愿者負(fù)責(zé)48,。,。四個(gè)任務(wù)，每人至少

負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有且僅有一人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)A任務(wù)，則不同的任務(wù)分配方法種數(shù)為（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】C

【解題思路】對(duì)甲負(fù)責(zé)的任務(wù)數(shù)量進(jìn)行分類討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.

【解答過程】若甲負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù)，剩余兩個(gè)任務(wù)排給乙、丙兩人，此時(shí)有=6種分配方法；

若甲只負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，則先在B、C、D中選取一個(gè)任務(wù)分給甲，

然后再將剩下3個(gè)任務(wù)分為兩組，分配給乙、丙兩人，

有心=18種不同的分配方法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的分配方法種數(shù)為6+18=24種.

故選:C.

【變式8-1］（2025?湖南郴州?一模）“湘超”足球比賽正在如火如荼進(jìn)行中，某企業(yè)贊助一批足球訓(xùn)練設(shè)備給

甲、乙、丙三個(gè)球隊(duì).這批設(shè)備分別為6個(gè)相同的跳箱和3箱相同的藥球.要求每隊(duì)至少有一個(gè)跳箱，且藥球不

能全部分配給同一球隊(duì)，則不同的分配方案有（）

A.35種B.70種C.140種D.210種

【答案】B

【解題思路】分兩步完成，先分跳箝、再分藥球，確定每一步的分法種數(shù)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答過程】分以卜.兩步：

（1）先分跳箱：6個(gè)相同的跳箱分給三個(gè)球隊(duì)，三個(gè)球隊(duì)分得的跳箱數(shù)量分別為1、2、3或2、2、2或4、1、

所以，跳箱的分法種數(shù)為1+A弓十的=10種；

（2）接下來分藥球：將3個(gè)藥球分給三個(gè)球隊(duì)，三個(gè)球隊(duì)分得的藥球數(shù)量分別為1、1、1或2、1、0,

所以，藥球的分法種數(shù)為1+A4=7種.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的分法種數(shù)為10x7=70種.

故選：B.

【變式8-2］（2025?福建三明?三模）縣委組織部擬派六位大學(xué)生對(duì)官對(duì)五個(gè)貧困村進(jìn)行駐村幫扶，每位大學(xué)

生村官只去一個(gè)貧困村，每個(gè)貧困村至少派一位大學(xué)生村官，其中甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧

困村，則不同的派遣方案共有（）

A.1440種B.1680種C.1800種D.2400種

【答案】B

【解題思路】先考慮將六位大學(xué)生村官分派到五個(gè)貧困村的分法種數(shù)，然后考慮甲、乙兩位大學(xué)生村官分派

在同一個(gè)貧困村的派遣方案種數(shù)，結(jié)合間接法可求得結(jié)果.

【解答過程】先考慮將六位大學(xué)生村官分派到五個(gè)貧困村的分法種數(shù)，

則五個(gè)貧困村分派的村官人數(shù)分別為2、1、1、1、1,

不同的派遣方案種數(shù)為/Ag=15x120=1800；

接下來考慮甲、乙兩位大學(xué)生村官分派在同一個(gè)貧困村，則不同的派遣方案種數(shù)為Ag=120種，

由間接法可知，甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧困村，則不同的派遣方案共有1800-120=1680種.

故選：B.

【變式8-3］（2025.河南鄭州?三模）河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色.現(xiàn)有?名

游客計(jì)劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：才會(huì)面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、炳餅、黃河鯉魚.該

游客每天從這六種美食中選擇1到3種進(jìn)行品嘗（每天必須選擇且不能重復(fù)選擇已品嘗過的美食）.若三

天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（）

A.450B.360C.180D.90

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意可知分配方式有1+2+3和2+2+2兩種情況，然后分別計(jì)算這兩種情況的選法種數(shù),

最后相加就是所求答案.

【解答過程】①計(jì)算按照1+2+3分配的選法種數(shù).

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，按1+2+3分配的選法種數(shù)為：

CjxC|xC|xA|=6x10x1x6=360種.

②按照2+2+2分配的選法種數(shù)為：

駕也xA；里空X6=9O種.

最后將兩種選法種數(shù)相加得到總的選法種數(shù)為360+90=450ft.

故選：A.

【題型9排列組合綜合】

【例9】（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)盒

子中，恰好有2個(gè)空盒的放法共有（）

A.1500種B.1800種C.2340種D.2400種

【答案】A

【解題思路】先將5個(gè)小球分成三份有3,1,1,和1,2,2兩種情況，按照分步計(jì)數(shù)原理分別有田得和心警

分組方法（注意部分平均分組導(dǎo)致重復(fù)的情況），分組后再從編號(hào)不同的5個(gè)盒子選3個(gè)盒子按照不同的

順序分別放入有Ag種排列方法，兩式相乘即可得解.

【解答過程】依題意，可以先將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球分成三份，

有，3,1,I,和1,2,2兩種情況，

于是恰好有2個(gè)空盒的放法有（W嬰+最等）Ag=1500（種），

故選:A.

【變式9-1]（2025?四川達(dá)州?模擬預(yù)測(cè)）某市將要承辦“全國太極拳公開賽總決賽”，組委會(huì)將甲、乙、丙、

丁、戊等五位志愿者分配到個(gè)人賽、對(duì)練賽和集體項(xiàng)目比賽等三個(gè)場(chǎng)館執(zhí)勤，若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且

甲不能被分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，乙不能分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是（）

A.69B.72C.75D.90

【答案】A

【解題思路】分甲單獨(dú)一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館或集體項(xiàng)目場(chǎng)館，甲和另一個(gè)人一起執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館或集體項(xiàng)目

場(chǎng)館，甲和另兩人一起執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館或集體項(xiàng)目場(chǎng)館，共六種情況求解即可.

【解答過程】由題意，分以下六種情況：

第一種情況，甲單獨(dú)一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的四個(gè)人可以分成一個(gè)人和三個(gè)人兩組，或分成每組兩個(gè)

人斯以共有CA,+第=14（種）方案;

第二種情況，甲單獨(dú)一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則乙只能分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，

若只有乙一個(gè)人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，剩下的三個(gè)人分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則有1種情況;

若乙和另外一人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有禺種情況；

若乙和另外兩人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有髭種情況；

所以共有1+禺+髭=7（種）方案；

第三種情況，甲和另外一人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的三個(gè)人分成一個(gè)人和兩個(gè)人兩組，分配到個(gè)人賽場(chǎng)

館和集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，

所以共有&C必，=18（種）方案；

第四種情況，甲和另外一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，若甲和乙執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則有廢A芻種情況；

若甲和乙以外的一人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，則有禺（禺+1）種情況；

共有髭A,+禺（最4-1）=15（種）方案；

第五種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤對(duì)練賽場(chǎng)館，則剩下的三個(gè)人分成?個(gè)人和兩個(gè)人兩組，分配到個(gè)人賽場(chǎng)

館和集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)館，

所以共有釐A,=6（種）方案；

第六種情況，甲和另外兩人執(zhí)勤集體項(xiàng)目比賽場(chǎng)飾，則乙只能分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，

若只有乙一個(gè)人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，剩下的兩個(gè)人分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則有鬣種情況；

若乙和另外一人分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，則有最A(yù)；種情況；

所以共有?A鄉(xiāng)+《=9（種）方案.

所以一共有14+7+18+15+6+9=69（種）不同的分配方案.

故選：A.

【變式9-2］（2025.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）樹人中學(xué)的科學(xué)社團(tuán)設(shè)計(jì)了?塊如下圖所示的正反面內(nèi)容相同的雙面團(tuán)

牌，給團(tuán)牌的正反兩面6個(gè)區(qū)域涂色，有3種不同顏色可選，要求同面有公共邊的區(qū)域不同色，同一區(qū)域

的兩面也不同色，則不同的涂色方法的種數(shù)為（）

A.36B.48C.54D.56

【答案】C

【解題思路】利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合，計(jì)算求解.

【解答過程】若只用2種不同的顏色，則正反面的上下區(qū)域同色，中間區(qū)域涂剩下的一種顏色即可，所以有

Cjx=6種涂色方法.

若用3種不同的顏色，當(dāng)正反面都只用2種顏色時(shí)，有（：“慶名乂?=12種涂色方法；

當(dāng)正面用2種顏色，反面用3種顏色時(shí)，則在正面未用的顏色不能涂在反面的中間，所以有髭xAlx最=12

種涂色方法：

同理,當(dāng)正面用3種顏色，反面用2種顏色時(shí)，也有髭xA,xG=12種涂色方法；

當(dāng)正反兩面都用3種顏色時(shí)，有用x2=12種涂色方法.

所以共有54種不同的涂色方法.

故選:C.

【變式9-3】（2025?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并包攬

了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，且丙不是最后兩名，則這7名同學(xué)獲獎(jiǎng)的

名次情況共有（）

A.524種B.564種C.624種D.664種

【答案】C

【解題思路】分兩種情況：甲、乙占據(jù)前兩名和丙在前兩名求解：然后再根據(jù)分類加法原理可求得結(jié)果.

【解答過程】若甲、乙占據(jù)前兩名,則所有的情況有度&A：=144種,

若丙在前兩名，則從甲、乙中選1人和丙排在前2名，故所有的情況有C]A孑Ag=480種，

故共有144+480=624種.

故選:C.

過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2025?福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）A/+Bo=（）

A.65B.160C.165D.210

【答案】C

【解題思路】根據(jù)排列數(shù)及組合數(shù)公式計(jì)算可得.

（解答過程]Al+C?0=Ai+C20=6X5X4+^=165.

故選:C.

2.（2025?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知4位學(xué)生被分配到A、B、。三地學(xué)習(xí)，每地至少分配一位學(xué)生且每位學(xué)生

只能去一個(gè)地方學(xué)習(xí)，則不同的分配方式有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意先將4位學(xué)生分成三組，再分配至IJA、B、C三地學(xué)習(xí)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求

解.

【解答過程】根據(jù)題意，先從4人中選2人組成一組，有鬃種方法，

然后將3組學(xué)生分配到A、8、C三地學(xué)習(xí)，有Ag種方法，

由分步計(jì)數(shù)原理知共有熊A鄉(xiāng)=36種不同的分配方法，

故選：D.

3.（2025,廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）將數(shù)字1,2,3,4,5,6填入如圖的6個(gè)方格中,每個(gè)方格填一個(gè)數(shù)字,

每個(gè)方格中的數(shù)字均不相同，若每行中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之和為偶數(shù)，則不同的填法共有（）

A.36種B.48種C.72種D.108種

【答案】C

【解題思路】依題意可分兩種情況：①第一行為奇數(shù)，第二行為偶數(shù)，②第一行為偶數(shù)，第二行為奇數(shù)，進(jìn)

而結(jié)合排列數(shù)公式即可求解.

【解答過程】由每行中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之和為偶數(shù)，

即一個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則另一個(gè)數(shù)需為奇數(shù)，或一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則另一個(gè)數(shù)需為偶數(shù)，

因?yàn)楣灿?個(gè)數(shù)字，其中3個(gè)奇數(shù)、3個(gè)偶數(shù)，所以分兩種情況：

①第一行為奇數(shù)，第二行為偶數(shù)，

②第一行為偶數(shù)，第二行為奇數(shù)，

所以共有A』xA,x2=72（種）不同的填法.

故選：C.

4.（2025?全國?模擬預(yù)測(cè)）2025年1月7日9時(shí)5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級(jí)地震.現(xiàn)從

各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有（）

A.1800B.16800C.14280D.2520（）

【答案】B

【解題思路】先分組后分配，分組分配上有3,1,1,1,1與2,2,1,1,1兩種方式，再結(jié)合排列組合數(shù)

計(jì)算即可.

【解答過程】分組分配上有3,1,1,1,1與2,2,1,1,1兩種方式.

若是3,1,1,1,1,則有￡l^|^?Ag=4200種：

若是2,2,1,1,1,則有吟警^^=12600種.

A混,

所以共有4200+12600=16800W.

故選:B.

5.（2025?遼寧大連?一模）某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生依次參加接力跑的4x100m接力比賽，已知甲

不能站在第一位，乙不能站在第二位，則可能的安排排列順序有（）

A.8種B.14種C.18種D.24種

【答案】B

【解題思路】按照甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得解?.

【解答過程】分甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，

①當(dāng)甲站在第二位時(shí)，余下三人可以全排列，此時(shí)共有l(wèi)xAg=6種情況；

②當(dāng)甲不站在第二位時(shí)，甲有2個(gè)位置可選，此時(shí)乙也有2種情況可選，余下兩人可以全排列，則此時(shí)共有

2X2x=8種情況；

綜上所述，一共有6+8=14種情況，

故選:B.

6.（2025.湖北武漢?三模）如圖，某社區(qū)為墻面4R、C、。四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂

一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可